Программа курса "Алгебра и геометрия",

Программа курса "Алгебра и геометрия",
мехмат ЮФУ, 1 курс, 1-2 группы, 2 семестр 2013/14 уч.года
Определение линейного пространства; примеры линейных пространств, простейшие свойства
линейных пространств. Система векторов; подсистема. Линейная комбинация векторов. Векторная
интерпретация систем линейных уравнений. Линейно зависимая и линейно независимая система.
Критерий обращения определителя в ноль. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем (система, состоящая из одного вектора; критерий для системы, содержащей более одного вектора; случай системы из двух векторов; система, содержащая линейно зависимую подсистему; подсистема линейно независимой системы; добавление вектора к линейно независимой системе; второй
критерий линейной зависимости и др.). Полная система, ее свойства, основная лемма.
Размерность линейного пространства. Определение конечномерного и бесконечномерного
линейного пространства; размерность пространства Fn. Базис; теорема существования базиса, следствие. Теорема о размерности линейного пространства с базисом, следствие. Размерность декомплексификации. Теоремы о соотношении базиса линейно независимой и полной системы, критерий
конечномерности линейного пространства. Координаты вектора, их единственность, свойства. Матрица перехода. Преобразование координатных векторов при замене базиса. Свойства матрицы перехода. Алгоритм вычисления матрицы перехода.
Подпространство, критерии и примеры. Линейная оболочка и ее свойства. Пересечение подпространств. Сумма подпространств. Прямая сумма; теорема о разложении пространства в прямую
сумму. Свойства размерности подпространств (соотношение размерностей подпространства и пространства; размерность суммы подпространств; критерий разложения конечномерного пространства
в прямую сумму подпространств, о тривиальности пересечения).
Максимальная линейно независимая подсистема. Максимальная линейно независимая подсистема как базис линейной оболочки; следствие об инвариантности числа элементов максимальной
линейно независимой подсистемы. Ранг системы векторов; простейшие свойства. Ранг матрицы. Инвариантность ранга матрицы при ее транспонировании. Минор матрицы; теорема о связи ранга матрицы с ее минорами. Инвариантность ранга матрицы при элементарных преобразованиях ее столбцов и строк. Ступенчатая форма матрицы; теорема о ранге матрицы ступенчатой формы, следствия.
Теорема о ранге произведения матриц; следствие об умножении на обратимую матрицу. Критерий
совместности системы линейных уравнений (Кронекера и Капелли). Критерий существования нетривиального решения однородной системы линейных уравнений и ее подпространство решений. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.
Скалярное произведение; определение евклидова пространства. Теорема существование скалярного произведения в произвольном конечномерном линейном пространстве. Неравенство КошиБуняковского, примеры. Норма в евклидовом пространстве; свойства нормы. Расстояние в евклидовом пространстве; свойства расстояния. Угол между векторами.
Ортогональность векторов; свойства отношения ортогональности, теорема Пифагора. Ортогональная система векторов и ее линейная независимость. Нормированный вектор; нормирование
вектора. Ортонормированная система векторов. Свойства ортонормированных базисов. Процесс ортогонализации, теорема о равенстве линейных оболочек. Следствие существования ортонормированного базиса.
Ортогональные матрицы, свойства. Критерий ортогональности матрицы. Теоремы об ортогональности матрицы перехода.
Ортогональность вектора множеству; ортогональное дополнение. Свойства ортогонального
дополнения. Теорема о разложении евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его
ортогонального дополнения. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. Алгоритм
нахождения ортогональной проекции и ортогональной составляющей, матрица Грама. Расстояние от
элемента до конечномерного подпространства. Унитарные пространства, унитарные матрицы (обзорно).
ЛИТЕРАТУРА
Учебники
1. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры, изд. 6–11. М.: Наука, 1958–1975.
2. А.И. Кострикин. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
3. И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971.
4. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра, изд. 1–3. М.: Наука, 1974–1984.
5. Л.А. Калужнин. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1977.
6. А.В. Козак, В.С. Пилиди. Линейная алгебра. М. Вузовская книга. 2001.
7. В.Д. Кряквин. Линейная алгебра в задачах и упражнениях. М.: Вузовская книга, 2006, 2007.