Вопросы к экзамену 1 семестр Матрицы и действия над ними

Вопросы к экзамену 1 семестр
1. Матрицы и действия над ними. Свойства суммы матриц, произведения матрицы на
число, произведения матриц.
2. Перестановки. Теорема об изменении чётности перестановки при транспозиции.
3. Подстановка. Утверждение о сохранении чётности подстановки при различных её
записях.
4. Определение определителя. Свойства определителя.
5. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).
6. Теорема существования обратной матрицы.
7. Утверждения о единственности матрицы, обладающей свойством единичной и о
единственности обратной матрицы.
8. Формулы Крамера.
9. Теорема о существовании ненулевого решения однородной линейной системы в
случае, когда количество неизвестных больше количества уравнений.
10.Арифметическое n-мерное векторное пространство. Критерий линейной зависимости.
11.Утверждение о линейной зависимости системы элементов (из Rⁿ), содержащей
линейно зависимые элементы.
12.Утверждение о линейной зависимости системы k элементов (из Rⁿ) в случае, когда
все они линейно выражаются через систему из r элементов (r < k).
13.Теорема о ранге матрицы.
14.Теорема Кронекера-Капелли.
15.Определение и свойства линейного пространства.
16.Четыре утверждения о базисе.
17.Теорема о невырожденности матрицы перехода.
18.Теорема об изменении координат элемента при переходе к новому базису.
19.Линейные подпространства. Критерий подпространства.
20.Линейная оболочка элементов как подпространство.
21.Пересечение подпространств как подпространство.
22.Сумма подпространств как подпространство.
23.Линейное пространство как прямая сумма подпространств.
24.Линейный оператор. Нахождение координат элемента под действием на него
линейного оператора.
25.Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
26.Действия с линейными операторами.
27.Матрицы суммы линейных операторов, произведения линейного оператора на число,
произведения линейных операторов.
28.Образ, ранг, ядро, дефект линейного оператора.