Ранг матрицы

Ранг матрицы. Ранг системы векторов.
Рангом матрицы называют ранг системы её столбцов. Ранг матрицы совпадает с
наивысшим порядком отличных от нуля миноров этой матрицы. Такие миноры называют
базисными. Столбцы матрицы, на которых располагается хотя бы один базисный минор
этой матрицы, линейно независимые. Их называют базисными столбцами матрицы. Если
ранг матрицы совпадает с числом её столбцов, то все столбцы матрицы линейно
независимые. Ранг матрицы можно определять как ранг системы её строк. Ранг матрицы
по строкам совпадает с её рангом по столбцам. Базисные строки матрицы определяются
так же, как её базисные столбцы.
Для вычисления ранга матрицы можно пользоваться методом окаймления, который
состоит в следующем: находят какой-либо минор первого или второго порядка, отличный
от нуля, и вычисляют окаймляющие его миноры следующего порядка. Если среди них
найдётся отличный от нуля, то окаймляют его. Пусть уже найден таким способом минор rго порядка, отличный от нуля. Тогда вычисляют его окаймляющие миноры (r+1)-го
порядка. Если все они окажутся равными нулю, то ранг матрицы равен r.
Для вычисления ранга системы векторов a1, a2 …as следует эти векторы записать
столбцами (или строками) матрицы и вычислить её ранг. Это и будет ранг системы
рассматриваемых векторов. По базисным минорам легко выделяются все максимальные
линейно независимые подсистемы данной системы векторов.
Утверждения:
1. Пусть в пространстве Rn задана система векторов a1,a2…aр и матрица А с р строками и
n столбцами, i-я строка которой состоит из компонент вектора ai, i=1, 2,…, p.
a. Тогда ранг системы векторов a1, a2 …aр совпадает с рангом матрицы А.
b. Пусть матрица А подобна ступенчатой матрице В. Тогда ранг системы векторов a1,
a2 …aр равен числу ненулевых строк матрицы В.
c. Пусть р=n. Система a1, a2 …aр является базисом пространства Rn тогда и только
тогда, когда ‫׀‬А‫≠׀‬0.
2. Ранг r системы a1 ,..., an , b совпадает с рангом системы векторов a1 ,..., an тогда и
только тогда, когда b  < a1 ,..., an >. Если при этом r=n, то вектор b единственным
образом выражается в виде линейной комбинации векторов a1 ,..., an .
2  1 3  2 4


Пример 1. Найти ранг матрицы  4  2 5 1 7  методом окаймления миноров.
2  1 1 8 2


Решение. Рассмотрим ненулевой минор первого порядка данной матрицы М1=‫׀‬2‫≠׀‬0.
Найдём окаймляющие миноры для М1. Будем рассматривать окаймляющие миноры 2-го
порядка до тех пор, пока не найдём отличный от нуля минор. Если среди
рассматриваемых миноров 2-го порядка все будут равны нулю, то ранг данной матрицы
будет равен 1.
2 1
 0 (пропорциональны строки)
М2=
4 2
2 3
 2  0 .
М3=
4 5
Значит, r(A) ≥ 2. Рассмотрим окаймляющие миноры для М3.
2 1 3
М4= 4  2 5  0 (пропорциональны строки)
2 1 1
2 3 2
М5= 4 5
2 1
2
2
3
1  0 1
8
0 2
2 3 4
2
3
5  0 (пропорциональны строки)
10
2
М6= 4 5 7  0
 1  1  0 (пропорциональны строки)
2 1 2 0 2 2
Поскольку все окаймляющие миноры 3-го порядка для М3 равны нулю, то ранг
матрицы равен порядку наивысшего отличного от нуля минора 2-го порядка (порядку
минора М3), т.е. r(A)=2.
 25 31 17 43 


 75 94 53 132 
Пример 2. Найти ранг матрицы 
при помощи элементарных
75 94 54 134 


 25 32 20 48 


преобразований.
Решение. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие
преобразования:
 Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
 Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на
любое число;
 Перестановка двух строк (столбцов).
При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.
 25

А=  75
 75

 25

31 17 43   25
 
94 53 132  ~  0
94 54 134   0
 
32 20 48   0
31 17
1
2
1
3
1
3
43   25 31 17 43 

 
3  ~ 0 1 2 3  .
5 0 0 1 2

 
5   0 0 0 0 
Ранг данной матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой матрице, т.е. r(A)=3.
Пример 3. Найти все базисы системы векторов: а1=(2, 1,-3, 1), а2=(4, 2, –6, 2), а3=(6, 3, –9,
3), а4=(1, 1, 1, 1).
Решение. Построим из координат векторов матрицу по столбцам:
4
6 1
 2


2
3 1
 1
А= 
. Для нахождения всех базисов данной системы векторов
 3  6  9 1


 1

2
3
1


необходимо выделить все базисные миноры построенной матрицы. Найдём ранг этой
матрицы при помощи элементарных преобразований.
4
6 1  1 4
6
2  1
4
6
2  1 4
6
2 
 2

 
 
 

2
3 1  1 2
3
1   0  2  3  1   0  2  3  1
 1
.
  3  6  9 1 ~  1  6  9  3  ~  0  10  15  5  ~  0 0
0
0 

 
 
 

 1
2
3 1  1 2
3
1   0  2  3  1   0 0
0
0 

Таким образом, ранг данной матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой
матрице, т.е. r(A)=2. Первый столбец ступенчатой матрицы соответствует координатам
вектора а4, второй – координатам вектора а2, третий – а3, четвёртый – а1. В любом базисе
данной системы векторов будет ровно два вектора. Базисными минорами являются:
1 4
1 6
1 2
 0 , М2=
 0 , М3=
 0 . Остальные миноры второго
0 2
0 3
0 1
порядка равны нулю, поэтому базисными быть не могут. Поэтому, базисами данной
системы векторов являются векторы:
1) а2, а4.
2) а3, а4.
3) а1, а4.
М1=
Задачи для самостоятельного решения (в аудитории)
1.
2.
3.
4.
Какие из следующих систем векторов составляют базис пространства R3:
a). (1, 1, 1), (–1, –1, –1), (0, 1, 1). (0, 0, 1).
b). (1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1).
c). (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, 1).
d). (1, –2, –2), (1, 5, –3). (–1, –5, 5).
e). (1, 2, 7), (–2, –4, –8), (0, 0, 0).
При каких значениях параметров следующие системы векторов образуют базис
пространства R3:
a). (λ, 1, 0), (1, λ, 1), (0, 1, λ).
b). (1, α, β), (0, 1, γ), (0, 0, 1).
c). (1, 1, 1), (α, β, γ), (α2, β2, γ2)
d). (1, α, α2), (1, β, β2), (1, γ, γ2)
e). (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1. 1, α).
Найти базис и ранг систем векторов. При решении использовать метод окаймления
миноров или метод элементарных преобразований:
a). (1, 1, –1, –1), (2, 2, 1, –1), (2, 2, –5, –3), (1, 1, –1, –1)
b). (1, 3, –1, 4), (2, 4, –4, 8), (1, 1, –6, 6), (1, 3, –1, 8)
c). (1,7,1,5), (–1,–7,–3,–2), (–1,–7,–5,7), (–1,–7,–5,1).
d). (1,–3,1,3,–3), (1,4,7,4,–3), (–1,–4,–7,2,6), (-1,3,-1,3,5), (1,–3,1,–3,–7).
e). (1,1,–3,1,2), (–1,–1,4,2,4), (–1,–1,9,2,5), (2,2,–1,2,5), (–2,–2,8,4,8).
Показать, что в пространстве многочленов степени ≤ 3 системы многочленов
образуют базисы:
a). 1, х, х2, х3.
b). 1, х–1, (х–1)2, (х–1)3.
c). 1, х+1, (х+1)2, (1+х)3.
d). 1, х+2, (х–3)2, х3+5.