1 Правительство Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный университет РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины Алгебраические методы моделирования систем Algebraic methods of system modelling Язык(и) обучения -- русский Трудоёмкость (границы трудоёмкости) в зачетных единицах: __1______ Регистрационный номер рабочей программы: ______________ Санкт-Петербург 2012 2 Раздел 1. 1.1. Характеристики учебных занятий Цели и задачи учебных занятий Основная задача курса — обучение аспирантов математическим основам применения моделей и методов идемпотентной алгебры при решении практических задач исследования систем и управления в технике, экономике, менеджменте и других областях 1.2. Требования к подготовленности обучающегося к освоению содержания учебных занятий (пререквизиты) Аспирант должен обладать знаниями на уровне специалитета или магистратуры по направлению прикладной математики и информатики. 1.3. Перечень результатов обучения (learning outcomes) Слушатели курса должны свободно владеть теоретическими основами и практические навыки использования идемпотентной алгебры для решения задач моделирования и анализа сложных систем. 1.4. Перечень активных и интерактивных форм учебных занятий Ответы на вопросы во время занятий. Обсуждение полученных на занятии результатов. Личные и групповые консультации. Раздел 2. 2.1. Организация, структура и содержание учебных занятий Организация учебных занятий 2.1.1 Основной курс ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ очная форма обучения Трудоёмкость итоговая аттестация (сам.раб.) промежуточная аттестация (сам.раб.) текущий контроль (сам.раб.) сам.раб. с использованием методических материалов Самостоятельная работа итоговая аттестация под руководством преподавателя в присутствии преподавателя промежуточная аттестация текущий контроль коллоквиумы контрольные работы лабораторные работы консультации практические занятия семинары лекции Период обучения (модуль) Контактная работа обучающихся с преподавателем Объём активных и интерактивных форм учебных занятий Трудоёмкость, объёмы учебной работы и наполняемость групп обучающихся 3 Год обучения 1 ИТОГО 32 32 212 1-1 32 32 1 1 Формы текущего контроля успеваемости, виды промежуточной и итоговой аттестации Период обучения (модуль) Виды итоговой аттестации Формы текущего контроля успеваемости Виды промежуточной аттестации (только для программ итоговой аттестации и дополнительных образовательных программ) ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ очная форма обучения 2.2. Структура и содержание учебных занятий Основной курс Основная траектория Очная форма обучения Период обучения (модуль): Год 1 № п/п 1 2 3 Наименование темы (раздела, части) РАЗДЕЛ I. алгебра Введение. РАЗДЕЛ II. Обобщенное векторное пространство РАЗДЕЛ III. операторы Обобщенные Идемпотентная линейное Вид учебных занятий лекции 10 семинары 0 по методическим материалам 10 текущий контроль 0 лекции 10 семинары 0 по методическим материалам линейные Количество часов 10 текущий контроль 0 лекции 12 семинары 0 по методическим материалам 12 4 текущий контроль 0 Содержание курса РАЗДЕЛ I. Введение. Идемпотентная алгебра 1. 2. 3. Модели и методы идемпотентной алгебры. Примеры реальных прикладных задач в технике, экономике, управлении и других областях, которые могут быть решены методами идемпотентной алгебры. Идемпотентная алгебра. Идемпотентная полугруппа. Идемпотентное полукольцо и полуполе. Операции обобщенного сложения и умножения. Обозначение операций, нулевого и единичного элементов. Правила выполнения операций. Примеры полуколец и полуполей. Полукольцо с операциями вычисления максимума и сложением. Обозначение степени. Биномиальное тождество. Функции и одной переменной. Линейная функция и линейное уравнение. График функции. Многочлены. Минимальная каноническая форма многочлена. Теорема Кунингхайма-Грина о разложении многочлена. Решение полиномиальных уравнений. Экстремумы рациональной функции. РАЗДЕЛ II. 4. 5. 6. Векторы и матрицы. Векторы. Операции над векторами и их геометрическая интерпретация. Скалярное произведение векторов. Неравенство Коши-Буняковского. Матрицы и операции над ними. Граф матрицы. Интерпретация операций над матрицами в терминах графов. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Общий вид обратимой матрицы. Псевдообратная матрица. Связь между обратной и псевдообратной матрицами. Обобщенное линейное векторное пространство. Линейная оболочка и линейная зависимость векторов. Изображение линейной оболочки на плоскости. Метрика. Расстояние от вектора до подпространства. Критерий линейной зависимости векторов. Построение минимальной линейно независимой системы векторов. Решение уравнения Ax=b и неравенства Ax<b. Условия существования и единственности решения уравнения. Обобщенные однородные и неоднородные линейные уравнения. Квадратные матрицы. Обобщенные след и определитель матрицы. Матрицы A*, A× и A+. Неравенства для степеней и определителя матрицы. Условие существования решений и общее решение однородного уравнения Ax=x с неразложимой матрицей. Лемма об общем решении неоднородного уравнения Ax+b=x. Условие существования решений и общее решение неоднородного уравнения с неразложимой матрицей. Решение однородных и неоднородных неравенств. РАЗДЕЛ III. 7. Обобщенное линейное векторное пространство Обобщенные линейные операторы Спектральные свойства линейного оператора. Собственное число и вектор матрицы оператора. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение матрицы. Нахождение собственного числа и векторов неразложимой матрицы. Собственные числа и векторы разложимой матрицы. Спектральный радиус оператора и его вычисление. 8. Сходимость итераций линейного оператора. Неравенства для обобщенной нормы, следа и собственного числа неразложимой матрицы. Теоремы сходимости для итераций линейного оператора. Формула вычисления спектрального радиуса как следствие теорем сходимости 5 итераций линейного оператора. Раздел 3. 3.1. Обеспечение учебных занятий Методическое обеспечение 3.1.1 Методические указания по освоению дисциплины Успешное освоение дисциплины возможно благодаря посещению лекций, участию в обсуждении вопросов, подготовленных к занятию, самостоятельной работе, включающей в себя чтение специальной литературы по разделам темы. 3.1.2 Методическое обеспечение самостоятельной работы Для обеспечения самостоятельной работы предоставляется список литературы для самостоятельного изучения, выкладываются материалы к занятиям в электронной форме. 3.1.3 Методика проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации и критерии оценивания Текущий контроль в виде беседы по окончанию курса. 3.1.4 Методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации (контрольно-измерительные материалы, оценочные средства) Примерный список вопросов для обсуждения состоит из вопросов, перечисленных в разделе 2.2. 3.1.4 Методические материалы для оценки обучающимися содержания и качества учебного процесса Не предусмотрено. 3.2. Кадровое обеспечение 3.2.1 Образование и (или) квалификация преподавателей и иных лиц, допущенных к проведению учебных занятий К преподаванию дисциплины могут быть допущены преподаватели, имеющие диплом о высшем образовании по соответствующему направлению. 3.2.2 Обеспечение учебно-вспомогательным и (или) иным персоналом Не предусмотрено. 3.3. Материально-техническое обеспечение 3.3.1 Характеристики аудиторий (помещений, мест) для проведения занятий Стандартно оборудованные лекционные аудитории для проведения интерактивных лекций: видеопроектор, экран, др. оборудование. 6 3.3.2 Характеристики аудиторного оборудования, в том числе неспециализированного компьютерного оборудования и программного обеспечения общего пользования Не требуется 3.3.3 Характеристики специализированного оборудования Не предусмотрено. 3.3.4 Характеристики специализированного программного обеспечения Специальных требований нет. 3.3.5 Перечень и объёмы требуемых расходных материалов Бумага формата A4, для подготовки раздаточного материала. 10 листов / на одного обучающегося. 3.4. Информационное обеспечение 3.4.1 Список обязательной литературы 1. Кривулин Н. К. Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009. 255 с 3.4.2 Список дополнительной литературы 1. Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Физматлит, 1994. 142 с. 2. Воробьев Н. Н. Экстремальная алгебра положительных матриц // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. 1967. Bd. 3, N 1. S. 39-72. 3. Воробьев Н. Н. Экстремальная алгебра неотрицательных матриц // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. 1970. Bd. 6, N 4/5. S. 303-312. 4. Кривулин Н. К. Экстремальное свойство собственного значения неразложимых матриц в идемпотентной алгебре и решение задачи размещения Ролса // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 2011. Вып. 4. С. 42-51. 5. Baccelli F., Cohen G., Olsder G.J., Quadrat J.-P. Synchronization and linearity: An algebra for discrete event systems. Chichester: Wiley, 1992. URL: https://www.rocq.inria.fr/metalau/cohen/documents/BCOQ-book.pdf (дата обращения 30.07.2012) 3.4.3 Перечень иных информационных источников Ресурсы сети Интернет. Раздел 4. Разработчики программы Кривулин Николай Кимович, профессор СПбГУ, д.ф.-м.н,. nkk@math.spbu.ru, тел. +7(812) 428-42-31