Свободные колебания системы с одной степенью свободы Задача D35 Механизм, состоящий из пяти тел и двух одинаковых пружин с жесткостью c = 12 Н/м, расположен в горизонтальной плоскости. Стержни 4 и 5 жестко скреплены с блоком 2, вращающимся на неподвижной опоре. Однородный цилиндр 1 входит в зацепление с внешним ободом блока, внутренний радиус блока зацеплен с рейкой 3, свободно скользящей в направляющих. Даны массы m1 = 8 кг, m2 = 2 кг, m3 = 10 кг, m4 = 4 кг, m5 = 1 кг и относительные размеры: радиусы R2 = 1,5r2 , радиус инерции блока 2 ρ2 = r2 , длины стержней l4 = 2R2 , l5 = 4R2 . Массой пружин пренебречь. Найти частоту собственных колебаний механизма. 4 1 5 x- 3 2 Рис. 1 Решение Используем уравнение Лагранжа 2-го рода, выбрав за обобщенную координату смещение x рейки 3 d ∂T ∂T ∂Π =− . (1) − dt ∂ ẋ ∂x ∂x Кинетическая энергия системы имеет вид T = J1 ω12 J2 ω22 m3 ẋ2 J4 ω22 J5 ω22 + + + + , 2 2 2 2 2 где J1 = m1 R12 /2, J2 = m2 ρ2 , J4 = m4 l42 /3, J5 = m5 l52 /3. Очевидно, ω2 = |ẋ|/r2 , ω1 = ω2 R2 /R1 . (2) Отсюда ẋ2 T = 2 m1 R22 m2 ρ2 m4 l42 m5 l52 + + m + + 3 2r22 r22 3r22 3r22 = ẋ2 µ . 2 C учетом числовых данных µ = 45. Найдем потенциальную энергию системы, соответствующую силам натяжения двух пружин Π=c ∆2 ∆24 + c 5, 2 2 где ∆4 , ∆5 — удлинения пружин, связанные с обобщенной координатой x, ∆4 = ϕ2 l4 , ∆5 = ϕ2 l5 . Интегрируя первое уравнение (2), получим угол поворота блока 2: ϕ2 = |x|/r2 , откуда получаем Π = cx2 l42 + l52 x2 = C , 2r22 2 где с учетом данных соотношений R2 = 1,5r2 , l4 = 2R2 , l5 = 4R2 имеем C = 9(9 + 36) = 405. Уравнение Лагранжа (1) примет вид µẍ + Cx = 0, Находим частоту свободных колебаний p p k = C/µ = 405/45 = 3 с−1.