Саратовский государственный технический университет Олимпиада школьников 10-11 классов «Прикладная математика и физика»

Саратовский государственный технический университет
Олимпиада школьников 10-11 классов
«Прикладная математика и физика»
17 апреля 2011 г.
Математика
11 класс
№1. Решите уравнение
x 4  y 4  20 x 2  28 y 2  107
в целых числах.
.
№2. Три пункта A, B и C соединены прямолинейными дорогами. К отрезку
дороги АВ примыкает квадратное поле со стороной, равной
1
АВ ; к отрезку
2
дороги ВС примыкает квадратное поле со стороной, равной ВС, а к отрезку
дороги АС примыкает прямоугольный участок леса длиной равной АС и
шириной 4 км. Площадь леса на 20 км2 больше суммы площадей квадратных
полей. Найдите площадь леса.
№3. Найдите объём четырёхугольной пирамиды MABCD, если известны
координаты её вершин A(-4;0;1), В(-2;2;1), С(4;0;1), D(1;-3;1), M(4;4;4).
№4. Середина бокового ребра правильной треугольной пирамиды находится
на расстоянии d от высоты основания, не пересекающей это боковое ребро.
При какой длине стороны основания пирамиды она будет иметь наибольшую
площадь боковой поверхности? Найдите это значение площади.
ФИЗИКА
11 класс
1.По прямому горизонтальному проводнику длиной L=1м и с
площадью поперечного сечения S=1,25·10-5м2 , подвешенному с помощью
двух одинаковых невесомых пружин с коэффициентами упругости
k=100Н/м, течет электрический ток I=10 А. При включении вертикального
магнитного поля с индукцией В=0,1 Тл проводник отклоняется от исходного
положения так, что оси пружин составляют с вертикалью угол  . На какую
величину l удлинилась каждая из пружин? (плотность материала
проводника   8  10 3 кг м 3 ).
2.Как средство перемещения космического корабля в пределах
солнечной системы предложено использовать солнечный парус –
скрепленный с аппаратом легкий экран большой площади из тонкой пленки,
которая зеркально отражает солнечный свет и ориентирована под прямым
углом к солнечным лучам. Каковы должны быть размеры паруса, чтобы сила
давления света скомпенсировала силу притяжения к Солнцу, если расстояние
между Солнцем и космическим кораблем вдвое больше, чем радиус орбиты
Земли? Принять массу корабля и паруса равной 1500 кг. Мощность W
солнечного излучения, падающего на 1м2 поверхности, перпендикулярной
солнечным лучам, составляет вблизи Земли 1370 Вт. (G=6,7 10-11 Н·м2/кг2,
расстояние между Землей и Солнцем 1,5 1011м).
3.Фотокатод, покрытый кальцием (работа выхода А=4,42·10-19Дж)
освещается светом с длиной волны   300нм . Вылетевшие из катода
электроны попадают в однородное магнитное поле с индукцией
B  4,15  10 4 Тл перпендикулярно линиям индукции этого поля. Чему равен
максимальный радиус окружности R , по которой движутся электроны?
4.Пуля летит горизонтально со скоростью v0  150 м с , пробивает
стоящий на горизонтальной поверхности льда брусок и продолжает
движение со скоростью v0 3 . Масса бруска в 10 раз больше массы пули.
Коэффициент трения скольжения между бруском и льдом   0,1 . На какое
расстояние S сместится брусок к моменту, когда его скорость уменьшится на
10% ?