×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå áåçóäàðíîãî ñèëüíîãî ñæàòèÿ ñïåöèàëüíûõ îáúåìîâ ãàçà À.Â. Ðîùóïêèí Óðàëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò ïóòåé ñîîáùåíèÿ e-mail: alex@eleview.com  ðàáîòå ðàññìîòðåíî ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ áåçóäàðíîãî ñæàòèÿ èäåàëüíîãî ïîëèòðîïíîãî ãàçà â ñëó÷àå êîãäà è ñæèìàåìûé è ñæàòûé îáúåì ãàçà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèå ïîêîÿ. Ðàñ÷åòû âåäóòñÿ êàê â îáðàòíîì òàê è â ïðÿìîì íàïðàâëåíèè èçìåíåíèÿ âðåìåíè.  ïðîâåäåííûõ ðàñ÷åòàõ ïîëó÷åíà ñòåïåíü ñæàòèÿ ãàçà â 103 104 ðàç. Ââåäåíèå. Çàäà÷à î áåçóäàðíîì ñèëüíîì ñæàòèè èäåàëüíîãî ãàçà äî ëþáîé íàïåðåä çàäàííîé êîíå÷íîé ïëîòíîñòè èíòåðåñíà â ñâÿçè ñ ïðîáëåìîé óïðàâëÿåìîãî òåðìîÿäåðíîãî ñèíòåçà. Ïîä òåðìèíîì ¾áåçóäàðíîå¿ çäåñü ïîíèìàåòñÿ, ÷òî âñå ðàññìàòðèâàåìûå òå÷åíèÿ ãàçà äîëæíû îòäåëÿòüñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî ñëàáûìè ðàçðûâàìè, íî íå óäàðíûìè âîëíàìè. Ñðåäè ðåøåíèé ýòîé çàäà÷è ìîæíî âûäåëèòü êëàññ ðåøåíèé, ïðåäëîæåííûõ À.Í. Êðàéêî â ðàáîòàõ [1-5].  ïðîñòðàíñòâå ôèçè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ r, t áóäåì ðàññìàòðèâàòü îäíîìåðíûå èçýíòðîïè÷åñêèå òå÷åíèÿ, âîçíèêàþùèå â ïîëèòðîïíîì ãàçå ñ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ p = ργ /γ . Ðàññìàòðèâàåìûå òå÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû óðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè νu (γ − 1) ct + ucr + c ur + = 0, 2 r (1) 2 ut + ccr + uur = 0. (γ − 1) qP ν+1 2 (γ−1)/2 Çäåñü t âðåìÿ, r = i=1 xi ≥ 0 ïðîñòðàíñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ, c = ρ ñêîðîñòü çâóêà, γ ïîêàçàòåëü àäèàáàòû, p äàâëåíèå, ν ïàðàìåòð ãåîìåòðèè: ν = 0 â ñëó÷àå ïëîñêèõ, ν = 1 öèëèíäðè÷åñêèõ, ν = 2 ñôåðè÷åñêèõ òå÷åíèé. Ïóñòü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = t0 ãàç ÿâëÿåòñÿ ïîêîÿùåéñÿ (u = 0) îäíîðîäíîé ñðåäîé ñ ïëîòíîñòüþ ρ, ðàâíîé 1. Ýòî ñîñòîÿíèå ãàçà íàçîâåì ñîñòîÿíèåì 1. Ñîñòîÿíèå ãàçà â ìîìåíò âðåìåíè t = t∗ > t0 òàêîå: ãàç îäíîðîäåí, åãî ïëîòíîñòü ρ ðàâíà íåêîòîðîìó ρ∗ > 1; ïðè ýòîì ãàç ïîêîèòñÿ. Ýòî ñîñòîÿíèå ãàçà íàçîâåì ñîñòîÿíèåì 2. Òîãäà çàäà÷à î áåçóäàðíîì ïåðåõîäå ¾èç ïîêîÿ â ïîêîé¿ ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: òðåáóåòñÿ íàéòè òå÷åíèÿ ãàçà, âîçíèêàþùèå ïðè áåçóäàðíîì ïåðåõîäå îäíîìåðíîãî ãàçîâîãî ñëîÿ èç ñîñòîÿíèÿ 1 â ñîñòîÿíèå 2. Äðóãèìè ñëîâàìè, òðåáóåòñÿ áåçóäàðíûì ñïîñîáîì ñæàòü ïîêîÿùèéñÿ îäíîðîäíûé ãàçîâûé ñëîé ñ ïëîòíîñòüþ ρ = 1 â ïîêîÿùèéñÿ îäíîðîäíûé ãàçîâûé ñëîé ñ ïëîòíîñòüþ ρ = ρ∗ > 1.  òàêîì âèäå çàäà÷à, ðàíåå ïðåäëîæåííàÿ À.Í. Êðàéêî ñôîðìóëèðîâàíà â ðàáîòå C.Ï. Áàóòèíà [6].  ðàáîòàõ [6-8] äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è î ïåðåõîäå ¾èç ïîêîÿ â ïîêîé¿ â ñëó÷àå, êîãäà ãàç ñæèìàåòñÿ äâóìÿ ïîðøíÿìè, îäèí èç êîòîðûõ ïîêîèòñÿ â 1 2 À.Â. Ðîùóïêèí òî÷êå ñ r = r0 > 0, à âòîðîé ñæèìàåò ãàç ñíàðóæè, òî åñòü êîîðäèíàòà âòîðîãî ïîðøíÿ âñå âðåìÿ áîëüøå r0 . Òàì æå ñêàçàíî, ÷òî ïîñêîëüêó r = r0 (êîîðäèíàòà íåïîäâèæíîãî ïîðøíÿ) ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà, òî ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è î ïåðåõîäå ¾èç ïîêîÿ â ïîêîé¿ èìååò ìåñòî è ïðè ñæàòèè ãàçîâîãî ñëîÿ èçíóòðè. Îäíàêî äîêàçàííûå òåîðåìû èìåþò ëîêàëüíûé õàðàêòåð è íå óêàçûâàþò êîíêðåòíûõ ðàçìåðîâ îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ, ÷òî íå ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü êîëè÷åñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàññû ãàçà, äëÿ êîòîðûõ âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è î ïåðåõîäå ¾èç ïîêîÿ â ïîêîé¿. Òàêèå ðàñ÷åòû äëÿ ñëó÷àÿ ñæàòèÿ îáúåìîâ ãàçà ñíàðóæè â ñòîðîíó, îáðàòíóþ óâåëè÷åíèþ âðåìåíè, ïðîâåäåíû â ðàáîòàõ [9,10]. Äëÿ ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà ïðîöåññîâ ñæàòèÿ ìèøåíåé, ïðåäëîæåííûõ Ñ.Ï. Áàóòèíûì â [11,12], òàêæå òðåáóåòñÿ: à) ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ ñæàòèÿ ãàçà èçíóòðè, á) çíàÿ çàêîí äâèæåíèÿ ñæèìàþùåãî ïîðøíÿ èç ðåøåíèÿ ¾îáðàòíîé¿ çàäà÷è âîññòàíàâëèâàòü òå÷åíèÿ, âîçíèêàþùèå ïðè åãî äâèæåíèè â ïðÿìîì íàïðàâëåíèè èçìåíåíèÿ âðåìåíè. 1. Ñæàòèå ãàçà èçíóòðè Àëãîðèòì ðàñ÷åòà ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíûì ìåòîäîì, â îñíîâó êîòîðîãî ïîëîæåí øèðîêî èçâåñòíûé ìåòîä õàðàêòåðèñòèê ñ ïåðåñ÷åòîì (ñì. íàïðèìåð [13,14]). Ðåøåíèå ñòðîèòñÿ â âèäå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñåòêè, ïîñòðîåíèå ïðîèñõîäèò â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ âðåìåíè.  ðàññ÷èòûâàåìîì òå÷åíèè âîçíèêíåò îñîáåííîñòü íà ïîðøíå â ìîìåíò èòîãîâîãî ñæàòèÿ (òî÷êà A, ðèñ. 1).  ýòîé òî÷êå èìååò ìåñòî ñêà÷îê ïëîòíîñòè îò ρ∗ äî íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ, êîòîðîå îïðåäåëèòüñÿ â êîíêðåòíûõ ðàñ÷åòàõ. Òå÷åíèå â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè ñ îñîáåííîñòüþ ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì öåíòðèðîâàííîé âîëíû Ðèìàíà, à â ñàìîé òî÷êå èìååò ìåñòî ñâÿçü (ñì.[11]): u=2 c−1 . γ−1 (2) Ñåòêà ñòðîèòñÿ ñëîÿìè, õàðàêòåðèñòèêè Cj− îïðåäåëÿþò j-ûé ñëîé. Óçëàìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñåòêè ÿâëÿþòñÿ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ õàðàêòåðèñòèê ñåìåéñòâà C + è C − . Êîîðäèíàòû ýòèõ òî÷åê è çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ãàçà â íèõ íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì ìåòîäà õàðàêòåðèñòèê. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñåòêà ñòðîèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå ôèçè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ (r, t), â äâà ýòàïà. Ïåðâûé ýòàï: ðàñ÷åò ñåòêè îò òî÷êè ñ îñîáåííîñòüþ âäîëü ñòåíêè O1 O2 è íèæå, â íàïðàâëåíèè óìåíüøåíèÿ âðåìåíè, äî òåõ ïîð ïîêà íå áóäåò äîñòèãíóòî çíà÷åíèå ïëîòíîñòè íåñæàòîãî ãàçà ρ = ρo . Âòîðîé ýòàï: ðàñ÷åò ñåòêè â îáëàñòè òå÷åíèÿ, ïðèìûêàþùåãî ê ïîêîÿùåìóñÿ íåñæàòîìó ãàçó. Ïàðàëëåëüíî ñ ýòèì äåëàåòñÿ ðàñ÷åò òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ñæèìàþùåãî ïîðøíÿ. Ïîñòðîåííàÿ òàêèì îáðàçîì òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ ïîðøíÿ äîëæíà äîñòè÷ü õàðàêòåðèñòèêè ôîíîâîãî òå÷åíèÿ Cí+ -õàðàêòåðèñòèêè. Òîãäà íà ýòîì çàêîí÷èòñÿ ïîñòðîåíèå òðàåêòîðèè ñæèìàþùåãî ïîðøíÿ è ðåøåíèÿ âñåé çàäà÷è î ïåðåõîäå ¾èç ïîêîÿ â ïîêîé¿ ¾â öåëîì¿, ïîñêîëüêó îïðåäåëèòñÿ òî÷êà (t = ts , r = rs ). Ýòà òî÷êà ëåæèò íà Cí+ -õàðàêòåðèñòèêå è èç íåå â ìîìåíò âðåìåíè t = ts ñòàðòóåò íåïðîíèöàåìûé ïîðøåíü, áåçóäàðíî ñæèìàþùèé ãàç â çàäà÷å î ïåðåõîäå ¾èç ïîêîÿ â ïîêîé¿. Ïîëó÷åííàÿ òðàåêòîðèÿ ïîðøíÿ äàëåå áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ðàñ÷åòîâ â ïðÿìîì íàïðàâëåíèè èçìåíåíèè âðåìåíè. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå áåçóäàðíîãî ñèëüíîãî ñæàòèÿ ñïåöèàëüíûõ îáúåìîâ ãàçà 3 2. Ïðÿìîé ðàñ÷åò ñæàòèÿ Ïîëó÷åííûå â ðàñ÷åòàõ Þ.Â. Íèêîëàåâà [9,10] è 1 òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ñæèìàþùåãî ïîðøíÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ â äàëüíåéøåì èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàñ÷åòîâ ñæàòèÿ ìèøåíåé, ïðåäëîæåííûõ Ñ.Ï. Áàóòèíûì â [11,12]. Äëÿ ðàçðàáîòêè ïîäõîäîâ ê ðåøåíèþ ýòîé çàäà÷à íà äàííîì ýòàïå ñäåëàíî ñëåäóþùåå: èìåÿ íà âõîäå òîëüêî òðàåêòîðèþ ñæèìàþùåãî ïîðøíÿ â âèäå êîîðäèíàò îòäåëüíûõ òî÷åê, ðåàëèçîâàí ðàñ÷åò òå÷åíèé â ïðÿìîì íàïðàâëåíèè èçìåíåíèÿ âðåìåíè, äî ìîìåíòà ñèëüíîãî ñæàòèÿ. Àëãîðèòì ðàñ÷åòà, êàê è â 1, ìåòîä õàðàêòåðèñòèê ñ ïåðåñ÷åòîì. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñåòêà ñòðîèòñÿ â äâà ýòàïà. Ïåðâûé ýòàï: ðàñ÷åò ñåòêè â îáëàñòè òå÷åíèÿ, ïðèìûêàþùåãî ê ïîêîÿùåìóñÿ íåñæàòîìó ãàçó (äî òî÷êè E , ðèñ. 1). Âòîðîé ýòàï: ðàñ÷åò ñåòêè îò òî÷êè E è âûøå âäîëü ñòåíêè O1 O2 äî òî÷êè ñ îñîáåííîñòüþ, â íàïðàâëåíèè óâåëè÷åíèÿ âðåìåíè, äî òåõ ïîð ïîêà ÷èñëåííî ïîñòðîåííûå õàðàêòåðèñòèêè C − ïåðåñåêàþòñÿ ñ òðàåêòîðèåé ñæèìàþùåãî ïîðøíÿ. Íà îáîèõ ýòàïàõ õàðàêòåðèñòèêè C − ñòðîÿòñÿ â íàïðàâëåíèè òðàåêòîðèè ñæèìàþùåãî ïîðøíÿ. 3. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ  òàáëèöå 1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ èç 1 â ñëó÷àå γ = 5/3, ν = 1. Òàáëèöà 1. m ρ∗ ∆t1 ∆t2 n δm 1 1 1000 0.00001 0.00001 1000 0.64 2 10 1000 0.00001 0.00001 1000 0.43 3 50 1000 0.00001 0.00001 50000 0.21 4 1 10000 0.000001 0.000001 100000 0.20 5 10 10000 0.000001 0.000001 100000 0.07 6 50 10000 0.000001 0.000001 500000 0.11 Çäåñü m ìàññà ñæèìàåìîãî ãàçà, ρ∗ êîíå÷íàÿ ïëîòíîñòü ñæàòèÿ, ∆t1 , ∆t2 , n ïàðàìåòðû, îòâå÷àþùèå çà òî÷íîñòü ðàñ÷åòà, δm îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ìàññ ñæàòîãî è íåñæàòîãî ãàçà.  òàáëèöå 2 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ èç 2 äëÿ òðàåêòîðèé ïîðøíÿ èç òàáëèöû 1. Òàáëèöà 2. m ∆t1 ∆t2 ρ∗∗ 1 1 0.01 0.001 1120.13 2 10 0.01 0.001 1015.38 3 50 0.01 0.001 1074.49 4 1 0.01 0.001 10035.67 5 10 0.01 0.001 10128.24 6 50 0.01 0.001 10021.40 4 À.Â. Ðîùóïêèí Çäåñü ∆t1 , ∆t2 , ïàðàìåòðû, îòâå÷àþùèå çà òî÷íîñòü ðàñ÷åòà, ρ∗∗ ìàêñèìàëüíàÿ ïëîòíîñòü, ïîëó÷åííàÿ íà ñòåíêå O1 O2 . Òàêèì îáðàçîì ÷èñëåííî ïîñòðîåíû òå÷åíèÿ, âîçíèêàþùèå â ãàçå ïðè ïåðåõîäå èç ñîñòîÿíèÿ 1 â ñîñòîÿíèå 2 ïðè ñæàòèè ãàçà èçíóòðè â íàïðàâëåíèè îáðàòíîì èçìåíåíèþ âðåìåíè.  êà÷åñòâå îäíîãî èç èñêîìûõ ýëåìåíòîâ èññëåäóåìîé çàäà÷è ðàññ÷èòàíà òðàåêòîðèÿ ñæèìàþùåãî ïîðøíÿ. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ïîëó÷åííûõ òðàåêòîðèé ïîðøíÿ ÷èñëåííî ïîñòðîåíû òå÷åíèÿ ãàçà â ïðÿìîì íàïðàâëåíèè èçìåíåíèÿ âðåìåíè. Ðèñ. 1. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñåòêà. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Êðàéêî À.Í. Î ñâîáîäíîì íåñòàöèîíàðíîì ðàñøèðåíèè èäåàëüíîãî ãàçà // Èçâ. ÐÀÍ. Ìåõàíèêà æèäêîñòè è ãàçà. 1993. ò 4. C. 155-163. [2] Êðàéêî À.Í. [3] Êðàéêî À.Í. Âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à îá îäíîìåðíîì èçýíòðîïè÷åñêîì ñæàòèè èäåàëüíîãî ãàçà// Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1993. ò 57, âûï. 5. C. 35-51. Àñèìïòîòè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè íåñòàöèîíàðíîãî ðàñøèðåíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà â ïóñòîòó // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1994. ò 58, âûï. 4. C. 70-80. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå áåçóäàðíîãî ñèëüíîãî ñæàòèÿ ñïåöèàëüíûõ îáúåìîâ ãàçà [4] Êðàéêî À.Í. [5] Êðàéêî À.Í., Òèëëÿåâà Í.È. [6] Áàóòèí Ñ.Ï. [7] Áàóòèí Ñ.Ï. [8] Áàóòèí Ñ.Ï. [9] Íèêîëàåâ Þ.Â. 5 Î íåîãðàíè÷åííîé êóìóëÿöèè ïðè îäíîìåðíîì íåñòàöèîíàðíîì ñæàòèè èäåàëüíîãî ãàçà// Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1996. ò 60, âûï. 6. C. 1000-1007. Àâòîìîäåëüíîå ñæàòèå èäåàëüíîãî ãàçà ïëîñêèì, öèëèíäðè÷åñêèì èëè ñôåðè÷åñêèì ïîðøíåì// Òåïëîôèçèêà âûñîêèõ òåìïåðàòóð. 1998. ò 36, 1. C. 120-128. Î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèé çàäà÷è À.Í. Êðàéêî // Ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà è òåõíè÷åñêàÿ ôèçèêà. 2000. ò 41, 3. Ñ. 48-55. Î âîçìîæíîñòè èçýíòðîïè÷åñêîãî ïåðåõîäà îò îäíîðîäíîãî ïîêîÿ â äðóãîå îäíîðîäíîå ïîêîÿùååñÿ ñîñòîÿíèå èäåàëüíîãî ãàçà // Äîêëàäû Àêàäåìèè íàóê, 1998, ò. 362, 5, ñ. 621-624. Ìàòåìàòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå áåçóäàðíîãî ñæàòèÿ ãàçà // Óñïåõè ìåõàíèêè, 2002, ò. 1, 2, ñ. 3-36. ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è À.Í. Êðàéêî // Âû÷èñëèòåëüíûå òåõíîëîãèè, 2005, ò. 10, 1, ñ. 90-102. [10] Íèêîëàåâ Þ.Â. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå áåçóäàðíîãî ñèëüíîãî ñæàòèÿ îäíîìåðíûõ ñëîåâ ïîëèòðîïíîãî ãàçà: Äèñ. êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê. Åêàòåðèíáóðã, 2005. 130 ñ. [11] Áàóòèí Ñ.Ï. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ áåçóäàðíîãî ñèëüíîãî ñæàòèÿ èäåàëüíîãî ãàçà. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 2007. [12] Áàóòèí Ñ.Ï. Îá îäíîé êîíñòðóêöèè ìèøåíåé äëÿ óïðàâëÿåìîãî òåðìîÿäåðíîãî ñèíòåçà // Òåçèñû ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ¾X Çàáàáàõèíñêèå íàó÷íûå ÷òåíèÿ¿. Ñíåæèíñê, ÐÔßÖ ÂÍÈÈÒÔ, 2010. Ñ. 30. [13] Æóêîâ À.È. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà õàðàêòåðèñòèê ê ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ îäíîìåðíûõ çàäà÷ ãàçîâîé äèíàìèêè // Òðóäû ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà, 1960, ò.58. [14] Ðîæäåñòâåíñêèé Á.Ë., ßíåíêî Í.Í. Ñèñòåìû êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé è èõ ïðèëîæåíèÿ ê ãàçîâîé äèíàìèêå. Ìîñêâà: Íàóêà, 1968.