Течение жидкости в деформируемом зернистом слое

Òå÷åíèå æèäêîñòè â äåôîðìèðóåìîì çåðíèñòîì ñëîå
ÓÄÊ 66.023:[532.5+536.2]
Î.Í. Êàíäàóðîâ
Течение жидкости в деформируемом
зернистом слое
Äàííîå èññëåäîâàíèå ìîæåò íàéòè ïðèìåíåíèå ïðè ðàñ÷åòå òå÷åíèÿ æèäêîñòè è ãàçà â
äåôîðìèðîâàííûõ íåôòÿíûõ ïëàñòàõ, à òàêæå
â óñòðîéñòâàõ, â êîòîðûõ æèäêîñòü ïðîòåêàåò
ñêâîçü óïðóãî äåôîðìèðóåìóþ ïîðèñòóþ ñðåäó, êàæäàÿ ÷àñòèöà êîòîðîé ïðè äåôîðìàöèè
íå ìåíÿåò ñâîåãî îáúåìà.
Äëÿ ðàññìîòðåíèÿ ýòîé çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé ìîäåëüþ, ïîêàçàííîé íà ðèñóíêå 1. Âûÿñíèì çàâèñèìîñòü ðàñõîäà u íåñæèìàåìîé æèäêîñòè îò âíåøíåãî äàâëåíèÿ
Pvne, âûçûâàþùåãî óïðóãóþ äåôîðìàöèþ ïîðèñòîé çàñûïêè ïðè ãèäðàâëè÷åñêîì ïåðåïàäå
äàâëåíèÿ ∆P.
Vсвободного
Vобщий
ε=
Ââèäó òîãî, ÷òî ïðè ñæàòèè ïëîùàäü íå
ìåíÿåòñÿ, à ñæàòèå ïðîèñõîäèò òîëüêî çà ñ÷åò
óìåíüøåíèÿ ñâîáîäíîãî ïðîñòðàíñòâà ìåæäó
÷àñòèöàìè, ïîðèñòîñòü ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:
∆L
,
L
ε = ε0 −
ãäå å0 – ïîðèñòîñòü çàñûïêè íå â ñæàòîì ñîñòîÿíèè. Îòñþäà
ε = ε0 − 1 + e
−
Pvne
E
.
(1.2)
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàñõîäà ñêâîçü ñæèìàåìóþ
çàñûïêó âîñïîëüçóåìñÿ ïðàêòè÷åñêîé ôîðìóëîé, ðåçóëüòàòû êîòîðîé íàèáîëåå áëèçêè
ê ýêñïåðèìåíòàëüíûì. Ýòî äâó÷ëåííàÿ ôîðìóëà óðàâíåíèÿ Ýðãàíà [1]
∆P
(1 − ε) 2 µu
1 − ε ρu 2
= 150
+
1
.
75
,
L0
ε 3d 2
ε3 d
êîýôôèöèåíòû 150 è 1,75 â êîòîðîé ïîäîáðàíû íà îñíîâàíèè ìíîãî÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ðàçëè÷íûõ àâòîðîâ.
Çäåñü L0 – âûñîòà ñëîÿ, ÷åðåç êîòîðûé ïðîèñõîäèò ïðîòåêàíèå æèäêîñòè; ∆P – ïåðåïàä
äàâëåíèÿ æèäêîñòè; d – äèàìåòð ÷àñòèö â çàñûïêå; µ – âÿçêîñòü æèäêîñòè; ρ – ïëîòíîñòü
æèäêîñòè; u – ðàñõîäíàÿ ñêîðîñòü ïîòîêà.
Äëÿ íàøåé ìîäåëè
L0 = L − ∆L ,
ò.å.
Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòü îò âíåøíåãî äàâëåíèÿ Pvne
Çàñûïêà âûïîëíåíà èç óïðóãèõ ÷àñòèö 1
îäèíàêîâîãî äèàìåòðà d è âûñîòîé L, êîòîðàÿ
ïîä âîçäåéñòâèåì âíåøíåãî äàâëåíèÿ Pvne ñïîñîáíû äåôîðìèðîâàòüñÿ. Ïðè ýòîì âûñîòà çàñûïêè ìåíÿåòñÿ íà ∆L . Ñêâîçü ýòîò ñëîé ïðîòåêàåò æèäêîñòü. Ïåðåïàä äàâëåíèÿ ∆P ïðè
ïðîòåêàíèè æèäêîñòè ÷åðåç âíåøíèé ñëîé ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííûì.
Äëÿ íàøåé ìîäåëè ïðè òàêîé íåëèíåéíîé
äåôîðìàöèè çàêîí Ãóêà èìååò âèä:
Pvne = E ln(
L
),
L − ∆L
L0 = Le
−
Pvne
E
.
(1.4)
Ðåøèâ óðàâíåíèå (1.3) îòíîñèòåëüíî u è ïîäñòàâèâ â íåãî âûðàæåíèÿ (1.2) è (1.4) ïîëó÷èì
çàâèñèìîñòü u îò Pvne êàê ðåøåíèå êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ:
(1.1)
P
Pvne
− vne
E (2 − ε − e E )2µ
0
±
P
− vne
(ε0 −1+ e E )3
−
−
ãäå E – ìîäóëü Þíãà äëÿ äåôîðìèðóåìîé çàñûïêè (âåùåñòâà).
u=
150Le
−
150Le
(
Pvne
E
−
(2 − ε0 − e
−
(ε0 −1+ e
∆L =
E )2µ
E )3d2
2 − ε0 − e
−
(ε0 −1 + e
Pvne
Pvne
−
3.5Lρ
Îòñþäà
P
− vne
L − Le E
(1.3)
Pvne
E
−
)2 + 7∆PLe
−
Pvne
E
ρ
2 − ε0 − e
−
ε0 −1+ e
Pvne
E
Pvne
E
.
(1.5)
Pvne
E )3d
Ïîëüçóÿñü ôèçè÷åñêèì ñìûñëîì (ïðè óâåëè÷åíèè âíåøíåãî äàâëåíèÿ Pvne ðàñõîä äîëæåí óìåíüøàòüñÿ), âìåñòî çíàêà ïëþñ-ìèíóñ
â ôîðìóëå îñòàâëÿåì çíàê +. Ïðè ýòîì íå íóæíî çàáûâàòü, ÷òî Pvne ìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ âû-
.
Ïîðèñòîñòü ïî îïðåäåëåíèþ åñòü îòíîøåíèå ñâîáîäíîãî îò ÷àñòèö îáúåìà êî âñåìó
îáúåìó, ò.å.
97
ÔÈÇÈÊÀ
Ðàñõîäíàÿ ñêîðîñòü
ïîëíåíèÿ çàêîíà Ãóêà è, ñîîòâåòñòâåííî, âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ 0 ≤ ε ≤ ε 0 , à òàêæå âíåøíåå
äàâëåíèå, âûçûâàþùåå äåôîðìàöèþ çàñûïêè,
äîëæíî áûòü ìíîãî áîëüøå äàâëåíèÿ æèäêîñòè îêàçûâàåìîãî íà çàñûïêó.
Ðàññìàòðèâàÿ êðèòåðèé Ðåíîëüäñà, âî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ ñëó÷àÿõ èìååì âÿçêèé õàðàêòåð òå÷åíèÿ, ò.å. êâàäðàòè÷íûì ÷ëåíîì â
äâó÷ëåííîé ôîðìóëå (1.3) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
Òîãäà çàâèñèìîñòü u îò Pvne áóäåò èìåòü áîëåå
ïðîñòîé âèä:
u=
∆ P (ε 0 − 1 + e
150 Le
−
Pvne
E
−
Pvne
E )3 d 2
(2 − ε 0 − e
−
Pvne
E )2 µ
.
(1.6)
Ïðèìåíèâ ýòó ôîðìóëó, ïîñòðîèì ãðàôèê
äëÿ îäíîãî èç ïðàêòè÷åñêèõ ñëó÷àåâ.
Çåðíèñòûé ñëîé òîëùèíîé 0,01 ì, ñîñòîÿùèé èç ðåçèíîâûõ øàðèêîâ îäèíàêîâûõ äèàìåòðîâ d = 0.002 ì ñ ìîäóëåì Þíãà Å = 108 ,
ñæèìàåòñÿ ðåøåòêàìè. ×åðåç íåãî ïðîòåêàåò
âîäà òåìïåðàòóðû 20 0Ñ. Ïåðåïàä äàâëåíèÿ
æèäêîñòè ïîñòîÿíåí è ðàâåí ∆P = 105. Ê ðåøåòêàì ïðèêëàäûâàåòñÿ âíåøíåå äàâëåíèå â
äèàïàçîíå Pvne îò 2*105 äî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, ïðè êîòîðîì ïîðèñòîñòü äåôîðìèðîâàííîãî ñëîÿ ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ, ýòî íàõîäèòñÿ èç ôîðìóëû (1.1) ïðè ∆L=å 0L. Äëÿ
ðåøåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì, ÷òî õàîòè÷íî óïàêîâàííàÿ ñòðóêòóðà èç øàðîâ îäèíàêîâîãî äèàìåòðà èìååò ïîðèñòîñòü ε = 0.4.  íàøåì ñëó÷àå ýòî ε0. Ïîëó÷èâøèéñÿ ãðàôèê,
ïîêàçàííûé íà ðèñóíêå 3, èëëþñòðèðóåò ðåçóëüòàò çàäà÷è.
 ðåçóëüòàòå ïðîâåäåííûõ ðàñ÷åòîâ èññëåäîâàíà çàâèñèìîñòü ðàñõîäà ñêâîçü óïðóãî ñæèìàåìûé çåðíèñòûé ñëîé.
Ñëåäóåò îòìåòèòü íåêîòîðûå îñîáåííîñòè
ïðèìåíåíèÿ ôîðìóëû (1.6). Âî-ïåðâûõ, òå÷åíèå äîëæíî áûòü âÿçêèì, à ýòî íàêëàäûâàåò
îãðàíè÷åíèÿ íà ïðåäåëüíûå ðàñõîäíûå ñêîðîñ-
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü ðàñõîäà u
ñêâîçü çåðíèñòûé ñëîé
îò âíåøíåãî äàâëåíèÿ Pvne
òè. À åñëè âñå-òàêè òå÷åíèå èìååò øèðîêèé
äèàïàçîí ÷èñåë Ðåíîëüäñà, ò.å. â îäíîì ñîñòîÿíèè ìàêñèìàëüíîå âîçäåéñòâèå íà òîðìîæåíèå ïîòîêà îêàçûâàþò ñèëû âÿçêîñòè, à â äðóãîì ñèëû èíåðöèè èëè îäíîâðåìåííî, òî ñëåäóåò
ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (1.5). Âî-âòîðûõ, ïîòîê
äîëæåí áûòü îáÿçàòåëüíî èçîòåðìè÷åñêèì. Âòðåòüèõ, êàê óæå áûëî ñêàçàíî âûøå,
ðàññìîòðåíî âëèÿíèå óïðóãîé äåôîðìàöèè çåðíèñòîãî ñëîÿ, ïðè êîòîðîé äîëæåí ñîáëþäàòüñÿ
çàêîí Ãóêà.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ýòîò äèàïàçîí ìîæåò óìåíüøàòü ïîðèñòîñòü âñåãî íà
íåñêîëüêî ïðîöåíòîâ, íî â óñòðîéñòâàõ ïðè
ïðèìåíåíèè çåðíèñòîãî ñëîÿ èç óïðóãèõ ýëàñòè÷íûõ ÷àñòèö ïîðèñòîñòü ìîæåò äîñòèãàòü
íóëåâûõ çíà÷åíèé. À ýòî çíà÷èò, ÷òî ðàñõîäíûå ñêîðîñòè ìîãóò ìåíÿòüñÿ â øèðîêîì äèàïàçîíå è äîñòèãàòü íóëåâûõ çíà÷åíèé, ÷òî èëëþñòðèðóåò ãðàôèê ðèñóíêå 2, ïîñòðîåííûé äëÿ
ñëîÿ, ñîñòîÿùåãî èç ðåçèíîâûõ øàðèêîâ. Ýòîò
ýôôåêò ìîæåò øèðîêî èñïîëüçîâàòüñÿ â
òåõíèêå.
Ëèòåðàòóðà
1. Ergun S., Îrning A.A. Ind. Eng. Chem., 1949.
V. 41. P. 1179.
2. Chem. Eng. Progr., 1952. V. 48. P. 227.
98