ÒÅÌÀ 1. Ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà Öåëü è çàäà÷è Öåëü êîíòåíòà òåìû 1 íàó÷èòü ÷èòàòåëÿ èññëåäîâàòü àíàëèòè÷åñêè ìîäåëü ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà, îñíîâàííóþ íà àíàëèçå çàäàííûõ ïðåäïî÷òåíèé ïîòðåáèòåëÿ. Çàäà÷è êîíòåíòà òåìû 1: • Ïðåäñòàâèòü ôîðìàëèçîâàííîå îïèñàíèå ïðîñòåéøåé ýêîíîìèêîìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà. • Ïîñòðîèòü ôóíêöèè ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ôóíêöèé ïîëåçíîñòè. • Ïðîäåìîíñòðèðîâàòü òåõíèêó àíàëèòè÷åñêîãî ïðîâåäåíèÿ ñðàâíèòåëüíî-ñòàòè÷åñêîãî àíàëèçà (àíàëèçà íà ÷óâñòâèòåëüíîñòü) â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ïîòðåáèòåëüñêîãî ïîâåäåíèÿ. • Ïîêàçàòü àëãîðèòì è ïðèìåð ðàñ÷åòà ýôôåêòà çàìåùåíèÿ è ýôôåêòà äîõîäà (ïî Ñëóöêîìó). Îãëàâëåíèå 1.1. Áþäæåòíîå ìíîæåñòâî. Ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ è ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè 1.2. Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ (äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ïðåäïî÷òåíèé. 1.3. Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå ê 1.2. 1.4. Ñðàâíèòåëüíàÿ ñòàòèêà â ìîäåëè ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà. Êðèâûå "äîõîä ïîòðåáëåíèå", "öåíà ïîòðåáëåíèå", êðèâàÿ ñïðîñà. 1.5. Ýôôåêò çàìåùåíèÿ è ýôôåêò äîõîäà (ïî Ñëóöêîìó). 1.6. Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå ê 1.5. 1.1. Áþäæåòíîå ìíîæåñòâî. Ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ è ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè Îñíîâíîå ñîäåðæàòåëüíîå ïðåäïîëîæåíèå ïðîñòåéøåé ìîäåëè ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà: ïîòðåáèòåëü âûáèðàåò "ëó÷øèé" íàáîð èç ÷èñëà òåõ, 1 êîòîðûå îí ìîæåò ñåáå ïîçâîëèòü. Ïóñòü èìååòñÿ äâà òîâàðà, x1 è x2 êîëè÷åñòâî òîâàðà 1 è 2 ñîîò2 âåòñòâåííî, x = (x1 , x2 ) ∈ R+ ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð (consumption bundle). Ïóñòü èçâåñòíû öåíû p1 > 0 è p2 > 0 ðàññìàòðèâàåìûõ òîâàðîâ, p = (p1 , p2 ), m > 0 äåíåæíàÿ ñóììà, êîòîðóþ ìîæåò èçðàñõîäîâàòü ïîòðåáèòåëü (äîõîä). p1 x1 + p2 x2 = px ≤ m (1.1.1) áþäæåòíîå îãðàíè÷åíèå ïîòðåáèòåëÿ. 2 B = B(p1 , p2 , m) = {x ∈ R+ | px ≤ m} (1.1.2) áþäæåòíîå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ïîòðåáèòåëüñêèõ íàáîðîâ, äîñòóïíûõ ïðè äàííûõ öåíàõ è äîõîäå. Êîëè÷åñòâî 6 òîâàðà 2 m q p2 − → p = (p1 , p2 ) H HH x2 0 ¢̧ ¢ H¢q HH qx H HH m HHqp1 Êîëè÷åñòâî òîâàðà 1 H x1 Ðèñ. 1.1.1. Áþäæåòíîå ìíîæåñòâî ïîòðåáèòåëÿ (1.1.2) Èñïîëüçîâàííîå âûøå ïðåäïîëîæåíèå î íàëè÷èè âñåãî äâóõ òîâàðîâ íå ñëèøêîì îãðàíè÷èâàåò èññëåäîâàòåëÿ.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî âûäåëèòü íåêîòîðûé òîâàð (òîâàð 1) èç ìíîæåñòâà èìåþùèõñÿ è ïîíèìàòü ïîä òîâàðîì 2 âñå îñòàëüíûå òîâàðû. Èíîãäà ïîëàãàþò, ÷òî p2 = 1, è â ýòîì ñëó÷àå x2 äåíåæíàÿ ñóììà, êîòîðóþ ïîòðåáèòåëü ìîæåò èñòðàòèòü íà âñå òîâàðû, êðîìå òîâàðà 1, à áþäæåòíîå îãðàíè÷åíèå èìååò âèä p1 x1 + x2 ≤ m. Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà áþäæåòíîãî ìíîæåñòâà: p1 óãëîâîé êîýôôèöèåíò áþäæåòíîé ëèíèè (åå íàêëîí èëè àëüp2 òåðíàòèâíûå èçäåðæêè ïîòðåáëåíèÿ òîâàðà 1); • − • B(tp1 , tp2 , tm) = B(p1 , p2 , m) ∀ t > 0; • èçìåíåíèå äîõîäà âûçûâàåò ïàðàëëåëüíûé ñäâèã áþäæåòíîé ëèíèè, à èçìåíåíèå îäíîé èç öåí åå ïîâîðîò. 2 Åñëè èçìåðÿòü öåíó òîâàðà 1 è äîõîä îòíîñèòåëüíî öåíû1 òîâàðà 2, òî óðàâíåíèå áþäæåòíîé ëèíèè óäîáíî çàïèñàòü â âèäå p1 x1 + p2 x2 = m (1.1.3) p1 m x1 + x2 = . p2 p2 (1.1.4)  ýòîì ñëó÷àå òîâàð 2 ñòàíîâèòñÿ òîâàðîì-èçìåðèòåëåì (à åãî öåíà ñòàíîâèòñÿ åäèíè÷íîé).  ìèêðîýêîíîìèêå èñïîëüçóþò äâà îñíîâíûõ ïîäõîäà ê ìîäåëèðîâàíèþ ïîâåäåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ: • choice-based approach (ïðîãíîç ïîâåäåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ íà îñíîâå àíàëèçà íàáëþäàåìûõ âûáîðîâ èëè "âûÿâëåííûõ ïðåäïî÷òåíèé"); • preference-based approach (ïðåäïîëàãàåò, ÷òî êàæäûé ïîòðåáèòåëü èìååò è èñïîëüçóåò ïðè îñóùåñòâëåíèè âûáîðà ñâîþ ñèñòåìó ïðåäïî÷òåíèé íà ìíîæåñòâå âñåõ ïîòðåáèòåëüñêèõ íàáîðîâ). Ðàññìîòðèì äàëåå âòîðîé ïîäõîä. 2 Ïóñòü x è y èç R+ íåêîòîðûå ïîòðåáèòåëüñêèå íàáîðû. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ êîíêðåòíîãî ïîòðåáèòåëÿ âûïîëíåíà ðîâíî îäíà èç ñëåäóþùèõ àëüòåðíàòèâ: • ïîòðåáèòåëü ñòðîãî ïðåäïî÷èòàåò íàáîð x íàáîðó y (x  y ); • y  x; • ïîòðåáèòåëþ áåçðàçëè÷íî, êàêîé èç ýòèõ äâóõ íàáîðîâ âûáðàòü (x ∼ y). Åñëè íàáîð x "ïî êðàéíåé ìåðå òàê æå õîðîø" äëÿ ïîòðåáèòåëÿ, êàê íàáîð y (ò. å. x  y èëè x ∼ y ), òî ãîâîðÿò, ÷òî ïîòðåáèòåëü ñëàáî ïðåäïî÷èòàåò íàáîð x íàáîðó y (x % y ). Ñëåäóþùèå òðè ñâîéñòâà (àêñèîìû) ïîòðåáèòåëüñêèõ ïðåäïî÷òåíèé ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíåíûìè âñåãäà: • àêñèîìà ïîëíîé óïîðÿäî÷åííîñòè (ñðàâíèìîñòè): 2 ∀ x, y ∈ R+ âûïîëíåíî, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíî èç äâóõ îòíîøåíèé: x % y , y % x; 2 • àêñèîìà ðåôëåêñèâíîñòè: x % x ∀ x ∈ R+ ; 1 "38 ïîïóãàåâ äëèíà îäíîãî óäàâà". 3 • àêñèîìà òðàíçèòèâíîñòè: åñëè x % y è y % z , òî 2 x % z∀ x, y, z ∈ R+ . Èíîãäà óäîáíî ïðèíÿòü, ÷òî ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ äîïîëíèòåëüíî óäîâëåòâîðÿþò îäíîìó èëè íåñêîëüêèì èç ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ: 2 • ñâîéñòâî íåïðåðûâíîñòè: ∀ y ∈ R+ ìíîæåñòâà {x | x % y} è {x | y % x} çàìêíóòû; • ñâîéñòâî ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè (ñâîéñòâî íåíàñûùåíèÿ): 2 ∀ x, y ∈ R+ åñëè x1 ≥ y1 , x2 ≥ y2 , x 6= y, òî x  y; • ñâîéñòâî âûïóêëîñòè: 2 ∀ x, y, z ∈ R+ , åñëè x % z, y % z, 0 ≤ t ≤ 1, òî tx+(1−t)y % z; • ñâîéñòâî ëîêàëüíîãî íåíàñûùåíèÿ (local nonsatiation): 2 ∀ x ∈ R+ , ε > 0 ∃ y ∈ Sε (x) (ò. å. ρ(x, y) < ε) : y  x. 2 Êðèâàÿ áåçðàçëè÷èÿ (indirence curve) γ , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç x ∈ R+ , 2 ñîåäèíÿåò âñå òî÷êè x ∈ R+ , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ: x ∼ x. Èíîãäà óäîáíî ðàññìàòðèâàòü êðèâóþ áåçðàçëè÷èÿ γ , ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç x ∈ R2 , êàê ãðàôèê ôóíêöèè x2 (x1 ), x1 > 0, çíà÷åíèå êîòîðîé äëÿ êàæäîãî ïîëîæèòåëüíîãî x1 îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ: (x1 , x2 (x1 )) ∼ (x1 , x2 ). Îòìåòèì, ÷òî åñëè x  y , òî ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûå áåçðàçëè÷èÿ íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ñåìåéñòâî êðèâûõ áåçðàçëè÷èÿ îäíîãî ïîòðåáèòåëÿ â ïðîñòðàíñòâå 2 R+ ïîòðåáèòåëüñêèõ íàáîðîâ íàçûâàþò êàðòîé áåçðàçëè÷èÿ. x2 6 2 |x % x} {x ∈ R+ x q γ - 0 x1 Ðèñ. 1.1.2. Êðèâàÿ áåçðàçëè÷èÿ è ñëàáî ïðåäïî÷èòàåìîå ìíîæåñòâî 2 Äëÿ êàæäîãî x ∈ R+ ñëàáîïðåäïî÷èòàåìîå ìíîæåñòâî (upper con2 tour set) {x ∈ R+ | x % x} ñîäåðæèò âñå ïîòðåáèòåëüñêèå íàáîðû, êîòîðûå, ïî êðàéíåé ìåðå, òàê æå õîðîøè äëÿ ïîòðåáèòåëÿ, êàê íàáîð x. 4 Ïðèâåäåì íèæå ïðèíÿòûå â ýêîíîìè÷åñêîé òåîðèè îïðåäåëåíèÿ íåêîòîðûõ êîíêðåòíûõ òèïîâ ïðåäïî÷òåíèé ïîòðåáèòåëÿ. Åñëè ïîòðåáèòåëü ãîòîâ çàìåùàòü îäèí èç òîâàðîâ â ñâîåì ïîòðåáèòåëüñêîì íàáîðå äðóãèì òîâàðîì â ïîñòîÿííîé ïðîïîðöèè, ýòè äâà òîâàðà íàçûâàþò ñîâåðøåííûìè çàìåíèòåëÿìè, èëè ñóáñòèòóòàìè(perfect substitutes). Îòìåòèì, ÷òî îòìå÷åííîå ñâîéñòâî, êàê è ñëåäóþùèå, îòíîñèòñÿ â áîëüøåé ñòåïåíè íå ê ñàìèì òîâàðàì, à ê îòíîøåíèþ ðàññìàòðèâàåìîãî ïîòðåáèòåëÿ ê äàííûì òîâàðàì, ò. å. ê åãî ïðåäïî÷òåíèÿì. Ñîâåðøåííûå êîìïëåìåíòû, èëè âçàèìîäîïîëíÿþùèå òîâàðû (perfect complements), ýòî òàêèå òîâàðû, êîòîðûå ïîòðåáèòåëü âñåãäà ñòðåìèòñÿ èñïîëüçîâàòü âìåñòå (â êîìïëåêòå), â ïîñòîÿííîé ïðîïîðöèè. Ïðåäåëüíàÿ íîðìà çàìåùåíèÿ MRS (áëàãîì 1 áëàãà 2): ¯ ∆x2 ¯¯ • M RS = lim = x02 (x1 ); ∆x1 →0 ∆x1 ¯x∈γ (1.1.5) • |M RS| ïðèáëèæåííî ïîêàçûâàåò êîëè÷åñòâî áëàãà 2, îò êîòîðîãî ïîòðåáèòåëü ãîòîâ îòêàçàòüñÿ âçàìåí íà óâåëè÷åíèå êîëè÷åñòâà áëàãà 1 íà åäèíèöó; • òàíãåíñ óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíîé ê êðèâîé áåçðàçëè÷èÿ; • ïðåäåëüíàÿ ãîòîâíîñòü ïëàòèòü çà äîïîëíèòåëüíîå ïîòðåáëåíèå áëàãà 1. Êîëè÷åñòâî 6 áëàãà 2 x2 qx qx x2 0 x1 x1 γ - Êîëè÷åñòâî áëàãà 1 Ðèñ. 1.1.3. Ê îïðåäåëåíèþ M RS â òî÷êå x: x ∼ x, ∆x1 = x1 − x1 , ∆x2 = x2 − x2 Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïðåäïî÷òåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ ïåðâîìó çàêîíó Ãîññåíà, ïðåäåëüíàÿ íîðìà çàìåùåíèÿ (áëàãîì 1 áëàãà 2) ¯ ∆x2 ¯¯ M RS = lim ∆x1 ∆x1 ¯x∈γ óáûâàåò ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ïðè äâèæåíèè ïî êðèâîé áåçðàçëè÷èÿ γ â íàïðàâëåíèè âîçðàñòàíèÿ êîëè÷åñòâà ïåðâîãî áëàãà x1 . 5 Óäîáíûì ñïîñîáîì îïèñàíèÿ ïðåäïî÷òåíèé ïîòðåáèòåëÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè ïîòðåáèòåëÿ. Òåîðåìà 1.1.1(î ñóùåñòâîâàíèè ôóíêöèè ïîëåçíîñòè). 2 Åñëè ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ íà ìíîæåñòâå R+ ïîòðåáèòåëüñêèõ íàáîðîâ óäîâëåòâîðÿþò àêñèîìàì: • ïîëíîé óïîðÿäî÷åííîñòè, • ðåôëåêñèâíîñòè, • òðàíçèòèâíîñòè, • íåïðåðûâíîñòè, • ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè, 2 òî ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè u: R+ → R1 , ïðåäñòàâëÿþùàÿ ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ, ò. å.: 2 ∀ x, y ∈ R+ : u(x) > u(y) ⇔ x  y. (1.1.6) Çàìå÷àíèå 1.1.1. Ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ, îïðåäåëÿåòñÿ íå åäèíñòâåííûì îáðàçîì. À èìåííî, åñëè 2 u : R+ → R1 , ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè, f : R1 → R1 , âîçðàñòàþùàÿ 2 ôóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé, òî f (u(x)), x ∈ R+ , òàêæå ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè (ïðåäñòàâëÿþùàÿ òå æå ñàìûå ïðåäïî÷òåíèÿ). Ãðàôèê ôóíêöèè ïîëåçíîñòè èíîãäà íàçûâàþò "ãîðîé óäîâîëüñòâèé". Êðèâûå áåçðàçëè÷èÿ ÿâëÿþòñÿ ëèíèÿìè óðîâíÿ ôóíêöèè ïîëåçíîñòè. Ïðåäåëüíàÿ ïîëåçíîñòü áëàãà 1 M U1 = u0x1 = ∂u(x) ∂x1 (1.1.7) çàâèñèò îò âûáîðà ôóíêöèè ïîëåçíîñòè, ïðåäñòàâëÿþùåé ïðåäïî÷òåíèÿ. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðåäåëüíàÿ íîðìà çàìåùåíèÿ íå çàâèñèò îò âûáîðà ôóíêöèè ïîëåçíîñòè, ïðåäñòàâëÿþùåé ïðåäïî÷òåíèÿ. Êðîìå òîãî, ïðåäåëüíàÿ íîðìà çàìåùåíèÿ ñâÿçàíà ñ ïðåäåëüíûìè ïîëåçíîñòÿìè ñëåäóþùåé ôîðìóëîé: ∂u(x) M U1 ∂x1 =− . (1.1.8) M RS = x02 (x1 ) = − ∂u(x) M U2 ∂x2 Äëÿ òîãî, ÷òîáû "ðàñïîçíàòü" ïðåäïî÷òåíèÿ, ïðåäñòàâëåííûå ðàçëè÷íûìè ôóíêöèÿìè ïîëåçíîñòè u è v , äîñòàòî÷íî: 6 • ïîäñ÷èòàòü MRS äëÿ u è υ , èñïîëüçóÿ (1.1.8), è ñðàâíèòü èõ; • åñëè MRS äëÿ ôóíêöèé u è υ îäèíàêîâû, òî èì ñîîòâåòñòâóþò îäíè è òå æå êðèâûå áåçðàçëè÷èÿ; • åñëè, êðîìå òîãî, íàïðàâëåíèå âîçðàñòàíèÿ ïðåäïî÷òåíèé äëÿ u è υ îäíî è òî æå, òî ýòè ôóíêöèè ïðåäñòàâëÿþò îäíè è òå æå ïðåäïî÷òåíèÿ. Ïðèìåðû ôóíêöèé ïîëåçíîñòè: • ñîâåðøåííûå çàìåíèòåëè u(x1 , x2 ) = ax1 + bx2 , a > 0, b > 0, M RS = − a b x2 (1.1.9) 6 HH H HH HH H HH H HH HH 0 H H HH H - x1 Ðèñ. 1.1.4. Êàðòà áåçðàçëè÷èÿ äëÿ (1.1.9), a = 1, b = 2 • âçàèìîäîïîëíÿþùèå òîâàðû u(x1 , x2 ) = min{ax1 , bx2 }, a > 0, b > 0, (1.1.10) M RS = ∞ èëè M RS = 0 x2 6 x2 = pp ppp p p ppp ppp p p ppp ppp p p ppp ppp p a x1 b 0 - x1 Ðèñ. 1.1.5. Êàðòà áåçðàçëè÷èÿ äëÿ (1.1.10), a = 1, b = 2 • êâàçèëèíåéíûå ïðåäïî÷òåíèÿ u(x1 , x2 ) = υ(x1 ) + x2 , M RS = −υ 0 (x1 ) 7 (1.1.11) x2 6 - 0 x1 Ðèñ. 1.1.6. Êàðòà áåçðàçëè÷èÿ äëÿ (1.1.11), v(x1 ) = √ x1 • ïðåäïî÷òåíèÿ Êîááà-Äóãëàñà u(x1 , x2 ) = xc1 · xd2 , c > 0, d > 0, M RS = − (1.1.12) cx2 dx1 x2 6 - 0 x1 Ðèñ. 1.1.7. Êàðòà áåçðàçëè÷èÿ äëÿ (1.1.12) Ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ 1.1.1, ïðåäïî÷òåíèÿ Êîááà-Äóãëàñà ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ ôóíêöèé ïîëåçíîñòè: 1.2. υ(x1 , x2 ) = c ln x1 + d ln x2 , (1.1.13) u e(x1 , x2 ) = xa1 x1−a 2 , 0 < a < 1. (1.1.14) Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ (äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ïðåäïî÷òåíèé) Ïóñòü B(p1 , p2 , m) áþäæåòíîå ìíîæåñòâî ïîòðåáèòåëÿ, 2 u(x), x ∈ R+ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ïðåäïî÷òåíèÿ äàííîãî ïîòðåáèòåëÿ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðàöèîíàëüíûé ïîòðåáèòåëü âûáèðàåò ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð x∗ = x∗ (p1 , p2 , m), äîñòàâëÿþùèé ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå åãî ôóíêöèè ïîëåçíîñòè íà 8 áþäæåòíîì ìíîæåñòâå. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îïòèìàëüíûé (èëè ðàâíîâåñíûé) ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð x∗ (consumer's demanded bundle) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è óñëîâíîé îïòèìèçàöèè: ( u(x∗ ) = max u(x); 2 p1 x1 + p2 x2 ≤ m, x ∈ R+ . (1.2.1) Åñëè çàäà÷à îïòèìàëüíîãî âûáîðà ïîòðåáèòåëÿ (1.2.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x∗ (p1 , p2 , m) äëÿ ëþáîãî âåêòîðà (p1 , p2 , m) ñ ïîëîæèòåëüíûìè êîìïîíåíòàìè, ñîîòâåòñòâóþùóþ âåêòîðíóþ ôóíêöèþ x∗ (p1 , p2 , m) = (x∗1 (p1 , p2 , m), x∗2 (p1 , p2 , m)) íàçûâàþò ôóíêöèåé ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ (consumer's demand function). Èç âòîðîé òåîðåìû Âåéåðøòðàññà ñëåäóåò, ÷òî çàäà÷à (1.2.1) âñåãäà èìååò ðåøåíèå. Êðîìå òîãî, ôóíêöèÿ ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé (íóëåâîé ñòåïåíè): x∗ (p1 , p2 , m) = x∗ (tp1 , tp2 , tm) ∀ t > 0. (1.2.2) Ïðè îïðåäåëåííûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ î ïðåäïî÷òåíèÿõ ïîòðåáèòåëÿ ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è (1.2.1) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì: Ñâîéñòâî 1.2.1. Åñëè ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ óäîâëåòâîðÿþò ñâîéñòâó "local nonsatiation", îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð ëåæèò íà áþäæåòíîé ëèíèè, ò. å. p1 x∗1 + p2 x∗2 = m. Ñâîéñòâî 1.2.2. Åñëè ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ óäîâëåòâîðÿþò ñâîéñòâó ñòðîãîé âûïóêëîñòè, çàäà÷à (1.2.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x∗ (p1 , p2 , m). Ñâîéñòâî 1.2.3. Åñëè âûïîëíåíî ñâîéñòâî 1.2.2 è, êðîìå òîãî, x∗1 > 0, x∗2 > 0 (òàê íàçûâàåìîå âíóòðåííåå èëè íå óãëîâîå ðåøåíèå), áþäæåòíàÿ ëèíèÿ êàñàåòñÿ íàèáîëåå ïðèâëåêàòåëüíîé äëÿ ïîòðåáèòåëÿ êðèâîé áåçðàçëè÷èÿ γ â òî÷êå x∗ (ñì. ðèñ. 1.2.1). x2 m p2 x∗2 6 Q Q Q Q q Q Q Q Q Q γ - m x∗1 0 x1 p1 ∗ Ðèñ. 1.2.1. Âíóòðåííåå ðåøåíèå x çàäà÷è (1.2.1) ïðè ñòðîãî-âûïóêëûõ ïðåäïî÷òåíèÿõ òî÷êà êàñàíèÿ áþäæåòíîé ëèíèè è êðèâîé áåçðàçëè÷èÿ 9 Âàæíîå ñâîéñòâî 1.2.3, êîòîðîå ìîæåò áûòü äîêàçàíî ìåòîäîì Ëàãðàíæà, èíîãäà çàïèñûâàþò â ñëåäóþùèõ ôîðìàõ, êàæäàÿ èç êîòîðûõ äîïóñêàåò îïðåäåëåííóþ ýêîíîìè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ: • M RS = − p1 â òî÷êå x∗ , p2 (ò. å. äëÿ îïòèìàëüíîãî íàáîðà ïðåäåëüíàÿ íîðìà çàìåùåíèÿ ðàâíà ýêîíîìè÷åñêîé íîðìå çàìåùåíèÿ); • p1 M U1 = â òî÷êå x∗ ; p2 M U2 M U2 M U1 = â òî÷êå x∗ , p1 p2 (ò. å. ïðåäåëüíàÿ ïîëåçíîñòü, îòíåñåííàÿ ê öåíå òîâàðà, îäèíàêîâà äëÿ âñåõ ïðèîáðåòàåìûõ òîâàðîâ òàê íàçûâàåìûé âòîðîé çàêîí Ãîññåíà). Îòìåòèì, ÷òî åñëè u(x) äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, òî â îáùåì ñëó÷àå çàäà÷ó (1.2.1) ðåøàþò ìåòîäîì Êóíà-Òàêêåðà, êîòîðûé ïîçâîëÿåò íàéòè è òàê íàçûâàåìûå óãëîâûå ðåøåíèÿ. Ðàññìîòðèì ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî âûáîðà äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ïðåäïî÷òåíèé ïîòðåáèòåëÿ. Ïðèìåð 1.2.1. Ñîâåðøåííûå çàìåíèòåëè: • u(x1 ,x2 ) = ax1 + b x2 , a > 0, b > 0 : m a p1 > , ðåøåíèå x∗ óãëîâîå, ïðè÷åì x∗1 = , x∗2 = 0; b p2 p1 a p1 m • åñëè < , ðåøåíèå x∗ óãëîâîå, ïðè÷åì x∗1 = 0, x∗2 = ; b p2 p2 a p1 • åñëè = , ëþáàÿ òî÷êà áþäæåòíîé ëèíèè ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüb p2 íûì ïîòðåáèòåëüñêèì íàáîðîì. • åñëè Ïðèìåð 1.2.2. Âçàèìîäîïîëíÿþùèå òîâàðû: u(x1 , x2 ) = min{ax1 , bx2 }, a > 0, b > 0 :  ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü êàê òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ áþäa æåòíîé ëèíèè è ïðÿìîé x2 = x1 : b ∗ x1 (p1 , p2 , m) = x∗2 (p1 , p2 , m) = 10 bm ; bp1 + ap2 am . bp1 + ap2 (1.2.3) Ïðèìåð 1.2.3. Ïðåäïî÷òåíèÿ Êîááà-Äóãëàñà: u(x1 , x2 ) = xc1 xd2 , c>0, d>0 : ∗ x: Ïðåäïî÷òåíèÿ ýòîãî òèïà âñåãäà ïðèâîäÿò ê âíóòðåííåìó ðåøåíèþ m c · ; x∗1 (p1 , p2 , m) = c + d p1 m d ∗ x2 (p1 , p2 , m) = c + d · p . 2 1.3. (1.2.4) Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå ê 1.2 Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó óñëîâíîé îïòèìèçàöèè (ñ îãðàíè÷åíèÿìè óðàâíåíèÿìè): f (x∗ ) = max f (x), x ∈ Rn , h (x) = 0, 1 ..., hk (x) = 0. (1.3.1) Èñïîëüçóåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ Ëàãðàíæà L(x, λ1 , . . . , λk ) = f (x) − k X λi hi (x). (1.3.2) i=1 Òåîðåìà 1.3.1 (íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè äëÿ çàäà÷è (1.3.1)). Ïócòü ôóíêöèè f è hi äèôôåðåíöèðóåìû, x∗ ðåøåíèå (1.3.1), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ íåâûðîæäåííîñòè (ãðàäèåíòû îãðàíè÷åíèé â òî÷êå x∗ ëèíåéíî íåçàâèñèìû). Òîãäà ñóùåñòâóåò âåêòîð λ∗ = (λ∗1 , . . . , λ∗k ) òàêîé, ÷òî âñå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè (1.3.2) ðàâíû íóëþ â òî÷êå (x∗ , λ∗ ). Ðàññìîòðèì çàäà÷ó óñëîâíîé îïòèìèçàöèè ñ îãðàíè÷åíèÿìè íåðàâåíñòâàìè: f (x∗ ) = max f (x), x ∈ Rn , g (x) ≤ 0, 1 ..., gm (x) ≤ 0. 11 (1.3.3) Èñïîëüçóåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ Ëàãðàíæà L(x, µ1 , . . . , µm ) = f (x) − m X µi gi (x). (1.3.4) i=1 Òåîðåìà 1.3.2.(íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ (Êóíà-Òàêêåðà) îïòèìàëüíîñòè äëÿ çàäà÷è (1.3.3)). Ïócòü ôóíêöèè f è gi äèôôåðåíöèðóåìû, x∗ ðåøåíèå (1.3.3), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ íåâûðîæäåííîñòè (ãðàäèåíòû ñâÿçûâàþùèõ îãðàíè÷åíèé â òî÷êå x∗ ëèíåéíî íåçàâèñèìû). Òîãäà ñóùåñòâóåò âåêòîð µ∗ = (µ∗1 , . . . , µ∗m ) òàêîé, ÷òî â òî÷êå (x∗ , µ∗ ) âûïîëíåíû óñëîâèÿ: (a) (b) (c) (d) ∂L(·) ∂L(·) = 0, . . . , = 0, ∂x1 ∂xn µ1 · g1 (x∗ ) = 0, . . . , µm · gm (x∗ ) = 0, µ1 ≥ 0, . . . , µm ≥ 0, g1 (x∗ ) ≤ 0, . . . , gm (x∗ ) ≤ 0. Óñëîâèå (b) íàçûâàþò óñëîâèåì äîïîëíÿþùåé íåæåñòêîñòè. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó óñëîâíîé îïòèìèçàöèè ñî ñìåøàííûìè îãðàíè÷åíèÿìè: f (x∗ ) = max f (x), x ∈ Rn , h1 (x) = 0, ..., hk (x) = 0, g1 (x) ≤ 0, ..., gm (x) ≤ 0. (1.3.5) Èñïîëüçóåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ Ëàãðàíæà L(x, λ1 , . . . , λk , µ1 , . . . , µm ) = f (x) − k X i=1 λi hi (x) − m X µj gj (x). (1.3.6) j=1 Òåîðåìà 1.3.3 (íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ (Êóíà-Òàêêåðà) îïòèìàëüíîñòè äëÿ çàäà÷è (1.3.5)). Ïóñòü ôóíêöèè f , hi , gi äèôôåðåíöèðóåìû, x∗ ðåøåíèå (1.3.5), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ íåâûðîæäåííîñòè (ãðàäèåíòû ñâÿçûâàþùèõ îãðàíè÷åíèé â òî÷êå x∗ ëèíåéíî íåçàâèñèìû). Òîãäà ñóùåñòâóþò âåêòîðû 12 λ∗ = (λ∗1 , . . . , λ∗k ) è µ∗ = (µ∗1 , . . . , µ∗m ) òàêèå, ÷òî â òî÷êå (x∗ , λ∗ , µ∗ ) âûïîëíåíû óñëîâèÿ: (a) (b) (c) (d) ∂L(·) ∂L(·) = 0, . . . , = 0, ∂x1 ∂xn µ1 · g1 (x∗ ) = 0, . . . , µm · gm (x∗ ) = 0, µ1 ≥ 0, . . . , µm ≥ 0, hi (x∗ ) = 0, gi (x∗ ) ≤ 0. Óñëîâèå (b) íàçûâàþò óñëîâèåì äîïîëíÿþùåé íåæåñòêîñòè äëÿ íåðàâåíñòâ. 1.4. Ñðàâíèòåëüíàÿ ñòàòèêà â ìîäåëè ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà. Êðèâûå "äîõîäïîòðåáëåíèå", "öåíàïîòðåáëåíèå", êðèâàÿ ñïðîñà  1.2 ìû îáîçíà÷èëè ÷åðåç x∗ = x∗ (p1 , p2 , m) îïòèìàëüíûé (èëè ðàâíîâåñíûé) ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð, âûáðàííûé êàê ðåøåíèå çàäà÷è óñëîâíîé îïòèìèçàöèè (1.2.1). Èññëåäóåì, êàê èçìåíÿþòñÿ êîìïîíåíòû âåêòîðà x∗ ïî ìåðå èçìåíåíèÿ öåí p1 è p2 è äîõîäà m (ïðè íåèçìåííûõ ïðåäïî÷òåíèÿõ ïîòðåáèòåëÿ).  ìèêðîýêîíîìèêå ïîäîáíîå èññëåäîâàíèå íàçûâàþò ñðàâíèòåëüíî-ñòàòè÷åñêèì àíàëèçîì ("ñðàâíèòåëüíàÿ ñòàòèêà", comparative statics), à â ìàòåìàòèêå àíàëèçîì îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ x∗ çàäà÷è (1.2.1) "íà ÷óâñòâèòåëüíîñòü" ( sensitivity analysis). Ôèêñèðóåì â ôóíêöèè ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ x∗ (p1 , p2 , m) ïåðâûå äâà àðãóìåíòà: p1 = p1 , p2 = p2 . Ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ x∗ (p1 , p2 , m) ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé ôóíêöèåé îäíîé ñêàëÿðíîé ïåðåìåííîé m è ïîêàçûâàåò, êàê áóäåò ìåíÿòüñÿ îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð ïðè èçìåíåíèè äîõîäà ïîòðåáèòåëÿ (è ôèêñèðîâàííûõ öåíàõ p1 è p2 ). Ãîäîãðàô ýòîé âåêòîð-ôóíêöèè x∗ (p1 , p2 , m) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðèâóþ â ïðîñòðàíñòâå 2 ïîòðåáèòåëüñêèõ íàáîðîâ R+ , ñîåäèíÿþùóþ âñå îïòèìàëüíûå ïîòðåáèòåëüñêèå íàáîðû, âûáèðàåìûå ïîòðåáèòåëåì ïðè ðàçëè÷íûõ óðîâíÿõ åãî äîõîäà m. Ýòó êðèâóþ íàçûâàþò êðèâàÿ "äîõîäïîòðåáëåíèå" (income expansion path). 13 x2 6 Q Q Q QQ Q Q QQQQq Q Q q QqQQQ Q Q QQQQ Q QQ QQ QQ 0 - x1 Ðèñ. 1.4.1. Êðèâàÿ "äîõîäïîòðåáëåíèå" IEP ïîêàçûâàåò, êàê èçìåíÿåòñÿ îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé âûáîð ñ ðîñòîì äîõîäà m Åñëè ñ ðîñòîì äîõîäà ñïðîñ íà òîâàð i òàêæå ðàñòåò, ò. å. 4xi x∗i (p1 , p2 , m + 4m) − x∗i (p1 , p2 , m) = > 0, 4m 4m (1.4.1) òîâàð i íàçûâàþò íîðìàëüíûì òîâàðîì. Òàê, íà ðèñ. 1.4.1 îáà òîâàðà ÿâëÿþòñÿ íîðìàëüíûìè (normal goods). Åñëè ñ ðîñòîì äîõîäà ñïðîñ íà òîâàð i ïàäàåò, ò. å. íåðàâåíñòâî (1.4.1) âûïîëíåíî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, òîâàð i îòíîñÿò ê ãðóïïå òîâàðîâ "íèçøåé êàòåãîðèè" (inferior goods). Çàìåòèì, ÷òî ââåäåííûå âûøå õàðàêòåðèñòèêè òîâàðîâ ìîãóò ìåíÿòüñÿ ïðè çíà÷èòåëüíîì èçìåíåíèè äîõîäà (ñì. ðèñ. 1.4.2). x2 6 Q Q Q QQ Q Q QQQQ Q Q QQQQQQ Q Q Q QQQQ Q Q Q Q Q QQ QQ Q 0 - x1 Ðèñ. 1.4.2. Ïðè óâåëè÷åíèè äîõîäà m ñïðîñ íà òîâàð 1 ñíà÷àëà ðàñòåò, à çàòåì íà÷èíàåò óìåíüøàòüñÿ Åñëè êðèâàÿ "äîõîäïîòðåáëåíèå" ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëó÷, èñõîäÿ- x∗2 (p1 , p2 , m) ùèé èç íà÷àëà êîîðäèíàò, îòíîøåíèå ∗ íå çàâèñèò îò óðîâíÿ x1 (p1 , p2 , m) äîõîäà ïîòðåáèòåëÿ. Åñëè ýòî îòíîøåíèå óâåëè÷èâàåòñÿ ïî ìåðå ðîñòà äîõîäà m, èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî òîâàð 1 îòíîñèòñÿ ê ãðóïïå òîâàðîâ ïåðâîé 14 íåîáõîäèìîñòè (necessary good), à òîâàð 2 ê ÷èñëó ïðåäìåòîâ ðîñêîøè (luxury good). x2 6 Q Q Q Q Q Q Q QQQQ Q Q QQQQQQ Q Q QQQQQQ Q Q Q Q QQ QQ Q - 0 x1 Ðèñ. 1.4.3. Âîçìîæíûé âèä êðèâîé γ "äîõîä ïîòðåáëåíèå" (1 necessary good, 2 luxury good) Èçìåíåíèå êîìïîíåíò îïòèìàëüíîãî ïîòðåáèòåëüñêîãî íàáîðà è x∗2 (p1 , p2 , m) ïî ìåðå ðîñòà äîõîäà m ìîæíî ïðåäñòàâèòü ãðàôè÷åñêè íå òîëüêî ñ ïîìîùüþ êðèâîé "äîõîäïîòðåáëåíèå" , íî è ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìûõ "êðèâûõ Ýíãåëÿ" . Êðèâûå Ýíãåëÿ ýòî ãðàôèêè ôóíêöèé x∗1 (p1 , p2 , m) â ïðîñòðàíñòâå Ox1 m è x∗2 (p1 , p2 , m) â ïðîñòðàíñòâå Ox2 m. Îíè ïîêàçûâàþò, êàê áóäåò ìåíÿòüñÿ ñïðîñ íà òîâàð 1 è òîâàð 2 ñîîòâåòñòâåííî ïðè óâåëè÷åíèè äîõîäà ïîòðåáèòåëÿ.1 x∗1 (p1 , p2 , m) m m 6 0 - x1 6 0 - x2 Ðèñ. 1.4.4. Êðèâûå Ýíãåëÿ (îáà òîâàðà íîðìàëüíûå) Ïîñòðîèì íèæå êðèâûå "äîõîäïîòðåáëåíèå" è êðèâûå Ýíãåëÿ äëÿ íåêîòîðûõ òèïîâ ïðåäïî÷òåíèé, ïðåäñòàâëåííûõ â 1.1, ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåçóëüòàòîâ ïðèìåðîâ 1.2.1 1.2.3. Ïðèìåð 1.4.1 (ïîñòðîåíèå êðèâîé "äîõîä ïîòðåáëåíèå" è êðèâûõ Ýíãåëÿ â ñëó÷àå ñîâåðøåííûõ çàìåíèòåëåé: u(x1 , x2 ) = ax1 + bx2 , a > 0, a p1 b > 0, > .) b p2 1 Èíîãäà êðèâûìè Ýíãåëÿ íàçûâàþò òàêæå êðèâûå, ïîêàçûâàþùèå çàâèñèìîñòü çàòðàò ïîòðåáèòåëÿ íà êàêîé-ëèáî òîâàð (íàïðèìåð, p1 x∗1 (p1 , p2 , m)) îò äîõîäà m. 15 x2 m 6 m ¢ 6 ¢ 6 ¢ ¢ ¢ x1 = pm 1 ¢ ¢ m -ðàñòåò - a 0 x1 ¢ - 0 x1 - 0 x2 Ðèñ. 1.4.5. Êðèâàÿ "äîõîä ïîòðåáëåíèå" è êðèâûå Ýíãåëÿ â ñëó÷àå ñîâåðøåííûõ çàìåíèòåëåé ( ab > pp12 ) Ïðèìåð 1.4.2 (ïîñòðîåíèå êðèâîé "äîõîä ïîòðåáëåíèå" è êðèâûõ Ýíãåëÿ â ñëó÷àå âçàèìîäîïîëíÿþùèõ òîâàðîâ: u(x1 , x2 ) = min{ax1 , bx2 }, a = 2 , b = 1) x2 6 m ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ - 0 x1 m 6 £ £ £ £ £ £ ££ 6 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ - 0 x1 ¢ ¢ - ¢ 0 x2 Ðèñ. 1.4.6. Êðèâàÿ "äîõîä ïîòðåáëåíèå" è êðèâûå Ýíãåëÿ â ñëó÷àå âçàèìîäîïîëíÿþùèõ òîâàðîâ a = 2, b = 1 Ïðèìåð 1.4.3 (ïîñòðîåíèå êðèâîé "äîõîä ïîòðåáëåíèå" è êðèâûõ Ýíãåëÿ â ñëó÷àå ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà: u(x1 , x2 ) = xc1 xd2 , c = 2, d = 1) x2 m 6 m 6 ¡ 6 ¡ ¡ ¡ ³ ³³ ³³ 0 ³ ³³ ¡ - x1 ¡ ¡ - 0 x1 £ £ £ £ £ £ ££ 0 - x2 Ðèñ. 1.4.7. Êðèâàÿ "äîõîä ïîòðåáëåíèå" è êðèâûå Ýíãåëÿ â ñëó÷àå ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà c = 2, d = 1 Îòìåòèì, ÷òî ïðåäïî÷òåíèÿ, ðàññìîòðåííûå â ïðèìåðàõ 1.4.1 1.4.3 îäíîâðåìåííî óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì äâóì ñâîéñòâàì: 16 • ýòè ïðåäïî÷òåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñ ïîìîùüþ ëèíåéíî-îäíîðîäíîé ôóíêöèè ïîëåçíîñòè1 (äëÿ ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà òàêîâîé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ (1.1.15)); • ýòè ïðåäïî÷òåíèÿ ïîðîæäàþò êðèâûå "äîõîäïîòðåáëåíèå" è êðèâûå Ýíãåëÿ ïðîñòîãî âèäà ëó÷è, èñõîäÿùèå èç íà÷àëà êîîðäèíàò.  îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáûå ïðåäïî÷òåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå ïåðâîìó ñâîéñòâó (òàê íàçûâàåìûå, ãîìîòåòè÷íûå ïðåäïî÷òåíèÿ), îáÿçàòåëüíî óäîâëåòâîðÿþò è âòîðîìó. Ïðèìåð 1.4.4 (ïîñòðîåíèå êðèâîé "äîõîä ïîòðåáëåíèå" è êðèâûõ √ Ýíãåëÿ â ñëó÷àå êâàçèëèíåéíûõ ïðåäïî÷òåíèé: u(x1 , x2 ) = x1 + x2 ) x2 m 6 m 6 6 ¡ ¡ 6 0 - ¡ - x1 ¡ ¡ ¡ - 0 x1 0 - x2 Ðèñ. 1.4.8. Êðèâàÿ "äîõîäïîòðåáëåíèå" è êðèâûå Ýíãåëÿ √ â ñëó÷àå êâàçèëèíåéíûõ ïðåäïî÷òåíèé (u(x1 , x2 ) = x1 + x2 ) Òåïåðü ôèêñèðóåì â ôóíêöèè ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ x∗ (p1 , p2 , m) öåíó òîâàðà 2 (p2 = p2 ) è äîõîä (m = m). Ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ x∗ (p1 , p2 , m) ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé ôóíêöèåé îäíîé ñêàëÿðíîé ïåðåìåííîé p1 è ïîêàçûâàåò, êàê áóäåò ìåíÿòüñÿ îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð ïðè èçìåíåíèè öåíû òîâàðà 1 (ïðè ôèêñèðîâàííûõ äîõîäå è öåíå äðóãîãî òîâàðà). Ãîäîãðàô ýòîé âåêòîð-ôóíêöèè x∗ (p1 , p2 , m) ïðåäñòàâëÿåò ñî2 áîé êðèâóþ â ïðîñòðàíñòâå ïîòðåáèòåëüñêèõ íàáîðîâ R+ , ñîåäèíÿþùóþ âñå îïòèìàëüíûå ïîòðåáèòåëüñêèå íàáîðû, âûáèðàåìûå ïîòðåáèòåëåì ïðè ðàçëè÷íûõ óðîâíÿõ öåíû p1 . Ýòó êðèâóþ íàçûâàþò êðèâàÿ "öåíà ïîòðåáëåíèå" èëè price-oer curve (òî÷íåå áûëî áû íàçâàòü åå "öåíà òîâàðà 1 ïîòðåáëåíèå" ). Êðèâàÿ "öåíà òîâàðà 2-ïîòðåáëåíèå" îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî. 1 Ôóíêöèÿ 2 íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî-îäíîðîäíîé èëè îäíîðîäíîé u(x1 , x2 ), (x1 , x2 ) ∈ R+ 2 , ∀ t > 0. ïåðâîé ñòåïåíè, åñëè u(tx1 , tx2 ) = tu(x1 , x2 ) ∀ x = (x1 , x2 ) ∈ R+ 17 x2 6 H Q @ A H QH A@QHH A @QQHH A @ Q HH A @ QQ HH @ A Q H 0 - x1 Ðèñ. 1.4.9. Êðèâàÿ "öåíàïîòðåáëåíèå" POC ïîêàçûâàåò, êàê èçìåíÿåòñÿ îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé âûáîð ïðè óìåíüøåíèè öåíû p1 Åñëè ïðè ñíèæåíèè öåíû p1 ñïðîñ x∗1 (p1 , p2 , m) íà òîâàð 1 ðàñòåò, ò. å. 4x1 x∗1 (p1 + 4p1 , p2 , m) − x∗1 (p1 , p2 , m) = < 0, 4p1 4p1 (1.4.2) òîâàð 1 íàçûâàþò îáû÷íûì òîâàðîì (èëè ãîâîðÿò, ÷òî äëÿ íåãî âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñïðîñà). Òàê, êðèâàÿ "öåíàïîòðåáëåíèå" , ïðåäñòàâëåííàÿ íà ðèñ. 1.4.9, ñîîòâåòñòâóåò îáû÷íîìó òîâàðó 1. Åñëè ïðè ïîâûøåíèè öåíû p1 ñïðîñ x∗1 (p1 , p2 , m) íà òîâàð 1 òàêæå ðàñòåò, ò. å. íåðàâåíñòâî (1.4.2) âûïîëíåíî ñ îáðàòíûì çíàêîì, òîâàð 1 íàçûâàþò òîâàðîì Ãèôôåíà (èëè ãîâîðÿò, ÷òî äëÿ íåãî íàðóøàåòñÿ çàêîí ñïðîñà). x2 6 H QH @ Q @H QH @QH QH @ QHH @ QQHH @ Q HH 0 - x1 Ðèñ. 1.4.10. Êðèâàÿ "öåíàïîòðåáëåíèå" (òîâàð 1 ÿâëÿåòñÿ òîâàðîì Ãèôôåíà) Åñëè ïðè ñíèæåíèè öåíû p1 ñïðîñ x∗2 (p1 , p2 , m) íà òîâàð 2 ðàñòåò, ò. å. 4x2 x∗2 (p1 + 4p1 , p2 , m) − x∗2 (p1 , p2 , m) = < 0, 4p1 4p1 (1.4.3) à òîâàð 1 îáû÷íûé, èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî òîâàð 2 âûñòóïàåò êîìïëåìåíòîì ïî îòíîøåíèþ ê òîâàðó 1 (èñïîëüçóåòñÿ òàêæå òåðìèí "âçàèìîäîïîëíÿåìûå òîâàðû"). Ðèñ. 1.4.9 îòâå÷àåò êàê ðàç ýòîìó ñëó÷àþ. 18 Åñëè ïðè ïîâûøåíèè öåíû p1 îáû÷íîãî òîâàðà 1 ñïðîñ x∗2 (p1 , p2 , m) íà òîâàð 2 ðàñòåò, ò. å. íåðàâåíñòâî (1.4.3) âûïîëíåíî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî òîâàð 2 âûñòóïàåò ñóáñòèòóòîì ïî îòíîøåíèþ ê òîâàðó 1 (èñïîëüçóåòñÿ òàêæå òåðìèí "âçàèìîçàìåíÿåìûå òîâàðû").1 x2 6 H Q A H @ QH A@ q QHH A @Q q QH A @ QH q H A @ QQHHq Q HH A @ 0 - x1 Ðèñ. 1.4.11. Êðèâàÿ "öåíàïîòðåáëåíèå" (òîâàð 2 âûñòóïàåò ñóáñòèòóòîì ïî îòíîøåíèþ ê òîâàðó 1) Èçìåíåíèå ñïðîñà x∗1 (p1 , p2 , m) íà òîâàð 1, âûçâàííîå èçìåíåíèåì öåíû p1 ýòîãî òîâàðà, ìîæíî ïðåäñòàâèòü ãðàôè÷åñêè ñ ïîìîùüþ êðèâîé ñïðîñà. Êðèâàÿ ñïðîñà íà òîâàð 1 ãðàôèê ñêàëÿðíîé ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé x1 (p1 ) = x∗1 (p1 , p2 , m) èëè ôóíêöèè ñïðîñà îò öåíû â ïðîñòðàíñòâå Ox1 p1 . p1 6 - 0 x1 Ðèñ. 1.4.12. Êðèâàÿ ñïðîñà äëÿ îáû÷íîãî òîâàðà Åñëè ôóíêöèÿ îò öåíû x1 (p1 ) = x∗1 (p1 , p2 , m) ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ìîíîòîííîé (íàïðèìåð, óáûâàþùåé â ñëó÷àå îáû÷íîãî òîâàðà), äëÿ íåå ñóùåñòâóåò ñòðîãî ìîíîòîííàÿ â òîì æå ñìûñëå îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ p1 (x1 ) (inverse demand function èëè îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ñïðîñà). Ãðàôèêîì ýòîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ âñå òà æå êðèâàÿ ñïðîñà (ñì. ðèñ. 1.4.12). Äëÿ êàæäîãî äîïóñòèìîãî óðîâíÿ ñïðîñà x1 òîâàðà 1 îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ñïðîñà p1 (x1 ) 1 Âîîáùå ãîâîðÿ, ðàññìîòðåííûå âûøå õàðàêòåðèñòèêè òîâàðîâ íå ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè. 19 ïîêàçûâàåò, êàêîé äîëæíà áûòü öåíà p1 ýòîãî òîâàðà, ÷òîáû ïåðâàÿ êîìïîíåíòà îïòèìàëüíîãî ïîòðåáèòåëüñêîãî íàáîðà îêàçàëàñü ðàâíîé x1 : x∗1 (p1 (x1 ), p2 , m) = x1 . Ïîñòðîèì íèæå êðèâûå "öåíà òîâàðà 1 ïîòðåáëåíèå" è ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûå ñïðîñà äëÿ íåêîòîðûõ òèïîâ ïðåäïî÷òåíèé ïîòðåáèòåëÿ. Ïðèìåð 1.4.5(ïîñòðîåíèå êðèâîé "öåíà p1 ïîòðåáëåíèå" è êðèâîé ñïðîñà íà òîâàð 1 â ñëó÷àå ñîâåðøåííûõ çàìåíèòåëåé: u(x1 , x2 ) = ax1 + bx2 , a = 1, b = 2, p2 = 6, m = 30) x2 p1 6 5 qH 6 3 H HH 0 - x1 0 10 - x1 Ðèñ. 1.4.13. Êðèâàÿ "öåíà p1 ïîòðåáëåíèå" è êðèâàÿ ñïðîñà x1 (p1 ) â ñëó÷àå ñîâåðøåííûõ çàìåíèòåëåé (a = 1, b = 2, p2 = 6, m = 30) Ïðèìåð 1.4.6. (Ïîñòðîåíèå êðèâîé "öåíà p1 ïîòðåáëåíèå" è êðèâîé ñïðîñà íà òîâàð 1 â ñëó÷àå âçàèìîäîïîëíÿþùèõ òîâàðîâ (perfect complements): u(x1 , x2 ) = min{ax1 , bx2 }, a = 2, b = 1.) x2 p1 6 6 q ¢ ¢ ¢ ¢ 0 - x1 0 q - x1 Ðèñ. 1.4.14. Êðèâàÿ "öåíà p1 ïîòðåáëåíèå" è êðèâàÿ ñïðîñà x1 (p1 ) â ñëó÷àå ñîâåðøåííûõ êîìïëåìåíòîâ (a = 2, b = 1) Ïðèìåð 1.4.7. (Ïîñòðîåíèå êðèâîé "öåíà p1 ïîòðåáëåíèå" è êðèâîé ñïðîñà íà òîâàð 1 â ñëó÷àå ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà (c = 2, d = 1, p2 = 6, m = 30) 20 p1 x2 6 5a 0 6 p1 ðàñòåò ¾ - x1 0 - x1 Ðèñ. 1.4.15. Êðèâàÿ "öåíà p1 ïîòðåáëåíèå" è êðèâàÿ ñïðîñà x1 (p1 ) äëÿ ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà (c = 2, d = 1, p2 = 6, m = 30) 1.5. Ýôôåêò çàìåùåíèÿ è ýôôåêò äîõîäà (ïî Ñëóöêîìó) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð x∗ (p1 , p2 , m) îïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì äëÿ çàäàííîãî âåêòîðà (p1 , p2 , m), ò. å. çàäà÷à (1.2.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Èçâåñòíî, ÷òî çàâèñèìîñòü îáúåìà ñïðîñà x∗1 (p1 , p2 , m) íà òîâàð 1 îò öåíû p1 ýòîãî òîâàðà ïðè ôèêñèðîâàííûõ p2 è m çàäàåòñÿ ôóíêöèåé ñïðîñà îò öåíû x1 (p1 ). Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, òîâàð 1 îáû÷íûé, ò. å. ôóíêöèÿ x1 (p1 ) óáûâàþùàÿ, à öåíà p1 âûðîñëà ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâîíà÷àëüíûì çíà÷åíèåì. Ýôôåêò èçìåíåíèÿ îáúåìà ñïðîñà íà òîâàð 1 â ñâÿçè ñ ðîñòîì åãî öåíû î÷åâèäåí: ïîòðåáèòåëü áóäåò ïðèîáðåòàòü ìåíüøåå êîëè÷åñòâî ýòîãî òîâàðà.  ìèêðîýêîíîìè÷åñêîì àíàëèçå ÷àñòî ïðèâîäÿò äåêîìïîçèöèþ îòìå÷åííîãî èçìåíåíèÿ îáúåìà ñïðîñà íà äâå ñîñòàâëÿþùèå: • âî-ïåðâûõ, ðîñò öåíû p1 èçìåíÿåò îòíîñèòåëüíûå öåíû ïðåäëàãàåìûõ ïîòðåáèòåëþ òîâàðîâ (ìåíÿåòñÿ íàêëîí áþäæåòíîé ëèíèè, ò. å. ïðîïîðöèÿ, â êîòîðîé ïîòðåáèòåëü ìîæåò "çàìåùàòü" îäèí òîâàð äðóãèì) òàê íàçûâàåìûé ýôôåêò çàìåùåíèÿ (substitution eect); • âî-âòîðûõ, ðîñò öåíû p1 óìåíüøàåò ïîêóïàòåëüíóþ ñïîñîáíîñòü ôèêñèðîâàííîãî íîìèíàëüíîãî äîõîäà m ïîòðåáèòåëÿ (÷òî â îáùåì ñëó÷àå âëèÿåò íà îáúåì ïîòðåáëåíèÿ îáîèõ òîâàðîâ, â òîì ÷èñëå òîâàðà 1) òàê íàçûâàåìûé ýôôåêò äîõîäà1 (income eect). 1 Ýòî îáùåïðèíÿòîå íàçâàíèå íå ñòîèò âîñïðèíèìàòü ñëèøêîì áóêâàëüíî: íîìèíàëüíûé äîõîä m îñòàåòñÿ íåèçìåííûì ïðè èçìåíåíèè öåíû p1 , ìåíÿåòñÿ ëèøü ïîêóïàòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü ýòîãî êîëè÷åñòâà äåíåã, ò. å. "ðåàëüíûé äîõîä" ïîòðåáèòåëÿ. 21 Ïðèâåäåì íèæå áîëåå ñòðîãîå îïðåäåëåíèå ýôôåêòà çàìåùåíèÿ è ýôôåêòà äîõîäà (ïî Ñëóöêîìó). Ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ, ïðåäñòàâëåííûå åãî ôóíêöèåé ïîëåçíî2 ñòè u(x), x ∈ R+ , öåíó p2 òîâàðà 2 è íîìèíàëüíûé äîõîä m áóäåì ñ÷èòàòü íåèçìåííûìè. Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, âûïîëíåíû âñå ïðåäïîëîæåíèÿ, ñäåëàííûå â íà÷àëå ïàðàãðàôà, è, êðîìå òîãî, òîâàð 1 ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì, à ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ óäîâëåòâîðÿþò ñâîéñòâó "local nonsatiation". Èìåííî ýòîìó ñëó÷àþ áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü çíàêè èçìåíåíèé â îáúåìå ñïðîñà íà òîâàð 1 è ðèñ. 1.5.1. • Èñõîäíàÿ çàäà÷à ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà (íà÷àëüíàÿ öåíà òîâàðà 1 ðàâíà po1 ): ½ u(xo ) = max u(x); (1.5.1) po1 x1 + p2 x2 ≤ m. Áþäæåòíîå ìíîæåñòâî â çàäà÷å (1.5.1) áóäåì îáîçíà÷àòü o B = áþäæåòíóþ ëèíèþ b , à îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð x = x∗ (po1 , p2 , m). o B(po1 , p2 , m), o • Êîíå÷íàÿ çàäà÷à ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà (êîíå÷íàÿ öåíà òîâàðà 1 ðàâíà pT1 > po1 , 4p1 = pT1 − po1 > 0): ( u(xT ) = max u(x); (1.5.2) pT1 x1 + p2 x2 ≤ m. Áþäæåòíîå ìíîæåñòâî â çàäà÷å (1.4.2) áóäåì îáîçíà÷àòü T B = áþäæåòíóþ ëèíèþ b , à îïòèìàëüíûé ïîòðåáèT òåëüñêèé íàáîð x = x∗ (pT1 , p2 , m). Îòìåòèì, ÷òî ðåàëüíîå èçìåíåíèå îáñòîÿòåëüñòâ âûáîðà (po1 → pT1 ) ïîðîæäàåò ñîîòâåòñòâóþùåå ðåàëüíîå èçìåíåíèå îïòèìàëüíîãî ïîòðåáèòåëüñêîãî íàáîðà (xo → xT ) è, â ÷àñòíîñòè, îáúåìà ñïðîñà íà òîâàð 1: T B(pT1 , p2 , m), 4x1 = 4x1 (4p1 ) = xT1 − xo1 = x∗1 (po1 + 4p1 , p2 , m) − x∗1 (po1 , p2 , m). (1.5.3) Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýôôåêòà çàìåùåíèÿ è ýôôåêòà äîõîäà íåîáõîäèìî íàðÿäó ñ ðåàëüíûìè çàäà÷àìè (1.5.1) è (1.5.2), ñ êîòîðûìè ñòàëêèâàåòñÿ ïîòðåáèòåëü, ðàññìîòðåòü ñëåäóþùèå ãèïîòåòè÷åñêèå îáñòîÿòåëüñòâà âûáîðà. • Ïðîìåæóòî÷íàÿ çàäà÷à ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà (öåíà òîâàðà 1 ðàâíà pT1 , íîìèíàëüíûé äîõîä ïîòðåáèòåëÿ mt ïîäáèðàåòñÿ òàêèì 22 îáðàçîì, ÷òîáû èñõîäíûé îïòèìàëüíûé íàáîð xo ïî-ïðåæíåìó áûë äîñòóïåí ïîòðåáèòåëþ, íåñìîòðÿ íà óäîðîæàíèå òîâàðà 1): ( u(xt ) = max u(x); (1.5.4) pT1 x1 + p2 x2 ≤ mt , ãäå mt = m + 4m = m + 4p1 xo1 . (1.5.5) Ïðîâåðèì, ÷òî çíà÷åíèå mt èç (1.5.5) ïîäîáðàíî êàê ðàç òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàáîð xo îñòàâàëñÿ äîñòóïíûì ïîòðåáèòåëþ â ïðîìåæóòî÷íîé çàäà÷å, ò. å. ëåæàë íà áþäæåòíîé ëèíèè çàäà÷è (1.5.4): x0 ∈ b0 : p01 + p2 x02 = m, x0 ∈ bt : (p10 + ∆p1 )x01 + p2 x02 = m + ∆m ¯ ¯ ¯ ⇒ ∆m = ∆p1 x01 . ¯ Ãîâîðÿò, ÷òî óäîðîæàíèå òîâàðà 1 (po1 → pT1 ) è ñîîòâåòñòâóþùåå "êîìïåíñàöèîííîå" óâåëè÷åíèå íîìèíàëüíîãî äîõîäà ïî ïðàâèëó (1.5.5) (m → mt ) â ñîâîêóïíîñòè ñîõðàíÿþò "ïîêóïàòåëüíóþ ñïîñîáíîñòü ïîòðåáèòåëÿ". Áþäæåòíîå ìíîæåñòâî â çàäà÷å (1.5.4) áóäåì îáîçíà÷àòü t B = B(pT1 , p2 , mt ), áþäæåòíóþ ëèíèþ bt , à îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð xt = x∗ (pT1 , p2 , mt ). Âîîáðàçèì, ÷òî ðåàëüíîå èçìåíåíèå îáñòîÿòåëüñòâ âûáîðà ïîòðåáèòåëÿ (ò. å. èçìåíåíèå óñëîâèé èñõîäíîé çàäà÷è (1.5.1) íà óñëîâèÿ êîíå÷íîé çàäà÷è (1.5.2)) ïðîèñõîäèò â äâà ýòàïà: • èñõîäíàÿ çàäà÷à (1.5.1) −→ ïðîìåæóòî÷íàÿ çàäà÷à (1.5.4); • ïðîìåæóòî÷íàÿ çàäà÷à (1.5.4) −→ êîíå÷íàÿ çàäà÷à (1.5.2). Ýòà âûìûøëåííàÿ êîíñòðóêöèÿ íå ìåíÿåò èòîãîâîå èçìåíåíèå (1.5.3) îáúåìà ñïðîñà 4x1 íà òîâàð 1, íî ïîçâîëÿåò ðàçëîæèòü åãî íà äâå ñîñòàâëÿþùèå, ïðåäñòàâëåííûå â íà÷àëå ïàðàãðàôà. À èìåííî, ïåðâûé ýòàï (ò. å. ïåðåõîä îò èñõîäíîé çàäà÷è ê ïðîìåæóòî÷íîé) äîïóñêàåò ñëåäóþùèå ýêîíîìè÷åñêèå è ãðàôè÷åñêèå èíòåðïðåòàöèè (ñì. ðèñ. 1.5.1): • èçìåíÿþòñÿ îòíîñèòåëüíûå öåíû òîâàðîâ ïðè ñîõðàíåíèè ïðåæíåé ïîêóïàòåëüíîé ñïîñîáíîñòè ïîòðåáèòåëÿ; • áþäæåòíàÿ ëèíèÿ bo èñõîäíîé çàäà÷è ïîâîðà÷èâàåòñÿ âîêðóã òî÷êè xo äî ïîëîæåíèÿ bt (ïðîìåæóòî÷íàÿ áþäæåòíàÿ ëèíèÿ bt ïàðàëpT1 T ëåëüíà êîíå÷íîé b , èõ îáùèé íàêëîí − ). p2 23 Èçìåíåíèå â îáúåìå ñïðîñà íà òîâàð 1, ïîëó÷åííîå íà ïåðâîì ýòàïå: 4xS1 = xt1 − xo1 = x∗1 (pT1 , p2 , mt ) − x∗1 (p1 , p2 , m) (1.5.6) íàçûâàþò ýôôåêòîì çàìåùåíèÿ (ïîêóïàòåëü "çàìåùàåò" òîâàð 1 òîâàðîì 2 ñ ó÷åòîì èçìåíåíèÿ îòíîñèòåëüíûõ öåí, ïðè íåèçìåííîì ðåàëüíîì äîõîäå). Âòîðîé ýòàï (ò. å. ïåðåõîä îò ïðîìåæóòî÷íîé çàäà÷è ê êîíå÷íîé) òàêæå äîïóñêàåò ïîíÿòíîå òîëêîâàíèå (ñì. ðèñ. 1.5.1): • èçìåíÿåòñÿ äîõîä (mt → m) ïîòðåáèòåëÿ ïðè ñîõðàíåíèè îòíîñèòåëüíûõ öåí; • áþäæåòíàÿ ëèíèÿ bt ïàðàëëåëüíî ñäâèãàåòñÿ ê íà÷àëó êîîðäèíàò äî ïîëîæåíèÿ bT . Èçìåíåíèå â îáúåìå ñïðîñà íà òîâàð 1, ïîëó÷åííîå íà âòîðîì ýòàïå: 4xI1 = xT1 − xt1 = x∗1 (pT1 , p2 , m) − x∗1 (pT1 , p2 , mt ) (1.5.7) íàçûâàþò ýôôåêòîì äîõîäà. x2 6 S S bt S S S S t HH S H Sx q S HH S T b S T HS x0 HSH q Sqx S SHH b0 S S HH 0 T t 0 x1 x1 x1 x1 Ðèñ. 1.5.1. Ïîâîðîò b0 âîêðóã x0 äî ïîëîæåíèÿ bt îïðåäåëÿåò ýôôåêò çàìåùåíèÿ (xt1 − x01 ), ñäâèã bt äî ïîëîæåíèÿ bT îïðåäåëÿåò ýôôåêò äîõîäà (xT1 − xt1 ) Ïîíÿòíî, ÷òî 4x1 = ∆xS1 + ∆xI1 = (xt1 − xo1 ) + (xT1 − xt1 ), (1.5.8) ò. å. èòîãîâîå èçìåíåíèå (1.5.3) îáúåìà ñïðîñà íà òîâàð 1 ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó ýôôåêòà çàìåùåíèÿ è ýôôåêòà äîõîäà. Òîæäåñòâî (1.5.8), ñïðàâåäëèâîå, â ÷àñòíîñòè, ïðè ëþáûõ èçìåíåíèÿõ 4p1 öåíû ïåðâîãî òîâàðà, ÷àñòî íàçûâàþò òîæäåñòâîì Ñëóöêîãî. Îòäåëüíûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò çíàêè ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè (1.5.8).  ðàññìîòðåííîì íàìè ñëó÷àå 4p1 > 0, à 4xS1 = xt1 − xo1 < 0, ò. å. 24 èçìåíåíèå ñïðîñà, âûçâàííîå ýôôåêòîì çàìåùåíèÿ, ïðîòèâîïîëîæíî ïî çíàêó èçìåíåíèþ öåíû. Äîêàæåì, èñïîëüçóÿ ðèñ. 1.5.1, ÷òî îòìå÷åííîå ñâîéñòâî (4xS1 < 0 ïðè 4p1 > 0) âûïîëíåíî âñåãäà (íåçàâèñèìî îò ïðåäïîëîæåíèé î òîì, ÷òî òîâàð 1 îáû÷íûé è íîðìàëüíûé). À èìåííî, xt íå ìîæåò ëåæàòü íà áþäæåòíîé ëèíèè bt íèæå è ïðàâåå òî÷êè x0 , ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå u(x0 ) > u(xt ), è, ñëåäîâàòåëüíî, íàáîð xt íå ìîæåò áûòü îïòèìàëüíûì. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî 4xS1 > 0 ïðè 4p1 < 0, èíûìè ñëîâàìè, ýôôåêò çàìåùåíèÿ âñåãäà äåéñòâóåò â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ èçìåíåíèþ öåíû.1  ðàññìîòðåííîì íàìè ñëó÷àå 4p1 > 0, à 4xI1 = xT1 − xt1 < 0, ò. å. èçìåíåíèå ñïðîñà, âûçâàííîå ýôôåêòîì äîõîäà, ïðîòèâîïîëîæíî ïî çíàêó èçìåíåíèþ öåíû. Ýòî âûçâàíî ïðèíÿòûì ïðåäïîëîæåíèåì î òîì, ÷òî òîâàð 1 íîðìàëüíûé. Åñëè áû òîâàð 1 îòíîñèëñÿ ê ãðóïïå òîâàðîâ íèçøåé êàòåãîðèè, çíàê ýôôåêòà äîõîäà áûë áû ïðîòèâîïîëîæíûì. Òàêèì îáðàçîì, ýôôåêò äîõîäà äåéñòâóåò â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ èçìåíåíèþ öåíû (4p1 4xI1 < 0), åñëè òîâàð 1 íîðìàëüíûé, è â òó æå ñòîðîíó (4p1 4xI1 > 0), åñëè ýòî òîâàð íèçøåé êàòåãîðèè.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå òîâàð 1 ìîæåò äàæå îêàçàòüñÿ òîâàðîì Ãèôôåíà (åñëè ýôôåêò äîõîäà äåéñòâóåò â ñòîðîíó èçìåíåíèÿ öåíû è ïðåâîñõîäèò ïî ìîäóëþ ýôôåêò çàìåùåíèÿ), ò. å. óâåëè÷åíèå åãî öåíû ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ åãî ïîòðåáëåíèÿ. Êîíå÷íî, â ýòîì ñëó÷àå ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî òîâàð 1 îáû÷íûé, íå âûïîëíÿåòñÿ. Ñ ó÷åòîì îòìå÷åííûõ îáñòîÿòåëüñòâ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü âàæíîå ñëåäñòâèå èç òîæäåñòâà Ñëóöêîãî: Òåîðåìà 1.5.1(çàêîí ñïðîñà). Åñëè ñ ðîñòîì äîõîäà ñïðîñ íà òîâàð óâåëè÷èâàåòñÿ, òî ñ ðîñòîì öåíû äàííîãî òîâàðà ñïðîñ íà íåãî äîëæåí óìåíüøàòüñÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ∆p1 > 0. Ïî óñëîâèþ òîâàð 1 íîðìàëüíûé, ïîýòîìó ∆xI1 < 0 (ýôôåêò äîõîäà îòðèöàòåëüíûé). Êðîìå òîãî, ∆xS1 < 0 (ýôôåêò çàìåùåíèÿ îòðèöàòåëüíûé, êàê äîêàçàíî âûøå). Òîãäà ∆x1 = ∆xS1 + ∆xI1 < 0. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè òîâàð íîðìàëüíûé, òî îí îáû÷íûé. Ðàññìîòðèì ÷èñëåííûé ïðèìåð ðàçëîæåíèÿ îáùåãî ýôôåêòà èçìåíåíèÿ ñïðîñà íà ýôôåêò çàìåùåíèÿ è ýôôåêò äîõîäà (â ñëó÷àå ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà). 1 Îòìå÷åííîå ñâîéñòâî ýôôåêòà çàìåùåíèÿ èíîãäà ôîðìóëèðóþò ôðàçîé "ýôôåêò çàìåùåíèÿ âñåãäà îòðèöàòåëåí", êîòîðóþ íå ñòîèò âîñïðèíèìàòü áóêâàëüíî. 25 Ïðèìåð 1.5.1 (ýôôåêò çàìåùåíèÿ è ýôôåêò äîõîäà äëÿ ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà.) Ïóñòü ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè ïîòðåáèòåëÿ u(x1 , x2 ) = x21 x2 , p2 = 3, m = 216, à öåíà òîâàðà 1 óâåëè÷èâàåòñÿ îò èñõîäíîãî çíà÷åíèÿ po1 = 2 äî êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ pT1 = 3. • Èñõîäíàÿ çàäà÷à ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà: ½ u = x21 x2 → max; 2x1 + 3x2 ≤ 216, 2 216 0 x = 1 3 · 2 = 72; x0 = 1 · 216 = 24 2 3 3 ñîîòâåòñòâóþùèé îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð (â èñõîäíîé çàäà÷å). • Ïðîìåæóòî÷íàÿ çàäà÷à ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà: Îòìåòèì, ÷òî 4m = 4p1 xo1 = 1 · 72. ½ u = x21 x2 → max, 3x1 + 3x2 ≤ 216 + 72 = 288, 2 288 · = 64 3 3 ïåðâàÿ êîìïîíåíòà îïòèìàëüíîãî ïîòðåáèòåëüñêîãî íàáîðà â ïðîìåæóòî÷íîé çàäà÷å. xt1 = • Êîíå÷íàÿ çàäà÷à ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà: ½ u = x21 x2 → max, 3x1 + 3x2 ≤ 216, 2 216 · = 48 3 3 ïåðâàÿ êîìïîíåíòà îïòèìàëüíîãî ïîòðåáèòåëüñêîãî íàáîðà â êîíå÷íîé çàäà÷å. xT1 = • îáùèé ýôôåêò èçìåíåíèÿ ñïðîñà íà òîâàð 1: 4x1 = xT1 − xo1 = 48 − 72 = −24; 26 • ýôôåêò çàìåùåíèÿ: 4xS1 = xt1 − xo1 = 64 − 72 = −8; • ýôôåêò äîõîäà: 4xI1 = xT1 − xt1 = 48 − 64 = −16. 1.6. Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå ê 1.5 Ïóñòü po1 , po2 è mo öåíû òîâàðîâ è äîõîä â èñõîäíîé çàäà÷å ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà (1.5.1). Îáîçíà÷èì ÷åðåç x e1 (p1 , po2 , mo ) ïåðâóþ êîìïîíåíòó ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.5.4) ïðè p1 = pT1 . Ýòî ôóíêöèÿ ïåðåìåííîé p1 , êîòîðàÿ êàæäîìó çíà÷åíèþ öåíû òîâàðà 1 ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå îïòèìàëüíûé îáúåì ñïðîñà íà ýòîò òîâàð ïðè óñëîâèè, ÷òî ëþáîå èçìåíåíèå öåíû îòíîñèòåëüíî èñõîäíîãî óðîâíÿ po1 "êîìïåíñèðîâàíî" ñîîòâåòñòâóþùèì èçìåíåíèåì íîìèíàëüíîãî äîõîäà ïîòðåáèòåëÿ ïî ïðàâèëó (1.5.5). Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ x e1 (p1 , po2 , mo ) ïîêàçûâàåò, êàê áóäåò ìåíÿòüñÿ îáúåì ñïðîñà íà òîâàð ïðè èçìåíåíèè åãî öåíû, íî ñîõðàíåíèè ïîêóïàòåëüíîé ñïîñîáíîñòè ïîòðåáèòåëÿ (òàê íàçûâàåìàÿ ôóíêöèÿ ñïðîñà ïî Ñëóöêîìó).  îáùåì ñëó÷àå ôóíêöèÿ ñïðîñà ïî Ñëóöêîìó, êîíå÷íî, îòëè÷àåòñÿ îò ââåäåííîé â 1.4 ôóíêöèè ñïðîñà îò öåíû x1 (p1 ) = x∗1 (p1 , po2 , mo ), êîòîðóþ èíîãäà íàçûâàþò îáû÷íîé ôóíêöèåé ñïðîñà èëè ôóíêöèåé ñïðîñà ïî Ìàðøàëëó. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îáû÷íàÿ ôóíêöèÿ ñïðîñà âûðàæàåò çàâèñèìîñòü ìåæäó öåíîé òîâàðà è îáúåìîì ñïðîñà íà íåãî ñ ó÷åòîì ýôôåêòîâ çàìåùåíèÿ è äîõîäà, â òî âðåìÿ êàê ôóíêöèÿ ñïðîñà ïî Ñëóöêîìó ó÷èòûâàåò òîëüêî ýôôåêò çàìåùåíèÿ. Ñ ó÷åòîì (1.5.4) è (1.5.5) âûðàçèì àíàëèòè÷åñêè ñâÿçü ìåæäó ôóíêöèåé ñïðîñà ïî Ñëóöêîìó x e1 (p1 , po2 , mo ) è îáû÷íîé ôóíêöèåé ñïðîñà x∗1 (p1 , po2 , mo ): x e1 (p1 , po2 , mo ) = x∗1 (p1 , po2 , mo + (p1 − po1 )xo1 ). (1.6.1) Ïðîäèôôåðåíöèðóåì òîæäåñòâî (1.6.1) ïî ïåðåìåííîé p1 (ïðè çíà÷åíèè p1 = po1 ): ∂e x1 (p1 , po2 , mo ) ∂x∗1 (p1 , po2 , mo ) ∂x∗1 (p1 , po2 , mo ) o = + x1 ∂p1 ∂p1 ∂m èëè x1 (p1 , po2 , mo ) ∂x∗1 (p1 , po2 , mo ) o ∂x∗1 (p1 , po2 , mo ) ∂e = − x1 . ∂p1 ∂p1 ∂m 27 (1.6.2) Óðàâíåíèå (1.6.2) íàçûâàþò óðàâíåíèåì Ñëóöêîãî (â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå). Îíî ñâÿçûâàåò ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îáû÷íîé ôóíêöèè ñïðîñà ïî öåíå è ïî äîõîäó ñ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè ñïðîñà ïî Ñëóöêîìó. Ëåâàÿ ÷àñòü (1.6.2) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ñïðîñà íà òîâàð ïðè èçìåíåíèè åãî öåíû, ñëàãàåìûå â ïðàâîé ÷àñòè õàðàêòåðèçóþò ñêîðîñòè äåéñòâèÿ ýôôåêòà çàìåùåíèÿ è ýôôåêòà äîõîäà ñîîòâåòñòâåííî. Âûâîäû • Óäîáíûì ñïîñîáîì îïèñàíèÿ ïðåäïî÷òåíèé ïîòðåáèòåëÿ â ïðîñòåéøåé ìîäåëè ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè. Ýòà ôóíêöèÿ âñåãäà ìîæåò áûòü ââåäåíà (ïðè÷åì íå åäèíñòâåííûì îáðàçîì), åñëè ïðåäïî÷òåíèå ïîòðåáèòåëÿ óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåííîìó íàáîðó äîñòàòî÷íî åñòåñòâåííûõ ïðåäïîëîæåíèé (àêñèîì). • Ïðåäåëüíàÿ íîðìà çàìåùåíèÿ M RS (áëàãîì 1 áëàãà 2) õàðàêòåðèçóåò íàêëîí êàñàòåëüíîé ê êðèâîé áåçðàçëè÷èÿ è ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ïðèáëèæåííî ðàâíà êîëè÷åñòâó áëàãà 2, îò êîòîðîãî ïîòðåáèòåëü ãîòîâ îòêàçàòüñÿ âçàìåí íà óâåëè÷åíèå êîëè÷åñòâà áëàãà 1 íà åäèíèöó. • Ôóíêöèÿ ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ õàðàêòåðèçóåò çàâèñèìîñòü îïòèìàëüíîãî ïîòðåáèòåëüñêîãî íàáîðà îò âåêòîðà öåí òîâàðîâ è äîõîäà ýòîãî ïîòðåáèòåëÿ. • Ðåçóëüòàòû ñðàâíèòåëüíî-ñòàòè÷åñêîãî àíàëèçà (àíàëèçà íà ÷óâñòâèòåëüíîñòü) îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ â ïðîñòåéøåé çàäà÷å ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà ãðàôè÷åñêè ïðåäñòàâëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ êðèâûõ "äîõîäïîòðåáëåíèå", êðèâûõ Ýíãåëÿ, êðèâûõ "öåíàïîòðåáëåíèå". • Åñëè ôóíêöèÿ ñïðîñà îò öåíû ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé, òîâàð íàçûâàþò îáû÷íûì. • Äëÿ îöåíêè ýôôåêòà çàìåùåíèÿ è ýôôåêòà äîõîäà ïðè èçìåíåíèè öåíû òîâàðà íåîáõîäèìî íàéòè îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð â èñõîäíîé (äî èçìåíåíèÿ öåíû) è êîíå÷íîé (ïîñëå èçìåíåíèÿ öåíû) çàäà÷å, à òàêæå âî âñïîìîãàòåëüíîé "ïðîìåæóòî÷íîé" çàäà÷å ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà. • Åñëè ñ ðîñòîì äîõîäà ñïðîñ íà òîâàð óâåëè÷èâàåòñÿ, òî ñ ðîñòîì öåíû äàííîãî òîâàðà ñïðîñ íà íåãî äîëæåí óìåíüøàòüñÿ (òàê íàçûâàåìûé çàêîí ñïðîñà). 28 Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1. ×òî íàçûâàþò áþäæåòíûì ìíîæåñòâîì ïîòðåáèòåëÿ? 2. Êàêèå äâà ïîäõîäà èñïîëüçóþò â ìèêðîýêîíîìèêå ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïîâåäåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ? 3. Ïåðå÷èñëèòå è ïîÿñíèòå àêñèîìû ïîòðåáèòåëüñêèõ ïðåäïî÷òåíèé. 4. ×òî òàêîå êðèâàÿ áåçðàçëè÷èÿ ïîòðåáèòåëÿ? 5. Êàêîâ ýêîíîìè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëüíîé íîðìû çàìåùåíèÿ (áëàãîì 2 áëàãà 1)? 6. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ïîëåçíîñòè? 7. Êàêîé ýêîíîìè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëüíîé ïîëåçíîñòè áëàãà 2? 8. Êàê ñâÿçàíû ïðåäåëüíûå ïîëåçíîñòè áëàã è ïðåäåëüíàÿ íîðìà çàìåùåíèÿ? 9. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé ïîëåçíîñòè, ïðåäñòàâëÿþùèõ îäèíàêîâûå ïðåäïî÷òåíèÿ. 10. ×òî òàêîå ðàâíîâåñíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð? 11. ×òî òàêîå ôóíêöèÿ ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ? 12.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ âòîðîé çàêîí Ãîññåíà? 13. Çàïèøèòå ôóíêöèþ ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ â ñëó÷àå òîâàðîâ ñîâåðøåííûõ çàìåíèòåëåé. 14. Çàïèøèòå ôóíêöèþ ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ â ñëó÷àå âçàèìîäîïîëíÿþùèõ òîâàðîâ. 15. Çàïèøèòå ôóíêöèþ ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ â ñëó÷àå ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà. Çàâèñèò ëè îáúåì ñïðîñà íà òîâàð îò öåíû äðóãîãî òîâàðà? 16. Ïîÿñíèòå òåðìèí "ñðàâíèòåëüíàÿ ñòàòèêà". 17. ×òî íàçûâàþò êðèâîé "äîõîäïîòðåáëåíèå"? 18.  êàêîì ñëó÷àå òîâàð íàçûâàþò íîðìàëüíûì? 29 19.  êàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî òîâàð îòíîñèòñÿ ê ãðóïïå òîâàðîâ ïåðâîé íåîáõîäèìîñòè (necessary good)? 20.  êàêîì ïðîñòðàíñòâå ðèñóþò êðèâóþ Ýíãåëÿ? 21. ×òî òàêîå "ãîìîòåòè÷íûå ïðåäïî÷òåíèÿ"? 22. Ïðèâåäèòå íåñêîëüêî ïðèìåðîâ êâàçèëèíåéíûõ ôóíêöèé ïîëåçíîñòè. 23. Ïðèâåäèòå îïðåäåëåíèå êðèâîé "öåíà òîâàðà 2-ïîòðåáëåíèå"? 24. Êàêîé òîâàð íàçûâàþò îáû÷íûì, à êàêîé òîâàðîì Ãèôôåíà? 25.  êàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî òîâàð 2 âûñòóïàåò ñóáñòèòóòîì ïî îòíîøåíèþ ê òîâàðó 1, à â êàêîì êîìïëåìåíòîì? 26. Äàéòå îïðåäåëåíèå êðèâîé ñïðîñà íà òîâàð 2. 27. Êàêîâ ýêîíîìè÷åñêèé ñìûñë îáðàòíîé ôóíêöèè ñïðîñà? 28. Ïî÷åìó ïðè èçìåíåíèè öåíû îäíîãî òîâàðà ñ÷èòàþò, ÷òî èçìåíÿåòñÿ ïîêóïàòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü ôèêñèðîâàííîãî íîìèíàëüíîãî äîõîäà ïîòðåáèòåëÿ? 29. Êàê ñòðîèòñÿ ïðîìåæóòî÷íàÿ çàäà÷à ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà ïðè îöåíêå ýôôåêòà çàìåùåíèÿ è ýôôåêòà äîõîäà (ïî Ñëóöêîìó)? 30.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ çàêîí ñïðîñà? Áèáëèîãðàôèÿ 1. Âåäèíà Î.È., Äåñíèöêàÿ Â.Í., Âàðôîëîìååâà Ã.Á., Òàðàñþê À.Ô. Ìàòåìàòèêà. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç äëÿ ýêîíîìèñòîâ. Ì.: Ôèëèíú, 2002. 2. Âýðèàí Õ. Ð. Ìèêðîýêîíîìèêà. Ïðîìåæóòî÷íûé óðîâåíü. Ñîâðåìåííûé ïîäõîä. Ì.: ÞÍÈÒÈ, 1997 (ïåð. êí. H. R.Varian. Intermediate Microeconomics (A Modern Approach, 3rd Ed.) W.W. Norton & Company, 1992). 3. Ãàëüïåðèí Â.Ì., Èãíàòüåâ Ñ.Ì., Ìîðãóíîâ Â.È. Ìèêðîýêîíîìèêà. ÑÏá.: Ýêîíîìè÷åñêàÿ øêîëà, 1998. 4. Ñèìêèíà Ë.Ã., Êîðíåé÷óê Á.Â. Ìèêðîýêîíîìèêà. 2-å èçä. ÑÏá.: Ïèòåð, 2003. 30 5. Òàðàñåâè÷ Ë.Ñ., Ãðåáåííèêîâ Ï.È., Ëåóññêèé À.È. Ìèêðîýêîíîìèêà. Ì.: Þðàéò-Èçäàò, 2005. 6. Òèðîëü Æ. Ðûíêè è ðûíî÷íàÿ âëàñòü: òåîðèÿ îðãàíèçàöèè ïðîìûøëåííîñòè. Ïåð. ïîä ðåä. Ãàëüïåðèíà Â.Ì. è Çåíêåâè÷à Í.À. Ò. 1, 2. ÑÏá.: Ýêîíîìè÷åñêàÿ øêîëà, 2000. 7. Mas-Colell A., Winston M.D., Green J.R. Microeconomic Theory. Oxford Univ. Press, 1995. 8. Simon C. P., Blume L. Mathematics for Economists. N.Y.: W.W.Norton & Company, 1994. 9. Varian H.R. Microeconomic Analysis, 3rd Ed. W.W. Norton & Company, 1992. 31