ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Çàêîíû Ïàñêàëÿ è Àðõèìåäà À.ØÅÐÎÍΠΠÇÀÊÎÍÓ ÏÀÑÊÀËß, ÄÀÂëåíèå â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ â æèäêîñòè èëè ãàçå, ïåðåäàåòñÿ âî âñå ñòîðîíû áåç èçìåíåíèé.  ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Àðõèìåäà, íà òåëî, ïîãðóæåííîå â æèäêîñòü èëè ãàç, äåéñòâóåò âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, ðàâíàÿ âåñó æèäêîñòè èëè ãàçà, âûòåñíåííîãî ýòèì òåëîì.  ïîëå òÿæåñòè â æèäêîñòÿõ èëè ãàçàõ äàâëåíèå â òî÷êàõ, îòëè÷àþùèõñÿ ïî âûñîòå íà h, èçìåíÿåòñÿ íà ρgh , ãäå ρ ïëîòíîñòü æèäêîñòè èëè ãàçà, g óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå õàðàêòåðíûå ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ çàêîíîâ Ïàñêàëÿ è Àðõèìåäà ïðè ðåøåíèè çàäà÷. Çàäà÷à 1. Àòìîñôåðà Âåíåðû ñîñòîèò â îñíîâíîì èç óãëåêèñëîãî ãàçà ( CO 2 ), òåìïåðàòóðà êîòîðîãî âáëèçè ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû Ò = 800 Ê, à ïëîòíîñòü ρ = 6,6 ã/ë. Îöåíèòå çàïàñû CO 2 íà Âåíåðå, ñ÷èòàÿ, ÷òî òîëùèíà àòìîñôåðû ìíîãî ìåíüøå ðàäèóñà ïëàíåòû r = 6300 êì. Êàêîé òîëùèíû áûëà áû àòìîñôåðà Âåíåðû, åñëè áû îíà áûëà ðàâíîïëîòíîé ñ äàâëåíèåì è òåìïåðàòóðîé ãàçà, ðàâíûìè èõ çíà÷åíèÿì ó ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû? Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïà2 äåíèÿ íà Âåíåðå g = 8,2 ì ñ , óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R = = 8,31 Äæ ìîëü ⋅ Ê , ìîëÿðíàÿ ìàññà óãëåêèñëîãî ãàçà Ì = 44 ã/ìîëü. Ïî óðàâíåíèþ ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà, äàâëåíèå ó ïîâåðõíîñòè Âåíåðû ðàâíî ð = ρRT Μ . Ýòî æå äàâëåíèå ðàâíî âåñó àòìîñôåðû, äåëåííîìó íà ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû: p = b e 2 g j = mg 4 πr . Îòñþäà íàõîäèì ìàññó óãëåêèñëîãî ãàçà: 4 πr 2 ρRT 19 ≈ 6 ⋅ 10 êã. m= Μg  ðàâíîïëîòíîé àòìîñôåðå òîëùèíîé h äàâëåíèå ó ïîâåðõíîñòè (íà ãëóáèíå h) ðàâíî ρgh . Ñðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå ñ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ, íàõîäèì òîëùèíó ðàâíîïëîòíîé àòìîñôåðû: RT ≈ 2 ⋅ 104 ì . h= Μg Çàäà÷à 2. Ìûëüíûé ïóçûðü íàäóâàþò àçîòîì. Ïðè êàêîé âåëè÷èíå äèàìåòðà ïóçûðÿ îí íà÷íåò âñïëûâàòü â àòìîñôåðíîì âîçäóõå òîé æå òåìïåðàòóðû? Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå ìûëüíîãî ðàñòâîðà σ = = 45 ìÍ/ì, ìîëÿðíàÿ ìàññà âîçäóõà Μ â = 29 ã/ìîëü, àçîòà Μ a = = 28 ã/ìîëü, àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 = 10 5 Ïà, ìàññîé ïëåíêè ïðåíåáðå÷ü. Àçîò âíóòðè ìûëüíîãî ïóçûðÿ íàõîäèòñÿ ïîä èçáûòî÷íûì, ïî ñðàâíåíèþ ñ àòìîñôåðíûì, äàâëåíèåì ∆p = = 8σ d , ãäå d äèàìåòð ïóçûðÿ. Ýòîò ðåçóëüòàò ïðîùå âñåãî ïîëó÷èòü, åñëè ìûñëåííî ðàçðåçàòü ïóçûðü íà äâå ðàâíûå ïîëîâèíêè ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî öåíòð, è ðàññìîòðåòü óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ýòèõ ïîëîâèíîê. Åñëè èçáûòî÷íîå äàâëåíèå â ïóçûðå ðàâíî ∆p , òî ïîëîâèíêè îòðûâàþòñÿ 2 äðóã îò äðóãà ñ ñèëîé ∆pπd 4 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îíè ïðèòÿãèâàþòñÿ äðóã ê äðóãó ñèëàìè ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ìûëüíîé ïëåíêè, äåéñòâóþùèìè íà äëèíå îêðóæíîñòè πd è ðàâíûìè 2σπd (êîýôôèöèåíò «2» ó÷èòûâàåò íàëè÷èå äâóõ ïîâåðõíîñòåé ó ïëåíêè). Ñðàâíåíèå ýòèõ äâóõ ñèë è äàåò âåëè÷èíó èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ ïîä ïëåíêîé: ∆p = 8σ d . Ïóçûðü âñïëûâåò ïðè óñëîâèè, ÷òî âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, ðàâíàÿ âåñó âûòåñíåííîãî ïóçûðåì âîçäóõà ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè p0 , áîëüøå âåñà àçîòà, íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè ïóçûðÿ ïîä äàâëåíèåì p0 + ∆p . Ïî óðàâíåíèþ ñîñòîÿíèÿ ãàçà, Μ â p0 πd 3 ≥ c h Μ a p0 + ∆p πd 3 6 RT 6 RT îòêóäà íàõîäèì 8 σΜ a −4 ≈ 10 ì. d≥ p0 Μ â − Μ a c h , Çàäà÷à 3. Áàòèñêàô ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé øàð ðàäèóñîì r = 2 ì. Ïðè èñïûòàíèÿõ â ìîðå â íèæíåé ÷àñòè áàòèñêàôà îáðàçîâàëàñü òå÷ü, è îí çàòîíóë, à â åãî âåðõíåé ÷àñòè îáðàçîâàëàñü âîçäóøíàÿ ïðîñëîéêà â âèäå øàðîâîãî ñåãìåíòà òîëùèíîé h = 1 ì. ×åìó ðàâíà ãëóáèíà ìîðÿ Í, íà êîòîðîé çàòîíóë áàòèñêàô? Êàêàÿ ìàññà âîçäóõà ïîíàäîáèòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû âûòåñíèòü èç áàòèñêàôà âñþ âîäó? Íà÷àëüíîå (àòìîñôåðíîå) äàâëåíèå âîçäóõà â áàòèñêàôå ðàâíî äàâëåíèþ, êîòîðîå ñîçäàåò ñëîé âîäû òîëùèíîé H0 = 10 ì. Óêàçàíèå: îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà òîëùèíîé h ðàâåí ∆V = 2 = πh (3r − h) 3 . Ñâîáîäíàÿ ïîâåðõíîñòü âîäû âíóòðè áàòèñêàôà ãîðèçîíòàëüíà. Äàâëåíèå âáëèçè íåå, ðàâíîå äàâëåíèþ âîçäóõà â áàòèñêàôå, ìåíüøå äàâëåíèÿ â íèæíåé ÷àñòè áàòèñêàôà (òî÷êà À íà ðèñóíêå 1) íà âåëè÷èíó ρg 2 r − h , ãäå 3 3 ρ = 10 êã ì ïëîòíîñòü âîäû.  ñâîþ î÷åðåäü, äàâëåíèå â òî÷êå À (äíî b g 0 D ) Ðèñ. 1 âîäîåìà) ñêëàäûâàåòñÿ èç àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ è äàâëåíèÿ ñëîÿ âîäû òîëùèíîé Í. ×òîáû íàéòè ãëóáèíó âîäîåìà, íåîáõîäèìî äëÿ âîçäóõà, íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè áàòèñêàôà (åãî ìàññà ïî óñëîâèþ íå èçìåíèëàñü), çàïèñàòü çàêîí Áîéëÿ Ìàðèîòòà: b c gh ρg H0 + H − 2 r − h ⋅ ∆V = = ρgH0 ⋅ 4 3 3 πr . Ïî óñëîâèþ, h = r/2, ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî íàõîäèì H= 27 5 H0 + 3 2 r = 57 ì. ×òîáû íàéòè ìàññó âîçäóõà, íåîáõîäèìóþ äëÿ âûòåñíåíèÿ èç áàòèñêàôà âîäû, ó÷òåì, ÷òî â êîíöå, êîãäà âîçäóõ çàïîëíÿåò âåñü îáúåì áàòèñêàôà, åãî äàâëåíèå ïðåâûøàåò àòìîñôåðíîå íà ρgH . Èç óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ íàõî- !#