ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, 2. Íóæíî ñäåëàòü ïÿòü ïåðåëèâàíèé. Óêàçàíèå. Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ òåïëîâîãî áàëàíñà íàõîäèì, ÷òî ðàçíîñòü òåìïåðàòóð ïîñëå ïåðâîãî ïåðåëèâàíèÿ òóäà-îáðàòíî ñîñòàâèò 6 °Ñ, ïîñëå âòîðîãî 3,6 °Ñ, ïîñëå òðåòüåãî 2,16 °Ñ, ïîñëå ÷åòâåðòîãî 1,296 °Ñ, ïîñëå ïÿòîãî 0,7776 °Ñ. Çíà÷èò, äîñòàòî÷íî ïÿòè ïåðåëèâàíèé. 9 ÊËÀÑÑ ÐÅØÅÍÈß 61 Òåïåðü ìîæíî íàéòè ñêîðîñòü, êîòîðóþ áóäóò èìåòü îáà áðóñêà ïîñëå âçàèìîäåéñòâèÿ ñî ñòåíîé: u = v0 − µgt2 = v02 − 2aµg . Ýòî âòîðîé îòâåò çàäà÷è. 2. Àâòîáóñ, âåëîñèïåäèñò è ãðóçîâèê â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè îáðàçóþò ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê, îñíîâàíèå êîòîðîãî ëåæèò íà äîðîãå, ïî êîòîðîé åäóò àâòîáóñ è âåëîñèïåäèñò (ðèñ.10). Íàïðàâèì îñü Õ âäîëü ýòîé äîðîãè â íàïðàâëåíèè 1. Ïîñëå óäàðà âåðõíåãî áðóñêà î ñòåíó åãî ñêîðîñòü èçìåíèòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíóþ ïî íàïðàâëåíèþ, ñîõðàíèâ ñâîé ìîäóëü, à ñêîðîñòü íèæíåãî áðóñêà íå èçìåíèòñÿ. Çàòåì áðóñêè íà÷íóò äâèãàòüñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñ îäèíàêîâûìè ïî ìîäóëþ íà÷àëüíûìè ñêîðîñòÿìè è ðàâíûìè ïî ìîäóëþ, íî ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûìè óñêîðåíèÿìè. Èç-çà ýòîãî ñêîðîñòè áðóñêîâ áóäóò óìåíüøàòüñÿ, âñå âðåìÿ îñòàâàÿñü ðàâíûìè äðóã äðóãó.  ðåçóëüòàòå íèæíèé áðóñîê ëèáî íå äîñòèãíåò ñòåíû, ëèáî âñå æå óäàðèòñÿ î íåå, èìåÿ íåêîòîðóþ ñêîðîñòü u.  ïåðâîì ñëó÷àå îáà áðóñêà îñòàíóòñÿ ñòîÿòü íåïîäâèæíî íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè îò ñòåíû. Âî âòîðîì ñëó÷àå íèæíèé áðóñîê, óäàðèâøèñü î ñòåíó, ïîìåíÿåò íàïðàâëåíèå ñâîåé ñêîðîñòè íà ïðîòèâîïîëîæíîå, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïðîñêàëüçûâàíèå ìåæäó áðóñêàìè ïðåêðàòèòñÿ è îáà áðóñêà ïðîäîëæàò äâèæåíèå ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé u, â íàïðàâëåíèè îò ñòåíû. Ðàññìîòðèì îòäåëüíî îáà ñëó÷àÿ. Ïîìåñòèì íà÷àëî êîîðäèíàòíîé îñè Õ â óãîë ìåæäó ñòåíîé è ïîëîì è íàïðàâèì åå â ñòîðîíó ïåðâîíà÷àëüíîãî äâèæåíèÿ áðóñêîâ. ßñíî, ÷òî ïîñëå ïåðâîãî óäàðà ñèëà òðåíèÿ ìåæäó áðóñêàìè ñîñòàâëÿåò Fòð = µMg , óñêîðåíèå íèæíåãî è âåðõíåãî áðóñêîâ ïî ìîäóëþ ðàâíî Fòð M = µg . Òîãäà çàêîí äâèæåíèÿ ïåðåäíåé ãðàíè íèæíåãî áðóñêà èìååò âèä Ðèñ. 10 µgt , 2 à åãî ñêîðîñòü èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó Èç óñëîâèÿ çàäà÷è íàì èçâåñòåí ìîäóëü ñêîðîñòè ãðóçîâèêà, êîòîðûé ñâÿçàí ñ ïðîåêöèÿìè ñêîðîñòè ôîðìóëîé 2 x = −a + v0t − µgt < 0. 2 Ðåøàÿ åãî, íàõîäèì, ÷òî äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà, ñîäåðæàùåãîñÿ â íåðàâåíñòâå, îòðèöàòåëåí ïðè x = −a + v0t − vA+vB à äâèæåíèÿ àâòîáóñà è âåëîñèïåäèñòà, à îñü Y ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íåé. Òîãäà çàêîíû äâèæåíèÿ äëÿ àâòîáóñà, âåëîñèïåäèñòà è ãðóçîâèêà áóäóò èìåòü âèä bg x bt g = x B bg xà t = t2 = v0 ± µg v02 − 2aµg = t1 ± µg v02 − 2aµg . µg Äëÿ òîãî ÷òîáû íèæíèé áðóñîê ñòóêíóëñÿ î ñòåíó, íóæíî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå t 2 < t1 (èíà÷å áðóñîê îñòàíîâèòñÿ ðàíüøå, ÷åì äîåäåò äî ñòåíû). Ïîýòîìó îñòàåòñÿ òîëüêî ðåçóëüòàò ñî çíàêîì «ìèíóñ» ïåðåä êîðíåì: t2 = v0 − µg B0 v02 − 2aµg . µg B B bg xA 0 + xB 0 vA + vB + t , yà t = yÃ0 + vÃyt . 2 2 vÃ2 = FG v H A + vB 2 IJ + dv i , K 2 2 Ãy îòêóäà íàõîäèì ïðîåêöèþ ñêîðîñòè ãðóçîâèêà íà îñü Y: vÃy = vÃ2 − FG v H A + vB 2 IJ K 2 . Òåïåðü íàéòè ñêîðîñòü ãðóçîâèêà îòíîñèòåëüíî àâòîáóñà íå ñîñòàâëÿåò òðóäà. Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà, ïðèìåíåííîé ê òðåóãîëüíèêó ñêîðîñòåé, èìååì FG H 2 = vA − vîòí Çíà÷èò, ïðè v < 2aµg îáà áðóñêà â êîíöå êîíöîâ îñòàíîâÿòñÿ. Ýòî ïåðâûé îòâåò çàäà÷è. Ïóñòü òåïåðü v02 ≥ 2aµg . Èç çàêîíà äâèæåíèÿ íèæíåãî áðóñêà íàéäåì, ÷åðåç êàêîå âðåìÿ t 2 îí ñòóêíåòñÿ î ñòåíó: bg + v t , y btg = 0 , x A t = x A0 + vAt , y A t = 0 , v02 < 2a µg . 2 0 và vÃy Y 2 Ýòî è åñòü èñêîìîå óñëîâèå. Âðåìÿ, ÷åðåç êîòîðîå íèæíèé áðóñîê îñòàíîâèòñÿ, ìîæíî îïðåäåëèòü, ïðèðàâíÿâ ñêîðîñòü v íóëþ: v t1 = 0 . µg vB B X v = v0 − µgt , ïðè ýòîì âðåìÿ îòñ÷èòûâàåòñÿ îò ìîìåíòà óäàðà âåðõíåãî áðóñêà î ñòåíó. Íàéäåì óñëîâèå íà ñêîðîñòü v0 , ïðè êîòîðîé íèæíèé áðóñîê íå äîåäåò äî ñòåíû (íå äîñòèãíåò êîîðäèíàòû õ = 0). Îíî ïîëó÷àåòñÿ èç íåðàâåíñòâà vA A îòêóäà vA + vB 2 IJ + dv i , K 2 2 Ãy vîòí = vÃ2 − vAvB = 25 êì/÷. 10 ÊËÀÑÑ 1.  óñëîâèè ñêàçàíî, ÷òî êîðîáêà ëåãêàÿ. Çíà÷èò, åå ìàññîé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïîñêîëüêó äàâëåíèÿ âîçäóõà âíóòðè è âíå êîðîáêè âñå âðåìÿ îäèíàêîâû, ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî âñïëûâàþùàÿ êîðîáêà íèêîãäà íå óïðåòñÿ â êðûøêó öèëèíäðà. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ó÷åñòü ìàññó êîðîáêè, òî ðåçóëüòàò áóäåò çàâèñåòü îò ïëîòíîñòè ìàòåðèàëà ρì , èç êîòîðîãî îíà èçãîòîâëåíà. Åñëè ρì < ρ , òî êîðîáêà â êîíöå êîíöîâ âñïëûâåò è óïðåòñÿ â êðûøêó öèëèíäðà, à åñëè ρì > ρ , òî îíà óòîíåò. 2. Äîêàæåì, ÷òî åñëè øàðèê ïîâîðà÷èâàåò íà óãîë α < 180° çà äâà óäàðà, òî ïðè çàäàííîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòè åãî êîíå÷íàÿ ñêîðîñòü áóäåò ìàêñèìàëüíîé â òîì ñëó÷àå, åñëè ïðè êàæäîì óäàðå îí ïîâîðà÷èâàë íà óãîë α 2 . Ïóñòü äî ïåðâîãî óäàðà ïåðâûé øàðèê äâèãàëñÿ ñî ñêîðîñòüþ