äèì èñêîìóþ ìàññó âîçäóõà: m= ΜρgH ⋅ 4 πr 3 3 RT ≈ 225 êã, ãäå Ì = 29 ã/ìîëü ìîëÿðíàÿ ìàññà âîçäóõà, Ò = 290 Ê åãî òåìïåðàòóðà. Ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî â ñòàíäàðòíîì áàëëîíå îáúåìîì 40 ëèòðîâ ïîä äàâëåíèåì 200 àòìîñôåð ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå ñîäåðæèòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî 10 êã âîçäóõà. Çàäà÷à 4. Ñâàÿ â âèäå äâóõ ñîîñíûõ öèëèíäðîâ çàáèòà â ãðóíò äíà âîäîåìà ãëóáèíîé Í (ðèñ.2). Êàêàÿ ñèëà äåéñòâóåò íà ñâàþ ñî ñòîðîíû âîäû? 5 0 D D 5 òíàÿ ïëîòíîñòü íà ïîâåðõíîñòè. Äëÿ èçìåðåíèÿ êîíñòàíòû α â æèäêîñòü íà íèòè, ïðèêðåïëåííîé ê äèíàìîìåòðó, îïóñêàþò öèëèíäðè÷åñêîå òåëî äëèíîé L è ñå÷åíèåì S. Êîãäà òåëî ïåðåìåùàåòñÿ ïî âåðòèêàëè íà Í, îñòàâàÿñü öåëèêîì ïîãðóæåííûì â æèäêîñòü, ïîêàçàíèÿ äèíàìîìåòðà èçìåíÿþòñÿ íà ∆F . ×åìó ðàâíà êîíñòàíòà α ? Âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì Àðõèìåäà è íàéäåì ðàçíîñòü âûòàëêèâàþùèõ ñèë ïðè ïåðåìåùåíèè òåëà ïî âåðòèêàëè íà Í. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè òåëî îïóñêàåòñÿ, âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà óâåëè÷èâàåòñÿ, à ïîêàçàíèÿ äèíàìîìåòðà, ðàâíûå ðàçíîñòè âåñà òåëà è ñèëû Àðõèìåäà, óìåíüøàþòñÿ. Ïóñòü â íà÷àëå âåðõíÿÿ ãðàíü öèëèíäðà íàõîäèòñÿ íà ãëóáèíå h1 , íèæíÿÿ íà ãëóáèíå h1 + L, à â êîíöå âåðõíÿÿ íà ãëóáèíå h1 + Í, íèæíÿÿ íà ãëóáèíå h1 + Í + L. Òàê êàê ïëîòíîñòü æèäêîñòè ìåíÿåòñÿ ïî ëèíåéíîìó çàêîíó, âåñ âîäû, âûòåñíåííîé òåëîì â íà÷àëå, ïðîïîðöèîíàëåí ïëîùàäè òðàïåöèè, çàøòðèõîâàííîé íà ðèñóíêå 3: Ðèñ. 2 Ñå÷åíèå âåðõíåãî öèëèíäðà S1 , åãî âûñîòà h1 , ñå÷åíèå íèæíåãî öèëèíäðà S2 , âûñîòà åãî ÷àñòè, íàõîäÿùåéñÿ â âîäå, h2 . Ñèëû äàâëåíèÿ âîäû íà áîêîâûå ïîâåðõíîñòè ñâàè êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà. Âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà íèæíþþ ÷àñòü âåðõíåãî öèëèíäðà ñâàè ñå÷åíèåì S1 S2 , ðàâíà ρg H − h2 S1 − S2 , ãäå ρ ïëîòíîñòü âîäû. Ñèëà, ïðèæèìàþùàÿ ñâàþ ê ãðóíòó, äåéñòâóåò íà âåðõíåå îñíîâàíèå ñâàè ñå÷åíèåì S1 è ðàâíà ρg H − h1 − h2 S1 . Ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà ðàâíà ? D? ? ? D + h S D − ρgHS . 2 2 2 Êàê âèäíî, ñòðóêòóðà îòâåòà ïðîñòàÿ: îò îáû÷íîé âûòàëêèâàþùåé ñèëû, íàéäåííîé ïî çàêîíó Àðõèìåäà (ñîîòâåòñòâóþùèé îáúåì ñâàè íà ðèñóíêå çàøòðèõîâàí), îòíèìàåòñÿ ñèëà äàâëåíèÿ âîäû íà íèæíåå îñíîâàíèå ñâàè, êàê áû íàõîäÿùååñÿ íà óðîâíå äíà âîäîåìà.  çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó h1 , h2 , S1 , S2 , Í ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà ìîæåò áûòü êàê âûòàëêèâàþùåé, òàê è ïðèæèìàþùåé ñâàþ êî äíó âîäîåìà.  ïðèâåäåííûõ ôîðìóëàõ îòñóòñòâóåò òàêæå àòìîñôåðíîå äàâëåíèå. Âîïðîñ î òîì, ïðîíèêàåò ëè âîçäóõ ÷åðåç ãðóíò è òåì ñàìûì ïåðåäàåò ñâîå äàâëåíèå íà íèæíåå îñíîâàíèå ñâàè, çàáèòîé â ãðóíò, ìû îñòàâëÿåì íà ñóä ÷èòàòåëÿ. Çàäà÷à 5.  ñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòè ïëîòíîñòü óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ãëóáèíîé h ïî ëèíåéíîìó çàêîíó ρ(h) = ρ(0)(1 + αh) ,ãäå ρ(0) èçâåñ- ÊÂÀÍT 1999/¹1 ? D ? D. ρ h1 + ρ h1 + L 2 Àíàëîãè÷íî, âåñ âîäû, âûòåñíåííîé ρ ρ() D F = ρg h1 S1 !$ F1 = gSL h Ðèñ. 3 h+L òåëîì â êîíöå, ðàâåí F2 = gSL ? D ? h D. ÷åì âî âòîðîì. Íàéäèòå âûñîòó Í ñëîÿ æèäêîñòè, çàøåäøåé â òðóáêó â ïåðâîì ñëó÷àå. Îòíîøåíèå âíóòðåííåãî ñå÷åíèÿ òðóáêè S1 ê âíåøíåìó S2 ðàâíî 0,5. Ñèëà òÿæåñòè òðóáêè îñòàåòñÿ íåèçìåííîé, ïîýòîìó è âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäíà è òà æå.  ïåðâîì S S L H Ðèñ. 4 ñëó÷àå (ðèñ.4), ïî çàêîíó Àðõèìåäà, îíà ðàâíà ρgL1 S2 ρgHS1 , âî âòîðîì ρgL2 S2 , ãäå ρ ïëîòíîñòü âîäû. Ïðèðàâíÿâ ýòè ñèëû, ïîëó÷èì ? H = L1 − L2 D SS 2 = ∆L 1 S2 S1 = 10 ñì. Ïðèâåäåì âòîðîé âàðèàíò ðåøåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì çàêîíà Ïàñêàëÿ, õîòÿ â äàííîì ïðèìåðå îí è áîëåå ãðîìîçäêèé.  ïåðâîì ñëó÷àå ñèëà òÿæåñòè òðóáêè mg è ñèëà àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ p0 íà äíî ñå÷åíèåì S2 óðàâíîâåøåíû ñèëîé äàâëåíèÿ âîçäóõà, íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè òðóáêè ïðè äàâëåíèè p1 , íà âíóòðåííþþ ïîâåðõíîñòü äíà S1 è ñèëîé äàâëåíèÿ âîçäóõà è âîäû íà ïîâåðõíîñòü áîêîâûõ ñòåíîê ïðîáèðêè ïëîùàäüþ S2 S1 : ? D? D ρ h1 + H + ρ h1 + H + L mg + p0 S2 =p1 S1 + p0 + ρgL1 S2 − S1 . 2 Ïðè ýòîì èìååò ìåñòî î÷åâèäíîå ðàâåíñòâî p1 = p0 + ρg L1 − H . Ïðè ýòîì ðàçíîñòü ïîêàçàíèé äèíàìîìåòðà ñîñòàâëÿåò >C ∆F = F2 − F1 = gSLρ 0 αH , îòêóäà è íàõîäèì êîíñòàíòó α : α= ∆F >C gSLρ 0 H . Ýòó êîíñòàíòó ìîæíî íàéòè è èç ðàçíîñòè äàâëåíèé íà âåðõíåå è íèæíåå îñíîâàíèÿ öèëèíäðà äëèíîé L ïðè åãî ïåðåìåùåíèè ïî âåðòèêàëè íà Í (óáåäèòåñü â ýòîì ñàìîñòîÿòåëüíî). Çàäà÷à 6. Òðóáêà, çàïàÿííàÿ ñ îäíîãî êîíöà, îïóñêàåòñÿ â æèäêîñòü ñíà÷àëà îòêðûòûì êîíöîì âíèç, à çàòåì ââåðõ è ïëàâàåò, íàõîäÿñü â âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè. Äëèíà ïîãðóæåííîé â æèäêîñòü ÷àñòè òðóáêè â ïåðâîì ñëó÷àå íà ∆L = 5 ñì áîëüøå, ? D Âî âòîðîì ñëó÷àå ñèëà òÿæåñòè òðóáêè óðàâíîâåøåíà ñèëîé äàâëåíèÿ âîäû íà äíî ñå÷åíèåì S2 : mg = ρgL2 S2 . Ñèëû äàâëåíèÿ àòìîñôåðû íà ïîâåðõíîñòü òðóáêè â ýòîì ñëó÷àå ñêîìïåíñèðîâàíû. Èç ïðèâåäåííûõ ðàâåíñòâ íàõîäèì èñêîìóþ âûñîòó Í. Çàäà÷à 7. Íà äíå ëóíêè êóáè÷åñêîé ôîðìû ðàçìåðîì 10 × 10 × 10 ñì ëåæèò øàð, äèàìåòð êîòîðîãî íåìíîãî ìåíüøå 10 ñì.  ëóíêó íàëèâàþò âîäó 3 ïëîòíîñòüþ ρ = 1 ã ñì äî òåõ ïîð, ïîêà øàð íå íà÷èíàåò ïëàâàòü, êàñàÿñü äíà ëóíêè. Ïîñëå ýòîãî â ëóíêó äîëèëè åùå m = 250 ã âîäû òàê, ÷òî ëóíêà îêàçàëàñü çàïîëíåííîé âîäîé äî