Три эссе на физические темы
реклама
! Ê ÂÀÀ Í T « 2 0Ê 0 8 /¹ ØÊÎË À1 Í Ò Å » Òðè ýññå íà ôèçè÷åñêèå òåìû Ð.ÂÈÍÎÊÓÐ Òðàãè÷åñêèé ìèã íåâåñîìîñòè  èçâåñòíîì ðîìàíå Æþëÿ Âåðíà «Èç ïóøêè íà Ëóíó» êîñìè÷åñêèå ïóòåøåñòâåííèêè, ëåòÿùèå â îãðîìíîì àðòèëëåðèéñêîì ñíàðÿäå, ÿêîáû îùóòèëè ñîñòîÿíèå íåâåñîìîñòè â ìîìåíò, êîãäà ñíàðÿä ïåðåñåêàë öåíòð ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó Ëóíîé è Çåìëåé. (Ðå÷ü øëà î òî÷êå, ãäå ñèëû ïðèòÿæåíèÿ, ñîçäàâàåìûå Ëóíîé è Çåìëåé, îäèíàêîâû è ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíû.) Èçâåñòíûé àìåðèêàíñêèé ôèçèê-ýêñïåðèìåíòàòîð Ðîáåðò Âóä óêàçàë, ÷òî íà ñàìîì äåëå ñîñòîÿíèå íåâåñîìîñòè äîëæíî áûëî óñòàíîâèòüñÿ ïðè âûõîäå ñíàðÿäà èç àòìîñôåðû Çåìëè. Ýòîò æå âûâîä ñäåëàí è â êíèãå «Çàíèìàòåëüíàÿ ôèçèêà» çàìå÷àòåëüíîãî ïîïóëÿðèçàòîðà íàóêè ßêîâà Ïåðåëüìàíà. Ðîìàí Âèíîêóð áûë àâòîðîì èíòåðåñíûõ ïóáëèêàöèé â íàøåì æóðíàëå â 80-å ãîäû ïðîøëîãî âåêà. Ñåé÷àñ îí æèâåò â ÑØÀ, íî êîíòàêòà ñ æóðíàëîì íå òåðÿåò. (Ïðèì. ðåä.) Æþëü Âåðí óïóñòèë èç âèäó, ÷òî åñëè òåëî è åãî îïîðà äâèæóòñÿ â ïðîñòðàíñòâå ñ îäèíàêîâûìè óñêîðåíèÿìè, ñîîáùàåìûìè òîëüêî ãðàâèòàöèîííûìè ñèëàìè, òî äàâèòü äðóã íà äðóãà îíè íå ìîãóò. (Èìååòñÿ â âèäó óñêîðåíèå âî âíåøíåé ñèñòåìå îòñ÷åòà, íàïðèìåð îòíîñèòåëüíî öåíòðà Çåìëè èëè Ñîëíöà.) Ïîýòîìó êàê òîëüêî íà ñíàðÿä ïåðåñòàëè äåéñòâîâàòü ïîðîõîâûå ãàçû, âûòàëêèâàþùèå åãî èç îðóäèéíîãî ñòâîëà, è ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà (ïîñëå âûõîäà èç çåìíîé àòìîñôåðû), âñå ïðåäìåòû âíóòðè ñíàðÿäà äîëæíû ñòàòü íåâåñîìûìè. Ýòè íåãðàâèòàöèîííûå ñèëû äàâëåíèÿ ïîðîõîâûõ ãàçîâ è ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà äåéñòâîâàëè òîëüêî íà ñíàðÿä, òàê ÷òî ïîêà âñå îíè èëè èõ ðàâíîäåéñòâóþùàÿ íå ðàâíû íóëþ, óñêîðåíèå ñíàðÿäà îòëè÷íî îò óñêîðåíèÿ íàõîäÿùèõñÿ â íåì ïðåäìåòîâ. Îäíàêî ñîñòîÿíèå íåâåñîìîñòè ìîãëî âîçíèêíóòü âíóòðè ñíàðÿäà åùå ðàíüøå. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì íåãðàâèòàöèîííûå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ñíàðÿä äî è ïîñëå åãî âûëåòà èç ïóøêè. Âíóòðè ñòâîëà íà äâèæóùèéñÿ ñíàðÿä äåéñòâóåò ñèëà äàâëåíèÿ ïîðîõîâûõ ãàçîâ, êîòîðîé ïðîòèâîäåéñòâóþò ñèëà òðåíèÿ ñíàðÿäà î ñòåíêè ñòâîëà è ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà. Ïðè ýòîì ñèëà äàâëåíèÿ ïîðîõîâûõ ãàçîâ ñóùåñòâåííî ïðåâîñõîäèò ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà, áëàãîäàðÿ ÷åìó ñíàðÿä óñêîðÿåòñÿ â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ. Ïîñëå âûëåòà èç ñòâîëà íà ñíàðÿä äåéñòâóåò ëèøü îäíà íåãðàâèòàöèîííàÿ ñèëà ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà, íàïðàâëåííàÿ ïðîòèâ äâèæåíèÿ ñíàðÿäà. Çíà÷èò, ðàâíîäåéñòâóþùàÿ íåãðàâèòàöèîííûõ ñèë èçìåíèëà ñâîå íàïðàâëåíèå ïîñëå âûõîäà ñíàðÿäà èç ñòâîëà. Ïîýòîìó â êàêîé-òî ìîìåíò, êîãäà ñíàðÿä åùå íàõîäèëñÿ â ïóøêå, ýòà ðàâíîäåéñòâóþùàÿ áûëà ðàâíà íóëþ è íà ñíàðÿä äåéñòâîâàëà òîëüêî ñèëà òÿæåñòè, ÷òî è ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþ íåâåñîìîñòè. Ê ñîæàëåíèþ, êîñìè÷åñêèå ïóòåøåñòâåííèêè íå ñìîãëè áû îùóòèòü ñîñòîÿíèå íåâåñîìîñòè ïî ïðè÷èíå ãèáåëè èç-çà ãèãàíòñêèõ ïåðåãðóçîê ïðè ðàçãîíå ñíàðÿäà â îðóäèéíîì ñòâîëå Âïðî÷åì, ïî ìíåíèþ ïîýòà Èãîðÿ Ñåâåðÿíèíà, òâîð÷åñòâî Æþëÿ Âåðíà íå ïîäëåæèò êðèòè÷åñêîìó íàó÷íîìó àíàëèçó: Îí ïðåäñêàçàë ïîäâîäíûå ñóäà È êîðàáëè, ïëûâóùèå â ýôèðå. Îí ôàíòàñòè÷íåé âñåõ ôàíòàñòîâ â ìèðå È ïîòîìó âíå íàøåãî ñóäà.  êîíöå êîíöîâ, íèêòî íå áûâàåò âñåãäà è àáñîëþòíî ïðàâ, è ýòî ìîæíî ïîêàçàòü íà ïðèìåðå âñå òîé æå ôèçè÷åñêîé çàäà÷è. Ïîìèìî ãðàâèòàöèîííûõ ñèë ñî ñòîðîíû Ñîëíöà, Ëóíû è äðóãèõ êîñìè÷åñêèõ ãèãàíòîâ íà ñíàðÿä è ïðåäìåò âíóòðè íåãî äåéñòâóåò âçàèìíàÿ ñèëà ïðèòÿæåíèÿ, êîòîðàÿ ìàëà èç-çà ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøèõ ìàññ ýòèõ òåë è ïðàêòè÷åñêè íåîùóòèìà. Îäíàêî èç-çà ýòîãî ýôôåêòà àáñîëþòíîå ñîñòîÿíèå íåâåñîìîñòè íå ìîãëî áûòü äîñòèãíóòî. Ìèíóñ äâå ðûáû è îòêðûòèå ïîçèòðîíà Íàñ áûëî òðîå íà ðûáàëêå Äæîí, Ïîë è ÿ, Ãàððèñ. Òåìçà çäåñü èçîáèëóåò ùóêàìè, ïëîòâîé, óãðÿìè è óêëåéêîé. Ãóëÿÿ ïî áåðåãó, âû ìîæåòå âèäåòü èõ öåëûå ñòàè, íî ïîéìàòü èõ íà êðþ÷îê íå òàê ïðîñòî. Âðåìÿ øëî, à ðûáà íå ëîâèëàñü. È òîãäà Ïîë ðàññêàçàë íàì ñ Äæîíîì îá îäíîé ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷å, êîòîðóþ îí ðåøàë â ðîæ- ! ØÎÊÐÎÀËÒÀÎ ÐÂÈ ß «Ê ÀÍ ÒÅ ËÀÁ «Ê ÂÀ Í »Ò À » äåñòâåíñêîì êîíêóðñå, îðãàíèçîâàííîì Êåìáðèäæñêèì ñòóäåí÷åñêèì îáùåñòâîì: Òðè ðûáàêà óëåãëèñü ñïàòü, íå ïîäåëèâ óëîâà.  ÷àñ íî÷è ïðîñíóëñÿ îäèí èç íèõ è óåõàë äîìîé, âçÿâ ñ ñîáîé òðåòü óëîâà. Ïðè äåëåæêå íà òðè ðàâíûå ÷àñòè ó íåãî îêàçàëàñü ëèøíÿÿ ðûáà, êîòîðóþ îí âûáðîñèë â ðåêó.  äâà ÷àñà íî÷è ïðîñíóëñÿ âòîðîé ðûáàê è, íå çíàÿ, ÷òî îäèí èç åãî êîìïàíüîíîâ óæå óåõàë, ñíîâà ðàçäåëèë óëîâ íà òðè ðàâíûå ÷àñòè. Ó íåãî òîæå îñòàëàñü ëèøíÿÿ ðûáà, êîòîðóþ îí âûáðîñèë â ðåêó.  òðè íî÷è ïðîñíóëñÿ òðåòèé ðûáàê è ïðîäåëàë òó æå îïåðàöèþ, ïîäåëèâ óëîâ íà òðîèõ è âûáðîñèâ «ëèøíþþ» ðûáó. Ñêîëüêî ðûá âûëîâèëè ðûáàêè? Ìû ñ Äæîíîì äîñòàëè êàðàíäàø è áóìàãó è ïîëó÷èëè îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è: ðûáàêè ïîéìàëè (27N 2) ðûáû, ãäå N öåëîå ÷èñëî. Ïðè N = 1 ýòà ôîðìóëà äàåò 25 ðûá, à ïðè N = 2 ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ðûáàêè ïîéìàëè 52 ðûáû. Ìû ðåøèëè, ÷òî 25 ðûá íàèáîëåå ðåàëüíîå ÷èñëî, íî îêàçàëîñü, ÷òî Ïîë ïðåäëîæèë äðóãîå ðåøåíèå: ìèíóñ äâå ðûáû (ïðè N = 0). Ìû ñ Äæîíîì äðóæíî ðàññìåÿëèñü.  ñâîå âðåìÿ ñìåÿëèñü è ÷ëåíû æþðè êîíêóðñà, óâèäåâ òàêîå íåîáû÷íîå ðåøåíèå. Ìåæäó òåì, ìû ïîéìàëè ëèøü îäíó ðûáó íà òðîèõ, áîëüøå êëåâà íå áûëî, è ìû ðàçáðåëèñü ïî áåðåãó, èùà õîðîøåå ìåñòî êàæäûé â îòäåëüíîñòè. Âïðî÷åì, óäà÷à íàì íå ñîïóòñòâîâàëà. Ïåðâûì âåðíóëñÿ Äæîí, âñïîìíèâ, ÷òî åìó íàäî âîçâðàùàòüñÿ äîìîé ðàíüøå äðóãèõ. Ðåøèâ âçãëÿíóòü íàïîñëåäîê íà ðàíåå ïîéìàííóþ ðûáó, îí âûòàùèë åå èç âåäðà. Íåîæèäàííî ðûáà âûðâàëàñü èç åãî ðóê è íûðíóëà â ðåêó. Îãîð÷åííûé Äæîí ðåøèë âîçìåñòèòü ýòó îáùóþ ïîòåðþ. Îí ñáåãàë â ñîñåäíèé òðàêòèð, çàíÿë ó òðàêòèðùèêà ïîõîæóþ ðûáó èç ñâåæåãî óëîâà, áðîñèë åå â íàøå âåäðî è óåõàë äîìîé íå ïðîùàÿñü (êàê èñòèííûé àíãëè÷àíèí). Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî òðàêòèðùèê ïîñòàâèë óñëîâèå, ÷òîáû åìó âïîñëåäñòâèè âåðíóëè íå äåíüãè, à ðûáó. Çàòåì ïîÿâèëñÿ Ïîë, è ñ íèì ïðîèçîøëà òàêàÿ æå èñòîðèÿ îí òîæå çàäîëæàë òðàêòèðùèêó îäíó ðûáó. Ïîòîì ýòî ñëó÷èëîñü ñî ìíîé, êîãäà Äæîí è Ïîë óæå óåõàëè. Âñòðåòèâøèñü íà ñëåäóþùèé äåíü, ìû âûÿñíèëè, ÷òî ïðîèçîøëî, è äîëãî ñìåÿëèñü, òàê êàê â ðåçóëüòàòå ìû ïîéìàëè ðîâíî ìèíóñ äâå ðûáû: îäíó âûëîâèëè â ñàìîì íà÷àëå ðûáàëêè, à òðè ðûáû íàì ïðåäñòîÿëî ïîéìàòü, ÷òîáû âåðíóòü äîëã òðàêòèðùèêó. Íåïðèâû÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîå ðåøåíèå îêàçàëîñü âïîëíå ðåàëüíûì Ôàìèëèÿ Ïîëà áûëà Äèðàê, à åãî ñïåöèàëüíîñòüþ áûëà òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêà. Îäíàæäû Äèðàê, ðåøàÿ óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå äâèæåíèå ýëåêòðîíà, îáíàðóæèë îòðèöàòåëüíûå ðåøåíèÿ òàì, ãäå îáû÷íî ðàññìàòðèâàëèñü òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Âñïîìíèâ çàäà÷ó «î ìèíóñ äâóõ ðûáàõ», îí íå ïðåíåáðåã ýòèì ñëó÷àåì, à ïðåäïîëîæèë, ÷òî ó ýëåêòðîíà åñòü äâîéíèê, âî âñåì ïîäîáíûé ýëåêòðîíó, íî ñ ïîëîæèòåëüíûì ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäîì âìåñòî îòðèöàòåëüíîãî. Òàêàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà áûëà âñêîðå îáíàðóæåíà ýêñïåðèìåíòàëüíî, è åå íàçâàëè ïîçèòðîíîì. Âïîñëåäñòâèè äâîéíèêè-àíòè÷àñòèöû áûëè îòêðûòû ïî÷òè ó âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Îáúåìíûé âçðûâ íàä Òóíãóññêîé òàéãîé  èíòåðåñíîé ñòàòüå Ëüâà Äûõíî «Òóíãóññêàÿ êàòàñòðîôà: íîâàÿ ãèïîòåçà», íàïå÷àòàííîé â æóðíàëå «Âåñòíèê» â 1997 ãîäó, ÿ óâèäåë çíàêîìîå èìÿ Ìèõàèë Öèêóëèí, ÷ëåí êîìèññèè ïî èçó÷åíèþ Òóíãóññêîãî ìåòåîðèòà ïðè Àêàäåìèè íàóê ÑÑÑÐ. Êîãäà-òî â áûâøåé ñòðàíå Ñîâåòîâ íàóêà àññîöèèðîâàëàñü ñ ðîìàíòèêîé, à ôèçèêè ñ÷èòàëèñü âåñüìà óâàæàåìûì ñîñëîâèåì. Ìîëîäåæü çà÷èòûâàëàñü ðîìàíîì Äàíèèëà Ãðàíèíà «Èäó íà ãðîçó», à ôîòîãðàôèè Ýéíøòåéíà ñòàëè îáÿçàòåëü- íûì àòðèáóòîì äîìà è íà ðàáîòå. Êà÷àåò, êà÷àåò, êà÷àåò çàäèðà âåòåð ôîíàðè íàä ãîëîâîé. Øàãàåò, øàãàåò, øàãàåò âåñåëûé ïàðåíü ïî âåñåííåé ìîñòîâîé. Ëèñòàåò, ëèñòàåò, ëèñòàåò, ó÷åáíèê ôèçèêè ëèñòàåò íà õîäó. Íå çíàåò, íå çíàåò, íå çíàåò, ÷òî ÿ ïî óëèöå âñëåä çà íèì èäó, çâó÷àëà ïåñíÿ ïî ðàäèî èç ðåïðîäóêòîðîâ Çèìîé 1969 ãîäà ÿ, òîãäà òðåòüåêóðñíèê Ìîñêîâñêîãî ôèçèêî-òåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà, ïîïàë íà ïðàêòèêó â Èíñòèòóò ôèçèêè Çåìëè, ãäå Ìèõàèë Öèêóëèí çàâåäîâàë ëàáîðàòîðèåé. ß óæå óñïåë ïðî÷èòàòü åãî ñ ñîàâòîðàìè ñòàòüþ î ìîäåëèðîâàíèè Òóíãóññêîãî âçðûâà. Ïî ìíåíèþ Öèêóëèíà, îãðîìíîå êîñìè÷åñêîå òåëî âîøëî â àòìîñôåðó Çåìëè è, ïðîëåòàÿ íàä òàéãîé ñ áîëüøîé ñêîðîñòüþ, ñîçäàëî óäàðíóþ âîçäóøíóþ âîëíó, ïîâàëèâøóþ äåðåâüÿ.  ýêñïåðèìåíòå, ïîñòàâëåííûì äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû, ðîëü äåðåâüåâ èãðàëè ïëàñòìàññîâûå ìîäåëè, âîòêíóòûå â ïåñîê, à äëÿ ñîçäàíèÿ óäàðíîé âîëíû èñïîëüçîâàëñÿ øíóðîâîé âçðûâíîé çàðÿä, ïîëîãî íàòÿíóòûé íàä íèìè âäîëü ïðåäïîëàãàåìîé òðàåêòîðèè êîñìè÷åñêîãî ïðèøåëüöà.  êîíöå øíóðîâîãî çàðÿäà áûë ïðèêðåïëåí íåáîëüøîé ñôåðè÷åñêèé çàðÿä, èìèòèðóþùèé âçðûâ ìåòåîðèòà â êîíå÷íîé òî÷êå ïîëåòà. Ýêñïåðèìåíò ïîêàçàë, ÷òî ôîðìà çîíû, ãäå ïëàñòìàññîâûå ìîäåëè áûëè ïîâàëåíû, ñîîòâåòñòâóþò ðåàëüíîé êàðòèíå â Òóíãóññêîé òàéãå. Îäíàêî ñàì Öèêóëèí áûë íå î÷åíü óäîâëåòâîðåí ýòèì íàó÷íûì óñïåõîì. «Åñòü è äðóãèå ãèïîòåçû, ñêàçàë îí. Åñëè õîòèòå, ïðèõîäèòå äåëàòü äèïëîì ïî ýòîé òåìå. À ïîêà ÷èòàéòå è äóìàéòå ìîæåò ïîÿâèòñÿ ñâîÿ èäåÿ. Òîëüêî ïîìíèòå ïðèíöèï Îêêàìà: ÷åì ïðîùå ãèïîòåçà, òåì îíà íàäåæíåé. Êîå-êòî, íàïðèìåð, ïðåäïîëàãàåò, ÷òî â 1908 ãîäó íàä òàéãîé âçîðâàëñÿ èíîïëàíåòíûé êîñìè÷åñêèé êîðàáëü». Ïîòîì Öèêóëèí ÷èòàë íàøåé ãðóïïå êóðñ ïî òåîðèè âçðûâà.  èþíå 1969 ãîäà îí ïîïðîñèë íàøåãî ñîãëàñèÿ, ÷òîáû ïåðåíåñòè ýêçàìåí íà íåäåëþ ðàíüøå. «Ðàäè áîãà, èçâèíèòå çà íåóäîáñòâî, ãîâîðèë îí ñìóùåííî, îäíàêî ó ìåíÿ äåéñòâèòåëüíî âàæíàÿ ïðè÷èíà». Ïðè÷èíîé îêàçàëàñü òðóäíàÿ îïåðàöèÿ, ñðàçó ïîñëå êîòîðîé Öèêóëèí ñêîí÷àëñÿ. Åìó áûëî òîãäà 42 ãîäà. Ìû óñïåëè îáñóäèòü ñ íèì íåñêîëüêî íîâûõ ãèïîòåç è îñòàíîâèëèñü íà èäåå îáúåìíîãî âçðûâà ïûëè â âîçäóõå. Äàâíî èçâåñòíî, ÷òî ïðè ðàñïûëåíèè â âîçäóõå áûñòðî ñãîðàþùèõ ìåëêèõ ÷àñòèö óãîëüíîé ïûëè â øàõòàõ, ìó÷íîé ïûëè íà ìåëüíèöàõ, ñàõàðíîé ïóäðû íà êîíôåòíûõ ôàáðèêàõ è äàæå êàìåííîé ïûëè â êàìåíîëîìíÿõ è ñòðîÿùèõñÿ ãîðíûõ òóííåëÿõ íåðåäêî ñëó÷àëèñü òàê íàçûâàåìûå îáúåìíûå âçðûâû. Ôèçè÷åñêèé ýôôåêò ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïîñêîëüêó îòíîøåíèå ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè ê îáúåìó ó ïûëèíîê íàìíîãî áîëüøå, ÷åì ó òîãî æå âåùåñòâà, ñæàòîãî â êîìîê, ïûëèíêè ìîãóò áûñòðî ïðîãðåòüñÿ ýëåêòðè÷åñêèì ðàçðÿäîì èëè âñïûøêîé ïëàìåíè äî òåìïåðàòóðû âîñïëàìåíåíèÿ. Ïðè äîñòàòî÷íîì êîëè÷åñòâå êèñëîðîäà ñãîðàíèå ïðîèñõîäèò ïî÷òè ìãíîâåííî è ïîýòîìó ïîäîáíî âçðûâó. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, áëàãîäàðÿ áîëüøîé ñóììàðíîé ïîâåðõíîñòè äâèæóùàÿñÿ ïûëü ñðàâíèòåëüíî ëåãêî ýëåêòðèçóåòñÿ òðåíèåì ÷àñòèö î âîçäóõ è ìåæäó ñîáîé, ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü ýëåêòðè÷åñêèõ ðàçðÿäîâ äîâîëüíî âåëèêà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî Òóíãóññêèé ìåòåîðèò áûë ñðàâíèòåëüíî ìàëîé êîìåòîé, ïðîñìîòðåííîé àñòðîíîìàìè è ñîñòî(Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ.34) ! ÿ èññëåäîâàë îñòðîóìíî íàéäåííóþ ôîðìóëó äëÿ êîëè÷åñòâà, èëè ãðàäóñà, òåïëîòû â æèäêèõ ñìåñÿõ Ãåîðã Ðèõìàí Ñ ïîêîéíûì ïðîô. Ðèõìàíîì äåëàë ôèçèêî-õèìè÷åñêèå îïûòû äëÿ èññëåäîâàíèÿ ãðàäóñà òåïëîòû, êîòîðûé íà ñåáÿ âîäà ïðèíèìàåò îò ïîãàøåííûõ â íåé ìèíåðàëîâ, ïðåæäå ðàñêàëåííûõ. Ìèõàèë Ëîìîíîñîâ Íè÷åãî íå çíàÿ î ïðèðîäå òåïëîòû, ìîæíî ïîñòðîèòü ïîëíóþ ñèñòåìó òåðìîìåòðèè, åñëè ñìåøèâàòü ãîðÿ÷óþ è õîëîäíóþ âîäó è â êà÷åñòâå òåðìîñêîïà ïîëüçîâàòüñÿ íàøèìè òåïëîâûìè îùóùåíèÿìè. Óèëüÿì Òîìñîí (Êåëüâèí) äàæå áåç ïîìîùè òåðìîìåòðîâ ìû ìîæåì óëîâèòü ñòðåìëåíèå òåïëîòû ïåðåäàâàòüñÿ îò êàêîãî-ëèáî áîëåå ãîðÿ÷åãî òåëà ê áîëåå õîëîäíûì îêðóæàþùèì òåëàì äî òåõ ïîð, ïîêà îíà íå áóäåò ðàñïðåäåëåíà ìåæäó íèìè òàê, ÷òî íè îäíî èç íèõ íå áóäåò áîëåå ñêëîííî çàáèðàòü òåïëîòó îò îñòàëüíûõ. Äæîçåô Áëýê Âíåøíåå âîçäåéñòâèå, âûâîäÿùåå ñèñòåìó èç òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ, âûçûâàåò â íåé ïðîöåññû, ñòðåìÿùèåñÿ îñëàáèòü ðåçóëüòàòû ýòîãî âîçäåéñòâèÿ. Àíðè Ëå Øàòåëüå À òàê ëè õîðîøî çíàêîìî âàì ? òåïëîâîå ðàâíîâåñèå Ðàçóìååòñÿ, õîðîøî! Âåäü òåïëîâûå ÿâëåíèÿ íà÷èíàþò èçó÷àòüñÿ â øêîëå îäíèìè èç ïåðâûõ. È çà ïîìåùåííûìè çäåñü ôðàãìåíòàìè èç íàó÷íûõ òðóäîâ ñðàçó óãàäûâàþòñÿ çàäà÷è íà èñïîëüçîâàíèå óðàâíåíèÿ òåïëîâîãî áàëàíñà èëè ëàáîðàòîðíûå ðàáîòû ïî íàõîæäåíèþ òåìïåðàòóðû ñìåøèâàåìûõ æèäêîñòåé. Äà è â îáèõîäå ìû ïîñòîÿííî ñòàëêèâàåìñÿ ëèáî ñ îïðåäåëåíèåì òåìïåðàòóðû íàøåãî òåëà ñ ïîìîùüþ ãðàäóñíèêà, ëèáî ñ ïðèãîòîâëåíèåì âàííû êîìôîðòíîé òåìïåðàòóðû äëÿ ÷åãî ìåøàåì ãîðÿ÷óþ âîäó ñ õîëîäíîé, ëèáî ñ äîáàâëåíèåì â îáæèãàþùèé ÷àé èëè êîôå ìîëîêà íå äîæèäàÿñü èõ îñòûâàíèÿ.  îáùåì, òåïëîâîå ðàâíîâåñèå ýòî òàê íàãëÿäíî è ïðîñòî! Îäíàêî óæå â ñòàðøèõ êëàññàõ, ïðè çíàêîìñòâå ñ çàêîíàìè òåðìîäèíàìèêè, ýòà ïðîñòîòà ïåðåñòàåò êàçàòüñÿ ñòîëü î÷åâèäíîé. Êàê âû îòíåñåòåñü, íàïðèìåð, ê èäåå «òåïëîâîé ñìåðòè Âñåëåííîé», ê êîòîðîé äîëæíî áûëî áû ïðèâåñòè âñåîáùåå ñòðåìëåíèå ê âûðàâíèâàíèþ òåìïåðàòóðû? Îêàçûâàåòñÿ, âñå ïîïûòêè îáúÿñíèòü, ïî÷åìó ýòîãî íå ïðîèçîøëî çà íåâîîáðàçèìî äîëãóþ èñòîðèþ íàøåãî ìèðîçäàíèÿ, áûëè òùåòíûìè äî ñîçäàíèÿ îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Åùå îäíèì ïðèìåðîì íåòðèâèàëüíîñòè ïîíÿòèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ è åãî ãëóáîêîé ñâÿçè ñ äðóãèìè ðàçäåëàìè íàóêè ñëóæèò ïðèâåäåííûé â ýïèãðàôå ïðèíöèï Ëå Øàòåëüå. Ñ èíîé åãî ôîðìóëèðîâêîé âû âñòðåòèòåñü, íàïðèìåð, ïðè èçó÷åíèè ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè èëè õèìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ÷òî ïîäòâåðäèò åãî ñïðàâåäëèâîñòü è çà ðàìêàìè òåïëîâûõ ÿâëåíèé. Íåëüçÿ îáîéòè âíèìàíèåì è ïðîáëåìû, âîçíèêøèå ó êëàññè÷åñêîé òåðìîäèíàìèêè ïðè ïåðåõîäå ê èññëåäîâàíèþ îòêðûòûõ ñèñòåì è íåðàâíîâåñíûõ ïðîöåññîâ, ïðîòåêàþùèõ êàê â æèâîé, òàê è â íåæèâîé ïðèðîäå. Âåäü âîçíèêíîâåíèå ðàçíîîáðàçíåéøèõ ñòðóêòóð, èõ «ñàìîîðãàíèçàöèÿ», â êîíå÷íîì ñ÷åòå ñàìî ïîÿâëåíèå æèçíè íå ñîãëàñóþòñÿ ñ óñòîÿâøèìèñÿ ïðåäñòàâëåíèÿìè î ðàçðóøåíèè âñåãî ñòðîéíîãî è óïîðÿäî÷åííîãî ïðè ýâîëþöèè ê ðàâíîâåñíûì, õàîòè÷åñêèì ñîñòîÿíèÿì. Âîò êàê äàëåêî ìîãóò ïðèâåñòè íàñ ðàçìûøëåíèÿ íàä âðîäå áû íåõèòðûìè âîïðîñàìè. Ïîýòîìó, îáäóìûâàÿ èõ, íå óïóñòèòå çà âíåøíåé íåçàìûñëîâàòîñòüþ ãëóáîêîãî èõ ñîäåðæàíèÿ. Âîïðîñû è çàäà÷è 1. Ïî÷åìó êàëîðèìåòðû äåëàþò èç ìåòàëëà, à íå èç ñòåêëà? 2. Âåðíî ëè, ÷òî ïðè òåïëîîáìåíå ýíåðãèÿ âñåãäà ïåðåõîäèò îò òåë ñ áîëüøåé âíóòðåííåé ýíåðãèåé ê òåëàì ñ ìåíüøåé âíóòðåííåé ýíåðãèåé? 3. Íîðìàëüíàÿ òåìïåðàòóðà ÷åëîâå÷åñêîãî òåëà îêîëî !% o + . Îò÷åãî æå íàì íå õîëîäíî ïðè òåìïåðàòóðå âîçäóõà # o + è î÷åíü æàðêî ïðè !% o + ? 4. Ïî÷åìó â î÷åíü æàðêóþ ïîãîäó íåò ñìûñëà îáìàõèâàòüñÿ âååðîì? 5. Êàê âëèÿåò âåòåð íà ïîêàçàíèÿ òåðìîìåòðà â ìîðîçíûé äåíü? Ðàññìîòðèòå äâà ñëó÷àÿ: à) òåðìîìåòð íàõîäèòñÿ â òåíè; á) òåðìîìåòð îñâåùåí ñîëíå÷íûìè ëó÷àìè. 6. Åñëè ó âàñ èìåþòñÿ äâà íåïðîãðàäóèðîâàííûõ òåðìîìåòðà, òî êàê îïðåäåëèòü, êàêîé èç íèõ íàãðåò áîëüøå? 7.  æàðêóþ ïîãîäó â òåíè îäèí òåðìîìåòð êëàäóò â ëóæó, à äðóãîé êëàäóò íà ñêàìåéêó è ïîëèâàþò âîäîé èç òîé æå ëóæè. Êàêîé èç òåðìîìåòðîâ ïîêàçûâàåò áîëåå âûñîêóþ òåìïåðàòóðó? 8. Ìîæíî ëè äîâåñòè âîäó äî êèïåíèÿ, ïîäîãðåâàÿ åå ñòîãðàäóñíûì ïàðîì ïðè íîðìàëüíîì àòìîñôåðíîì äàâëåíèè? 9. Áîëüøîé ñîñóä ñ êèïÿ÷åíîé âîäîé, â êîòîðîì ïëàâàåò ñòàêàí ñ ñûðîé âîäîé, ñòàâÿò íà íàãðåâàòåëü. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ âîäà â ñòàêàíå çàêèïàåò ðàíüøå, ÷åì â ñîñóäå. Êàê ýòî îáúÿñíèòü? 10. Ìîæíî ëè âñêèïÿòèòü âîäó â áóìàæíîì ñòàêàí÷èêå? 11. Îòêóäà áåðåòñÿ ýíåðãèÿ, ïîääåðæèâàþùàÿ êèïåíèå âîäû â ÷àéíèêå â òå÷åíèå íåñêîëüêèõ ñåêóíä ïîñëå ñíÿòèÿ ÷àéíèêà ñ ãàçîâîé ïëèòû? 12. Íà îäèíàêîâûå ïëèòêè ïîñòàâèëè äâå îäèíàêîâûå êàñòðþëè ñ ðàâíûìè êîëè÷åñòâàìè âîäû ïðè îäíîé è òîé æå òåìïåðàòóðå. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ â ïåðâóþ êàñòðþëþ äîëèëè íåìíîãî âîäû èç êèïÿùåãî ÷àéíèêà.  êàêîé èç êàñòðþëü âîäà çàêèïèò áûñòðåå? 13.  õîëîäíóþ âîäó îïóñêàþò íàãðåòûé â êèïÿùåé âîäå ìåòàëëè÷åñêèé áðóñîê.  êàêîì ñëó÷àå âîäà íàãðååòñÿ áîëüøå: åñëè áðóñîê àëþìèíèåâûé èëè ñâèíöîâûé? Îáúåìû áðóñêîâ îäèíàêîâû. 14. Ìåäíûé êóáèê À èìååò òåìïåðàòóðó o + , òàêèå æå ìåäíûå êóáèêè  è Ñ èìåþò òåìïåðàòóðó o + . Ïóòåì òåïëîîáìåíà ìåæäó íèìè íóæíî îõëàäèòü êóáèê À äî òåìïåðàòóðû # o + è íàãðåòü çà ñ÷åò ýòîãî êóáèêè  è Ñ äî òåìïåðàòóðû %# o + . Âîçìîæíî ëè ýòî? Òåïëîîáìåíîì ìåæäó êóáèêàìè è âîçäóõîì ïðåíåáðå÷ü. 15. Ïî÷åìó ëåä äîëüøå íå òàåò, åñëè åãî çàâåðíóòü â ìîêðóþ ãàçåòó? 16. Çà÷åì â ïîãðåáàõ â õîëîäíóþ ïîãîäó ðÿäîì ñ îâîùàìè ñòàâÿò áîëüøèå åìêîñòè ñ âîäîé? 17. Åñëè â âîäó ïðè òåìïåðàòóðå o + áðîñèòü êóñîê o ëüäà ïðè òåìïåðàòóðå + , ïðîèçîéäåò çàìåòíîå óâåëè÷åíèå ìàññû ëüäà. Êðèñòàëëèçàöèÿ âîäû ñîïðîâîæäàåòñÿ âûäåëåíèåì çíà÷èòåëüíîãî êîëè÷åñòâà òåïëîòû, ïî÷åìó æå ïðè ýòîì âîäà íå íàãðåâàåòñÿ? 18. Ïðè ïîìåùåíèè â ïåðåîõëàæäåííóþ âîäó íåáîëüøîãî êðèñòàëëèêà ëüäà âîäà íåìåäëåííî íà÷èíàåò çàìåðçàòü. Êàêóþ òåìïåðàòóðó äîëæíà áûëà áû èìåòü ïåðåîõëàæäåííàÿ âîäà, ÷òîáû öåëèêîì ïðåâðàòèòüñÿ â ëåä? Òåïëîåìêîñòü âîäû ñ÷èòàòü íå çàâèñÿùåé îò òåìïåðàòóðû. 19.  ñîñóäå íàõîäÿòñÿ â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè ëåä è âîäà îäíîé è òîé æå ìàññû. ×åðåç ñîñóä ïðîïóñêàþò ïàð ïðè òåìïåðàòóðå o + è â òîì æå êîëè÷åñòâå. Êàêàÿ óñòàíîâèòñÿ êîíå÷íàÿ òåìïåðàòóðà? Ïîòåðÿìè òåïëà ïðåíåáðå÷ü. Ìèêðîîïûò Ïîñòàâüòå ðÿäîì òðè âìåñòèòåëüíûõ ñîñóäà: ñ ãîðÿ÷åé âîäîé ñëåâà, ñ õîëîäíîé âîäîé ñïðàâà è ñî ñìåñüþ ãîðÿ÷åé è õîëîäíîé âîäû â öåíòðå. Ïîäåðæàâ ïðàâóþ è ëåâóþ ðóêè â ñîîòâåòñòâóþùèõ åìêîñòÿõ íåñêîëüêî ìèíóò, îäíîâðåìåííî îïóñòèòå èõ â öåíòðàëüíûé ñîñóä. Îïèøèòå âàøè îùóùåíèÿ è ïîñòàðàéòåñü èõ îáúÿñíèòü. Ëþáîïûòíî, ÷òî òåïëîì Ïëàòîí ñ÷èòàë òî, ÷òî îñòàåòñÿ îò îãíÿ â íàêàëåííûõ òåëàõ, êîãäà ïëàìÿ ïîòóøåíî; Áýêîí ïîëàãàë òåïëîòó «ðàñøèðÿþùèìñÿ äâèæåíèåì»; ïî ìíåíèþ Ãàññåíäè, òåïëî è õîëîä ðàçíûå ìàòåðèè, ïðè÷åì õîëîä ñîñòîèò èç «îñòðûõ» àòîìîâ â ôîðìå òåòðàýäðà; Ãàëèëåé æå ó÷èë, ÷òî õîëîä íå ÿâëÿåòñÿ «ïîëîæèòåëüíûì êà÷åñòâîì», à åñòü âñåãî ëèøü îòñóòñòâèå òåïëà. ýêñïåðèìåíò, îïèñàííûé â «Ìèêðîîïûòå», áûë ïðîâåäåí åùå â XVII âåêå àíãëèéñêèì ôèëîñîôîì Äæîíîì Ëîêêîì äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóáúåêòèâíîñòè ÷åëîâå÷åñêèõ îùóùåíèé. Íî, ïîìèìî ôèëîñîôñêîãî çíà÷åíèÿ, îïûò íàâñåãäà çàêðûë âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü íàøå òåëî â êà÷åñòâå òåðìîìåòðè÷åñêîãî ïðèáîðà è äàòü ñ åãî ïîìîùüþ îïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû. ðàáîòà Ðèõìàíà «Ðàçìûøëåíèå î êîëè÷åñòâå òåïëîòû, êîòîðîå äîëæíî ïîëó÷àòüñÿ ïðè ñìåøèâàíèè æèäêîñòåé, èìåþùèõ îïðåäåëåííûå ãðàäóñû òåïëîòû», äîëîæåííàÿ èì â 1744 ãîäó â Ïåòåðáóðãñêîé Àêàäåìèè íàóê, ïîëîæèëà íà÷àëî òî÷íûì êîëè÷åñòâåííûì ðàñ÷åòàì â îáëàñòè òåïëîòåõíèêè. Õîòÿ ñàì Ðèõìàí íå ðàçãðàíè÷èâàë ïîíÿòèÿ «òåìïåðàòóðà» è «òåïëîòà», åìó óäàëîñü âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû ñìåñè îäíîðîäíûõ æèäêîñòåé è ýêñïåðèìåíòàëüíî èññëåäîâàòü âëèÿíèå íà òåïëîîáìåí òåìïåðàòóðû, ôîðìû è ïîâåðõíîñòè òåë, à òàêæå ñêîðîñòè äâèæåíèÿ îõëàæäàþùåé ñðåäû. îïûòû Ðèõìàíà ïîâòîðèë â 1772 ãîäó øâåäñêèé ôèçèê Èîãàíí Âèëüêå, ââåäøèé çàòåì åäèíèöó èçìåðåíèÿ êîëè÷åñòâà òåïëîòû. Îíà ëåãëà â îñíîâó ñîâðåìåííîãî îïðåäå- ëåíèÿ êàëîðèè, ïðàâäà ýòî íàçâàíèå âîçíèêëî ëèøü â 1852 ãîäó âî Ôðàíöèè. Ñ ïîÿâëåíèåì äæîóëÿ êàëîðèÿ ñòàëà âûòåñíÿòüñÿ èç íàó÷íîãî óïîòðåáëåíèÿ, îäíàêî îíà äî ñèõ ïîð â õîäó, íàïðèìåð, ïðè îöåíêå ýíåðãåòè÷åñêîé öåííîñòè ïðîäóêòîâ ïèòàíèÿ. íåñìîòðÿ íà äîëãóþ ïóòàíèöó â îïðåäåëåíèè òåïëîâûõ ïîíÿòèé è èñïîëüçîâàíèå ìèôè÷åñêîé ìàòåðèàëüíîé ñóùíîñòè òåïëîðîäà, ê XIX âåêó áûë çàëîæåí ôóíäàìåíò òåðìîìåòðèè ðàçäåëà ôèçèêè, èçó÷àþùåãî ñïîñîáû èçìåðåíèÿ òåìïåðàòóðû, è êàëîðèìåòðèè ñóììû ìåòîäîâ èçìåðåíèÿ ðàçëè÷íûõ òåïëîâûõ ýôôåêòîâ. äàâíî èçâåñòíûå òåïëîâûå ÿâëåíèÿ äëèòåëüíîå âðåìÿ ïðåäñòàâàëè îáëàñòüþ, ñîâåðøåííî îáîñîáëåííîé îò ÿâëåíèé ìåõàíè÷åñêèõ. Íåóäèâèòåëüíû ïîýòîìó ïîïûòêè ó÷åíûõ íàéòè ñâÿçü òåïëîòû ñ ìåõàíèêîé, òðàêòóÿ, ñêàæåì, òåìïåðàòóðó êàê àíàëîã äàâëåíèÿ â ñïëîøíîé ñðåäå. Ïîäîáíî òîìó êàê ìåõàíè÷åñêîå ðàâíîâåñèå â òàêîé ñðåäå îáðàçóåòñÿ ïðè âûðàâíèâàíèè äàâëåíèé, òåïëîâîå ðàâíîâåñèå òðåáóåò ðàâåíñòâà òåìïåðàòóð. ïîíÿòèå òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ, ÷åðåç êîòîðîå â ôèçèêå ïðèõîäÿò ê ïîíÿòèþ òåìïåðàòóðû, ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü êàê äèíàìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå, êîãäà ïðîöåññû ìîëåêóëÿðíîãî ìàñøòàáà èäóò âåñüìà èíòåíñèâíî, íî âñå ìàêðîñêîïè÷åñêèå ïðîöåññû ïðåêðàùàþòñÿ. ïåðâûì ïðèìåðîì ïðîöåññà óñòàíîâëåíèÿ òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ, êîãäà òåïëî ïåðåäàåòñÿ îò áîëåå õàîòè÷åñêîé ñèñòåìû ê áîëåå óïîðÿäî÷åííîé, áûëî áðîóíîâñêîå äâèæåíèå. Ìàëåíüêèå ÷àñòèöû ïðèìåñè â æèäêîñòè îáðàçóþò ñèñòåìó, ñõîæóþ ñ èäåàëüíûì ãàçîì ÷àñòèö, õîòÿ è íå âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìåæäó ñîáîé, íî èñïûòûâàþùèõ äåéñòâèå ìîëåêóë æèäêîñòè, â êîòîðîé îíè ïëàâàþò. â íàãðåòîé ïëàçìå â îäíîì ìåñòå ìîãóò áûòü äâå òåìïåðàòóðû. Êàæäàÿ èç âõîäÿùèõ â ñîñòàâ ïëàçìû ñèñòåì ýëåêòðîíû è èîíû íàõîäèòñÿ ñàìà ïî ñåáå â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè. Ïîòîê òåïëà ìåæäó èîíàìè è ýëåêòðîíàìè òåì íå ìåíåå ñóùåñòâóåò, íî îí î÷åíü ñëàá, è òåìïåðàòóðû âûðàâíèâàþòñÿ ñðàâíèòåëüíî ìåäëåííî. îïûòíàÿ ïðîâåðêà ïåðâîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè íå îäèí ðàç ïðîâîäèëàñü â ñïåöèàëüíûõ êàëîðèìåòðàõ, ãäå èçìåðÿëàñü òåïëîòà, âûäåëÿåìàÿ â ïðîöåññàõ æèçíåäåÿòåëüíîñòè ðàçëè÷íûìè ñóùåñòâàìè îò ìûøè äî ÷åëîâåêà. Êàê îêàçàëîñü, îíà ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâîâàëà ýíåðãèè, ïîãëîùåííîé âìåñòå ñ ïèòàòåëüíûìè âåùåñòâàìè. Ýòî îòðèöàëî èäåþ î òîì, ÷òî îðãàíèçìû ìîãóò ÿâëÿòüñÿ íåçàâèñèìûìè èñòî÷íèêàìè êàêîãî-ëèáî íîâîãî âèäà ýíåðãèè, à â êîíå÷íîì èòîãå ïðèâåëî ê ïðåäñòàâëåíèþ î æèâûõ îðãàíèçìàõ êàê îá îòêðûòûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, äàëåêèõ îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ. ×òî ÷èòàòü â «Êâàíòå» î òåïëîâîì ðàâíîâåñèè (ïóáëèêàöèè ïîñëåäíèõ ëåò) 1. «Êîñòðû â ïîëå è ðóññêàÿ áàíÿ» 2002, ¹ 1, ñ. 31; 2. «Òåïëîâûå ñâîéñòâà âîäû» 2002, ¹ 3, ñ. 10; 3. «Îáðàòèìûå è íåîáðàòèìûå ïðîöåññû â òåðìîäèíàìèêå» 2003, Ïðèëîæåíèå ¹ 4, ñ. 44; 4. «Ãäå íàéòè ïðîøëîãîäíþþ çèìó?» 2004, Ïðèëîæåíèå ¹ 4, ñ. 69; 5. «Òåïëîåìêîñòü ðàâíîâåñíûõ òåïëîâûõ ïðîöåññîâ» 2005, ¹ 3, ñ. 44; 6. «Òåïëî è õîëîä: ôèçèêà è áèîëîãèÿ» 2006, Ïðèëîæåíèå ¹ 6, ñ. 100; 7. «Êàëåéäîñêîï «Êâàíòà» 2004, ¹ 3, ñ. 32; 2007, ¹ 1, ñ. 32; 8. «Ðàáîòà ãàçà ïðè ïåðåõîäå èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå» 2007, ¹ 3, ñ. 43; 9. «Òåìïåðàòóðà» 2007, Ïðèëîæåíèå ¹5. Ìàòåðèàë ïîäãîòîâèë À.Ëåîíîâè÷ !" ÊÂÀÍT 2008/¹1 (Íà÷àëî ñì. íà ñ. 30) ÿâøåé â îñíîâíîì èç óãëèñòîãî õîíäðèòà. Ìîãëî ïðîèçîéòè âîò ÷òî. Êîìåòà, ñ åå íåáîëüøèì òâåðäûì ÿäðîì è îáúåìèñòûì ïûëåâûì øëåéôîì, ïîëîãî âîøëà â çåìíóþ àòìîñôåðó è âûçâàëà ïîíà÷àëó ñâå÷åíèå îáëàêîâ â çîíå äëèíîé îêîëî òûñÿ÷è êèëîìåòðîâ, íàáëþäàåìîå ðÿäîì ñâèäåòåëåé. Îáëàêî óãëèñòîé ïûëè, âûòÿíóâøååñÿ âäîëü òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ, ïîä äåéñòâèåì çåìíîãî òÿãîòåíèÿ îïóñêàëîñü âñå íèæå è íèæå, ïîêà íå äîñòèãëî ïëîòíûõ ñëîåâ àòìîñôåðû, ãäå êèñëîðîäà óæå áûëî äîñòàòî÷íî äëÿ áûñòðîãî ñãîðàíèÿ. Ðîëü äåòîíàòîðà ìîã ñûãðàòü ýëåêòðè÷åñêèé ðàçðÿä â àòìîñôåðå (íàïðèìåð, ìîëíèÿ). Ïîñëå âçðûâà îñòàòêè íåáåñíîãî òåëà óïàëè íà çåìëþ â âèäå ÷åðíîé ïûëè, ñîäåðæàùåé óãëèñòûé õîíäðèò. Òåìà ñ âàðèàöèÿìè Îáúåìíàÿ, èëè âàêóóìíàÿ, áîìáà äàâíî èìååòñÿ â âîåííûõ àðñåíàëàõ, íî øèðîêî íå ïðèìåíÿåòñÿ (ñóùåñòâóþò îïðåäåëåííûå ìåæäóíàðîäíûå ñîãëàøåíèÿ íà ýòîò ñ÷åò).Ïðè åå ïåðâè÷íîé äåòîíàöèè âûäåëÿåòñÿ îáëàêî âçðûâ÷àòîãî ãåëÿ, çàòåêàþùåå â ùåëè, îêîïû è óáåæèùà. Ïîòîì (ñåêóíä ÷åðåç äâàäöàòü) ñðàáàòûâàåò âòîðîé äåòîíàòîð, è îáëàêî âçðûâàåòñÿ ïî âñåìó ñâîåìó îáúåìó. Èíòåðåñíî, ÷òî ãèïîòåçà Ëüâà Äûõíî ïî ñóùåñòâó òîæå áàçèðóåòñÿ íà èäåå îáúåìíîãî âçðûâà. Îäíàêî â åãî ìîäåëè íåîáõîäèìî îäíîâðåìåííîå íàëè÷èå äâóõ ðåäêèõ ÿâëåíèé íåáåñíîãî òåëà, ïðèíåñøåãî êîñìè÷åñêèå ÷àñòèöû, è áîëüøîãî ãàçîâîãî âûáðîñà èç íåäð Çåìëè. Âåðîÿòíîñòü òàêîãî ñîâïàäåíèÿ êðàéíå ìàëà. Òàê ÷òî ãèïîòåçà ïûëåâîãî âçðûâà â íèæíèõ ñëîÿõ àòìîñôåðû ïðåäñòàâëÿåòñÿ áîëåå íàäåæíîé. Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî è ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ ñêîðîñòåé âðåìÿ äâèæåíèÿ â ðåêå áóäåò áîëüøå, ÷åì â îçåðå. 2) Ñðàâíèì âðåìåíà âîçäåéñòâèÿ ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ.  íàøåé çàäà÷å âðåìÿ äâèæåíèÿ ïðîòèâ òå÷åíèÿ çàâåäîìî áîëüøå, ÷åì ïî òå÷åíèþ. Òàêèì îáðàçîì, ôàêòîð, ìåøàþùèé äâèæåíèþ, äåéñòâóåò äîëüøå, ÷åì ôàêòîð ïîìîãàþùèé. Ñëåäóåò, î÷åâèäíî, îæèäàòü, ÷òî ìåøàþùèé ôàêòîð áóäåò ïðåâàëèðîâàòü íàä ïîìîãàþùèì. Â.ÝÏØÒÅÉÍ Ðåøåíèå çàäà÷è Âðåìÿ äâèæåíèÿ â îçåðå ðàâíî Ñ ÒÐÓÊÒÓÐÀ ÊÓÐÑÀ ÔÈÇÈÊÈ ÈÍÎÃÄÀ ÍÀÏÎÌÈÍÀÅÒ ÌÓ- çûêàëüíûå ôîðìû. Ïðîñòûå òåìû (íàðîäíûå ìîòèâû) êîìïîçèòîð ðàçâîðà÷èâàåò âàðèàöèÿìè, è â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ, ê ïðèìåðó, îðêåñòðîâàÿ ñèìôîíèÿ. Ïðîñòûå øêîëüíûå çàäà÷è (ïîó÷èòåëüíûå ñàìè ïî ñåáå) äåìîíñòðèðóþò èäåè, ëåæàùèå â îñíîâå ôóíäàìåíòàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ òåîðèé. Âîò ïðèìåð òàêîãî ðîäà. Òåìà çàäà÷à 35 («Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ôèçèêå» À.Ï.Ðûìêåâè÷à, 1992 ã.) Ðàññòîÿíèå s íåîáõîäèìî ïðîåõàòü íà ëîäêå òóäà è îáðàòíî îäèí ðàç ïî ðåêå, ñêîðîñòü òå÷åíèÿ êîòîðîé vp , à äðóãîé ðàç ïî îçåðó. Ñêîðîñòü ëîäêè îòíîñèòåëüíî âîäû îáà ðàçà vë . Äîêàæèòå, ÷òî ïîåçäêà òóäà è îáðàòíî ïî ðåêå âñåãäà çàíèìàåò áîëüøå âðåìåíè, ÷åì ïî îçåðó. Ïðåäâàðèòåëüíûé àíàëèç Ïåðâàÿ (è âïîëíå åñòåñòâåííàÿ) ðåàêöèÿ íà óñëîâèå çàäà÷è âðåìåíà ðàâíû: âûèãðûø âðåìåíè ïðè äâèæåíèè ïî òå÷åíèþ êîìïåíñèðóåòñÿ ïîòåðåé âðåìåíè íà îáðàòíîì ïóòè. Áîëåå ãëóáîêèé àíàëèç (èëè, äëÿ ôèçèîíîìèñòîâ, âûðàæåíèå ëèöà ïðåïîäàâàòåëÿ) ïîêàçûâàåò, ÷òî âñå íå òàê ïðîñòî. Êîìïåíñàöèÿ, êîíå÷íî, èìååòñÿ, íî íå ïîëíàÿ. Ê ýòîìó âûâîäó ìîæíî ïðèéòè, èñõîäÿ èç êà÷åñòâåííûõ ñîîáðàæåíèé, êîòîðûå ñòîèò çàïîìíèòü: èõ ìîæíî áóäåò ïðèìåíèòü ïðè ðåøåíèè äðóãèõ çàäà÷. 1) Ïðèäàäèì ïàðàìåòðàì çàäà÷è äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ, ïðè êîòîðûõ îòâåò ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì.  íàøåì ñëó÷àå ïðè vp > vë êàòåð, äâèæóùèéñÿ ïî ðåêå, íèêîãäà íå âåðíåòñÿ â èñõîäíûé ïóíêò (ðèñ.1). Ðèñ. 1 t1 = 2s . vë Âðåìÿ äâèæåíèÿ â ðåêå ñîñòàâëÿåò t2 = 2vë s s s + = = vë + vp vë - vp vë2 - vp2 2s vë - vp2 . vë Âèäíî, ÷òî âðåìÿ äâèæåíèÿ â ðåêå áîëüøå, òàê êàê ÷èñëèòåëè îáåèõ ôîðìóë îäèíàêîâû, â òî âðåìÿ êàê çíàìåíàòåëü âòîðîé çàâåäîìî ìåíüøå çíàìåíàòåëÿ ïåðâîé. Âàðèàöèè íà òåìó çàäà÷è 35 Ðàññìîòðèì êîíñòðóêöèþ ïðèáîðà äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ëîäêè îòíîñèòåëüíî âîäû. Ïðèáîð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé æåñòêîå îñíîâàíèå, íà êîòîðîì ðàñïîëàãàþòñÿ èñòî÷íèê çâóêà è îòðàæàòåëü (ðèñ.2). Äëÿ èçìåðåíèé ïðèáîð çàêðåïëÿþò íà êîðïóñå Ðèñ. 2 ëîäêè ñíàðóæè òàê, ÷òîáû âî âðåìÿ äâèæåíèÿ ïðèáîð íå óâëåêàë âîäó. Èçìåðÿåòñÿ âðåìÿ, çà êîòîðîå çâóêîâîé èìïóëüñ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ îò èñòî÷íèêà äî îòðàæàòåëÿ è âîçâðàùàåòñÿ ê èñòî÷íèêó. Ïî ýòîìó âðåìåíè ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ëîäêè îòíîñèòåëüíî âîäû. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ñëåäóþùåå îáñòîÿòåëüñòâî. Äåëî â òîì, ÷òî ðàñïðîñòðàíåíèå çâóêà èìååò âàæíóþ îñîáåííîñòü: ñêîðîñòü çâóêà îòíîñèòåëüíî ñðåäû, â êîòîðîé îí ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ, íå çàâèñèò îò ñêîðîñòè èñòî÷íèêà çâóêà. (Ýòèì ðàñïðîñòðàíåíèå çâóêà ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ, íàïðèìåð, îò äâèæåíèÿ îñêîëêîâ ðàçîðâàâøåéñÿ ãðàíàòû: åñëè â ìîìåíò âçðûâà ãðàíàòà äâèãàëàñü, ñêîðîñòü îñêîëêîâ îòíîñèòåëüíî ãðàíàòû ñóììèðóåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ãðàíàòû.) Ñ ó÷åòîì ýòîãî îáñòîÿòåëüñòâà â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ ïðèáîðîì, ñêîðîñòü !# À ÍÀÒ Í ÅÒ »À» Ë À ÁØÎÊÐÎÀ Ë ÒÀ Î ÐÂÈ ß« Ê «Â Ê çâóêà áóäåò ðàâíà vçâ - vë ( vçâ ñêîðîñòü çâóêà îòíîñèòåëüíî âîäû), êîãäà çâóê ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ îò èñòî÷íèêà ê îòðàæàòåëþ, è vçâ + vë ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Íî òîãäà ñîâåðøåííî ÿñíî, ÷òî âðåìÿ ìåæäó èçëó÷åíèåì è ïðèåìîì çâóêîâîãî èìïóëüñà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé äëÿ âðåìåíè äâèæåíèÿ ëîäêè â ðåêå ñ çàìåíîé vë íà vçâ è vp íà vë : 2s t2 = vçâ v2 - ë vçâ . Çíàÿ ðàññòîÿíèå s ìåæäó èñòî÷íèêîì çâóêà è îòðàæàòåëåì è îïðåäåëèâ âðåìÿ t2 , ìû ëåãêî îïðåäåëÿåì èñêîìîå çíà÷åíèå ñêîðîñòè ëîäêè: æ 2s ö vë = vçâ ç vçâ - ÷ . t2 ø è Óñëîæíèì çàäà÷ó. Ïîïðîáóåì îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ëîäêè, åñëè âåëè÷èíà s íå èçâåñòíà (èëè èçìåíÿåòñÿ). Ðåøåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè ïðîèçâåñòè èçìåðåíèå âðåìåíè äî òîãî, êàê ëîäêà íà÷àëà äâèãàòüñÿ. Ýòî âðåìÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé äëÿ âðåìåíè äâèæåíèÿ ëîäêè â îçåðå ñ ñîîòâåòñòâóþùåé çàìåíîé: 2s t1 = . vçâ Èç äâóõ ïîñëåäíèõ ôîðìóë ìîæíî èñêëþ÷èòü s è, òàêèì îáðàçîì, ðåøèòü ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó: vë = vçâ 1 - t1 . t2 À ìîæíî ëè íàéòè ñêîðîñòü ëîäêè, åñëè èçìåðåíèÿ â óñëîâèÿõ íåïîäâèæíîé ëîäêè íå ïðîâåäåíû? Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî îïóñòèòü ïðèáîð, ñêàæåì, â äâèæóùóþñÿ âìåñòå ñ ëîäêîé âàííó è îïðåäåëèòü t2 òîæå íåëüçÿ. (Íàïðèìåð, åñëè âîäà ïðîòåêàåò ñêâîçü ëîäêó è âàííó, êàê ñêâîçü ðåøåòî, ñòðàííàÿ êîíñòðóêöèÿ, íå ïðàâäà ëè?) Îêàçûâàåòñÿ, è òàêóþ çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ðàçâåðíóòü ïðèáîð ïåðïåíäèêóëÿðíî äâèæåíèþ ëîäêè è Ðèñ. 3 ïðîèçâåñòè âòîðîå èçìåðåíèå âðåìåíè ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêà. ßñíî, ÷òî ïðèíÿòûé çâóêîâîé èìïóëüñ ðàñïðîñòðàíÿëñÿ âäîëü ðàâíûõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 3. Ëåãêî ðàññ÷èòàòü âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ t3 . Êàê âèäíî èç ðèñóíêà, 2 2 t3 ö æ t3 ö æ 2 çè vë 2 ÷ø + s = çè vçâ 2 ÷ø , îòêóäà ïîëó÷àåì t3 = 2s 2 vçâ - vë2 . Ñðàâíèâàÿ âðåìåíà t2 è t3 , íàõîäèì t2 = t3 vçâ 2 vçâ - vë2 . Îòñþäà è îïðåäåëÿåòñÿ ñêîðîñòü ëîäêè: vë = vçâ 1 - t32 . t22 «Èíäèêàòîðîì» äâèæåíèÿ, òàêèì îáðàçîì, ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèå âðåìåí t2 è t3 . Âðÿä ëè ðàññìîòðåííûé ïðèáîð ìîæåò áûòü äåéñòâèòåëüíî èñïîëüçîâàí äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè êîðàáëÿ èëè ñàìîëåòà. Ñóùåñòâóþò áîëåå ïðîñòûå è íàäåæíûå ñðåäñòâà äëÿ ðåøåíèÿ òîé æå çàäà÷è. È òåì íå ìåíåå, èäåÿ óñòðîéñòâà îêàçûâàåòñÿ ïëîäîòâîðíîé. Îíà èìååò ïðÿìîå îòíîøåíèå ê ðåâîëþöèîííîìó ïðåîáðàçîâàíèþ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè ñîçäàíèþ òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Âïðî÷åì, ðå÷ü ïðè ýòîì ïîéäåò î íåîáû÷íîé ëîäêå, ïëûâóùåé ïî íåîáû÷íîìó îçåðó. Òåîðèÿ Ìàêñâåëëà. Ïëàâàíèå Çåìëè â ýôèðå Âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà â èñòîðèè íàóêè ïðîèçîøëî çíàìåíàòåëüíîå ñîáûòèå.  ðåçóëüòàòå ñîçäàíèÿ Ìàêñâåëëîì òåîðèè ýëåêòðîìàãíåòèçìà áûëà òåîðåòè÷åñêè ïðåäñêàçàíà âîçìîæíîñòü èçëó÷åíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, ïðè ýòîì áûëè óêàçàíû èõ ñâîéñòâà è óñëîâèÿ èçëó÷åíèÿ. Òàêæå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ÷àñòíûì ñëó÷àåì èçëó÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ âèäèìûé ñâåò. Ðàñ÷åòû Ìàêñâåëëà áûëè ïîäòâåðæäåíû îïûòàìè Ãåðöà.  ÷àñòíîñòè, âûÿñíèëîñü, ÷òî, â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ îáùèìè ñâîéñòâàìè âîëíîâûõ ïðîöåññîâ, ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû (ñâåòà) íå çàâèñèò îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî ñðåäû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, è ðàñ÷åòû è ýêñïåðèìåíòû ïîêàçàëè, ÷òî ñâåò ìîæåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â âàêóóìå. Èñõîäÿ èç ýòîãî, Ìàêñâåëë ïðèõîäèò ê çàêëþ÷åíèþ (åäèíñòâåííî âîçìîæíîìó, ñ åãî òî÷êè çðåíèÿ): òî, ÷òî ìû ñ÷èòàåì ïóñòîòîé, íà ñàìîì äåëå óïðóãàÿ ñðåäà. Ìàêñâåëë íàçûâàåò åå ýôèðîì. Ýôèð çàïîëíÿåò âñþ Âñåëåííóþ. Îí èãðàåò äëÿ ñâåòà òó æå ðîëü, ÷òî è âîäà äëÿ çâóêà: çâóê ðàñïðîñòðàíåíèå êîëåáàíèé âîäû, à ñâåò ýôèðà. Íî ïî÷åìó æå ìû íå çàìå÷àåì ïðèñóòñòâèÿ ýòîé ñðåäû? Îòâåò ïðîñò: ÷àñòèöû, èç êîòîðûõ ñîñòîèò ýôèð, íàñòîëüêî ìàëû, ÷òî îíè ñâîáîäíî ïðîõîäÿò ñêâîçü ëþáîå òåëî, à ñëåäîâàòåëüíî, è ñêâîçü äàò÷èê èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà. À êàê æå òîãäà óñòàíîâèòü ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ ýôèðà? Ìàêñâåëë ïðåäëàãàåò èäåþ, ñóòü êîòîðîé ðàññìàòðèâàëàñü íàìè â ðåøåíèè çàäà÷è 35 è â âàðèàöèÿõ íà òåìó ýòîé çàäà÷è. Èñòî÷íèê çâóêà çàìåíÿåòñÿ èñòî÷íèêîì ñâåòà, à â êà÷åñòâå ëîäêè èñïîëüçóåòñÿ íàøà ïëàíåòà Çåìëÿ, êîòîðàÿ íåñåòñÿ ïî ñâîåé îðáèòå âîêðóã Ñîëíöà, ò.å. ñêâîçü ýôèð, ñî ñêîðîñòüþ 30 êì/ñ. Èäåÿ ýòîãî îïûòà áûëà ðåàëèçîâàíà Ìàéêåëüñîíîì è Ìîðëè â 1887 ãîäó. Óâû, ðåçóëüòàò ýêñïåðèìåíòà îêàçàëñÿ îòðèöàòåëüíûì äâèæåíèå Çåìëè îòíîñèòåëüíî ýôèðà îáíàðóæåíî íå áûëî ( t3 = t2 ). Èìåííî îòðèöàòåëüíûé ðåçóëüòàò îïûòà Ìàéêåëüñîíà è Ìîðëè áûë îäíîé èç îñíîâíûõ ïðåäïîñûëîê äëÿ ïåðåñìîòðà îñíîâ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè è çíà÷èòåëüíî ñïîñîáñòâîâàë ïðèçíàíèþ ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Âïðî÷åì, ýòî óæå ñîâñåì äðóãàÿ èñòîðèÿ. !$ À ÍÉ T Ô 2 0 0À 8 /Ê ¹Ó 1 Ë Ü Ò À Ò È Â Ô È Ç È × Å ÑÊÊÂ È Íå ïðåíåáðåæåì òðåíèåì êà÷åíèÿ À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ Â ÒÅ×ÅÍÈÅ ÒÛÑß× ËÅÒ ÒÐÅÍÈÅ ÁÛËÎ ÑÀÌÛÌ ÇÍÀÊÎ- ìûì è âìåñòå ñ òåì âåñüìà çàãàäî÷íûì ÿâëåíèåì. Îò äîáûâàíèÿ îãíÿ (æåëàííûé ýôôåêò) äî çàìåíû âîëî÷åíèÿ ãðóçîâ (ãäå òðåíèå âûñòóïàåò êàê âðåäíûé ôàêòîð) êà÷åíèåì ïðîøëî, âåðîÿòíî, ìíîãî âðåìåíè. Âî âñÿêîì ñëó÷àå, èçîáðåòåíèå êîëåñà ïðèçíàåòñÿ âåëè÷àéøåé òåõíè÷åñêîé ðåâîëþöèåé ÷åëîâå÷åñòâà. Êîëè÷åñòâåííîå îïèñàíèå òðåíèÿ (êàê è âñå íàó÷íûå òåîðèè) íà÷àëîñü ïðèáëèçèòåëüíî òðè âåêà òîìó íàçàä, ïðîéäÿ ïóòü îò ôåíîìåíîëîãè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé äî ñîâðåìåííîé ìîëåêóëÿðíî-ìåõàíè÷åñêîé òåîðèè.  1699 ãîäó Ãèëüîì Àìîíòîí îïóáëèêîâàë ðåçóëüòàòû ñâîèõ ýêñïåðèìåíòîâ è ñôîðìóëèðîâàë çàêîí òðåíèÿ â âèäå ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìåæäó òàíãåíöèàëüíîé Fτ è íîðìàëüíîé Fn ñèëàìè âçàèìîäåéñòâèÿ ñîïðèêàñàþùèõñÿ òâåðäûõ òåë: Fτ = kFn . (1) Ïðîøëî áîëåå âîñüìèäåñÿòè ëåò, è Øàðëü Êóëîí ïîäòâåðäèë (1781 ã.) çàêîí Àìîíòîíà, íî ââåë â íåãî äîïîëíèòåëüíîå ñëàãàåìîå: Fτ = kFn + Fa . (2) Ýòî áûë ñóùåñòâåííûé øàã â ïîíèìàíèè ÿâëåíèÿ: íîâîå ñëàãàåìîå Fa ïîä÷åðêèâàëî, ÷òî ïðèòÿæåíèå ñîïðèêàñàþùèõñÿ òåë ñóùåñòâóåò äàæå áåç âíåøíåé ïðèæèìàþùåé ñèëû: òåëà êàê áû «ïðèëèïàþò» äðóã ê äðóãó, íå áóäó÷è ñìàçàíû êàêèì-ëèáî êëååì. Ýòà äîïîëíèòåëüíàÿ ñèëà ñòàëà íàçûâàòüñÿ ñèëîé àäãåçèè (îò ëàòèíñêîãî «ïðèëèïàíèå»), à íîâîå âûðàæåíèå äëÿ Fτ íàçâàëè çàêîíîì ÀìîíòîíàÊóëîíà. Ñåé÷àñ ëþáîé øêîëüíèê çíàåò ýòîò çàêîí, ïî êðàéíåé ìåðå â âèäå (1), è êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè k óâåðåííî íàçûâàåò «êîýôôèöèåíòîì òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ». Íî îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî íóæíî ïðèëîæèòü êàñàòåëüíóþ ê ïëîñêîñòè ñîïðèêîñíîâåíèÿ ñèëó íå òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òîáû ñäâèíóòü ñ ìåñòà êèðïè÷, ëåæàùèé íà ñòîëå. Äëÿ êà÷åíèÿ öèëèíäðà ïî ñòîëó òîæå íóæíà ñèëà ïðàâäà, ñóùåñòâåííî ìåíüøàÿ, ÷åì â ñëó÷àå êèðïè÷à. Ýòó ñèëó ïî àíàëîãèè íàçâàëè «ñèëîé òðåíèÿ êà÷åíèÿ». Êóëîí ïðåäëîæèë âûðàæåíèå è äëÿ ýòîé ñèëû: Fê = λ Fn . a (3) Çäåñü à ðàäèóñ öèëèíäðà, à êîýôôèöèåíò λ , àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ, áûë íàçâàí «êîýôôèöèåíòîì òðåíèÿ êà÷åíèÿ». Íî åñëè k â âûðàæåíèÿõ (1) è (2) ÿâëÿåòñÿ áåçðàçìåðíûì, òî λ â âûðàæåíèè (3), êàê ëåãêî âèäåòü, èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è ðàäèóñ à, ò.å. ðàçìåðíîñòü äëèíû. Ïîíèìàíèå ôèçè÷åñêîé ïðè÷èíû âçàèìîäåéñòâèÿ ñîïðè- êàñàþùèõñÿ òåë ïðèõîäèëî ïîñòåïåííî ñ ðàçâèòèåì ïðåäñòàâëåíèé î ìîëåêóëÿðíîì ñòðîåíèè âåùåñòâà. Âûÿñíèëîñü, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðèòÿæåíèÿ äâóõ ýëåêòðîíåéòðàëüíûõ ìîëåêóë äðóã ê äðóãó ðàñòåò ñ óìåíüøåíèåì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî øåñòîé ñòåïåíè ýòîãî ðàññòîÿíèÿ. Çíà÷èò, ñèëà ïðèòÿæåíèÿ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ñåäüìîé ñòåïåíè ýòîãî æå ðàññòîÿíèÿ. Êîíå÷íî, â êîíäåíñèðîâàííîì ñîñòîÿíèè êàæäàÿ ìîëåêóëà âçàèìîäåéñòâóåò ñî ìíîãèìè äðóãèìè, ïðè÷åì ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà ñî ñòîðîíû ýòèõ äðóãèõ ìîëåêóë ðàçëè÷íà â ãëóáèíå âåùåñòâà è ó ïîâåðõíîñòè. Èíòóèòèâíî ÿñíî, ÷òî âáëèçè ïîâåðõíîñòè äîëæíî ñóùåñòâîâàòü íåíàñûùåííîå ïîëå ïðèòÿæåíèÿ êòî íå íàáëþäàë, êàê äàæå íà âåðòèêàëüíûõ ïîëèðîâàííûõ ïîâåðõíîñòÿõ øêàôîâ ñî âðåìåíåì îáðàçóåòñÿ ñëîé òîíêîé ïûëè. Ïðÿìûå èçìåðåíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ (ïðèòÿæåíèÿ) äâóõ äèýëåêòðè÷åñêèõ òåë äåéñòâèòåëüíî îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ñåäüìîé ñòåïåíè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè. Ýòî î÷åíü ðåçêàÿ çàâèñèìîñòü: ñòîèò óìåíüøèòü çàçîð ìåæäó òåëàìè äî ðàçìåðà äèàìåòðà àòîìà, êàê ñèëà ïðèòÿæåíèÿ óìåíüøèòñÿ íà äâà ïîðÿäêà! Èíûìè ñëîâàìè, «áåñêîíå÷íîñòü» íàñòóïàåò óæå íà ðàññòîÿíèè ïîðÿäêà ðàçìåðîâ ìîëåêóë. Òàêèì îáðàçîì áûëî ïîíÿòî, ÷òî è òðåíèå ñêîëüæåíèÿ è òðåíèå êà÷åíèÿ èìåþò îäíó è òó æå ôèçè÷åñêóþ ïðèðîäó ýëåêòðîìàãíèòíîå âçàèìîäåéñòâèå ýëåìåíòîâ, ñîñòàâëÿþùèõ òâåðäîå òåëî. Ïðàâäà, ëþáîïûòíî, ÷òî ñîïóòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû, íåñìîòðÿ íà ïî÷òè îäèíàêîâóþ ñëîâåñíóþ ôîðìóëèðîâêó, èìåþò ðàçíûå ðàçìåðíîñòè. Îäíàêî ïîðà ïîãîâîðèòü î ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ñîïðèêàñàþùèõñÿ òâåðäûõ òåë è î ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èíàõ, èõ õàðàêòåðèçóþùèõ. Ïðåæäå âñåãî ðàññìîòðèì ìîäóëü óïðóãîñòè. Îí îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âîçüìåì öèëèíäð äëèíîé l è ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S è ðàñòÿíåì åãî (èëè ñîæìåì) îñåâîé ñèëîé F, ïðè ýòîì åãî äëèíà óâåëè÷èòñÿ (èëè óìåíüøèòñÿ) íà ∆l . Åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ýòî èçìåíåíèå äëèíû ïðîïîðöèîíàëüíî ñèëå F è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî ïëîùàäè ñå÷åíèÿ S, à êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè è åñòü (îáðàòíûé) ìîäóëü óïðóãîñòè: ∆l 1 F = . l E S Ýòîò ìîäóëü E ââåë äâåñòè ëåò íàçàä (1807 ã.) àíãëèéñêèé ó÷åíûé Òîìàñ Þíã. Èç ôîðìóëû âèäíî, ÷òî åñëè ôîðìàëüíî F . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìîäóëü ïîëîæèòü ∆l = l , òî E = S óïðóãîñòè åñòü ìåõàíè÷åñêîå íàïðÿæåíèå (ñèëà íà åäèíèöó ïëîùàäè), êîòîðîå äîëæíî óâåëè÷èòü (óìåíüøèòü) äëèíó ñòåðæíÿ â äâà ðàçà. Îòñþäà æå âèäíà è ðàçìåðíîñòü ìîäóëÿ óïðóãîñòè: [F ] Í [ E] = S = 2 = Ïà . [ ] ì Ýêñïåðèìåíòû ñî ñòåðæíÿìè ïîäòâåðæäàþò ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó îòíîñèòåëüíîé äåôîðìàöèåé è íàïðÿæåíèåì. Íî ðàñòÿíóòü ñòåðæåíü âäâîå íå ïîëó÷èòñÿ ðàçâå ÷òî åñëè îí áóäåò ðåçèíîâûé. Åùå ðàíüøå ñòåðæåíü «ïîòå÷åò» íà÷íóòñÿ íåîáðàòèìûå äåôîðìàöèè. Ñîîòâåòñòâóþùåå íàïðÿæåíèå òàê è íàçûâàåòñÿ ïðåäåë òåêó÷åñòè σ è, êîíå÷íî, òîæå èçìåðÿåòñÿ â ïàñêàëÿõ.  òàáëèöå ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ Å è σ äëÿ íåñêîëüêèõ ìåòàëëîâ. Ïóñòü âàñ íå óäèâëÿåò ðàçáðîñ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé: ðàçíûå ñïîñîáû îáðàáîòêè, ðàçíûå ñïðàâî÷íèêè È ýòîò ðàçáðîñ âïîëíå îïðàâäûâàåò ïðèáëèæåííûå ñîîòíîøåíèÿ, ê ïîèñêó êîòîðûõ ìû è ïðèñòóïèì. ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ Òàáëèöà Äëÿ íà÷àëà îáñóäèì òàêîé âîïðîñ: êàê îöåíèòü ïîâåðõíîñòíóþ ïëîòíîñòü ýíåðãèè àäãåçèè γ , ò.å. ýíåðãèþ, ïðèõîäÿùóþñÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè. Ïðèìåì, ÷òî îíà äîëæíà êàêòî çàâèñåòü îò êîýôôèöèåíòà óïðóãîñòè Å, îò «êîýôôèöèåíòà ìÿãêîñòè» σ (ïðåäåë òåêó÷åñòè) è îò õàðàêòåðíîãî ðàññòîÿíèÿ ïîðÿäêà äèàìåòðà ìîëåêóëû dì (ñìåùåíèå íà ýòî ðàññòîÿíèå âñåõ ñëîåâ ñòåðæíÿ è ïðèâîäèò ê óäâîåíèþ åãî äëèíû). Èç ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè ìîæíî ïðåäëîæèòü çàâèñèìîñòü âèäà γ : dì Eσ . Âèäíî, ÷òî çäåñü îáà êîýôôèöèåíòà Å è σ ïðåäñòàâëåíû ðàâíîïðàâíî, ÷åðåç èõ ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå çíà÷åíèå. Ñðàâíèì ïðåäëîæåííóþ ôîðìóëó ñ áîëåå ïðîñòîé òåîðåòè÷åñêîé çàâèñèìîñòüþ, ïðèíÿòîé ïî÷òè ïîëâåêà íàçàä: 2 γ òåîð = E æ 1,3Å ö = 0,856 × 10 -11 E . 2Å çè π ÷ø Çäåñü 2Å õàðàêòåðíûé ïåðèîä ðåøåòêè òâåðäîãî òåëà, 1,3Å õàðàêòåðíîå ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîì äåéñòâóþò ñèëû ïðèòÿæåíèÿ, íó à ÷èñëî «ïè» ïîÿâèëîñü, êîíå÷íî, èç-çà òîãî, ÷òî â ðàññìîòðåííîé ìîäåëè ìîëåêóëû ñ÷èòàþòñÿ øàðèêàìè, à ãäå êðóãëî, òàì è «ïè».  òàáëèöå äàíû ðàññ÷èòàííûå ïî ñîîòâåòñòâóþùèì ôîðìóëàì çíà÷åíèÿ γ è γ òåîð , à òàêæå ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ γ ýêñï (êîòîðûå óäàëîñü îáíàðóæèòü â ëèòåðàòóðå). Âèäíî, ÷òî íàøà îöåíêà γ äîâîëüíî áëèçêà è ê òåîðåòè÷åñêèì è ê ýêñïåðèìåíòàëüíûì çíà÷åíèÿì. Èòàê, ìû ïîëó÷èëè ïðàâäîïîäîáíóþ îöåíêó äëÿ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè àäãåçèè γ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîâåðγ : Eσ . À êàêîõíîñòíîé ïëîòíîñòè ñèëû àäãåçèè fa : dì âû ñàìè ýíåðãèÿ è ñèëà? Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ýòîãî âåëè÷èíû γ è fa íóæíî óìíîæèòü íà íåêîòîðóþ ïëîùàäü êîíòàêòà ñîïðèêàñàþùèõñÿ òåë. Íî êàê åå íàéòè? Âåäü, íàïðèìåð, äëÿ êèðïè÷à, ëåæàùåãî íà ñòîëå, âèäèìàÿ ïëîùàäü êîíòàêòà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî äëèíû íà øèðèíó, à íà ñàìîì îí ñîïðèêàñàåòñÿ ñî ñòîëîì âñåãî ëèøü â íåñêîëüêèõ «ïÿòíàõ» (äîñòàòî÷íî òðåõ) â òåõ ìåñòàõ, ãäå áûëè ñàìûå áîëüøèå áóãîðêè øåðîõîâàòîñòè. Ýòè ïÿòíà è ïðèíÿëè íà ñåáÿ âñþ íàãðóçêó. È òóò îïÿòü ïðèõîäèò íà ïîìîùü ïðåäåë òåêó÷åñòè: ïðèæèìàþùàÿ ñèëà áóäåò óðàâíîâåøåíà ñèëîé óïðóãîñòè äåôîðìèðîâàííûõ áóãîðêîâ, ïëîùàäü êîíòàêòà s êîòîðûõ ìîæíî îöåíèòü èç ñîîòíîøåíèÿ Fn = mg : sσ . Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãèÿ è ñèëà ïðèëèïàíèÿ ñîïðèêàñàþùèõñÿ òåë áóäóò ïîðÿäêà γs : Fn E E . dì è Fa : Fn σ σ Ïîëó÷àåòñÿ ÷óäîâèùíàÿ ñèëà, íà 12 ïîðÿäêà áîëüøå ïðèæèìàþùåé?! Íî ÷åìó æå òóò óäèâëÿòüñÿ: âåäü ÷òîáû ðàñòÿíóòü ñòåðæåíü â äâà ðàçà, ò.å. ñìåñòèòü ñîñåäíèå ñëîè äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà ìåæàòîìíîå ðàññòîÿíèå, íóæíà áûëà !% ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈ áû ïëîòíîñòü ñèëû ïîðÿäêà ìîäóëÿ Þíãà E : 1011 Í ì2 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ óäâîåíèÿ äëèíû ïðîâîëîêè ñå÷åíèåì 1 ìì2 = 10 -6 ì 2 ïîòðåáîâàëàñü áû ñèëà ïîðÿäêà 1011 × 10 -6 H = 105 H . Ïî÷åìó æå âîçìîæíî êà÷åíèå öèëèíäðà ïî ïëîñêîñòè, ñ êîòîðîé îí, êàçàëîñü áû, ñðîññÿ? À âñå äåëî â ïðàâèëå ðû÷àãà âåäü øèðèíà êîíòàêòíîé ïîëîñêè 2ac (ñì. ðèñóíîê) ìíîãî ìåíüøå ðàäèóñà öèëèíäðà. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíà ñèëüíî ïðåóâåëè÷åííàÿ ïîëîñà êîíòàêòà, îáðàçîâàâøàÿñÿ â ðåçóëüòàòå äåôîðìàöèè öèëèíäðà ïîä äåéñòâèåì ïðèæèìàþùåé ñèëû, íàïðèìåð åãî âåñà Fn = mg . Òàì æå óñëîâíî ïîêàçàíû ïÿòíà êîíòàêòà, ñóììàðíàÿ ïëîùàäü êîòîðûõ ìíîãî ìåíüøå âèäèìîé ïëîùàäè 2acl , è ëîêàëüíûå ñèëû àäãåçèè â ýòèõ ïÿòíàõ. Ïîä äåéñòâèåì ñèëû Fê , ïðèëîæåííîé ê îñè öèëèíäðà, âîçíèêàåò ìîìåíò îòíîñèòåëüíî òî÷êè À, ñòðåìÿùèéñÿ ðàçîðâàòü ëîêàëüíûå ñïàéêè.  ìîìåíò îòðûâà èìååì a Fê a = Fa ac , èëè Fê = Fa c . a À ïîñêîëüêó añ a = 1 , ñèëà òðåíèÿ êà÷åíèÿ Fê ìíîãî ìåíüøå ðåçóëüòèðóþùåé Fa ñèë àäãåçèè â ëîêàëüíûõ ïÿòíàõ. Èòàê, îñòàëîñü îöåíèòü îòíîøåíèå ac a . Òåïåðü ó íàñ äîñòàòî÷íî îñíîâàíèé ïðåäïîëàãàòü, ÷òî çäåñü äîëæíû èãðàòü ðîëü ìîäóëü Þíãà Å, âåñ öèëèíäðà mg = πa2 aρg (ìû ïðèíÿëè åãî äëèíó ðàâíîé ðàäèóñó). Áîëåå òîãî, ÿñíî, ÷òî ÷åì áîëüøå âåñ è ÷åì ìåíüøå ìîäóëü Þíãà, òåì áîëüøåé áóäåò øèðèíà âèäèìîé êîíòàêòíîé ïîëîñû. Çíà÷èò, ìîäóëü Þíãà äîëæåí ñòîÿòü ãäå-òî â çíàìåíàòåëå, à âåñ â ÷èñëèòåëå: ac : πa2 aρg . E Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ äëÿ Fa è ac â ôîðìóëó äëÿ Fê , èç ñîîòíîøåíèÿ (3) íàéäåì êîýôôèöèåíò òðåíèÿ êà÷åíèÿ: λ= Fê a : Fn E πa 3ρg = σ E πa 3ρg . σ Ïðèìåì ñëåäóþùèå õàðàêòåðíûå çíà÷åíèÿ: ρ : 103 êã ì 3 , g = 10 ì ñ2 , σ : 100 ÌÏà = 108 Ïà . Äëÿ ðàäèóñà öèëèíäðà âûáåðåì çíà÷åíèÿ èç «÷åëîâå÷åñêîé ïðàêòèêè»: a : 10 -2 - 1 ì . Òîãäà ïîëó÷èì ( ) λ: 3 π 10 -2 - 1 × 103 × 10 108 ì : 10 -5 - 10 -2 ì .  ëèòåðàòóðå óêàçûâàþòñÿ òàêèå çíà÷åíèÿ: äëÿ ìåòàëëîâ (íàïðèìåð, ñòàëüíîé öèëèíäð êàòèòñÿ ïî ñòàëüíîé ïîäëîæêå) λ = ( 1 - 2) × 10 -5 ì ; ïðè äâèæåíèè àâòîìîáèëÿ (íàïðèìåð, ñî ñêîðîñòüþ 80 êì ÷ ) ïî àñôàëüòó λ = 2 × 10 -4 ì ; äëÿ äåðåâà ïî äåðåâó λ = ( 5 - 6) × 10 -4 ì . Òàêèì îáðàçîì, íàøà îöåíî÷íàÿ òåîðèÿ íå òàê óæ ïëîõà. Òåì áîëåå ÷òî âíåøíèå óñëîâèÿ âëèÿþò íà âåëè÷èíó òðåíèÿ êà÷åíèÿ íè÷óòü íå ìåíüøå, ÷åì ïðèðîäà òðóùèõñÿ òåë. !& ÊÂÀÍT 2008/¹1 ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ Îðèãàìè è ïîñòðîåíèÿ 1. Ïóñòü çàäàíû äâå òî÷êè À è Â, òîãäà ëèñò ìîæíî ñëîæèòü òàê, ÷òî äàííûå äâå òî÷êè áóäóò íà ñêëàäêå (ðèñ.2). 2. Ïóñòü çàäàíû äâå òî÷êè, òîãäà ëèñò ìîæíî ñëîæèòü òàê, ÷òî îäíà òî÷êà ïåðåéäåò â äðóãóþ (ðèñ.3). À.ÏÅÒÐÓÍÈÍ Ìîåìó ñûíó Íèêîäèìó Ï ÐÅÄÑÒÀÂÜÒÅ ÑÅÁÅ, ×ÒÎ ÂÛ ÑÈÄÈÒÅ ÍÀ ÓÐÎÊÅ È ÂÀÌ ñêó÷íî-ñêó÷íî è î÷åíü õî÷åòñÿ çàíÿòüñÿ ãåîìåòðè÷åñêèìè ïîñòðîåíèÿìè: íà÷åðòèòü, íàïðèìåð, òðåóãîëüíèê, íàéòè â íåì öåíòðû âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé è îðòîöåíòð, ïðîâåñòè ïðÿìóþ Ýéëåðà è âñå òàêîå. Íî âîò áåäà: öèðêóëü è ëèíåéêà îñòàâëåíû äîìà. Âîò â òàêîé ñèòóàöèè, íàâåðíîå, îêàçàëèñü 15 ëåò íàçàä äâà îðèãàìèñòà, èòàëüÿíåö Áåíåäåòòî Ñêèìåìè è ÿïîíåö Õàìÿêè Õóäçèòà. (Îðèãàìèñòàìè íàçûâàþò ëþäåé, óâëåêàþùèõñÿ äðåâíèì ÿïîíñêèì èñêóññòâîì îðèãàìè ñêëàäûâàíèåì èç ëèñòà áóìàãè ðàçëè÷íûõ çâåðóøåê, ïòè÷åê, ôîíàðèêîâ è ò.ä.) Âäðóã èõ îñåíÿåò: «À âåäü ñêëàäêà ëèñòà áóìàãè ýòî ïðÿìàÿ». Íàïðèìåð, åñëè âçÿòü íà ëèñòêå îòðåçîê è ñîãíóòü ëèñò òàê, ÷òîáû êîíöû îòðåçêà ñîåäèíèëèñü, à ïîòîì ðàçãëàäèòü ëèñò àêêóðàòíåíüêî íà ïàðòå, òî ïåðåãèá îáðàçóåò ñðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê èñõîäíîìó îòðåçêó (ðèñ.1,à). Îáû÷íîå ïîñòðîåíèå ñðåäèííîãî ïåðïåíäèêóëÿðà (ðèñ.1,á) äëèííåå. Äëÿ íåãî òðåáóåòñÿ è öèðêóëü è ëèíåéêà (îäíîé Ðèñ. 2 3. Ïóñòü çàäàíû äâå ïðÿìûå l è m, òîãäà ëèñò ìîæíî ñëîæèòü òàê, ÷òî îäíà ïðÿìàÿ ïåðåéäåò â äðóãóþ (ðèñ.4). Ðèñ. 4 4. Ïóñòü çàäàíû ïðÿìàÿ l è òî÷êà À, òîãäà ëèñò ìîæíî ñëîæèòü òàê, ÷òî òî÷êà ïîïàäåò íà ñêëàäêó, à ïðÿìàÿ ïåðåéäåò â ñåáÿ (ò.å. ëèíèÿ ñêëàäêè áóäåò åé ïåðïåíäèêóëÿðíà) (ðèñ.5). Ðèñ. 5 Ðèñ. 1 ëèíåéêîé íå îáîéäåøüñÿ), à òóò íèêàêèõ èíñòðóìåíòîâ íå íàäî. ×òîáû ïðîäîëæèòü, èì ïðèøëîñü ïðèäóìàòü íàáîð ïðàâèë äëÿ ýòîãî íîâîãî òèïà ïîñòðîåíèé. Íàïðèìåð, ïðè îáû÷íûõ ïîñòðîåíèÿõ ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè ðàçðåøàåòñÿ äåëàòü òàêèå îïåðàöèè: 1. Ïðîâåñòè ïðÿìóþ ÷åðåç äâå äàííûå òî÷êè. 2. Ïîñòðîèòü îêðóæíîñòü ñ äàííûì öåíòðîì è ðàäèóñîì. 3. Íàéòè òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ äàííûõ ïðÿìûõ, òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé ñ îêðóæíîñòüþ èëè äâóõ îêðóæíîñòåé. 1 ×òî-òî ïîäîáíîå íóæíî áûëî è Áåíåäåòòî ñ Õàìÿêè. Äëÿ ýòîãî îíè ìàòåìàòè÷åñêè îïèñàëè ïðèåìû, êîòîðûìè äàâíî ïîëüçîâàëèñü îðèãàìèñòû. Âîò ýòè ïðàâèëà. Ïðàâèëà ñêëàäûâàíèÿ Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïðÿìàÿ çàäàíà, åñëè íà ëèñòå èìååòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñêëàäêà. Íà ðèñóíêàõ äàëåå ñêëàäêè ïîêàçàíû ïóíêòèðîì. 1 Òàêèå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñóùåñòâóþò íå âñåãäà, ïðàâèëî óòâåðæäàåò òîëüêî, ÷òî åñëè òàêàÿ òî÷êà åñòü, òî åå «ìîæíî» íàéòè. Ðèñ. 3 Ðèñ. 6 5. Ïóñòü çàäàíû ïðÿìàÿ ð è äâå òî÷êè À è Â, òîãäà ëèñò ìîæíî 2 ñëîæèòü òàê, ÷òî òî÷êà À ïîïàäåò íà ñêëàäêó, à  íà ïðÿìóþ ð (ðèñ.6). 6. Ïóñòü çàäàíû äâå ïðÿìûå ð è q è äâå òî÷êè À è Â, òîãäà ëèñò ìîæíî 2 ñëîæèòü òàê, ÷òî òî÷êà À ïîïàäåò íà ïðÿìóþ ð, à òî÷êà  ïîïàäåò íà ïðÿìóþ q (ðèñ.7). Ðèñ. 7 Ðèñ. 8 7. Ïóñòü çàäàíû äâå ïðÿìûå ð è q è òî÷êà À, òîãäà ëèñò ìîæíî ñëîæèòü òàê, ÷òî òî÷êà À ïîïàäåò íà ïðÿìóþ ð, à ïðÿìàÿ q ïðåéäåò â ñåáÿ (ò.å. ëèíèÿ ñêëàäêè áóäåò åé ïåðïåíäèêóëÿðíà) (ðèñ.8). 2 Òàêàÿ ñêëàäêà ñóùåñòâóåò íå âñåãäà, ïðàâèëî óòâåðæäàåò òîëüêî, ÷òî åñëè òàêàÿ ñêëàäêà åñòü, òî åå «ìîæíî» íàéòè. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ Ïîñëåäíåå ñåäüìîå ïðàâèëî äîáàâèë ïîçæå äðóãîé ÿïîíñêèé îðèãàìèñò Êîñèðî Õàòîðè, çàìåòèâ, ÷òî Áåíåäåòòî ñ Õàìÿêè çàáûëè åãî âêëþ÷èòü. Ýòó ïîñëåäíþþ ñêëàäêó, êàê è íåêîòîðûå äðóãèå èç ýòîãî íàáîðà, ìîæíî ïîëó÷èòü êàê ðåçóëüòàò ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèìåíåíèÿ îñòàëüíûõ, ò.å. äëÿ ìàòåìàòèêà îíà íè÷åãî íå äîáàâëÿåò, íî îðèãàìèñòû íå ìíóò áóìàãó çðÿ. Óïðàæíåíèÿ 1. Êàêèå ïîñòðîåíèÿ öèðêóëåì è ëèíåéêîé ñîîòâåòñòâóþò ñêëàäêàì 15 è 7? 2. ×åðåç òî÷êó À âíå ïðÿìîé l ïðîâåäèòå ïðÿìóþ l¢ , ïàðàëëåëüíóþ äàííîé, ñ ïîìîùüþ ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ïðàâèë. 3. Ñ ïîìîùüþ ïðàâèë îðèãàìè ïîñòðîéòå êâàäðàò. 4. Ðàçäåëèòå äàííûé îòðåçîê ÀÂ: à) íà 2 ðàâíûå ÷àñòè; á) íà 3 ðàâíûå ÷àñòè; â) íà n ðàâíûõ ÷àñòåé. Ïîñòðîåíèå ñãèáàíèåì Òåïåðü ìîæíî íàñëàæäàòüñÿ è çàíèìàòüñÿ ëþáûìè ïîñòðîåíèÿìè. Íàïðèìåð, òàêèìè: Åñëè çàäàí ïðîèçâîëüíûé òðåóãîëüíèê, òî åãî áèññåêòðèñû, à ñòàëî áûòü, è öåíòð åãî âïèñàííîé îêðóæíîñòè ìîæíî íàéòè, ïðèìåíèâ ïðàâèëî 3 êî âñåì ïàðàì åãî ñòîðîí. Ñðåäèííûå ïåðïåíäèêóëÿðû è öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè ìîæíî íàéòè, ïðèìåíèâ ïðàâèëî 2 êî âñåì ïàðàì åãî âåðøèí. Ïîñëå ýòîãî ìîæíî íàéòè ìåäèàíû è öåíòð òÿæåñòè, ïðèìåíèâ ïðàâèëî 1 ê êàæäîé âåðøèíå â ïàðå ñ óæå íàéäåííîé âûøå ñåðåäèíîé ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû. Âûñîòû è îðòîöåíòð ëåã÷å âñåãî íàéòè, ïðèìåíèâ ïðàâèëî 4 ê êàæäîé âåðøèíå â ïàðå ñ ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíîé. Äàëåå ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî îðòîöåíòð, öåíòð òÿæåñòè è öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè äåéñòâèòåëüíî ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, ïðèìåíèâ ïðàâèëî 1 ê ëþáîé ïàðå èç ýòèõ òî÷åê. Ýòà ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé Ýéëåðà òðåóãîëüíèêà. Êîíå÷íî, ñãèáàÿ ëèñòîê, íåâîçìîæíî ïîñòðîèòü îêðóæíîñòü, íî, îêàçûâàåòñÿ, âåðíî ñëåäóþùåå: ëþáóþ òî÷êó, êîòîðóþ óäàåòñÿ ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè, ìîæíî ïîñòðîèòü ñãèáàíèÿìè. ×òîáû äîêàçàòü ýòî, äîñòàòî÷íî ïðåäúÿâèòü ïîñòðîåíèå äâóõ òèïîâ òî÷åê: 1) Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòè ñ ïðÿìîé, åñëè ïðî îêðóæíîñòü èçâåñòíî òîëüêî ìåñòîïîëîæåíèå öåíòðà è îäíà òî÷êà íà íåé. 2) Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ îêðóæíîñòåé, åñëè ïðî êàæäóþ îêðóæíîñòü èçâåñòíî òîëüêî ìåñòîïîëîæåíèå öåíòðà è îäíà òî÷êà íà íåé. Ïåðâîå ìîæíî ñäåëàòü, ïðèìåíèâ ïðàâèëî 5, âçÿâ çà À öåíòð îêðóæíîñòè, çà  òî÷êó íà îêðóæíîñòè, à çà ð äàííóþ ïðÿìóþ. Âòîðîå ñäåëàòü ñëîæíåå, êîðîòêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñãèáàíèé ìíå íàéòè íå óäàëîñü. Íî òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîæíî ïîëó÷èòü, ïîêàçàâ, ÷òî ñ ïîìîùüþ ñãèáàíèé ìîæíî ïîñòðîèòü èíâåðñèþ òî÷êè îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè, åñëè ïðî îêðóæíîñòü èçâåñòíî òîëüêî ìåñòîïîëîæåíèå öåíòðà è ïîëîæåíèå îäíîé òî÷êè íà íåé. Ïîòîì, ïðèìåíèâ èíâåðñèþ, êîòîðàÿ ïåðåâîäèò îäíó èç äâóõ äàííûõ îêðóæíîñòåé â ïðÿìóþ, ñâåñòè çàäà÷ó ê ïðåäûäóùåé. Óïðàæíåíèå 5. Ïîñòðîéòå èíâåðñèþ òî÷êè îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè, çàäàííîé ìåñòîïîëîæåíèÿìè öåíòðà è îäíîé òî÷êè íà íåé. Òàêèì îáðàçîì, âñå ïîñòðîåíèÿ òî÷åê öèðêóëåì è ëèíåéêîé ìîæíî îñóùåñòâèòü ñ ïîìîùüþ ñãèáàíèé. Îêàçûâàåòñÿ ïðè ýòîì, ÷òî ñãèáàíèÿìè ìîæíî ïîñòðîèòü òî÷êè, êîòîðûå íåâîçìîæíî ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè. Äëÿ ïðèìåðà ïðèâåäåì äâå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå, êîòîðûå èçâåñòíû óæå áîëåå äâóõ òûñÿ÷ ëåò, íî òîëüêî â ïåðâîé ïîëîâèíå !' ÊÐÓÆÎÊ XIX âåêà áûëà äîêàçàíà íåâîçìîæíîñòü ðåøåíèÿ êàæäîé èç íèõ ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè. Òðèñåêöèÿ óãëà Çàäà÷à 1. Ðàçäåëèòå äàííûé óãîë íà òðè ðàâíûå ÷àñòè. Âîò ðåøåíèå, ïðåäëîæåííîå Õèñàñè Àáý. Ïóñòü óãîë çàäàí äâóìÿ ñêëàäêàìè ð è q, îáîçíà÷èì ÷åðåç À âåðøèíó óãëà (ðèñ.9). Ñíà÷àëà ïðîâåäåì ïîäãîòîâèòåëüíîå ïîñòðîåíèå. Íàì íóæíî: 1) âîññòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿð l ê q ÷åðåç À (ïðàâèëî 4); 2) îòìåòèòü íà l ïðîèçâîëüíî òî÷êó  è âîññòàâèòü ñðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð q¢ ê îòðåçêó À (ïðàâèëî 2). Òåïåðü âñå ãîòîâî äëÿ ãëàâíîé ñêëàäêè. Ñëîæèì ëèñò òàê, ÷òîáû À ïîïàëà íà q¢ , à  íà ð (ïðàâèëî 6). Ïðè ýòîì îáðàç A¢ âåðøèíû À ëÿæåò íà ïåðâóþ òðèñåêòðèñó íàøåãî óãëà, à òî÷êà Ñ íà ïåðåñå÷åíèè q¢ ñ íîâîé ñêëàäêîé áóäåò ëåæàòü íà âòîðîé. Òàêèì îáðàçîì, ëó÷è AA¢ è ÀÑ áóäóò äåëèòü óãîë íà òðè Ðèñ. 9 ðàâíûå ÷àñòè. Äîêàæåì ýòî. Ïî ñâîéñòâàì âûïîëíåííûõ ñêëàäîê, BC = AC = CA¢ = CB¢ , à òàêæå A¢B = AA¢ = AB¢ . Ïîýòîìó ðàâíû òðåóãîëüíèêè AB¢C è ACA¢ , íî òîãäà ðàâíû è óãëû, îòìå÷åííûå äóæêàìè íà ðèñóíêå 9. Óäâîåíèå êóáà Ìû íå áóäåì âäàâàòüñÿ â ëåãåíäàðíûå ïîäðîáíîñòè èñòîðèè ýòîé çàäà÷è. Íàïîìíèì ëèøü, ÷òî ðå÷ü èäåò î ïîñòðîåíèè ðåáðà êóáà, îáúåì êîòîðîãî âäâîå áîëüøå îáúåìà äàííîãî êóáà ñ ðåáðîì à, ò.å. îòðåçêà a 3 2 . Çàäà÷à 2. Ïîñòðîéòå äâà îòðåçêà ñ îòíîøåíèåì äëèí 3 2. Âîò ðåøåíèå, êîòîðîå ïðåäëîæèë Ïåòåð Ìåññåð. Ñíà÷àëà ïîñòðîèì êâàäðàò ABCD (ðèñ.10), ðàçäåëåííûé íà 3 ðàâíûå ÷àñòè ñêëàäêàìè ð è q, ïàðàëëåëüíûìè ñòîðîíå À (ñì. óïðàæíåíèÿ 3 è 4). Òåïåðü ñëîæèì ëèñò òàê, ÷òîáû òî÷êà  ïîïàëà â òî÷êó B¢ íà ñòîðîíå ÀD, à òî÷êà Õ â òî÷êó X¢ íà îòðåçêå EF. Âîçìîæíîñòü îñóùåñòâèòü òàêóþ ñêëàäêó ïðåäóñìîòðåíà ïðàâèëîì 6. Òîãäà Ðèñ. 10 DB¢ 3 = 2. B¢ A Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ÐB¢BA = α , à ÂÕ = 1. Òîãäà (ïîπ π ñêîëüêó ÐAB¢B = - α = ÐGB¢B = - α ) ÐEB¢X ¢ = 2α . 2 2 Òàê êàê q P p , à X ¢X P B¢B , òî ÐXX ¢F = α .Ïîýòîìó EX ¢ = sin 2α , FX ¢ = ctg α . Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî sin 2α + ctg α = EF = 3 . Ïîëîæèì t = ctg α . Òîãäà sin 2α = 2t , è ìû ïîëó÷àåì 1 + t2 " ÊÂÀÍT 2008/¹1 óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî t: 2t +t = 3, 1 + t2 3 îòêóäà t 3 - 3t 2 + 3t - 3 = 0 , ( t - 1) = 2 , t = 3 2 + 1 . Äàëåå, AB¢ = 3tg α , DB¢ = 3 - 3tg α , è DB¢ 3 - 3tg α = = ctg α - 1 = 3 2 . 3tg α AB¢ Íà ýòîì ñïèñîê «íåâîçìîæíûõ ïîñòðîåíèé» íå êîí÷àåòñÿ. Ïðè ïîìîùè ñêëàäûâàíèé ìîæíî òàêæå ïîñòðîèòü íåêîòîðûå äðóãèå îáúåêòû, êîòîðûå íå ïîääàþòñÿ ïîñòðîåíèþ öèðêóëåì è ëèíåéêîé. Íàïðèìåð, ïðàâèëüíûé ñåìèóãîëüíèê.  ÷åì æå ïðè÷èíà? Êàêîå èç îïèñàííûõ ïðàâèë äîáàâëÿåò íîâûå âîçìîæíîñòè? ×òîáû ýòî ïîíÿòü, äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ñêëàäêó â êàæäîì èç ïðàâèë 17 ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè. Ðåøèâ óïðàæíåíèå 1, âû óâèäèòå, ÷òî äîâîëüíî ëåãêî ïîñòðîèòü âñå ïðÿìûå ñêëàäîê â ïðàâèëàõ 15 è 7. Ñòàëî áûòü, äîïîëíèòåëüíûå âîçìîæíîñòè ñêðûòû â ïðàâèëå íîìåð 6. Íå óäèâèòåëüíî, ÷òî îñíîâíîé øàã â ïîñòðîåíèÿõ òðèñåêöèè óãëà è óäâîåíèè êóáà áûë ñäåëàí ñ ïðèìåíåíèåì èìåííî ýòîãî ïðàâèëà. Ïðè÷èíà, îêàçûâàåòñÿ, â ñëåäóþùåì: ÷òîáû íàéòè ïðÿìóþ ñãèáà â ïðàâèëå 6, òðåáóåòñÿ ðåøèòü óðàâíåíèå òðåòüåé ñòåïåíè, òîãäà êàê â êàæäîì èç ïîñòðîåíèé ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè ðåøàþòñÿ óðàâíåíèÿ òîëüêî 1 è 2 ñòåïåíåé. Ëþáèòåëÿì ãåîìåòðèè ìû ðåêîìåíäóåì óáåäèòüñÿ â ýòîì. ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Ýòà «ïðîñòåíüêàÿ» êèíåìàòèêà Â.ÒÐÎßÍÎÂÑÊÈÉ Â ÑÀÌÎÌ ÄÅËÅ, ÅÑËÈ ÏÎÆÅÐÒÂÎÂÀÒÜ ÎÁÑÓÆÄÅÍÈÅÌ íåîáõîäèìûõ ïåðâîíà÷àëüíûõ ïîíÿòèé è ðåçóëüòàòîâ, òî â êèíåìàòèêå âñå ÿñíî è ïîíÿòíî: ñêîðîñòü v, âðåìÿ äâèæåíèÿ t è ïðîéäåííûé ïóòü s ñâÿçàíû èçâåñòíûì ñîîòíîøåíèåì v = s/t. Íàñêîëüêî âñå ïðîñòî, âû ñìîæåòå îöåíèòü, ðåøèâ äëÿ ðàçìèíêè òàêóþ çàäà÷ó. Çàäà÷à 1. Êîëüöî ðàäèóñîì R ñîñòîèò èç äâóõ ïîëîâèíîê, â êîòîðûõ ñêîðîñòè çâóêà v1 è v2 ( v2 < v1 , äëÿ îïðåäåëåííîñòè). Ïî îäíîìó èç ñòûêîâ ïîëîâèíîê êîëüöà óäàðèëè ìîëîòî÷êîì. Íàéäèòå âðåìÿ Ò îò ìîìåíòà óäàðà äî ìîìåíòà âñòðå÷è çâóêîâûõ âîëí. Ïðåæäå ÷åì ÷èòàòü ïðåäëàãàåìîå ðåøåíèå, ïîïûòàéòåñü ðåøèòü çàäà÷ó ñàìîñòîÿòåëüíî.  ÷àñòíîñòè, ïîäóìàéòå, ïî÷åìó ñêîðîñòü çâóêà â ðàçíûõ âåùåñòâàõ ðàçíàÿ, ÷òî áóäåò ñ «áûñòðîé» âîëíîé ïîñëå òîãî, êàê îíà ïåðåñå÷åò ãðàíèöó ïîëîâèíîê ïîëóêîëåö, ãäå (ïðèìåðíî) ïðîèçîéäåò âñòðå÷à çâóêîâûõ âîëí.  ñëó÷àå óñïåøíîãî ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è âñå-òàêè âçãëÿíèòå íà ïðåäëàãàåìîå ðåøåíèå. Âîçìîæíî, îáñóæäåíèå íåêîòîðûõ âîïðîñîâ âàì ïðèãîäèòñÿ â áóäóùåì. Ðåøåíèå. ßñíî, ÷òî âñòðå÷à âîëí ïðîèçîéäåò ãäå-òî íà òîé èç ïîëîâèíîê êîëüöà, â êîòîðîé ñêîðîñòü çâóêà ìåíüøå. Ïðè ïåðåõîäå âîëíû èç îäíîé ñðåäû â äðóãóþ äîëæíà èçìåíèòüñÿ ñêîðîñòü âîëíû, â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâàìè íîâîé ñðåäû (ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû â ñðåäå ýòî ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ óïðóãèõ äåôîðìàöèé). Äëÿ çàïèñè óðàâíåíèé íàäî, ïðåæäå âñåãî, ââåñòè îáîçíà÷åíèÿ. Âîñïîëüçóåìñÿ ðèñóíêîì 1. Êðîìå ñêîðîñòåé íà íåì ïîêàçàíû âðåìÿ äâèæåíèÿ t «áûñòðîé» âîëíû îò òî÷êè ñòàðòà äî ñåðåäèíû êîëüöà (äî ãðàíèöû ðàçäåëà ñðåä ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè âîëí), âðåìÿ äâèæåíèÿ Ò «ìåäëåííîé » âîëíû äî âñòðå÷è âîëí (ò.å. èñêîìîå âðåìÿ) è âðåìÿ äâèæåíèÿ T t áûâøåé «áûñòðîé» âîëíû â äðóãîé ñðåäå, êóäà ïîïàäàåò âîëíà ïîñëå ïåðåñå÷åíèÿ ãðàíèöû ñðåä. Íåðåäêî çàäà÷ó óäàåòñÿ íà÷àòü ðåøàòü, äåëàÿ íå òî, ÷òî íóæíî, à òî, Ðèñ. 1 ÷òî âèäíî ñðàçó. Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì ñïîñîáîì ðåøåíèÿ. Ëåãêî íàéòè ïóòü «áûñòðîé» âîëíû îò òî÷êè ñòàðòà äî ñåðåäèíû êîëüöà: äëèíà ïîëóêîëüöà ðàâíà πR . Ïðîñòî íàõîäèòñÿ è âðåìÿ t, çàòðà÷åííîå íà ïðîõîæäåíèå ýòîãî ïóòè: t = πR v1 . Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðèáëèçèòüñÿ ê îòâåòó íà âîïðîñ çàäà÷è, íàäî õîòÿ áû «âñòàâèòü» èñêîìóþ âåëè÷èíó â êàêîå-íèáóäü óðàâíåíèå. Ìîæíî, íàïðèìåð, çàïèñàòü âåëè÷èíó ïóòè äâóõ âîëí â ïðàâîì ïîëóêîëüöå, âûðàçèâ åå ÷åðåç ñêîðîñòè è âðåìåíà äâèæåíèé êàæäîé èç âîëí («ìåäëåííîé» è áûâøåé «áûñòðîé»): πR = v2T + v2 ( T - t ) .  èòîãå èìååì ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè: πR , πR = v2T + v2 ( T - t ) . t= v1 Íå ñîìíåâàþñü, ÷òî âû áûñòðåíüêî ðåøèòå ýòó ñèñòåìó è ïîëó÷èòå êàêîé-íèáóäü îäèí èç ïðèâåäåííûõ îòâåòîâ èëè èì ïîäîáíûé îòâåò: π R(v2 - v1) π R(v1 + v2 ) ; á) T = ; à) T = v1v2 2v1 â) T = πR ( v1 - v2 ) 4v1v2 ; ã) T = πR ( v1 + v2 ) v1v2 . Íà ýêçàìåíå îòâåòîâ äëÿ ñàìîïðîâåðêè îáû÷íî íå äàþò, ïîýòîìó íàäî óæå ïðè ïîäãîòîâêå ê ýêçàìåíó íàó÷èòüñÿ ïðîâåðÿòü ñåáÿ õîòÿ áû êîñâåííî. Êîíå÷íî, âû çíàåòå î òîì, ÷òî ïðåæäå âñåãî îòâåò äîëæåí áûòü âåðåí ïî ðàçìåðíîñòè. Íà÷èíàåì ïðîâåðÿòü îòâåòû òàêèì îáðàçîì è â ïåðâîì æå èç íèõ (à) íàõîäèì: ì×ì ñ c= = ì, ìñ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÷åãî íå ìîæåò áûòü. Âåðíàÿ ðàçìåðíîñòü íå ãàðàíòèðóåò ïðàâèëüíîñòü îòâåòà, à âîò íåâåðíàÿ ðàçìåðíîñòü ãàðàíòèðóåò íåïðàâèëüíîñòü îòâåòà. Òàê ÷òî ïåðâûé èç îòâåòîâ çàâåäîìî íåâåðåí. Äóìàþ, äëÿ âàñ íå ñîñòàâèò òðóäà ïðîâåðèòü îñòàëüíûå îòâåòû è óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî îíè ïî ðàçìåðíîñòè âåðíû. Îäíàêî íèêàêèõ ãàðàíòèé âåðíîñòè îòâåòà âû åùå íå ïîëó÷èëè. Âîçüìåì, íàïðèìåð, âòîðîé îòâåò (á). Õîòÿ îí âåðåí ïî ðàçìåðíîñòè, íî ïðè v2 < v1 ïîëó÷àåòñÿ îòðèöàòåëüíîå âðåìÿ, ÷åãî áûòü íå äîëæíî. È, ïîæàëóéñòà, íå íàäî âûïèñûâàòü ïîäîáíûé îòâåò ïî ìîäóëþ, òàê êàê ìîäóëü ñóùåñòâóåò íå äëÿ òîãî, ÷òîáû ñúåäàòü íåæåëàòåëüíûé ìèíóñ è îáëàãîðàæèâàòü êîå-÷òî íåáëàãîðîäíîå. Òàê ÷òî è âòîðîé îòâåò íåâåðåí. Òðåòèé îòâåò «ïðîõîäèò» ïî ðàçìåðíîñòè è ïî çíàêó, íî âñå-òàêè âûçûâàåò ñîìíåíèÿ: ïðè ðàâåíñòâå ñêîðîñòåé âðåìÿ äî âñòðå÷è îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì íóëþ. ßñíî, ÷òî ýòîãî áûòü íå ìîæåò âîëíû ìãíîâåííî âñòðåòèòüñÿ íå ñìîãóò. Óâû, è òðåòèé îòâåò íåâåðåí, ïîñêîëüêó îí íåâåðåí â ïðîâåðÿåìîì ÷àñòíîì ñëó÷àå. Òàêàÿ ïðîâåðêà äëÿ êàêîãî-ëèáî èçâåñòíîãî ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ òàêæå äîëæíà áûòü â âàøåì àðñåíàëå. Íàêîíåö, ÷åòâåðòûé îòâåò âåðåí ïî ðàçìåðíîñòè, ïîëîæèòåëåí è ïðè ðàâåíñòâå ñêîðîñòåé äàåò âïîëíå ðàçóìíûé îòâåò: 2πR v . À íàñêîëüêî âåðåí ýòîò îòâåò? Êàê ëåãêî ïîíÿòü, ïðè ðàâåíñòâå ñêîðîñòåé âîëíû äîëæíû âñòðåòèòüñÿ ó ïðîòèâîïîëîæíîãî ñòûêà è êàæäàÿ èç íèõ ïðîéäåò äî âñòðå÷è ïóòü πR ñî ñêîðîñòüþ v. Òàêîå äâèæåíèå òðåáóåò âðåìÿ πR v , ÷òî âäâîå ìåíüøå ïîëó÷èâøåãîñÿ. Çíà÷èò, è ÷åòâåðòûé îòâåò íåâåðåí (îí íå äàåò â ÷àñòíîì ñëó÷àå òî, ÷òî äîëæíî áûòü â ýòîì ñëó÷àå î÷åâèäíî). Ðàññìîòðèì åùå îäèí îòâåò: T= πR v1 + v2 2v1v2 . Ýòîò îòâåò âåðåí ïî ðàçìåðíîñòè, ïîëîæèòåëåí, â ÷àñòíîì ñëó÷àå ðàâåíñòâà ñêîðîñòåé äàåò ïðàâèëüíûé ðåçóëüòàò. Áîëåå òîãî, ìû ìîæåì ñäåëàòü åùå îäíó ïðîâåðêó: äëÿ ïðåäåëüíîãî ñëó÷àÿ. Ïðåäñòàâüòå, ÷òî ñêîðîñòü v1 î÷åíü âåëèêà. Òîãäà ëåâîå ïîëóêîëüöî âîëíà ïðîñêàêèâàåò ìãíîâåííî, âðåìåíåì t ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, à âðåìÿ äî âñòðå÷è äîëæíî ðàâíÿòüñÿ πR ( 2v2 ) . Ïîëó÷èòñÿ ëè òàêîé ðåçóëüòàò èç ïîñëåäíåãî îòâåòà? Ïðîâåðèì. Ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèñõîäèò, êîãäà v1 ñòàíîâèòüñÿ ìíîãî áîëüøå v2 (ò.å. v1 ? v2 ): T= πR ( v1 + v2 ) πR (1 + ( v2 v1 ) ) πR , = » 2v1v2 2v2 2v2 êàê è äîëæíî áûòü. Âûâîä, êîòîðûé íàïðàøèâàåòñÿ ïîñëå âñåõ ïðîâåðîê, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñòü îñíîâàíèÿ íàäåÿòüñÿ íà òî, ÷òî ïîñëåäíèé èç îòâåòîâ ÿâëÿåòñÿ âåðíûì. Çàêîí÷èâ ðàçìèíêó, ïåðåéäåì ê îñíîâíîé ÷àñòè òðåíèðîâêè. Ðàññìîòðèì âàæíûé âîïðîñ ïðàâèëî ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé è ñâÿçàííûé ñ íèì ðåçóëüòàòèâíûé ñïîñîá ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíûõ çàäà÷. Íà÷íåì ñ ïðèìåðà, êîòîðûé èëëþñòðèðóåò ðèñóíîê 2. Íà ðèñóíêå óêàçàíû ñêîðîñòè òðåõ òåë äåâóøêè, þíîøè è âàãîíà. Êàê âû äóìàåòå, îòíîñèòåëüíî êàêèõ ñèñòåì îòñ÷åòà óêàçàíà êàæäàÿ èç ñêîðîñòåé? Ìîæåòå ëè âû íàéòè ñêî- Ðèñ. 2 " ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ ðîñòü êàæäîãî èç òåë îòíîñèòåëüíî çåìëè? Ïðàâèëüíûå îòâåòû íà çàäàííûå âîïðîñû î÷åâèäíû. Ñêîðîñòè ëþäåé çàäàíû îòíîñèòåëüíî âàãîíà, ñêîðîñòü âàãîíà óêàçàíà îòíîñèòåëüíî çåìëè. Ñêîðîñòü äåâóøêè îòíîñèòåëüíî çåìëè ðàâíà 65 êì/÷, ñêîðîñòü þíîøè ñîñòàâëÿåò 50 êì/÷. Ýòîò ïðèìåð íàïîìèíàíèå î òîì, ÷òî ñêîðîñòè (âåêòîðíûå âåëè÷èíû) ñêëàäûâàþòñÿ ïî ïðàâèëó ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ (ïî ïàðàëëåëîãðàììó èëè òðåóãîëüíèêó).  îáùåì âèäå ðåçóëüòàò ìîæíî ôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü åñòü íåïîäâèæíàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà, ïðåäñòàâëåííàÿ íà ðèñóíêå 3 ñèñòåìîé êîîðäèíàò áåç øòðèõîâ, è ïîäâèæíàÿ Ðèñ. 3 ñèñòåìà, ïîìå÷åííàÿ øòðèõàìè, ñêîðîñòü òåëà â ïîäâèæíîé ñèñòåìå v¢ , ñêîðîñòü òåëà â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå v, ñêîðîñòü ïîäâèæíîé ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé u. Ïðàâèëî ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé è åãî ñëåäñòâèå ôîðìóëà äëÿ ðàñ÷åòà ñêîðîñòè òåëà â ïîäâèæíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà òàêîâû: r r r r r r v = u + v¢, v¢ = v - u . Çàäà÷à 2. Ýëåêòðè÷êà åäåò ïðÿìîëèíåéíî ñî ñêîðîñòüþ 0,4 ì/ñ îòíîñèòåëüíî çåìëè. ×åëîâåê èäåò ïîïåðåê âàãîíà ñî ñêîðîñòüþ 0,3 ì/ñ îòíîñèòåëüíî âàãîíà. Íàéäèòå ñêîðîñòü ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî çåìëè. Ðåøåíèå. Çàäà÷à, êîíå÷íî, «ìå÷òà äâîå÷íèêà», íî è â íåé åñòü ïîäâîäíûé êàìåíü. Ðàññìîòðèì ðèñóíîê 4 (âèä âàãîíà ñâåðõó). Íà ýòîì ðèñóíêå âèäíî, ÷òî èñêîìàÿ ñêîðîñòü ÿâëÿåòñÿ ãèïîòåíóçîé òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè, îäèí èç êîòîðûõ ýòî ñêîðîñòü ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî ïîåçäà v÷ï = v÷ = 0,3 ì ñ (ýòà ñêîðîñòü èãðàåò ðîëü ñêîðîñòè òåëà v¢ îòíîñèòåëüíî ïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà), âòîðîé ñêîðîñòü ïîåçäà îòíîñèòåëüíî çåìëè vïç = vï = 0,4 ì ñ (ýòà Ðèñ. 4 ñêîðîñòü èãðàåò ðîëü ñêîðîñòè u ïîäâèæíîé ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû). Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà ñêîðîñòè ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî çåìëè ðàâíà v÷ç = 0,5 ì ñ (îíà èãðàåò ðîëü ñêîðîñòè òåëà îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû v). Îáû÷íî àáèòóðèåíòû îãðàíè÷èâàþòñÿ íàõîæäåíèåì âåëè÷èíû ñêîðîñòè, â äàííîì ñëó÷àå v÷ç . Íî ñêîðîñòü âåêòîð, è íàäî îõàðàêòåðèçîâàòü íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè. Êàê ïðàâèëî, äîñòàòî÷íî íàéòè êàêóþ-ëèáî òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôóíêöèþ îäíîãî èç óäîáíûõ óãëîâ.  ýòîé çàäà÷å ìîæíî íàéòè òàíãåíñ óãëà ìåæäó èñêîìîé ñêîðîñòüþ è ñêîðîñòüþ ïîåçäà: v÷ = 0,75 . vï Âîò íà ýòîò ïîäâîäíûé êàìåíü (íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè) è íå íàäî íàëåòàòü. Ïðè÷åì, äàæå åñëè â óñëîâèè çàäà÷è íè÷åãî íå ãîâîðèòñÿ î íàõîæäåíèè íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè (è â îòâåòå íåò ýòîãî), âàì âñå ðàâíî íàäî íàéòè ýòó õàðàêòåðèñòèêó âåêòîðíîé âåëè÷èíû, òàê êàê èíà÷å âû, êàê ìèíèìóì, îñòàâëÿåòå îñíîâàíèå äëÿ ïðèäèðêè. tg β = Òåïåðü ðàññìîòðèì âàæíóþ çàäà÷ó, èäåÿ ðåøåíèÿ êîòîðîé (êàê è ðåçóëüòàò ðåøåíèÿ) èñïîëüçóåòñÿ äîñòàòî÷íî ÷àñòî. Çàäà÷à 3. Ìÿ÷ ëåòèò ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ vì è íàëåòàåò ïî íîðìàëè íà ìàññèâíóþ ñòåíêó, êîòîðàÿ " ÊÂÀÍT 2008/¹1 äâèæåòñÿ åìó íàâñòðå÷ó ñî ñêîðîñòüþ vñ . Íàéäèòå ñêîðîñòü ìÿ÷à ïîñëå îòñêîêà, åñëè íèêàêèõ ïîòåðü íåò. (Òðàåêòîðèÿ ìÿ÷à â ýòîé çàäà÷å ñ÷èòàåòñÿ âñå âðåìÿ ïðÿìîëèíåéíîé.) Ðåøåíèå. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî âñòðå÷àþùååñÿ â óñëîâèè çàäà÷è ïîíÿòèå «íîðìàëü» îçíà÷àåò ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè â äàííîé òî÷êå èëè ïåðïåíäèêóëÿð ê êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè â äàííîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè.  ýòîé çàäà÷å ñêàçàíî, ÷òî ñòåíà ìàññèâíàÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åå ñêîðîñòü ïðè ñîóäàðåíèè ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿåòñÿ. Äàëåå. Íà ïåðâûé âçãëÿä, èç-çà âñòðå÷íîãî äâèæåíèÿ òåë ðåçóëüòèðóþùàÿ ñêîðîñòü ìÿ÷à äîëæíà áûòü ðàâíà ñóììå ñêîðîñòåé, íî ýòî, êàê ìû ñåé÷àñ óáåäèìñÿ, íå òàê. Ïðè÷åì ýòî íå ñâÿçàíî ñ ïîòåðÿìè (èõ, ïî óñëîâèþ, è íåò). Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íóæíû èäåè. Âû ìîæåòå îñòàíîâèòüñÿ è ïîäóìàòü, ïðåæäå ÷åì ÷èòàòü äàëüøå. Ïåðâàÿ èäåÿ ïðîñòà: öåëåñîîáðàçíî ïåðåéòè â äâèæóùóþñÿ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ìû íåîäíîêðàòíî áóäåì ïîñòóïàòü òàêèì îáðàçîì, ýòîò ïðèåì äëÿ âàñ äîëæåí ñòàòü ñòàíäàðòíûì. Âòîðàÿ èäåÿ, êîòîðàÿ îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíîé â äàííîé çàäà÷å è áëàãîäàðÿ êîòîðîé óäîáíî ïåðåéòè â ïîäâèæíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïðåäñòàâüòå ñåáå, ÷òî ñòåíà íåïîäâèæíà.  ýòîì ñëó÷àå ñêîðîñòü ìÿ÷à îòíîñèòåëüíî ñòåíû äî è ïîñëå óäàðà ïî âåëè÷èíå îäíà è òà æå (âåêòîðû ñêîðîñòåé äî è ïîñëå óäàðà îòëè÷àþòñÿ ëèøü çíàêîì).  îòñóòñòâèå ïîòåðü íå ìåíÿåòñÿ ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòü ìÿ÷à è îòíîñèòåëüíî äâèæóùåéñÿ ñòåíû. Òåïåðü íàäî âûáðàòü óäîáíóþ ïîäâèæíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ñâÿçûâàòü åå ñ ìÿ÷îì íå ñòîèò, òàê êàê ìÿ÷ ìåíÿåò íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ, à âîò ñâÿçàòü åå ñî ñòåíîé, êîòîðàÿ íå ìåíÿåò íè íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ, íè âåëè÷èíû ñêîðîñòè, óäîáíî. Ðàññìîòðèì ðèñóíîê 5 è âîñïîëüçóåìñÿ äâóìÿ óêàçàííûìè èäåÿìè, à òàêæå ïðàâèëîì ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé è ñëåäñòâèåì èç íåãî. Íàéäåì ñêîÐèñ. 5 ðîñòü ìÿ÷à îòíîñèòåëüíî ñòåíû (ò.å. ñêîðîñòü â ïîäâèæíîé ñèñòåìå) äî óäàðà (íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü): èñêîìûé îòâåò: vìê = 0 + 2vô = 2vô . Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîóïðàæíÿòüñÿ â ðåøåíèè çàäà÷ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïåðåõîäà â ïîäâèæíóþ ñèñòåìó, ìîæåòå íàéòè ñòàðòîâóþ ñêîðîñòü ìÿ÷à «÷åñòíî», íå èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò ðåøåíèÿ ïðåäûäóùåé çàäà÷è. Êîíå÷íî, èäåÿ ïåðåõîäà â ïîäâèæíóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà ïðèìåíèìà íå òîëüêî ïðè äâèæåíèè òåë âäîëü îäíîé ïðÿìîé, íî è â áîëåå ñëîæíûõ ñëó÷àÿõ. Çàäà÷à 5. Òî÷êà 1 äâèæåòñÿ âäîëü îñè 0õ ê íà÷àëó êîîðäèíàò èç ïîëîæåíèÿ xí = 10 ñì ñî ñêîðîñòüþ v1 = = 2 ñì/ñ . Òî÷êà 2 äâèæåòñÿ âäîëü îñè 0ó ê íà÷àëó êîîðäèíàò èç ïîëîæåíèÿ yí = 5 ñì ñî ñêîðîñòüþ v2 = = 4 ñì/ñ. Âñòðåòÿòñÿ ëè òî÷êè? Åñëè íåò, òî êàêîâî ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè? Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì äâà ñïîñîáà ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è. Ïåðâûé ñïîñîá. Êàæäàÿ èç òî÷åê äâèæåòñÿ ñòðîãî ïî ñâîåé îñè, ïîýòîìó âñòðåòèòüñÿ îíè ìîãóò òîëüêî â íà÷àëå êîîðäèíàò. «Âñòðåòèòüñÿ» â äàííîì ñëó÷àå ôîðìàëüíî îçíà÷àåò îäíîâðåìåííîå ïîïàäàíèå òî÷åê â íà÷àëî êîîðäèíàò. Íàéäåì âðåìÿ äâèæåíèÿ êàæäîé èç òî÷åê. Äëÿ ýòîãî íàì íàäî çàïèñàòü èçìåíåíèå âî âðåìåíè òåêóùåé êîîðäèíàòû êàæäîé èç òî÷åê, à çàòåì ïðèðàâíÿòü ýòî çíà÷åíèå íóëþ, òàê êàê â èíòåðåñóþùèé íàñ ìîìåíò òî÷êè ïîïàäàþò â íà÷àëî êîîðäèíàò. Êîîðäèíàòà ïåðâîé òî÷êè (ðèñ.6) ðàâíîìåðíî óáûâàåò âî âðåìåíè îò xí äî íóëÿ, ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü x = xí - v1t . Èñïîëüçóÿ óñëîâèå õ = 0, íàé- Ðèñ. 6 äåì t1 = 5 c . Àíàëîãè÷íî, èç óðàâíåíèÿ y = yí - v2t è óñëîâèÿ y = 0 ïîëó÷àåì t2 = 1,25 c . Èòàê, òî÷êè äâèæóòñÿ äî íà÷àëà êîîðäèíàò ðàçíîå âðåìÿ è âñòðåòèòüñÿ íå ìîãóò. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ìèíèìàëüíîãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè çàïèøåì çíà÷åíèå ýòîãî ðàññòîÿíèÿ â îáùåì âèäå (ðàññòîÿíèå s ìåæäó òî÷êàìè ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 6 ïóíêòèðîì): vìí ¢ = + ( -vì ) - ( +vc ) .  ýòîé ôîðìóëå çíàêè â ñêîáêàõ ñâÿçàíû ñ îðèåíòàöèåé âåêòîðîâ îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, çíàêè ïåðåä ñêîáêàìè ýòî çíàêè, ñòîÿùèå â èñïîëüçóåìîé ôîðìóëå ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé. Äàëåå íàéäåì ñêîðîñòü ìÿ÷à îòíîñèòåëüíî ñòåíû ïîñëå óäàðà (êîíå÷íóþ ñêîðîñòü): vìê ¢ = -vìí ¢ = vì + vc . Íàêîíåö, ïî ïðàâèëó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé ïîëó÷èì èñêîìûé ðåçóëüòàò, ò.å. êîíå÷íóþ ñêîðîñòü ìÿ÷à â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà: vìê = vc + ( vì + vc ) = vì + 2vc . Èñïîëüçóåì ðàññìîòðåííûå èäåè íà ïðèìåðå åùå îäíîé çàäà÷è. Çàäà÷à 4. Ôóòáîëèñò óäàðèë ïî ïîêîèâøåìóñÿ ìÿ÷ó. Ñêîðîñòü íîãè âî âðåìÿ óäàðà ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííà è ðàâíà vô . Íàéäèòå âåëè÷èíó ñòàðòîâîé ñêîðîñòè ìÿ÷à. Ðåøåíèå. Íàäåþñü, âû óçíàëè â ýòîé çàäà÷å òîëüêî ÷òî ðåøåííóþ çàäà÷ó 3 ñ íóëåâîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ ìÿ÷à è ñêîðîñòüþ íîãè ôóòáîëèñòà â êà÷åñòâå ñêîðîñòè ñòåíû. Ïîëüçóÿñü ïîëó÷åííûì ðàíåå ðåçóëüòàòîì, ñðàçó ïèøåì x 2 + y2 = s= ( xí - v1t) 2 + ( yí - v2t) 2 . Ìèíèìóì ýòîãî âûðàæåíèÿ ìîæíî íàéòè, èñïîëüçóÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå, íî ìîæíî è ýëåìåíòàðíûì ñïîñîáîì, êàê ìû è ñäåëàåì. Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå äëÿ ðàññòîÿíèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: s= (x 2 í ) ( ) + yí2 - 2t ( v1xí + v2 yí ) + v12 + v22 t 2 = 2 2 = v1 + v2 xí2 + yí2 v x + v2 yí - 2t 1 í2 + t2 . v12 + v22 v1 + v22 Ïîä êîðíåì ïðèáàâèì è âû÷òåì îäíó è òó æå âåëè÷èíó æ v x + v2 yí ö A = ç 1 í2 ÷ è v1 + v22 ø 2 è âûäåëèì ïîëíûé êâàäðàò ðàçíîñòè äâóõ âåëè÷èí (âðåìåíè è âñïîìîãàòåëüíîé âåëè÷èíû À): s = v12 + v22 xí2 + yí2 v x + v2 yí - A + A - 2t 1 í2 + t2 = v12 + v22 v1 + v22 2 2 æ æ v x + v2 yí ö v x + v2 yí ö x2 + yí2 = v12 + v22 ç t - 1 í2 - ç 1 í2 + í2 . ÷ ÷ 2 2 v1 + v2 ø v1 + v22 è è v1 + v2 ø "! Ê ÏÎÐËÀËÊÅÒÊÈÖÊÈÓßÌ Ã À ÎÁ ËÈ Î ÒÂÓÎÐËÈÎÅÌÍÎÒ Ê À Ïåðâàÿ èç ñêîáîê ïîä áîëüøèì êîðíåì íåîòðèöàòåëüíîå âûðàæåíèå, âñå îñòàëüíîå ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû, ïîýòîìó ìèíèìóì ðàññòîÿíèÿ äîñòèãàåòñÿ â òîò ìîìåíò, êîãäà èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî t- v x + v2 yí v1xí + v2 yí . = 0 , ò.å. t = 1 í2 v1 + v22 v12 + v22 Ïî ýòîìó âðåìåíè ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî íàéòè ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè. Íî ïðîùå çàìåòèòü, ÷òî äëÿ íàéäåííîãî ìîìåíòà ïîñëåäíåå ïðîèçâåäåíèå êîðíåé äàåò s= v y - v2 xí v12 yí2 - 2v1v2 xí yí + v22 xí2 = 1 í » 6,7 ñì . v12 + v22 v12 + v22 Îáðàòèòå âíèìàíèå íà ñëåäóþùåå îáñòîÿòåëüñòâî. Íàéäåííîå ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè ðàâíî íóëþ òîëüêî òîãäà, êîãäà v1yí - v2 xí = 0 .  óñëîâèÿõ çàäà÷è ýòî íå òàê, çíà÷èò, òî÷êè íå âñòðåòÿòñÿ (îòâåò íà ïåðâûé âîïðîñ çàäà÷è ìîæíî áûëî áû ïîëó÷èòü è òàêèì îáðàçîì). Âòîðîé ñïîñîá. Âûáåðåì â êà÷åñòâå íåïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà çàäàííóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò õ0ó, à â êà÷åñòâå ïîäâèæíîé ñèñòåìû X0Y ñèñòåìó, ñâÿçàííóþ ñ ïåðâûì òåëîì, êîòîðîå äâèãàåòñÿ âäîëü îñè 0õ.  ýòîé ñèñòåìå íà÷àëî êîîðäèíàò ñîâìåñòèì ñ ïåðâûì òåëîì, îñü 0Õ ïîäâèæíîé ñèñòåìû íàïðàâèì ïî ñêîðîñòè ïåðâîãî òåëà, ò.å. íàâñòðå÷ó îñè 0õ, îñü 0Y ïîäâèæíîé ñèñòåìû íàïðàâèì ïî îñè 0ó íåïîäâèæíîé ñèñòåìû (ðèñ.7). Ïåðåéäåì â ñèñòåìó îòñ÷åòà, ñâÿçàííóþ ñ ïåðâûì òåëîì.  ýòîé ñèñòåìå ïåðâîå òåëî ïîÐèñ. 7 êîèòñÿ, à âòîðîå òåëî ïðèáëèæàåòñÿ ê íåìó ñî ñêîðîñòÿìè v1 è v2 . Èñêîìîå ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå s ýòî ðàññòîÿíèå îò ïåðâîãî òåëà äî òî÷êè À. Êàê ìîæíî óâèäåòü íà ðèñóíêå, v2 v s . l= , L = yí tg α, tg α = 1 , cos α = cos α v2 v12 + v22 Ñîáèðàåì âñå è íàõîäèì s= xív2 - yív1 v12 + v22 , êàê è â ïðåäûäóùåì ñïîñîáå ðåøåíèÿ. Ïîëó÷àþùåéñÿ çíàê ïîçâîëÿåò óâèäåòü «ïåðåä» èëè «çà» ïåðâîé òî÷êîé ïðîéäåò âòîðàÿ òî÷êà. Óïðàæíåíèÿ 1. Êëèí ñ óãëîì β ó îñíîâàíèÿ åäåò ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ vê , ñòåðæåíü ìîæåò (ñâîáîäíî) ïåðåìåùàòüñÿ òîëüêî âåðòèêàëüíî (ðèñ.8). Íàéäèòå ñêîðîñòü ñòåðæíÿ. 2. ×åëîâåê èäåò âäîëü òðàìâàéíûõ ïóòåé. Êàæäûå ñåìü ìèíóò åãî îáãîíÿåò òðàìâàé, êàæäûå ïÿòü ìèíóò åìó íàâñòðå÷ó ïðîõîäèò òðàìâàé. Íàéäèòå èíòåðâàë äâèæåíèÿ ìåæäó òðàìâàÿìè. 3. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ãðåáíÿìè âîëí â ìîðå λ = 5 ì . Ðèñ. 8 Ïðè âñòðå÷íîì äâèæåíèè êàòåðà çà âðåìÿ τ = 1 c âîëíû óäàðÿþòñÿ î êîðïóñ k1 = 4 ðàçà, à ïðè ïîïóòíîì äâèæåíèè çà òî æå âðåìÿ k2 = 2 ðàçà. Íàéäèòå ñêîðîñòè êàòåðà è âîëí, ñ÷èòàÿ èõ ïîñòîÿííûìè îòíîñèòåëüíî áåðåãà. 4. Øàðèê íàëåòàåò íà ìàññèâíóþ ñòåíêó ñî ñêîðîñòüþ vøí ïîä óãëîì α ê íîðìàëè. Ñòåíêà åäåò íàâñòðå÷ó øàðèêó ñî ñêîðîñòüþ vc . Íàéäèòå âåëè÷èíó ñêîðîñòè øàðèêà vøê è óãîë β ýòîé ñêîðîñòè ñ íîðìàëüþ ê ñòåíêå ïîñëå îòñêîêà. Ïîòåðü íåò. 5. Òîðïåäó, èìåþùóþ ñêîðîñòü vò = 100 êì ÷ , âûïóñêàþò èç òî÷êè À â ìîìåíò, êîãäà êîðàáëü Ðèñ. 9 ïðîòèâíèêà íàõîäèòñÿ â òî÷êå  è äâèãàåòñÿ íåèçìåííûì êóðñîì ñî ñêîðîñòüþ vê = 50 êì ÷ ïîä óãëîì β = 30° (ðèñ.9). Íàéäèòå óãîë α , ïðè êîòîðîì òîðïåäà ïîðàçèò öåëü. Ñòàòüÿ íàïèñàíà ïî ìàòåðèàëàì êíèãè «Êèíåìàòèêà. Ïðàêòè÷åñêîå ïîñîáèå ïî ðåøåíèþ çàäà÷ äëÿ ñòàðøåêëàññíèêîâ è àáèòóðèåíòîâ». (Àâòîð-ñîñòàâèòåëü Â.Ì.Òðîÿíîâñêèé. Ì.: Èçäàòåëüñòâî ÐÄË, 2007.) ÊÎËËÅÊÖÈß ÃÎËÎÂÎËÎÌÎÊ Ïåíòî-ïåíòî-ïèðàìèäà (Íà÷àëî ñì. íà 4-é ñ. îáëîæêè) Ãîëîâîëîìêà «Ïåíòî-ïåíòî-ïèðàìèäà» çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû ñîáðàòü ïèðàìèäó èç øàðèêîâ, îáúåäèíåííûõ â ãðóïïû. Êîíå÷íî, îáúåäèíÿòü øàðèêè â ãðóïïû ìîæíî òûñÿ÷àìè ñïîñîáîâ, è êàæäûé ðàç áóäåò ïîëó÷àòüñÿ íîâàÿ ãîëîâîëîìêà. Íî èçîáðåòàòåëè èãðóøåê ñòðåìÿòñÿ ïðèäóìûâàòü ãîëîâîëîìêè ñ êàêèìè-íèáóäü îñîáåííîñòÿìè, êîòîðûå âûäåëÿëè áû èõ èç ïðîèçâîëüíî ñîñòàâëåííûõ âàðèàíòîâ. Êàê ðàç ýòèìè êà÷åñòâàìè õîðîøî ïðîäóìàííîé êîíñòðóêöèè îáëàäàåò ãîëîâîëîìêà Äèàíû Ïàñõèíîé, âûïóñêíèöû Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî èíñòèòóòà ñòàëè è ñïëàâîâ. Íàçâàíèå ãîëîâîëîìêè ãîâîðèò î òîì, ÷òî â ïèðàìèäå äîëæíî áûòü ïÿòü ñëîåâ è ÷òî êàæäàÿ äåòàëü êîíñòðóêöèè ñîñòîèò èç ïÿòè øàðèêîâ. Ïðè ýòîì äåòàëè ðàçíûå è îòëè÷àþòñÿ âçàèìíûì ðàñïîëîæåíèåì øàðèêîâ. Ýòî íå ïåðâàÿ èãðóøêà Äèàíû, åþ ïðèäóìàíî áîëåå äåñÿòêà ðàçëè÷íûõ ãîëîâîëîìîê èç øàðèêîâ. Òî ÷òî îíà ïðåäïî÷èòàåò êîíñòðóêöèè èç øàðèêîâ, îáúÿñíÿåòñÿ î÷åíü ïðîñòî. Øàðèêè ìîæíî êóïèòü ãîòîâûìè, ñêëåèâàòü èõ â ãðóïïû íåòðóäíî, à èãðóøêè ïîëó÷àþòñÿ î÷åíü êðàñèâûìè. Ëó÷øå âñåãî äëÿ ýòèõ öåëåé ïîäõîäÿò øàðèêè îò ïëàñòìàññîâûõ áóñ, êîòîðûìè óêðàøàþò íîâîãîäíèå åëêè. Äëÿ ñåìè äåòàëåé âàì ïîíàäîáèòñÿ 35 øàðèêîâ. Ãîëîâîëîìêà «Ïåíòî-ïåíòî-ïèðàìèäà» òðóäíà â ðåøåíèè, ïîýòîìó íà ðèñóíêå (ñì. 4-þ ñ. îáëîæêè) äàíà ïîäñêàçêà îòìå÷åíî ðàñïîëîæåíèå äåòàëè íîìåð 7. Ñ íåå è íà÷èíàéòå ïîñòðîåíèå ïèðàìèäû. Æåëàåì óñïåõà! À.Êàëèíèí
