... Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÌÃÄ âîëí âî âðàùàþùåìñÿ ñëîå ýëåêòðîïðîâîäíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â ýêâàòîðèàëüíîé øèðîòíîé îáëàñòè Ñåðãåé Èâàíîâè÷ Ïåðåãóäèí Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò e-mail: peregudinsi@yandex.ru Ñâåòëàíà Åâãåíüåâíà Õîëîäîâà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè e-mail: kholodovase@yandex.ru ... Ïðîâîäèòñÿ èññëåäîâàíèå òðåõìåðíîé ýêâàòîðèàëüíîé äèíàìèêè èäåàëüíîé ýëåêòðîïðîâîäíîé íåîäíîðîäíîé âðàùàþùåéñÿ æèäêîñòè. Ïðåäëàãàåìàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü èññëåäóåìîãî ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàìêíóòóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, ñîñòîÿùóþ èç óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè ñ ó÷åòîì âðàùåíèÿ Çåìëè, ñèëû Ëîðåíöà è ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé ìàãíèòíîé äèíàìèêè ñ íåîáõîäèìûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Ïîñòðîåíî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé â ïðèáëèæåíèè ýêâàòîðèàëüíîé β ïëîñêîñòè, îïèñûâàþùåå ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí ìàëîé àìïëèòóäû. Öåëüþ ñòàòüè ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå âîëíîâûõ òðåõìåðíûõ êðóïíîìàñøòàáíûõ äâèæåíèé íåâÿçêîé, íåñæèìàåìîé ñòðàòèôèöèðîâàííîé èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé ýëåêòðîïðîâîäíîé âðàùàþùåéñÿ æèäêîñòè, ñîñðåäîòî÷åííîé â ñôåðè÷åñêîì ýêâàòîðèàëüíîì øèðîòíîì ïîÿñå. Ïðåäñòàâëåííûå èññëåäîâàíèÿ ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â àñòðîôèçèêå è ãåîôèçèêå, â ÷àñòíîñòè, ïðè èçó÷åíèè ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â æèäêîì ÿäðå Çåìëè è íåäðàõ çâåçä. Èíòåðåñ ê çåìíîìó ÿäðó îáóñëîâëåí è òåì, ÷òî îíî îêàçûâàåò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà ìíîãèå ãåîôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ è ïðîöåññû, ïðîèñõîäèâøèå è ïðîèñõîäÿùèå â Çåìëå, êîòîðûå ìîãóò ïðîÿâëÿòüñÿ è íà åå ïîâåðõíîñòè.  ñòàòüå [1] ïðåäñòàâëåíî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è î êâàçèãåîñòðîôè÷åñêèõ äâèæåíèÿõ âî âðàùàþùåìñÿ ñëîå ýëåêòðîïðîâîäíîé æèäêîñòè, ïîçâîëÿþùåå îïðåäåëèòü âëèÿíèå ðåëüåôà ìàíòèè è äèíàìèêè òâåðäîãî ÿäðà Çåìëè íà ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè âîëíîâîãî ïðîöåññà â æèäêîì ÿäðå.  ñòàòüå [2] ïðîâåäåíà ðåäóêöèÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, ìîäåëèðóþùåé âîëíîâûå äâèæåíèÿ â èäåàëüíîé ýëåêòðîïðîâîäíîé âðàùàþùåéñÿ æèäêîñòè ñ ó÷åòîì èíåðöèîííûõ ñèë, ñèë òÿæåñòè, Êîðèîëèñà, Ëîðåíöà, à òàêæå èìåþùèõñÿ íåîäíîðîäíîñòåé ïëîòíîñòè, ê ñêàëÿðíîìó ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ è ñäåëàí âûâîä îá àíàëèòè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè ðåøåíèÿ çàäà÷è î âîëíàõ ìàëîé àìïëèòóäû â ðàññìàòðèâàåìîé æèäêîñòè. Àíàëèç ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ ïîçâîëèë óñòàíîâèòü ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà êîëåáàíèé ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ âðåìåíè, ÷òî ñëóæèò ïîäòâåðæäåíèåì âàæíîé ðîëè ñòðàòèôèêàöèè ïëîòíîñòè æèäêîãî ÿäðà Çåìëè, îïðåäåëÿþùåé â öåëîì ðÿäå ñëó÷àåâ åãî îñíîâíóþ äèíàìèêó, êàê âàæíûé ôàêòîð ýâîëþöèè ïëàíåòû. 1 2 Ñ.È. Ïåðåãóäèí, Ñ.Å. Õîëîäîâà Ñîãëàñíî èìåþùåéñÿ ãèïîòåçû Ñ.È. Áðàãèíñêîãî [3], â äèíàìèêó ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñóùåñòâåííûé âêëàä âíîñèò äâèæåíèå ïðåäñòàâëåííîé æèäêîñòè íåïîñðåäñòâåííî â òîíêîì, ïðèìûêàþùåì ê ìàíòèè, ñëîå.  ñòàòüÿõ [4, 5] áûë ïðîâåäåí àíàëèç è ñäåëàí âûâîä î ñïðàâåäëèâîñòè óêàçàííîé ãèïîòåçû äëÿ âîçìóùåíèé ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ïîëåé, ðàçâèâàþùèõñÿ âáëèçè íåêîòîðîé òî÷êè ñôåðè÷åñêîãî ñëîÿ âíå ýêâàòîðèàëüíîé çîíû. Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò âîçìóùåíèÿ ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèõ âåëè÷èí â ýêâàòîðèàëüíîì øèðîòíîì ïîÿñå. Âáëèçè ýêâàòîðà íîðìàëüíàÿ êîìïîíåíòà óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ Çåìëè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàëóþ âåëè÷èíó è îáðàùàåòñÿ â íóëü íà ýêâàòîðå, è, êàê ñëåäñòâèå, ãåîñòðîôè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå ïåðåñòàåò áûòü ñïðàâåäëèâûì. Èòàê, ðàññìîòðèì äâèæåíèå èäåàëüíîé ýëåêòðîïðîâîäíîé íåñæèìàåìîé ñòðàòèôèöèðîâàííîé âðàùàþùåéñÿ æèäêîñòè. Êîëåáàíèÿ ìàëîé àìïëèòóäû ðàññìàòðèâàåìîé æèäêîñòè îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè â ïðèáëèæåíèè ýêâàòîðèàëüíîé β ïëîñêîñòè [6], à èìåííî, à ! ∂vx ∂η 1 ρs − yvy + − Dbx = 0, (1) ∂t ∂x µ à ρs ! ∂vy ∂η 1 + yvy + − Dby = 0, ∂t ∂y µ ρ=− 1 ∂η , ρs ∂z (2) (3) 1 ∂ ∂vx ∂vy (ρs vz ) + + = 0, ρs ∂z ∂x ∂y (4) ∂bx ∂by ∂bz + + = 0, ∂x ∂y ∂z (5) ∂b ρ0 = Dv + b0 s vz , ∂t ρs (6) ãäå b âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè, v ñêîðîñòü æèäêîñòè â ñèñòåìå êîîðäèíàò, âðàùàþùåéñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω , p äàâëåíèå, ρ ïëîòíîñòü, g âåëè÷èíà óñêîðåíèÿ 1 ñèëû òÿæåñòè, η = ρs p + (b0x bx + b0y by ), D = hb0 , ∇i äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð. µ Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü µ ïîñòîÿííà. Äëÿ çàìûêàíèÿ ñèñòåìû (1)(6) íåîáõîäèìî ïðèâëå÷ü òåðìîäèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèå, êîòîðîå â îòñóòñòâèå äèññèïàöèè ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ñîõðàíåíèÿ ïëîòíîñòè ∂ρ − S(z)vz = 0, ∂t (7) √ ¶ R 2 1 ∂ρs (z) gD ãäå S(z) = − ïàðàìåòð ñòðàòèôèêàöèè, R = ýêâàòîðèàëüL ρs (z) ∂z β0 L íûé ðàäèóñ äåôîðìàöèè Ðîññáè. Äàëåå ó÷èòûâàåì ñîîòíîøåíèå S = O(1), ÷òî âûòåêàåò èç íàáëþäåíèé è íå òðåáóåò àïðèîðè [7]. Èñêëþ÷èâ ôóíêöèþ ρ èç óðàâíåíèÿ (7) è ðåçóëüòàòà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (3) ïî t è ñ÷èòàÿ âåðòèêàëüíûé ìàñøòàá ïëîòíîñòè áîëüøèì âåðòèêàëüíîãî ìàñøòàáà µ Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÌÃÄ âîëí 3 âåðòèêàëüíîãî äâèæåíèÿ, ò.å. ó÷èòûâàÿ ìàëîñòü âåëè÷èíû ïðåäñòàâèì â ôîðìå 1 ∂ρs (z) , ñèñòåìó (1)(6), ρs (z) ∂z ∂vx ∂ ηe 1 − yvy + − Dbx = 0, ∂t ∂x µρs (8) ∂vy ∂ ηe 1 + yvx + − Dby = 0, ∂t ∂y µρs (9) vz = − 1 ∂ 2 ηe , S(z) ∂t∂z ρ=− ∂p , ∂z (10) div v = 0, (11) div b = 0, (12) ∂b = Dv, ∂t 1 ηe = p + (b0x bx + b0y by ) . µρs (13) (14) Ðàññìîòðèì äàëåå íåêîòîðûå ÷àñòíûå, íî ñîäåðæàòåëüíûå ïðèìåðû ðàñïðîñòðàíåíèÿ íåñòàöèîíàðíûõ âîëí â ýêâàòîðèàëüíîì øèðîòíîì ïîÿñå. Ïîëàãàÿ b0x = b0y = 0, óðàâíåíèÿ (8), (9) ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ èíäóêöèè (13) çàïèøåì ñëåäóþùèì îáðàçîì: ! à ∂ 2p 1 2 D vx − yDt vy + = 0, Dt − µρs ∂t∂x 2 à (15) ! 1 2 ∂ 2p Dt − D vy + yDt vx + = 0. µρs ∂t∂y 2 (16) Èññëåäóåì äàëåå âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ íåòðèâèàëüíûõ âîëíîâûõ âîçìóùåíèé, äëÿ êîòîðûõ y -êîìïîíåíòà ñêîðîñòè vy òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ. Ïîëàãàÿ vy ðàâíûì íóëþ è èñêëþ÷àÿ äàâëåíèå èç óðàâíåíèé (15) è (16), ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ xêîìïîíåíòû ñêîðîñòè vx : à ! 1 2 ∂vx ∂vx Dt − D − yDt = 0, µρs ∂y ∂x 2 (17) îáùåå ðåøåíèå êîòîðîãî èìååò âèä y2 |λ1 | |λ1 | 2 vx = e 2ν1 d1 sin q (x + αt) + d2 cos q (x + αt)+ α2 + ν12 α2 + ν12 − + d3 sin q |λ1 | |λ1 | α2 − ν12 × C1 J0 (x − αt) + d4 cos q (x − αt) × α2 − ν12 q 2|λ1 | µρs (z) b0z SF + C2 Y0 q 2|λ1 | µρs (z) b0z SF . (18) 4 Ñ.È. Ïåðåãóäèí, Ñ.Å. Õîëîäîâà Ïðèìåì ñëåäóþùèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïðè z = 0: vz = 0, bx = 0, by = 0. (19) Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìû èùåì ðåøåíèÿ, ñîñðåäîòî÷åííûå âáëèçè ãðàíèöû æèäêîãî ÿäðà ñ ìàíòèåé, ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ óñëîâèé vx → 0, by → 0 ïðè bx → 0, (20) z → −∞. Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå (13) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ: q y2 √ 0 2|λ | µρ (z) C |λ | µρ (z) 1 s 2 1 1 s + q bx (x, y, z, t) = b0z e 2ν1 J00 b SF 0z b0z SF ρs (z) − + q × − d1 α2 + α|λ1 | ν12 α √ C2 |λ1 | µρ0s (z) q b0z SF ρs (z) J00 q 2|λ1 | µρs (z) b0z SF q cos q |λ1 | α2 + ν12 α (x + αt) + d2 α2 + ν12 α |λ1 | sin q (x + αt)+ α|λ1 | α2 + ν12 α q d3 α2 − ν12 α |λ1 | + cos q (x − αt)− α|λ1 | α2 − ν12 α q d4 α2 − ν12 α |λ1 | − (x − αt) + C3 (x, y, z), sin q 2 2 α|λ1 | α − ν1 α (21) by (x, y, z, t) = by (x, y, z, t), q q y2 2|λ1 | µρs (z) 2|λ1 | µρs (z) 2 C 2 Y0 × bz (x, y, z, t) = −b0z e 2ν1 C1 J0 b0z SF b0z SF − × |λ1 | |λ1 | d1 d2 sin q (x + αt) + cos q (x + αt)− α α α2 + ν12 α α2 + ν12 α d3 |λ1 | d4 |λ1 | − sin q (x − αt) − cos q (x − αt) + C5 (x, y, z). 2 2 2 2 α α α − ν1 α α − ν1 α (22) Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè ïî z , ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ âåðòèêàëüíîé êîìïîíåíòû ñêîðîñòè: y2 d1 |λ1 | |λ1 | 2 cos q (x + αt)− vz (x, y, z, t) = −e 2ν1 q α2 + ν12 α α2 + ν12 α − Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÌÃÄ âîëí 5 d2 |λ1 | |λ1 | d3 |λ1 | |λ1 | −q sin q (x + αt) + q cos q (x + αt)− α2 + ν12 α α2 + ν12 α α2 − ν12 α α2 − ν12 α d4 |λ1 | −q α2 Z × C1 J0 − q ν12 α 2|λ1 | µρs (z) b0z SF sin q |λ1 | α2 − + C2 Y0 ν12 α (x + αt) × q 2|λ1 | µρs (z) b0z SF dz + C4 (x, y, t). (23) Èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà óñëîâèé (19) ïîëó÷àåì, ÷òî Z C4 (x, y, t) = ue0x (x, t)u1 (y) ¯ ¯ e ¯ Gdz z=0 , âûïîëíåíèå âòîðîãî ðàâåíñòâà óñëîâèé (19) ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó C2 = 0 è ê îïðåäåëåíèþ ÷èñëà |λ1 |: γ02 SF b0z |λ1 | = q , 2 µρs (0) ãäå γ02 íóëü ôóíêöèè Áåññåëÿ J1 . Ôóíêöèÿ by (x, y, z) ñâÿçàíà ñ ïðîèçâîëüíûìè ôóíêöèÿìè C3 (x, y, z) è C5 (x, y, z) ñîîòíîøåíèåì ∂C3 ∂C5 ∂by + + = 0, ∂x ∂z ∂y êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì óðàâíåíèÿ èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïóñòü C3 (x, y, z) = <e yeikx− òîãäà y2 2 zez , C5 (x, y, z) = <e yeikx− à by (x, y, z) = <e (1 + ik)e ikx− y2 2 zez y2 2 (z − 1)ez , ! , è, ñëåäîâàòåëüíî, òðåòüå ðàâåíñòâî ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (19) òàêæå âûïîëíÿåòñÿ. Óñëîâèå (20) âûïîëíÿåòñÿ âñëåäñòâèå èçâåñòíîãî ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà è ó÷åòà òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ ρ0s (z) â óñëîâèÿõ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ïðè áîëüøèõ z ðàâíà íóëþ. Äàâëåíèå è ïëîòíîñòü îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèé (10) ñîîòíîøåíèÿìè Zt Zz p(x, y, z, t) = −S Zt vz (x, y, ze, τ ) dτ dz, 0 0 ρ(x, y, z, t) = S vz (x, y, z, τ ) dτ dz. 0 Òàêèì îáðàçîì, ïðîâåäåííûé àíàëèç ñâèäåòåëüñòâóåò î ñóùåñòâîâàíèè â ýêâàòîðèàëüíîé çîíå âîëí Êåëüâèíà, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ ê âîñòîêó è ê çàïàäó, ïðè÷åì çîíàëüíàÿ ñêîðîñòü â âîëíå Êåëüâèíà íå óäîâëåòâîðÿåò ãåîñòðîôè÷åñêîìó ñîîòíîøåíèþ, ÷òî ñëåäóåò èç óðàâíåíèÿ (9), êàê ýòî îáû÷íî áûâàåò â íåýëåêòðîïðîâîäíîé æèäêîñòè. Âêëàä â îòêëîíåíèå îò ãåîñòðîôè÷íîñòè ñêîðîñòè âíîñèò íàëè÷èå ìàãíèòíîãî ïîëÿ, à èìåííî, åãî ìåðèäèîíàëüíàÿ êîìïîíåíòà. 6 Ñ.È. Ïåðåãóäèí, Ñ.Å. Õîëîäîâà Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Õîëîäîâà Ñ.Å. Êâàçèãåîñòðîôè÷åñêèå äâèæåíèÿ âî âðàùàþùåìñÿ ñëîå ýëåêòðîïðîâîäíîé æèäêîñòè // Ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà è òåõíè÷åñêàÿ ôèçèêà, 2009, 1, Ò. 50, Ñ. 30-41. [2] Õîëîäîâà Ñ.Å. Äèíàìèêà âðàùàþùåãîñÿ ñëîÿ èäåàëüíîé ýëåêòðîïðîâîäíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè // Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. 2008.Ò. 48, 5, Ñ. 882-898. [3] Áðàãèíñêèé Ñ.È. Âîëíû â óñòîé÷èâî ñòðàòèôèöèðîâàííîì ñëîå íà ïîâåðõíîñòè çåìíîãî ÿäðà // Ãåîìàãíåòèçì è àýðîíîìèÿ, 3, 476482, 1987. [4] Õîëîäîâà Ñ.Å. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå êðóïíîìàñøòàáíûõ äâèæåíèé ñòðàòèôèöèðîâàííîé ýëåêòðîïðîâîäíîé æèäêîñòè â ñôåðè÷åñêîì ñëîå // Âåñòíèê ÑàíêòÏåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, Ñåð. 10, 2009, âûï. 1, Ñ. 118-133. [5] Ïåðåãóäèí Ñ.È., Õîëîäîâà Ñ.Å. Îá èíòåãðèðîâàíèè ñèñòåìû íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, ìîäåëèðóþùåé ãåîñòðîôè÷åñêèå äâèæåíèÿ âî âðàùàþùåìñÿ ñôåðè÷åñêîì ñëîå // Ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ è óñòîé÷èâîñòü: Òðóäû 39-é ìåæäóíàðîäíîé íàó÷íîé êîíôåðåíöèè àñïèðàíòîâ è ñòóäåíòîâ / Ïîä ðåä. Í. Â. Ñìèðíîâà, Ã. Ø. Òàìàñÿíà. ÑÏá.: Èçäàò. Äîì Ñ.-Ïåòåðá. ãîñ. óí-òà, 2009. Ñ. 181-190. [6] Ïåðåãóäèí Ñ.È., Õîëîäîâà Ñ.Å. Îá îñîáåííîñòÿõ äèíàìèêè ÌÃÄ âîëí â ýêâàòîðèàëüíîé îáëàñòè // Äèíàìèêà íåîäíîðîäíûõ ñèñòåì. Òðóäû ÈÑÀ ÐÀÍ. Ò. 49(1) / Ïîä ðåäàêöèåé Þ.Ñ. Ïîïêîâà. Ì.: ËÅÍÀÍÄ, 2010. Ñ. 115122. [7] Áðàãèíñêèé Ñ.È. Ìàãíèòî-ãèäðîäèíàìèêà çåìíîãî ÿäðà // Ãåîìàãí. è àýðîíîì. 1964. Ò. 4. 5. Ñ. 898916.