Universität Stuttgart R Adµ Fakultät Mathematik und Physik Blatt 4 Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Analysis und HM 4, 2007 Angewandte Übungen Aufgabe 1 Sei f ∈ L1 (R) eine Funktion, für welhe die Dini-Bedingung im gegebenen Punkt t ∈ R gilt. Beweisen Sie folgende Aussagen: (i) Es gilt 1 v.p. 2π f (t) = ∞ Z dλ −∞ Z f (τ ) cos(λ(t − τ )) dτ . R (ii) Gilt f (t) = f (−t), so folgt 2 f (t) = v.p. π Z ∞ Z ∞ cos(λt) dλ 0 Z ∞ Z ∞ f (τ ) cos(λτ ) dτ . 0 (iii) Gilt f (t) = −f (−t), so folgt f (t) = 2 v.p. π sin(λt) dλ 0 f (τ ) sin(λτ ) dτ . 0 Aufgabe 2 Sei {an }n∈N , 0 = a1 < a2 < . . . eine Folge mit an → 1 für n → ∞. Desweiteren sei {gn } eine Folge R1 von stetigen Funtktionen, so dass gn (x) = 0 für alle x ∈/ (an , an+1 ) und 0 gn (x) dx = 1 für alle n ∈ N. Die Funktion f : [0, 1] × [0, 1] → R sei deniert durh f (x, y) = ∞ X [gn (x) − gn+1 (x)] gn (y) . n=0 Berehnen Sie Z 1 dx 0 Z 1 Z f (x, y) dy, 0 1 dy 0 Z 1 f (x, y) dx 0 und entsheiden Sie, ob die Voraussetzungen des Satzes von Fubini für f erfüllt sind. Aufgabe 3 Gegeben seien die Funktionen 2 f1 (x) = e−ax , a > 0, f2 (x) = f1 (x) sin x, f3 (x) = 1 0 für |x| ≤ 1 für |x| > 1 Berehnen Sie die Fourier-Transformationen fˆ1 , fˆ2 und fˆ3 von f1 , f2 bzw. f3 sowie die inversen Fourier-Transformationen von fˆ1 , fˆ2 und fˆ3 . Aufgabe 4 Sei {fn }n∈N eine Folge der Funktionen aus der Klasse C0∞ (R). Sei f : R → R, so dass sup |f (x) − fn (x)| → 0 x∈R Zeigen Sie, dass limx→±∞ f (x) = 0. 1 für n → ∞ .