∫Adµ

R
Adµ
Universität Stuttgart
Fakultät Mathematik und Physik
Blatt
Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung
Arbeitsblatt zur Vorlesung Höhere Analysis SS 2007
Abgabe: Bis zum 3.9.2007 in 8.345, 8.148 oder 8.151
Aufgabe 1
1. Sei f ∈ L∞ (X, µ), µ ein niht-negatives Mass auf X und sei µ(X) < ∞. Wir
denieren
Z
αn :=
X
Zeigen Sie, dass
lim
n→∞
|f (x)|n dµ,
n ∈ N.
αn+1
= kf k∞ .
αn
2. Sei f eine messbare positive Funktion auf [0, 1]. Entsheiden Sie, welhe der
folgenden Zahlen kleiner ist:
Z
1
Z
f (x) ln(f (x)) dx ,
0
0
1
f (s) ds
Z
1
ln(f (x)) dx .
0
Aufgabe 2
1. Gegeben sei die Wärmeleitungsgleihung in R3 × R+
∂u
(x, t) − a2 ∆u(x, t) = f (x, t) ,
∂t
(1)
wobei a > 0 und ∆ = ∂x21 +∂x22 +∂x23 . Verwenden Sie die Fourier-Transformation
in x und nden Sie die Fundamentallösung G(x, t) der Gleihung (1), für welhe
∂G
(x, t) − a2 ∆G(x, t) = δ(x, t) ,
∂t
gilt.
2. Verwenden Sie das Ergebnis der vorhergehenden Aufgabe um die Gleihung
∂u
2
(x, t) − a2 ∆u(x, t) = e−|x|
∂t
zu lösen.
Aufgabe 3
1. Es sei x ∈ R. Zeigen Sie, dass für t → ∞ folgende Grenzwerte in D′ angenommen werden:
−ixt
ixt
e
e
→ 2π i δ(x),
→ 0,
x − i0
x − i0
tm eixt → 0 , (m ≥ 0) , tθ(x) eixt → iδ(x) .
1
2. Zeigen Sie, dass
d 1
1
P = −P 2 ,
dx x
x
wobei x ∈ R und
d 1
1
= ∓iπδ ′ − P 2 ,
dx x ± i0
x
Z
ϕ(x) − ϕ(0)
1
P 2 , ϕ := v.p.
dx .
x
x2
R
P
(k)
3. Zeigen Sie, dass die Reihe ∞
(x − k) für beliebige Koezienten ak in
k=1 ak δ
′
D konvergiert.
Aufgabe 4
1. Berehnen Sie die Fourier-Transformation von eix , x ∈ R.
2
Hinweis: Integrieren Sie die Funktion eiz längs einer geeigneten Kontour in
der komplexen Ebene und zeigen Sie, dass
2
Z
∞
eix dx =
2
√
iπ
π e4 .
−∞
2. Gegeben sei die 2π−periodishe Funktion
x
1
−
+ k , k ∈ Z, x ∈ [2kπ, (2k + 2)π) .
2 2π
Berehnen Sie f ′ in D′ und zeigen Sie, dass
∞
∞
X
1 X ikx
δ(x − 2kπ) .
e =
2π k=−∞
k=−∞
f (x) =
3. Verwenden Sie das Ergebnis der vorhergehenden Aufgabe und beweisen Sie
die Summationsformel von Poisson
√
2π
∞
X
ϕ(2πk) =
∞
X
Φ[ϕ](−k) ,
k=−∞
k=−∞
ϕ ∈ D,
wobei Φ[ϕ] die Fourier-Transformation von ϕ bezeihnet.
4. Beweisen Sie mit Hilfe der Summationsformel von Poisson, dass
∞
X
−tk 2
e
=
k=−∞
r
π
t
∞
X
e−
k2 π 2
t
,
t > 0.
k=−∞
Aufgabe 5
Sei f ∈ C 1 ([0, L]), f (0) = f (L) und
(a) Zeigen Sie, dass
Z
0
L
RL
0
f (x) dx = 0.
L2
|f (x)| dx ≤ 2
4π
2
Z
L
0
Hinweis: eine Identität über Fourierreihen.
(b) Für welhe Funktionen gilt Gleihheit in (a)?
2
|f ′(x)|2 dx .
Aufgabe 6
1. Zu den bekanntesten Aufgaben der Variationsrehnung gehört das so genannte Brahistohrone-Problem, das 1696 von John Bernoulli aufgeworfen wurde.
Dieses Problem kann folgendermaÿen formuliert werden. Gegeben seien in R2
zwei Punkte P1 = [x1 , y1 ] und P2 = [x2 , y2 ], y2 < y1 , die der Start- bzw.
Endpunkt einer Rutshbahn darstellen. Gemessen wird die Zeit, die ein Kind
brauht um vom Punkt P1 bis Punkt P2 zu rutshen. Oensihtlih hängt diese
Zeit von der Form der Rutshbahn ab. Diejenige Kurve, welhe die shnellste Rutshbahn beshreibt, nennt man die Brahistohrone. (Es wird nur die
Gravitationskraft berüksihtigt, Reibung und andere Störungskräfte werden
vernahlässigt.)
Konstruieren Sie ein geeignetes Funktional und nden Sie mit Hilfe der EulerLagrange Gleihungen eine Gleihung der Brahistohrone.
2. Finden Sie die Kurve Γ in R2 , welhe folgende Eigenshaften erfüllt:
(i) Γ verbindet die Punkte A = [a, 0] und B = [b, 0] mit a < b.
(ii) Länge von Γ ist gleih l, wobei l > b − a.
(iii) Der Fläheninhalt des Gebietes mit dem Rand Γ ∪ AB ist maximal.
3. Finden Sie die Kurve Γ in R2 , welhe folgende Eigenshaften erfüllt:
(i) Γ verbindet gegebenen Punkt B = [0, b] mit einem Punkt A = [a, 0] der
x−Ahse, so dass der Fläheninhalt des Gebietes mit dem Rand Γ ∪ A0 ∪
0B gleih S ist.
(ii) Die Oberähe des Körpers, der durh Drehung der Kurve Γ um die
x−Ahse entsteht, ist minimal.
Aufgabe 7
Es sei Φ : S ′ → S ′ die Fourier-Transformation auf S ′ .
1. Zeigen Sie, dass
r
π
1
|ξ|,
Φ P 2 =−
x
2
r
1
π
= −i
Φ P
sign ξ ,
x
2
x, ξ ∈ R .
Für die Denition von P x12 siehe Aufgabe 2.2.
2. Die Heaviside-Funktion θ ist durh
θ(x) =
1, x ≥ 0
0, x < 0
deniert. Beweisen Sie, dass θ(x) e−ax in S ′ (R) für a → 0+ gegen θ(x) konvergiert und zeigen Sie, dass
Φ[θ(±x)] =
r
3
i
π
1
δ(ξ) ∓ √ P .
2
2π ξ