ы ½ ´ хыр ь µ к ы ¾ © хыр ь µ ы ¿ © хыр ь µ ы ´ хыр ь µ к р X

Analysis II
Universität Heidelberg
Vorlesung
SS 2008
Dozent: Prof. Dr. A. Stevens
Übungsblatt 12
Übungen: Dr. I. Primi
27.06.2008
Im Folgenden wird
R
[a,b]
f (x) dx für das Lebesgue-Integral und
Aufgabe 1 (6 Punkte): Sei
a
f (x) dx für das Regelintegral benutzt
2
Z
f (y) =
Rb
R
e−x
dx
1 + |x|y 2
∀y ∈ (−1, 1) .
Beweisen Sie, dass f wohl deniert ist und f ∈ C 1 ((−1, 1), R).
Aufgabe 2 (3 Punkte): Berehnen Sie
lim
n→∞
1
4
x +x−
e−x/n dx
n
[1,100]
Z
mit ausführliher Begründung (Benutzen Sie einen der Sätze über die Konvergenz der Integrale, die
Sie neulih gelernt haben. Wie immer, prüfen Sie, dass alle Voraussetzungen erfüllt sind ).
Aufgabe 3 (3 Punkte): Berehnen Sie
lim
n→∞
Z
[0,1]
√
n x
dx
1 + n2 x2
mit ausführliher Begründung (Benutzen Sie einen der Sätze über die Konvergenz der Integrale, die
Sie neulih gelernt haben. Wie immer, prüfen Sie, dass alle Voraussetzungen erfüllt sind ).
Aufgabe 4 (5 Punkte): Seien
X eine niht leere Menge, V ⊆ Abb(X, R) ein Vektorverband, I ein
elementares Integral auf
V
und
L1I (X) die dazugehörige Menge von I -integrablen Funktionen. Sei
P∞
1
{f
Pn∞}n∈N ⊂ LI (X) mit n=1 I(|fn |) < ∞ (d.h. die Reihe konvergiert). Beweisen Sie, dass die Reihe
n=1 fn I -fast überall konvergiert, die Funktion
s(x) :=
in L1I (X) ist und I(s) =
P∞
n=1
(P
∞
n=1
fn
0
falls die Reihe konvergiert
sonst
I(fn ).
Aufgabe 5 (3 Punkte): Sei H : R2 −→ R mit
H(x, y) =
(
Berehnen Sie
1 − |x| − |y| für |x| + |y| ≤ 1
0
sonst .
Z
H(x, y) dx dy
R2
mit ausführliher Begründung.
Aufgabe * (auÿer Konkurrenz): Bestimmen Sie (mit Beweis)
lim
m→∞
∞
X
1
2 + log(m)
n
n=1
!
.
Abgabe: Freitag, den 4.07.2008, vor der Vorlesung, im Briefkasten Ihrer Übungsgruppe im EG des
Instituts für Angewandte Mathematik (IAM), INF 294
Die Sheinbedingungen sind erfüllt, wenn mindestens 60% der Punkte im Durhshnitt
erreiht werde, eine aktive Teilnahme in der Übungsgruppe bestätigt wird und die Klausur
bestanden wird. Die Note des Sheins entspriht dem Ergebnis der Klausur.
Die erste Klausur ndet am 16.7.2008 von 1000 − 1300 Uhr statt.