R Adµ Universität Stuttgart Blatt 3 Fakultät Mathematik und Physik Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung 30.04.2007 Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Analysis und HM 4, 2007 Theoretishe Übungen Aufgabe 1 Sei f eine messbare Funktion auf X und µ ein niht-negatives Mass auf X . Beweisen Sie folgende Aussagen: 1. Gilt f ∈ Lr (X, µ) ∩ Ls (X, µ), s < r, so folgt f ∈ Lp (X, µ) für jedes p ∈ (s, r). 2. Angenommen kf kr < ∞ für ein r < ∞. Dann gilt lim kf kp = kf k∞ . p→∞ 3. Angenommen µ(X) = 1 und kf kr < ∞ für ein r > 0. Dann gilt Z lim kf kp = exp ln |f | dµ . p→0 X Aufgabe 2 Die Funktion f : R → R sei deniert durh f (x) = x2 für x ∈ [−π, π] und f (x + 2π) = f (x). 1. Berehnen Sie die FourierCosinuskoezienten Z π Z π 1 1 a0 = f (x) dx , an = f (x) cos(nx) dx . 2π −π π −π 2. Benutzen Sie den Satz von Dini um zu zeigen, dass f (x) = ∞ X an cos nx n=0 für alle x ∈ R. 3. Zeigen Sie mit Hilfe von 2.2 dass ∞ X π2 1 = . n2 6 n=1 Aufgabe 3 Sei f : R → C, 2π−periodish und Hölderstetig von Grad α ∈ (0, 1). Das heiÿt, es gibt eine Konstante C , so dass für alle x, h ∈ R |f (x + h) − f (x)| ≤ C |h|α . Zeigen Sie, dass es eine Konstante P gibt, so dass für alle k ∈ Z \ {0} gilt: Z π P −ikx f (x) e dx ≤ α . |k| −π Aufgabe 4 Sei µ ein Maÿ auf X . Zeigen Sie, dass L1 (X, µ) ein vollständig normierter Raum ist. Hinweis: z.B. Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis 1