Из истории геометрических построений циркулем и линейкой

Из истории геометрических построений циркулем и линейкой
Маликова Р.Г. (науч. рук. Дорофеев А.В.)
Стерлитамакский филиал «Башкирский государственный университет»
Стерлитамак, Республика Башкортостан
From the history of geometric constructions by compass and straightedge
Malikov R. G. (scientific. hands. Dorofeev A. V.)
Sterlitamak branch "Bashkir state University"
Sterlitamak, Republic Of Bashkortostan
Традиционное ограничение орудий геометрических построений
восходит к глубокой древности. В своей книге "Начала" Евклид (III век до н.
э.) строго придерживается геометрических построений, выполняемых
циркулем и линейкой, хотя названий инструментов он нигде не упоминает.
Ограничения, по-видимому, были связаны с тем, что эти инструменты
заменили собой веревку, первоначально служившую как для проведения
прямых, так и для описания окружностей. Но многие историки математики
объясняют произведенный Евклидом отбор материала тем, что он, следуя
Платону и пифогорейцам, считал только прямую и круг "совершенными"
линиями.
Искусство построения геометрических фигур было в высокой степени
развито в Древней Греции. Древнегреческие математики еще 3000 лет назад
проводили свои построения с помощью двух приборов: гладкой дощечки с
ровным краем (это линейка) и двух заостренных палок, связанных на одном
конце (это циркуль). Однако этих простейших инструментов оказалось
достаточно для выполнения огромного множества различных построений.
Древним грекам даже казалось, что любое разумное построение можно
совершить этими инструментами, пока они не столкнулись с тремя
знаменитыми впоследствии задачами.
Они издавна преобразовывали любую прямолинейную фигуру с помощью
циркуля и линейки в произвольную прямолинейную фигуру, равновеликую
ей. В частности, всякая прямолинейная фигура преобразовывалась в
равновеликий ей квадрат. Поэтому понятно, что появилась мысль обобщить
эту задачу: построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь
которого была бы равна площади данного круга. Это задача получила
название квадратуры круга. Следы этой задачи можно усмотреть еще в
древнегреческих и вавилонских памятниках второго тысячелетия до н.э.
Однако ее непосредственная постановка встречается в греческих сочинениях
V века до н.э.
Еще две задачи древности привлекали внимание выдающихся ученых на
протяжении многих веков. Это задача об удвоении куба. Она состоит в
построении циркулем и линейкой куба, имеющего объем вдвое больший, чем
объем данного куба. Ее появление связывают с легендой, что на острове
Делос в Эгейском море оракул, чтобы избавить жителей от эпидемии чумы,
повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. И третья задача трисекции
угла о делении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки.
Эти три задачи, так называемые 3 знаменитые классические задачи
древности привлекали внимание выдающихся математиков на протяжении
двух тысячелетий. И лишь в середине XIX века была доказана их
неразрешимость, то есть невозможность указанных построений лишь с
использованием только циркуля и линейки. В математике это были первые
результаты о неразрешимости задач, когда средства решения указаны. Они
были получены средствами не геометрии, а алгебры (с помощью перевода
этих задач на язык уравнений), что еще раз подчеркнуло единство
математики. Не поддаваясь решению, эти проблемы обогатили математику
значительными результатами, привели к созданию новых направлений
математической мысли.
Структура решения задачи на построение.
Решение задач на построение с помощью циркуля и линейки, состоит
не в том, чтобы выполнить соответствующие построения, а в том, чтобы
найти алгоритм решения, то есть, описать решение задачи в виде
последовательности уже известных стандартных построений. Правильное,
осмысленное решение задач на построение состоит из основных этапов:
анализ, построение, доказательство (синтез), исследование.
Анализ. Составляется план решения. Для этого поступают так:
предполагают задачу решенной, делают от руки примерный чертеж искомой.
Нужно найти такую зависимость между данными и искомыми величинами,
которая позволила бы определить положение искомой точки (отрезка или
угла), на нахождение которых нацелено решение задачи.
Построение – механическое выполнение тех приемов, которые были
выведены из плана решения задачи, т.е. анализа. При построении используют
основные приемы (задачи на построение), т.е. любая задача на построение
разбивается на конечное число шагов (простейших задач на построение).
Доказательство. Когда искомая фигура построена, необходимо
доказать, что она удовлетворяет всем требованиям задачи. При этом ход
рассуждений будет обратный тому, который применялся при анализе.
Поэтому иногда доказательство называют синтезом.
Исследование имеет целью выяснить, всегда ли задача разрешима,
сколько решений допускается (одно или несколько). Необходимо
рассмотреть всевозможные частные случаи, причем нужно выяснить,
меняется ли ход решения в них и как именно.
Основные построения с помощью циркуля и линейки.
Для выполнения основных построений с помощью циркуля и линейки
используется метод решения, при котором искомую точку строят как точку
пересечения множеств (геометрических мест), определяемых некоторыми
условиями. Данный метод так и называется – метод пересечения множеств
или метод геометрических мест. С помощью этих инструментов мы можем
выполнить огромное множество построений. Какие простейшие построения
являются стандартными? Авторы учебников [1], [6] к основным построениям
в 7 классе относят:
- построить отрезок, равный данному отрезку; построить середину
отрезка.
- построить перпендикуляр к прямой, построить серединный
перпендикуляр.
- построить угол, равный данному углу;
-построить биссектрису угла.
- построить треугольник (по трём сторонам, по двум сторонам и углу
между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам, по двум сторонам
и углу, противолежащему одной из сторон).
- построить прямоугольный треугольник (по гипотенузе и катету, по
гипотенузе и острому углу).
- построить прямую, проходящую через данную точку параллельно
данной прямой.
Список литературы:
1. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. М.: Просвещение, 2005. - 335 с.
2. Гусев В.А., Медяник А.И. Дидактические материалы по геометрии
для 7 класса. М.: Просвещение, 1991. – 80с.
3. Далингер В.А. Планиметрические задачи на построение. Омск: Издво ОГПИ, 1999. - 78 с.
4. Ильина Н.И. Геометрические построения на плоскости. М.: Школа пресс, 1997. - 172 с.
5. Манин И.Ю. О разрешимости задач на построение с помощью
циркуля и линейки // Энциклопедия элементарной математики. М.:
Физматгиз, 1963. Т. 4: Геометрия. С. 205-227.
6. Олимпиадные задания по математике. 5–8класс/авт.-сост. С.П.
Ковалева.–Волгоград: Учитель, 2007.–88с.
7. Погорелов А.В. Геометрия, 7–11. М.: Просвещение, 1992
8. Прасолов В.В. Три классические задачи на построение. М.: Наука,
1992. 80 с.
9. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Ред. коллегия:
М.Аксенова, В.Володин и др. – М.: Аванта+, 2005.
10. Коренева В.Е. Решение задач на построение методом спрямления.
Математика в школе.1995г. №5
11. Клименченко С.В., Цикунова Т.Д. Задачи на построение
треугольников по некоторым данным точкам. Математика в школе. 1990г.
№1
12. Белошистая А.В. Задачи на построение в школьном курсе
геометрии. Математика в школе. 2002г. №9
13. http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/geometry/alexandrov.htm
14. http://www.ref.by/refs/alike/29022.html
15. http://www.sibpatent.ru/default.asp?khid=18360&code=362335&sort=1