Методы мат. обработки

1
Программа "Открытое образование"
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КРИВЫХ НАКОПЛЕНИЯ
АНАЛИТИЧЕСКИМИ ЗАВИСИМОСТЯМИ
Немаловажной частью математического аппарата методов седиментации является
теоретическое описание кривых накопления аналитическими зависимостями, которых в
настоящее время накопилось достаточно много как теоретических, так и эмпирических.
Наиболее известными из них считаются логарифмически - нормальный закон и обобщённый
степенной, частным случаем которого является уравнение Розина-Раммлера-Беннета (11-15).
1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИ-НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН (ЛНЗ)
Fл x   A л x  1
2

 x 
 ln   , (11)

1
1
 
exp  
 2   
2

 


 

где Ал - постоянная нормировки;  - медиана;  - дисперсия распределения.
Для весовой седиментации
t rt
qt    Fr dr   Fr  vr  dr ,
rt
H0

(12)
rt - наименьший радиус частиц, полностью осевших за время t с высоты H ; V - скорость
оседания частиц по Стоксу.
2. ОБОБЩЁННЫЙ СТЕПЕННОЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Fc x   A c x m exp x p  ,
(13)
где Ас - постоянная нормировки; m = m0 + n.
 m = m0, если Fc(x) = dN/dx (число частиц);
 m = m0 + 2, если Fc(x) = ds/dx (поверхности);
 m = m0 + 3, если Fc(x) = dM/dx (массы или объёмы).
Частные случаи
степенного закона распределения (описывают
различной степени асимметрии и крутизны максимума):
 m0 = 0, p = 1 уравнение Мартина;
 m0 = 0, уравнение Хейвуда;
 p = 0 уравнение Годена-Андреева;
распределения
2
 m = 0, p = 2 нормальное распределение Гаусса;
 m = p - 1 уравнение Розина-Раммлера-Беннета.(РРБ)
2.1 УРАВНЕНИЕ РОЗИНА-РАММЛЕРА-БЕННЕТА (РРБ)
Fx   pAx p1 exp x p 
(14)
Px    Fx dx  A  p exp x x dx  A  exp x p dx p 


x
x
 A exp x p (15)
p

p 1
x
при х
= 0 положим Р(0) = 1 (суммарное содержание всех частиц равно 1), тогда А = 1 и Р(х) = exp
(-xp)
В практике определения дисперсного состава порошков часто приходится сталкиваться
с многомодальными распределениями, качественно описать которые предлагаемыми
аналитическими зависимостями не представляется возможным.
Практический опыт решения подобных задач позволил использовать для
описания массовых многомодальных распределений частиц по размерам ряды,
составленные из уже известных проверенных законов, например, логарифмическинормального или обобщённого с соответствующими масштабными множителями,
дисперсиями и медианами. Дифференциальная функция в данном случае (для ЛНЗ)
будет
Fл x   A л x  1
  x 2 
  ln  
1
1
 
exp  
 2   
2
 
 

 

Интегральная форма функции накопления

P1   f  d
0
(16)
(11)
3
Общий вид минимизируемого функционала
t 2
Pv   f  d    f  d

b0

(17)
Минимизируемый функционал в случае использования ЛНЗ
Ai
1  erf z i .
i 1 2
n
P1  

(18)

  
b
2  t 2
o ,i 

z

ln
,
e
dt
где erfcz i  
;


.

c
 2 
 zi
t
Иногда таким рядом описываются и одномодальные распределения в случае не полного
соответствия гранулометрического состава нормально-логарифмическому закону. В этом
случае моды "дотягивают" аппроксимацию до реального распределения и веса
дополнительных мод составляют лишь доли процентов основной моды.
Для описания характеристик материала в некоторых случаях используется удельная
поверхность, которую легко определить, зная распределение частиц по размерам. Так в
случае описания распределения частиц по размерам уравнением РРБ удельная поверхность
порошков может быть подсчитана по уравнениям (19)-(21).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОРОШКОВ
ПО ДАННЫМ ГРАНУЛОМЕТРИЧЕСКОГО СОСТАВА для РРБ
g i  x max  1
S

 Fx dx
i x
 x min
i
ед. площади/ед. объёма (19)
gi весовое содержание фракции частиц с размерами хi (в долях единицы)
Отношение площади поверхности к объёму частиц для шара и куба с гладкими стенками
х = 6/х.
  x p 
  p p 1 1
 
2
S   p x x exp    dx 
Г 2   ;
 0 x0
x0 
p
  x 0  
(20)
4

2
 Г  3  
p


2

.
S
Г  2   
 x0 
p

2
 x0  2  
p

(21)