Белорусский Государственный Университет, Минск Физический факультет SS 2011/2012 Я.М. Шнир СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Задачи и упражнения 11 1. Система состоящая из 𝑁 тождественных бозонов со спином 0 и массой 𝑚 находится в ящике объемом 𝑉 = 𝐿3 при температуре 𝑇 > 0. (i) Запишите общее выражение для числа частиц 𝑛, имеющих энергию в интервале значений между 𝜀 и 𝜀+𝑑𝜀 как функцию массы частицы, ее энергии, температуры, химического потенциала, объема и всех прочих относящихся к делу параметров. (ii) Покажите, что в пределе очень большого расстояния между частицами 𝑑 >> 𝜆, где 𝜆 - тепловая длина волны де Бройля, это распределение согласуется с классическим распределением Больцмана. (iii) Определите в первом порядке различие между средней энергией системы 𝑁 тождественных бозонов со спином 0 при 𝑑 >> 𝜆 и средней энергией системы различимых бесспиновых частиц. В обоих случаях частицы массы 𝑚 находятся в объеме 𝑉 = 𝐿3 . 2. Рассмотрим квантовомеханический газ невзаимодействующих частиц массы 𝑚 со спином 0 свободно двигающихся в объеме V. (i) Найти внутреннюю энергию газа и его теплоемкость при низких температурах. Поясните, почему при низких температурах химический потенциал газа можно положить равным нулю. (ii) Решите аналогичную задачу для фотонного газа (𝑚 = 0). Покажите, что его энергия пропорциональна 𝑇 4 . 3. (i) Определить одночастичную матрицу плотности в координатном представлении. (ii) Рассмотрим величину 𝜌(⃗𝑟) = 1 ∑ ⃗ ⟨𝑁𝑘 ⟩𝑒𝑖𝑘⋅⃗𝑟 𝑉 ⃗𝑘 где ⟨𝑁𝑘 ⟩ - усредненное по ансамблю при конечной температуре число частиц находящихся в состоянии с импульсом ⃗𝑘. Проанализируйте поведение этой величины при ⃗𝑟 → ∞ при переходе температуры через критическую температуру конденсации Бозе-Эйнштейна 𝑇𝐶 . 4. Проанализируйте, возможна ли бозе-эйнштейновская конденсация в двумерной и одномерной системе? Решения 1. (i) Напомним что элемент объема фазового пространства определен как ∫ ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑝𝑥 𝑑𝑝𝑦 𝑑𝑝𝑧 4𝜋𝑝2 𝑑𝑝 𝑑𝑤 = 𝑔𝑑⃗𝑟𝑑⃗𝑝 = 𝑔 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑉 (2𝜋ℏ)3 (2𝜋ℏ)3 и для нерелятивистских бозонов 𝜀= 𝑝2 ; 2𝑚 то есть 𝑑𝜀 = 𝑝𝑑𝑝 ; 𝑚 𝑝= √ 2𝑚𝜀 √ (2𝑚)3/2 𝜀𝑑𝜀 𝑑𝑤 = 2𝜋𝑉 ℎ3 Следовательно, число частиц имеющих энергию в интервале значений между 𝜀 и 𝜀 + 𝑑𝜀 определяется как √ 2𝜋𝑉 (2𝑚)3/2 𝜀𝑑𝜀 𝑛(𝜀) = ⋅ 𝛽(𝜀−𝜇) 3 ℎ 𝑒 −1 (ii) В приближении разреженного бозонного газа выполняется условие exp(−𝛽𝜇) ≫ 1 и распределение Бозе-Эйнштейна переходит в распределение Больцмана. Поскольку при этом 2𝜋𝑉 (2𝑚)3/2 𝑁= ℎ3 ∫∞ √ ( 𝜀𝑑𝜀𝑒 −𝛽𝜀 𝛽𝜇 𝑒 =𝑉 2𝜋𝑚𝑘𝐵 𝑇 𝛽𝜇 𝑒 ℎ2 )3/2 0 то есть −𝛽𝜇 𝑒 𝑉 = = 𝑁 𝜆3 ( )3 𝑑 𝜆 ℎ где 𝜆 = √2𝜋𝑚𝑘 - тепловая длина волны де Бройля и 𝑑 = (𝑉 /𝑁 )1/3 . Следовательно, 𝐵𝑇 приближение exp(−𝛽𝜇) ≫ 1 эквивалентно условию 𝐷 ≫ 𝜆. (iii) В первом порядке разложения экспоненты можно записать 1 𝑒𝛽(𝜀−𝜇) − 1 [ ] ≈ 𝑒−𝛽(𝜀−𝜇) 1 + 𝑒−𝛽(𝜀−𝜇) Тогда средняя энергия системы есть ⎡∞ ⎤ ( ) ∫∞ 3 3/2 ∫ √ √ 3 𝜆 2𝜋𝑉 (2𝑚) ⎣ 𝛽𝜇 −𝛽𝜀 2𝛽𝜇 −2𝛽𝜀 𝜀 𝜀𝑒 𝑒 𝑑𝜀 + 𝜀 𝜀𝑒 𝑒 𝑑𝜀⎦ = 𝑁 𝑘𝐵 𝑇 1 + √ 𝐸= ℎ3 2 4 2𝑑3 0 0 2. (i) Распределение Бозе-Эйнштейна 1 𝑒𝛽(𝜀−𝜇) −1 Поскольку число частиц не может быть отрицательным, должно выполняться условие 𝜇 ≤ 0. Число частиц в интервале энергии между 𝜀 и 𝜀 + 𝑑𝜀 определяется как √ 2𝜋𝑉 (2𝑚)3/2 𝜀𝑑𝜀 𝑁 (𝜀) = ⋅ 𝛽(𝜀−𝜇) 3 ℎ 𝑒 −1 С уменьшением температуры химический потенциал газа возрастает пока не становится равным нулю, тогда √ 2𝜋𝑉 (2𝑚)3/2 𝜀𝑑𝜀 𝑁 (𝜀) ≈ ⋅ ℎ3 𝑒𝛽𝜀 − 1 Бозе-Эйнштейновская конденсация происходит при дальнейшем уменьшении температуры, при этом химпотенциал продолжает оставаться равным нулю, однако число частиц находящихся не в основном состоянии, продолжает уменьшаться. Энергия системы и ее теплоемкость равны (𝑥 = 𝛽𝜀) 2𝜋𝑉 (2𝑚)3/2 𝐸= ℎ3 ∫∞ 2𝜋𝑉 (2𝑚)3/2 𝜀 √ 𝜀𝑑𝜀 = (𝑘𝐵 𝑇 )3/2 𝑒𝛽𝜀 − 1 ℎ3 0 ∫∞ 𝑥3/2 𝑑𝑥 𝑒𝑥 − 1 0 Вычислим интеграл этого типа ∫∞ 𝐼𝑛 = 𝑥𝑛 𝑑𝑥 𝑓 −1 𝑒𝑥 − 1 0 где мы определили фугитивность (активность) 𝑓 = 𝑒𝛽𝜇 , 0 ≤ 𝐹 ≤ 1. Воспользуемся 1 далее известной формулой прогрессии 1+𝑥+𝑥2 +⋅ ⋅ ⋅ = 1−𝑥 ; (𝑥 < 1) и, поскольку 1 1 −𝑥 = 𝑓 𝑒 1−𝑓 𝑒−𝑥 , запишем интеграл в виде бесконечного ряда: 𝑓 −1 𝑒𝑥 −1 ∫∞ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 𝐼𝑛 = 0 ∞ ∑ 𝑓 𝑘 𝑒−𝑘𝑥 𝑘=1 ∫∞ ∞ ∑ 𝑓𝑘 = (𝑘𝑥)𝑛 𝑒−𝑘𝑥 𝑑(𝑘𝑥) 𝑛+1 𝑘 𝑘=1 0 Возникающий при этом интеграл одинаков для каждого члена рада и связан с ∫∞ гамма-функцией Γ(𝑛 + 1) = 𝑡𝑛 𝑒−𝑡 𝑑𝑡. Далее, при нулевом значении химического 0 потенциала 𝜇 = 0 оставшийся ряд сводится к 𝜁-функции Римана: 𝐼1/2 𝑘 −(𝑛+1) = 𝑘=1 𝜁(𝑛 + 1) и окончательно √ 3 3 𝜋 = Γ( )𝜁( ) = ⋅ 2.613 2 2 2 ∞ ∑ 𝐼3/2 √ 5 5 3 𝜋 = Γ( )𝜁( ) = ⋅ 1.3415 2 2 4 Таким образом, 3𝑉 𝑘𝐵 𝑇 𝐸=√ 𝐼3/2 (𝑓 ) 𝜋 𝜆3 Теплоемкость бозонного газа равна 𝐶𝑉 = 15𝑉 𝑘𝐵 3𝑉 𝑘𝐵 𝑇 ∂𝐼3/2 ∂𝑓 ∂𝐸 = √ 3 𝐼3/2 (𝑓 ) + √ ∂𝑇 2 𝜋𝜆 𝜋 𝜆3 ∂𝑓 ∂𝑇 (ii) Для фотонного газа химический потенциал равен нулю при любой температуре и энергия одного фотона равна 𝜀 = ℏ𝜔 = 𝑐ℏ𝑘. Следовательно, число фотонов с импульсом в интервале между 𝑘 и 𝑘 + 𝛿𝑘 определяется соотношением 𝑔(𝑘)𝑑𝑘 = 2 𝑉 4𝜋𝑘 2 𝑑𝑘 (2𝜋)3 и элемент объема фазового пространства записывается как 𝜔 2 𝑑𝜔 𝑔(𝜀) = 𝑉 2 3 𝜋 𝑐 Тогда энергия фотонного газа есть ∫∞ 𝐸= 𝜀𝑑𝜀 1 𝑔(𝜀) 𝛽𝜀 = 2 3 𝑒 −1 𝜋 𝑐 0 ∫∞ ℏ𝜔 3 ℏ 𝑑𝜔 = 2 3 ℏ𝛽𝜔 𝑒 −1 𝜋 𝑐 ( 𝑘𝐵 𝑇 ℏ )4 ∫∞ 𝑥3 𝑑𝑥 𝑒𝑥 − 1 0 0 Окончательно, вычислим возникающий здесь интеграл ∫∞ 0 ∞ ∑ 𝑥3 𝑑𝑥 1 𝜋4 = 𝐼 = Γ(4) = Γ(4)𝜁(4) = 6𝜁(4) = 3 𝑒𝑥 − 1 𝑛4 15 𝑛=0 получим известный закон Стефана-Больцмана: 4 𝐸 𝜋 2 𝑘𝐵 = 𝜎𝑇 4 = 𝑇 4; 3 𝑉 15(ℏ𝑐) 𝜎= 4 𝜋 2 𝑘𝐵 15ℏ3 𝑐3 2 𝑝 3. (i) Гамильтониан частицы имеет вид 𝐻 = 2𝑚 , его собственные функции ∣𝐸⟩ образуют ортонорированный базис энергетического представления. Соответствующая матрица плотности в координатном представлении тогда записывается как ∑ ∑ ∑ ⟨r∣𝜌∣r′ ⟩ = ⟨r∣𝐸⟩⟨𝐸∣𝑒−𝛽𝐻 ∣𝐸 ′ ⟩⟨𝐸 ′ ∣r′ ⟩ = Ψ𝐸 (r)𝑒−𝛽𝐸 𝛿𝐸𝐸 ′ Ψ∗𝐸 ′ (r′ ) = Ψ𝐸 (r)𝑒−𝛽𝐸 Ψ∗𝐸 (r′ ) 𝐸,𝐸 ′ 𝐸,𝐸 ′ 𝐸 а волновые функции в координатном представлении имеют вид 1 Ψ𝐸 (r) = √ 𝑒𝑖k⋅r−𝑖𝐸𝑡 ; 𝑉 𝐸= ℏ2 𝑘 2 2𝑚 Таким образом ( ) ∫ 1 ∑ 𝑖k⋅(r−r′ )−ℏ2 𝑘2 /2𝑚𝑘𝐵 𝑇 1 ℎ2 𝑘 2 3 ′ 𝑒 = ⟨r∣𝜌∣r ⟩ = 𝑑 k exp 𝑖k ⋅ (r − r ) − 𝑉 k (2𝜋)3 8𝜋𝑚𝑘𝐵 𝑇 ( )3/2 ( ) 𝑚𝑘𝐵 𝑇 2𝜋 2 𝑚𝑘𝐵 𝑇 (𝑟 − 𝑟′ )2 = exp − 2𝜋ℏ2 ℎ2 ′ (ii) Число свободных бозонов находящихся в состоянии с импульсом ⃗𝑘 при температуре 𝑇 определяется распределением Бозе-Эйнштейна: ⟨𝑁𝑘 ⟩ = ( exp 1 ℏ2 𝑘2 2𝑚𝑘𝐵 𝑇 − 𝜇 𝑘𝐵 𝑇 ) −1 Таким образом 1 ∑ 𝑒𝑖k⋅r ( 𝜌(r) = 𝑉 k exp ℏ2 𝑘2 − 2𝑚𝑘𝐵 𝑇 2 1 = (2𝜋)2 𝑟 1 ) = 𝜇 (2𝜋)3 −1 𝑘𝐵 𝑇 ∫∞ 𝑑𝑘 ⋅ 𝑘 sin(𝑘𝑟) 0 ( exp ∫ 𝑑3 k 1 ℏ2 𝑘 2 2𝑚𝑘𝐵 𝑇 − 𝜇 𝑘𝐵 𝑇 ( exp 𝑒𝑖k⋅r ℏ2 𝑘2 2𝑚𝑘𝐵 𝑇 − 𝜇 𝑘𝐵 𝑇 ) −1 ) −1 где мы воспользовались тем, что ∫ ∫𝜋 ∫ 3 𝑖k⋅r 𝑑 k𝑒 = 2𝜋 𝑑𝑘 ⋅ 𝑘 2 ∫ 𝑑𝜃 sin 𝜃𝑒 𝑖𝑘𝑟 cos 𝜃 = −2𝜋 ∫ 𝑘 𝑑𝑘 𝑟 𝑑(𝑘𝑟 cos 𝜃)𝑒𝑖𝑘𝑟 cos 𝜃 0 −𝑖𝑘𝑟 = −2𝜋𝑖(𝑒 − 𝑒𝑖𝑘𝑟 ) = 4𝜋 sin(𝑘𝑟) При 𝑇 = 𝑇𝐶 химический потенциал обращается в ноль, то есть 2 1 𝜌(r) = (2𝜋)2 𝑟 ∫∞ 𝑑𝑘 ⋅ 𝑘 sin(𝑘𝑟) 0 ( exp 1 ) ℏ2 𝑘 2 2𝑚𝑘𝐵 𝑇𝐶 −1 При 𝑟 → ∞ можно выполнить приближенную оценку этого интеграла: √ 𝑟 2𝑚𝑘 ∫ 𝐵 𝑇𝐶 /ℏ 𝜌(r) ≈ 2 1 (2𝜋)2 𝑟3 ⎛ 2 1⎜ ≈ ⎝ (2𝜋)2 𝑟 𝑑𝑥 ⋅ 𝑥 sin 𝑥 0 √ 𝑟 2𝑚𝑘 ∫ 𝐵 𝑇𝐶 /ℏ exp ⎞ ( 1 ℏ2 𝑥2 2𝑚𝑘𝐵 𝑇𝐶 𝑟2 ) −1 4𝑚𝑘𝐵 𝑇𝐶 sin 𝑥 ⎟ 2𝑚𝑘𝐵 𝑇𝐶 ≈ 𝑑𝑥 ⎠ 2 𝑥 ℏ (2𝜋)2 ℏ2 𝑟 0 ∫∞ 𝑑𝑥 0 sin 𝑥 𝑚𝑘𝐵 𝑇𝐶 1 ≈ 𝑥 2𝜋ℏ2 𝑟 4. Условием конденсации бозонов в основном состоянии является обращение в ноль химического потенциала. Для газа бозонов в двумерном пространстве мы можем записать выражение для среднего числа частиц 2𝜋𝑚𝑆 𝑁= ℎ2 ∫∞ 0 2𝜋𝑚𝑆 = 𝛽(𝜀−𝜇) 𝑒 −1 ℎ2 𝑑𝜀 ∫∞ Ã∑ ∞ 𝑘=1 0 ) 𝑒 −𝑘𝛽(𝜀−𝜇) ∞ ∑ 1 𝑘𝛽𝜇 2𝜋𝑚𝑆 𝑘𝐵 𝑇 𝑒 𝑑𝜀 = 2 ℎ 𝑘 𝑘=1 ∫ где 𝑆 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 - площадь двумерной поверхности (аналог объема 𝑉 ). Очевидно, что это выражение расходится в пределе 𝜇 = 0 - конденсация невозможна. Для одномерного газа аналогичное выражение для среднего числа часлиц имеет вид √ ∫∞ 2𝑚𝐿 𝑑𝜀 √ 𝛽(𝜀−𝜇) 𝑁= 2ℎ 𝜀(𝑒 − 1) 0 При 𝜇 = 0 этот интеграл расходится, то есть конденсация также невозможна.