Броуновское движение. Столкновение частиц. Диффузия

http://lectoriy.mipt.ru
1 из 7
ЛЕКЦИЯ 11
Броуновское движение. Столкновение частиц. Диффузия
11.1. Уравнение движения частицы в среде
1
m ~r¨ = F~ − ~r˙ — уравнение Ланжевена.
B
Спроецируем его на ось x: m ẍ = Fx − B1 ẋ.
Умножим все на x:
1
m x ẍ = x Fx − x ẋ,
B
 d 2

2
,
 dt (x ) = 2 x ẋ,
 xẋ = 12 dx
dt
⇒
⇒
 d2 2

2
1 d 2 x2
2
(x ) = 2 (ẋ) + 2 x ẍ ;
xẍ = 2 dt2 − ẋ ;
dt2
m d 2 x2
1 dx2
2
.
−
m
ẋ
=
xF
−
x
2 dt2
2B dt
⇒
mẋ2
KT
=
,
2
2
xFx = 0 (т. к x и Fx — две независимые величины).
1 dx2
m d 2 x2
+
= KT.
2 dt2
2B dt
Обозначим для удобства
z=
⇒
2KT
m
dz
−
dx2
dt
z
mB
⇒
= dt
dz
2KT
z
=
−
dt
m
mB
⇒
⇒
z(t) = 2KT B 1 − e−t/mB .
η = 10−2 П (Гауссова система, вязкость воды),
a = 10−4 см,
4
m = πa3 ρ ∼ 10−11 г,
3
⇒
1
6πηa
=
∼ 106 с−1 .
Bm
m
Если мы подставим все это в экспоненту, то для t > 10−5 с e−t/Bm 1, следовательно,
dx2
z(t) = 2KT B =
⇒
x2 = 2KT Bt
dt
— закон Эйнштейна – Смолуховского.
x2 =
KT
t.
3πηa
Другие координаты будут точно такими же.
Обозначим KT B = D — коэффициент диффузии броуновской частицы. Тогда
закон принимает вид: x2 = 2Dt .
Если мы имеем дело с плоским слоем (двухмерный случай): r2 = 4Dt, где D =
KT
KT B = 6πηa
.
(трехмерный случай): r2 = 6Dt.
http://lectoriy.mipt.ru
2 из 7
Лекция 11. Броуновское движение. Столкновение частиц. Диффузия
11.2. Явления переноса.
За счет хаотического движения атомов и молекул переносится: масса (диффузия),
энергия (теплопроводность), импульс (вязкость).
Длина свободного пробега — это расстояние, которая пробегает молекула от
столкновения к столкновению. Рассматривать будем только двойные удары. Это явление не квантовое, длины волн де-Бройля каждой молекулы много меньше среднего расстояния между молекулами. Время свободного пробега много больше времени
удара.
√
Среднее расстояние между частицами: 1/ 3 n, где n!— концентрация. Картинка
свободного полета частицы (все частицы неподвижны, кроме рассматриваемой): σ —
Рис. 11.1.
сечение столкновений, λ — длина свободного пробега, λσ — объем коридора, по которому частица пролетает без столкновений (r ∼ 3Å).
1 = λσn → число встретившихся в коридоре частиц
⇒
λ=
1
σn
λ=
1
.
4πr2 n
Кроме того:
v̄
⇒
ν = nv̄σ,
ν
где v̄ — средняя скорость, с которой движется частица, ν — частота ударов.
Относительная скорость движения частиц:
λ=
−0
−
→ →
− →
v−
отн = v − v ,
2
vотн
= v 2 − v 0 2 − 2vv 0 cos α,
где
2vv 0 cos α → 0,
⇒
vотн =
√
2 v,
⇒
λ= √
1
2nσ
— более точная оценка (учтена относительность движения).
Пример. Возьмем воздух:
r
8KT
см
T = 300K, P = 106 дин/см2 , r ≈ 10−8 см, v̄ =
' 4 · 104 ,
πm
с
KT
P
λ=
n=
⇒
λ ∼ 2 · 10−5 см .
σP
KT
На самом деле длина свободного пробега зависит от температуры, но этой зависимостью обычно пренебрегают.
http://lectoriy.mipt.ru
3 из 7
Лекция 11. Броуновское движение. Столкновение частиц. Диффузия
Рис. 11.2.
11.3. Закон Сазерленда
σ = σ0 1 + Tς , ς — константа Сазерленда. Рассмотрим следующую ситуацию:
некая среда, на которую направлен поток частиц. j — плотность потока частиц
есть
число част.
. Эти частицы рассеиваются на молекулах среды.
см2 c
dj(x) = −j(x)
(здесь
dx
λ
dx
= −j(x) dx σn
λ
|{z}
— вероятность рассеяния частиц).
j(x) = j0 e−x/λ .
Запустим в среду N0 частиц (испытаний), таким образом:
x dx
· ,
dNрасс = −dN = N0 exp −
λ
λ
Вероятность рассеяться:
dω(x) =
R∞
x
dNрасс
dx
= e− λ ·
N0
λ
x exp (−x/λ) dx
0
⇒
x̄ = R∞
=
exp (−x/λ) dx
λ2
=λ
λ
⇒
x̄ = λ
0
— удельная длина свободного пробега.
R∞
x2 exp (−x/λ) dx
0
x2 = R∞
=
exp (−x/λ) dx
2λ3
= 2λ2
λ
⇒
x2 = 2λ2 ,
0
⇒ Дисперсия:
σx2 = x2 − x̄2 = 2λ2 − λ2 = λ2
⇒
Относительная флуктуация длины свободного пробега:
q
σx2
= 1.
x̄
σx = λ.
http://lectoriy.mipt.ru
4 из 7
Лекция 11. Броуновское движение. Столкновение частиц. Диффузия
Рис. 11.3.
11.4. Самодиффузия
Рассмотрим одномерную самодиффузию — самодиффузию в трубе: поместим в
нее один газ, но в начале трубы атомы будут «мечеными».
i
h
i
h
i
h
шт
моль
г
или
или
j см2 · c
2
2
см · c
см · с .
Мы будем пользоваться вариантом j смшт
2 ·c .
∂n1
jx = −D
— первый закон Фика,
∂x
00
0
∂n1
n −n
'
,
∂x
l
n1 — концентрация «меченых» молекул, l — длина трубы.
Рассмотрим нестационарную диффузию (второй закон Фика):
Рис. 11.4.
n1 S dz — число частиц с концентрацией n1 , которые находятся в объеме между
слоями z и z + dz:
∂
[n1 S dz] = S jz (z) − S jz (z + dz),
∂t
∂n1
jz (z + dz) − jz (z)
∂j
=−
=− ,
∂t
dz
∂z
∂n1
∂
∂n1
∂ 2 n1
= −
−
·D =D
∂t
∂z
∂z
∂z 2
— второй закон Фика для нестационарной диффузии.
Выделим три площадки, находящиеся на равных расстояниях:
Рассматриваем движение молекул по трем осям x, y, z. Значит, вправо, по оси z
движется N/6 молекул, или 61 nv̄. Тогда за время dt через мерную площадку проходит
поток:
0
00
1 0
n −n
1
00
jz =
n − n v̄ = −D
⇒ D = λ v̄ — коэффициент диффузии.
6
2λ
3
http://lectoriy.mipt.ru
5 из 7
Лекция 11. Броуновское движение. Столкновение частиц. Диффузия
Рис. 11.5.
√
1 √
T T
D∼
T ⇒∼
.
nσ
Pσ
11.5. Диффузия заряженных частиц
Рис. 11.6.
µ — подвижность заряженной частицы, B — подвижность не заряженной частицы
Π(x) = −F · x = −eEx, ( работа против сил поля),
Π(x)
eEx
n(x) = n0 exp −
= n0 exp
.
KT
KT
∂n
eE
∂n
eE
=
· n ; j(x) = −
=−
·D·n
∂x
KT
∂x
KT
— в стационарном состоянии переноса вещества нет. Но есть два потока навстречу
друг другу: один поток чисто диффузионный за счет разности концентраций частиц,
а другой дрейфовый:
jдр
eE
Dn
= nu = nµE = j(x) =
KT
⇒
eD
µ=
KT
D
B=
.
KT
В атмосфере в гравитационном поле:
jвверх = −D
jвниз = n · u = n · B · mg = n
D
mg,
KT
∂n
mg
jввех = jвниз , то :
=−
dz.
n
KT
h mgz i
n = n0 exp −
— формула Больцмана.
KT
⇒
⇒
∂n
;
∂z
http://lectoriy.mipt.ru
6 из 7
Лекция 11. Броуновское движение. Столкновение частиц. Диффузия
Рис. 11.7.
11.6. Теплопроводность
Рассмотрим одномерное перемещение
j = −æ
∂T
∂x
— закон Фурье.
j
h эрг i
(или q),
см2 · c
æ
h
00
эрг i
— коэффициент теплопроводности.
c · см · K
0
∂T
T −T
≈
— градиент температуры.
∂x
l
Коэффициент температуропроводности:
æ см2
a=
.
CV
c
Берем три площадки:
Рис. 11.8.
0
00
u1 , u2 — внутренняя энергия на этих уровнях. u1 = 2i KT u2 = 2i KT .
j1 = 16 nv̄u1 ; j1 = 16 nv̄u1 ;
|{z}
|{z}
слева направо справа налево
⇒
00
0
1
1 i
T −T
00
0
⇒ j = nv̄(u1 − u2 ) = nv̄ K(T − T ) = −æ
⇒
6
6 2
2λ
i
1
⇒
K = CV1 молекулы æ = nv̄λCV1 молекулы .
2
3
Умножим и разделим последнее выражение на массу одной молекулы m:
æ=
1
λ ρ v̄ CVуд .
3
http://lectoriy.mipt.ru
7 из 7
Лекция 11. Броуновское движение. Столкновение частиц. Диффузия
1
mn
æ∼
nσ
r
1
8KT iK
·
∼√
πm 2m
m
r
(при T=const).
1
æ∼ √ ,
m
√
если газ никак не меняется: æ ∼ T .
T=const
Здесь v̄ =
8KT
πm
!
,