О ВВЕДЕНИИ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА В КУРСЕ

О ВВЕДЕНИИ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА (ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ) ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ
НАПРАВЛЕНИЙ (КРОМЕ ФИЗИЧЕСКИХ НАПРАВЛЕНИЙ)
Незнамова М.А.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет», Оренбург
Как известно, понятие предела является одним из важнейших во всей
математике в силу того, что с ним связаны основные понятия математического
анализа: непрерывность, производная, дифференциал и интеграл [1, с. 556].
К сожалению, практический опыт работы показывает, что понимание
определений пределов последовательностей и функций усваивается студентами
с огромными трудностями. Следует отметить, что в последние время они еще и
существенно возросли из-за некоторого снижения качества школьного
математического образования и уменьшения количества аудиторных часов,
выделяемых на изучение высшей математики в вузах. Все вышесказанное
приводит к тому, что общепринятые определения пределов числовых
последовательностей и функций [2, с. 59, 80] не усваивается большинством
студентов нематематических направлений.
Предлагается следующий порядок введения и рассмотрения данных
понятий.
1. В качестве определения предела числовой последовательности
предполагается давать геометрический смысл [2, с. 60] общепринятого
определения [2, с. 59].
Определение. Пусть, какой бы малой длины интервал с центром в точке
A мы бы не взяли (рисунок 1)
Рисунок 1
все члены числовой последовательности xn , начиная с некоторого номера,
попадут в этот интервал. Тогда будем говорить, что числовая
последовательность xn  стремиться к числу A (числовая последовательность
xn  имеет предел A ).
Обозначения: xn   A или lim xn  A .
n
При использовании приведенного определения доказательства теорем,
выражающие свойства предела числовой последовательности, приобретают
наглядность, что весьма упрощает восприятие студентами данного материала.
В качестве примера приведем доказательство теоремы об ограниченности
числовой последовательности, имеющей придел.
Теорема. Если последовательность имеет предел, то она является
ограниченной.
Доказательство.
Пусть числовая последовательность xn  имеет предел A . Опишем вокруг
точки A произвольный интервал I . (рисунок 2).
Рисунок 2
Из определения числовой последовательности следует, что все члены
последовательности, начиная с некоторого номера, попадут в этот интервал, а
вне этого интервала может находиться лишь конечное число членов
последовательности.
Так как количество членов последовательности, лежащих вне интервала
I , конечно, то мы всегда сможем взять такой отрезок  M , M , которому они
все принадлежат.
Увеличим отрезок  M , M  в случае необходимости так, чтобы он
содержал в себе и интервал I .
Таким образом, существует отрезок  M , M , содержащий в себе все
члены последовательности xn .
Ограниченность числовой последовательности xn  доказана.
2. При рассмотрении понятия предела функции в точке будем
использовать несколько модифицированный подход, предложенный в [3, с.
120-139]. В данном курсе математического анализа сначала рассматриваются
непрерывные функции, а затем на их основе вводится понятие предела функции
в точке.
Для упрощения изложения представляется целесообразным вместо
определения непрерывности функции в точке на языке «    » использовать
следующее словесное описание непрерывной функции на промежутке.
Будем говорить, что функция y  f  x  является непрерывной на
некотором промежутке, если ее график на этом промежутке представляет
сплошную линию без разрывов.
Данное словесное описание следует проиллюстрировать конкретным
примером. Например, функция, график которой изображен на рисунке 3,
является непрерывной на промежутках: a, b  , b, c, c, d  .
Рисунок 3
Определение. Пусть функция y  f  x  непрерывна на промежутках
a, x0  ,  x0 , b (рисунок 4). В точке x0 данная функция может быть, как
определена, так и не определена.
Рисунок 4
Определим или переопределим (в случае необходимости) функцию
y  f  x  в точке x0 так, чтобы она стала непрерывной на всем промежутке
a, b (рисунок 5).
Рисунок 5
Если это возможно, то тогда значение A  f  x0  будем называть
пределом функции y  f  x  в точке x0 или будем говорить, что при x ,
стремящимся к x0 , функция y  f  x  стремится к A .
Обозначения: lim f  x   A или f  x   A при x  x0 .
x  x0
Приведенное
определение
целесообразно
проиллюстрировать
конкретным примером.
Следует отметить, что данный подход к введению понятия предела
функции в точке несколько сужает множество функций, имеющих предел. В
качестве примера, можно рассмотреть функцию (Ее график приведен на
рисунке 6.)
1, x  Q;
f x   
 x, x  I .
Рисунок 6
Если пользоваться общепринятыми определениями предела функции в
точке по Коши и по Гейне [2, с. 59, 80], то тогда рассматриваемая функция в
точке x0  1 имеет предел равный 1 . Однако данный способ введения предела в
данном случае не применим, так как нельзя указать промежутки вида a, 1 ,
1, b на которых функция является непрерывной.
Учитывая, что таким образом понятие предела будет вводиться в курсах
математического анализа (высшей математики) нематематических и
нефизических направлений, представляется оправданным жертвование
строгостью определения ради его простоты и наглядности.
Список литературы
1. Математическая энциклопедия / под ред. И. М. Виноградова. Т. 4. М.:
Советская энциклопедия, 1984. - 1215 с.: ил.
2. Никольский, С.М. Курс математического анализа: учеб. для вузов. – 6-е
изд., стереотип. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 592 с. – ISBN 5-9221-0160-9.
3. Берс, Л. Математический анализ: учеб. пособие для вузов / Л. Берс. Т.
1. М.: Высш. школа, 1975. – 519 с.: ил.