Методика введения понятий предела функций в точке и непрерывности функции. Понятие предела – одно из важнейших понятий курса математического анализа. Однако исторически теория пределов сформировалась позднее в 19 в, чем дифференциальное и интегральное исчисление (17в). Определение предела чрезвычайно сложно, поэтому в общеобразовательной школе можно обойтись без строгой его формулировки. Но не зависимо от того, на каком уровне вводиться понятие надо соблюдать следующее: - Проводить мотивацию изучения, например, с помощью примеров из физики, используя генетический подход, внутренние потребности самой математики. - Везде где это возможно вводить определение, сформулировать свойства и т.д., исходя из геометрически наглядных соображений, использовать графики функции. Тема начинается с изучения понятия предела числовой последовательности. Мотивацией могут служить внутренние потребности математики, так как ранее учащиеся уже сталкивались с термином предел, предельный переход. Поэтому настало время дать четкое определение этому понятию. Актуализация должна включать следующие упражнения: 1). повторение формул нахождения расстояния между 2 точкам на числовой прямой х1(х1) х2(х2) d(x1, x2) = |x1-x2| 2) показать на числовой оси множество точек удовлетворяющие равенству а) |x-a|=b б) |x-a|<b где a и b – фиксированные числа. 3). Решить неравенство |x – a| < b (b > 0) -b < x-a < b -b+a < x < b+a - запись окружности вокруг точки а радиуса b Далее на основе решения последних упражнений вводится понятие окружности числа (точки). Окрестность т.а радиуса b. Затем рассматривается последовательность: аn=(2n-1)/n - Выпишем несколько первых членов последовательности a1=…=1 а2=…=3/2 a3=…=5/3 …. - Изобразите полученные числа на числовой прямой (рисуем) - Можно ли указать сотый (тысячный) член этой последовательности, a1000 ? (да) a100 =1,99 a1000=1,999 - можно ли их изобразить на числовой прямой? (Можно, изображаем) - существует ли число, к которому приближаются все члены последовательности с возрастанием номера? (да к 2) - итак, при возрастании номера n члены последовательности приближаются к числу 2. Значит, расстояние между числами и числом 2 уменьшается. Найдем, например, d(a50,2) d (a50 ,2) a50 2 2 501 1 2 50 50 аналогично d(a100,2) - Можно ли решить обратную задачу, т.е. найти такой член последовательности (его номер n0), что d(an0, 2) < 1/200 |a0 – 2| < 1/200 , , , . т.о. n0 =201, 202 ,… - Можно ли для данного расстояния найти номер? В этом случае говорят, что члены последовательности с номерами больше, чем 200 будут находиться, в окружности числа 2 с радиусом 1/200. Это записывается , . . - Т.о. в этой окружности содержится бесконечное, число членов последовательности, а вне этой окружности – конечное множество членов, т.е. какое бы малое положительное число ε мы не задали, обязательно найдется такое число N(номер), что все члены последовательности с номерами больше, чем N будут находиться в заданной окружности числа 2 с радиусом ε. В этом случае говорят, что число 2 является пределом последовательности an. Далее рассматривается еще одна аналогичная последовательность, например: Выполняется аналогичная работа с этой последовательностью. Фактически еще раз проговаривается определение, которое далее формулируется в двух видах. На языке окрестностей: Число А называется пределом числовой последовательности xn при n→∞, если какую бы окружность числа не взяли, то все члены последовательности, начиная с некоторого номера, попадают в эту окружность. На языке ε-N: Число А называется пределом числовой последовательности xn при n→∞, если для любого сколь угодно малого ε>0 найдет такой номер N, что для всех n>N выполняется неравенство | xn - A|<ε Выполняется упражнение на осознание и осмысление определения при рассмотрении конкретных числовых последовательностей. К уроку, на котором будет изучаться определение предела функций в точке, учащимся надо предложить выполнить следующее задание: 1) доказать, что lim(n-1)/3n=1/3 и т.д. 2) построить графики функций а)y=2x+1 b)y=(2x2-x-1)/(x+1), получим y=2x+1, x≠1 в) у=система: (2x2-x-1)/(x+1) при х≠1 2, при х=1 г) у=система: 2x+1, при x<1 2-x, при x 1 На уроке вспоминается определение предела числовой последовательности и что означает неравенство |Хn - A| < ε - имеется ε-окружность точки А - А-ε < Хn < A+ε - расстояние между точками Xn и А меньше ε Мотивация. Рассматривается пример из физики: - Если масса груза m увеличивается незначительно, то длина нити l мало изменяется. Но если масса груза близка к некоторой критической предельной массе m* (пределу прочности нити), то происходит обрыв нити. Изобразим это графически: Такие процессы в физике встречаются довольно часто, поэтому перед нами стоит математическая задача: Найти математический аппарат (модель) с помощью которого можно описать эти процессы. Разрыв графика связан с пределом функции в точке. Рассмотрим график новой функции y = 2x+1 из д/з (строим) - С какой бы стороны (лево, право) мы по оси Ох не двигались при х →1, f(x)→3. Рассмотрим существуют ли такие значения х при которых |2x + 1 – 3| < 0,1; |2x – 2| < 0,1; 2 – 0,1 < 2x < 2 + 0,1; 1,9 < 2x < 2,1 0,95 < x < 1, 05 – получилась окружность числа 1 по оси Ох. Аналогично решаются неравенства: |f(x) – 3| < 0,001, |f(x) – 3| < 0,0001 Т.е. при рассмотрение любой ε-окрестности числа 3 по оси Оу обязательно найдутся такие числа х из окрестности числа 1 по оси Ох, что будет выполнятся неравенство |f(x) – 3| < ε. (Иллюстрируют на рисунке). В этом случае говорят, что существует предел функции в точке Аналогично показывается по графику другой функции. y=(2x2-x-1)/(x+1), получим y=2x+1, x≠1 (рисуем, (1, 3) – выколота). Рассуждая аналогично, получаем у=система: (2x2-x-1)/(x+1) при х≠1 2, при х=1 (рисуем, (2, 3) – выколота). Аналогично рассуждая полчим тот же вывод. у=система: 2x+1, при x<1 2-x, при x 1 (рисуем, (1, 3) – выколота). - Пусть х →1. Можно ли указать значение к которому стремится у? (Нет, нельзя, т.к. зависит от того, с какой стороны двигаемся по оси Ох). В этом случае говорят, что не существует предела функции в точке. Анализируя примеры формулируем определение. На языке ε-окресностей : Число b называется пределом функции у = f(x) при x→a , если любая ε-окрестности точки b найдется такая δ-окрестности точки а, что для всех х из этой окрестности, кроме быть может самой точки а, значения функции f(x) лежит в ε-окрестности точки b . На языке ε-δ: Число b называется пределом функции у = f(x) при x→a, если для любой ε>0, существует δ>0 ,что при всех х ≠ а, удовлетворяющих неравенству |x-a| < δ выполняется неравенство |f(x) - b|<ε. - Из приведённых определений следует, что для существования предела функции в точке, надо чтобы функция была определена во всех точках некоторой окружности данной точки, кроме быть может самой заданной точки. Для осознания и осмысления решаются задачи: 1) вставить пропущенные слова в определении 2) указать предел функции в точке 3) доказать, что функция не имеет предела в заданной точке (методом от противного). Далее по имеющимся графикам функций отвечаем на вопросы: 1) определена ли функция в точке х=1. Если да, то найти f(1) 2) существует ли предел при х→1, f(х). Если да, то указать его. 3)выполняется ли равенство lim f(x)=f(1) при x→1 Следовательно только для функции y=2x+1 все ответы на данные вопросы положительные. И только ее график можно построить, не отрывая мел от доски. такая функции называется непрерывной, остальные разрывные. Опр. Функция y=f(x) называется непрерывной в некоторой точке а, если lim f(x) = f(a) при x→a Функция называется непрерывной на промежутке, если непрерывна в каждой точке промежутка. В учебнике Ш.А.Алимова и др. данное подробно не рассматривается, поэтому учитель сам решает в зависимости от уровня класса, на сколько углубляется в изучение данной темы.