Последовательности. Функции.

52. Последовательности. Функции.
На занятие предложены задачи на свойства последовательностей и
функций, взятые из материалов олимпиад последних лет (они достаточно
сложны). Две последние задачи - на нахождение предела. В задаче 7
используется теорема о существовании предела монотонной ограниченной
последовательности. Переходя к пределу в рекуррентной формуле для хп,
составляем уравнение для предела.
Теория [19,c.34], [33,c.407], [36,c.300] и др. Задачи на эту тему можно
взять в [5], [19], [22,], [27], [15].
Литература
Задача 1. Доказать, что уравнение
x12 - x9 + x4 - x + 1 = 0
не имеет действительных корней.
Решение
Задача 2. Дана последовательность an , где an = n2 + n + 1, n  1. Докажите,
что
произведение
любых
двух
соседних
членов
этой
последовательности также является ее членом.
Решение
Задача 3. Существует ли многочлен P(x) такой, P(1) = 1, P(2) = 2 и P(n) иррационально для любого целого n, отличного от 1 и 2?
Решение
Задача 4. Найдите два многочлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами
таких, что множество значений функции f(x) = P(x)/Q(x) есть
промежуток [ 2 , ).
Решение
Задача 5. Дан многочлен P(t) = t2 -4t. Докажите, что при всех x  1, y  1
выполняется неравенство P(x2 + y2)  P(2xy).
Решение
Задача 6. Вычислить предел последовательности {хп}, где
2 3  1 33  1
п3  1
хп  3
, 3
, ..., 3
.
2 1 3 1
п 1
Решение:
Задача 7. Последовательность {хп} задана следующими рекуррентными
соотношениями: х1=0,5, хп+ 1=хп х п3 . Что можно сказать о пределе?
Решение:
Содержание: