Центр дополнительного образования «Дистантное обучение» МАТЕМАТИКА (АЛГЕБРА) 10«Б» Метод неопределенных коэффициентов. Уравнения 3й степени 1. Найдите остаток от деления многочлена x2013 на (а) многочлен x2 − 3x + 2; (б) многочлен x2 − 1. 2. Представьте в виде суммы простейших рациональную дробь 1 x 2x + 1 (а) 2 ; (б) 2 ; (в) 3 . x −1 x − 3x + 1 x −1 РЕШЕНИЕ. 1 1 − 1 x −1 2 2 2 (а) 2 = + ; (б) 2 = + ; x −1 x−1 x+1 x − 3x + 2 x − 1 x − 2 1 −x 2x + 1 (в) 3 = + 2 x −1 x−1 x +x+1 3. Какими должны быть значения a и b, чтобы многочлен x4 + x3 + 2x2 + ax + b был полным квадратом? РЕШЕНИЕ. Многочлен четвёртой степени может быть квадратом лишь квадратного трёхчлена. Поскольку старший коэффициент равен 1, то и квадратный трёхчлен, возведением в квадрат которого получен данный многочлен, тоже должен иметь старший коэффициент, равный 1. Итак, x4 + x3 + 2x2 + ax + b = (x2 + px + q)2 , или x4 + x3 + 2x2 + ax + b = x4 + 2px3 + (p2 + 2q)x2 + 2Bpqx + q 2 . Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях аргумента в обеих частях тождества, получим необходимые уравнения для определения неизвестных коэффициентов a, b, p, q: 2p = 1, p2 + 2q = 2, 2pq = a, q2 = b. Решив эту систему уравнений, найдём B=1/2, C=7/8, a=7/8, b=49/64 . p p √ √ 3 3 4. Упростить выражение 2 + 5 + 2 − 5. p p √ √ 3 3 РЕШЕНИЕ. Оно равно 1. Действительно, обозначим 2 + 5 + 2 − 5 = x и заметим, что x3 + 3x − 4 = 0. У этого уравнения есть только один действительный корень, и тот равен 1. 5. (а) Уравнение x3 + ax2 + bx + c = 0 упрощается заменой t = x + a/3. (б) Формула Кардано для корней уравнения t2 + pt + q = 0: v v q q u u 3 3 u u 2 3 −q + 3 −q − q + 4p 27 t q 2 + 4p 27 t t= + . 2 2 Центр дополнительного образования «Дистантное обучение» МАТЕМАТИКА (АЛГЕБРА) 10«Б» Контрольная работа по теме «Нечто рациональное» x2 + 3x + 4 x − . x4 + 4x3 + 4x2 + 4x + 3 x2 + 1 (б) Решить F (x) > 0. 1. Дано рациональное выражение F (x) = (а) Решить F (x) = 0. (в) Построить эскиз графика y = F (x). (г) Представить F (x) в виде суммы простейших дробей. 2. Дан многочлен P (x) = x2013 −5x1991 +4x1989 −20. Найдите остаток от деления P (x) на (а) Q1 (x) = x − 3; (б) Q2 (x) = x2 − 6x; (в) Q3 (x) = (x − 3)2 . 3. Даны попарно различные действительные числа a, b, c, d. Рассмотрим уравнение (x−a)(x−b)(x−c) (x−b)(x−c)(x−d) (x−c)(x−d)(x−a) (x−d)(x−a)(x−b) + + + = 1. (d−a)(d−b)(d−c) (a−b)(a−c)(a−d) (b−c)(b−d)(b−a) (c−d)(c−a)(c−b) (а) Докажите, что x = a является корнем этого уравнения. (б) Найдите все корни этого уравнения и докажите, что других нет. 4. Докажите, что ни при каких натуральных x, y число x8 − x7 y + x6 y 2 − x5 y 3 + x4 y 4 − x3 y 5 + x2 y 6 − xy 7 + y 8 не является простым. Письменное д/з 5. Найдите все пары натуральных k и простых p, такие что 5p + 1 = k 2 . 6. Разложите на множители (а) (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc; (б) a3 + b3 + c3 − 3abc. 7. x, y, z — попарно неравные целые числа. Докажите, что (x − y)5 + (y − z)5 + (z − x)5 делится на 5(x − y)(y − z)(z − x). 8. Известно, что z + 1 z = 1. Чему равно z 2013 + 1 z 2013 ?