Многочлены 2. Теорема Безу и ее следствия.

Кружок "Математика, обратная сторона". Третий год обучения.
2009-2010 учебный год.
http://www.kazan-math.info/
Многочлены 2. Теорема Безу и ее следствия.
1. Пусть s1 , s2 , . . . , sl – корни многочлена an xn +an−1 xn−1 +. . .+a0 , где a0 6= 0. Найдите корни многочленов
а)(−1)n an xn + (−1)n−1 an−1 xn−1 + . . . + a0 ; б) a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an .
Определение. Пусть A и B многочлены, причҷм degB > 0. Разделить A на B с остатком значит
найти такие многочлены Q и R, что A = BQ + R, где degR < degB. Говорят, что многочлен A делится на
многочлен B когда многочлен R = 0.
2. Разделите с остатком многочлены:
а) x3 + 3x2 + 2x + 6 на x − 3;
б) x5 + 2x + 1 на x2 − 2x + 5;
в) 2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + 6 на x2 − 3x + 1.
г) xn − 1 на x − 1;
д) xn + 1 на x + 1.
3. Найдите все натуральные n, при которых число 3n3 + 2n2 + 3n + 4 делится на число n2 + 1.
4. Докажите, что если многочлен A делится на многочлен B, то все корни многочлена B являются
корнями многочлена A. Верно ли обратное утверждение?
5. Пусть P – многочлен. Чему равен свободный член многочлена P (x + a)?
6. Теорема Безу. Докажите, что многочлен P (x) делится на двучлен x − a тогда и только тогда, когда
число a – корень многочлена P (x).
7. Пусть A(1) = A(2) = 0. Докажите, что A(x) делится на (x − 1)(x − 2).
8. Докажите, что число различных корней многочлена A(x) не больше degA.
9. Числа a, b и c различны. Сколько корней может быть у уравнения
(x − a)(x − b) (x − b)(x − c) (x − a)(x − c)
+
+
= 1?
(c − a)(c − b)
(a − b)(a − c)
(b − a)(b − c)
10. Пусть значения многочленов P и Q совпадают при n различных значениях переменной, и степени
этих многочленов меньше n. Докажите, что тогда P = Q.
11. Придумайте два квадратных трехчлена, ни один из которых не делится на x2 − 3x + 2, а их произведение делится на x2 − 3x + 2.
12. Многочлен P (x) дает остаток 5 при делении на x − 2 и остаток 7 при делении на x − 3. Какой остаток
многочлен P (x) дает при делении на (x − 2)(x − 3)?
13. Дан многочлен P (x) такой, что многочлен P (xn ) делится на многочлен x−1. Докажите, что многочлен
P (x) также делится на многочлен x − 1.
14. Многочлен P (x) дает остаток a2 при делении на x − a, остаток b2 при делении на x − b и остаток c2
при делении на x − c, где a, b, c – попарно различные действительные числа. Найдите остаток от деления
P (x) на (x − a)(x − b)(x − c).
15. Пусть P (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 - многочлен и a - число. Докажите, что P (x) можно представить
в виде bn (x − a)n + . . . + b1 (x − a) + b0 , причем если a и все ai – целые числа, то и все bi - целые числа.
16. Многочлен P (x) таков, что P (7) = 11, а P (11) = 13. Докажите, что хотя бы один из его коэффициентов – не целое число.
17. Многочлены P (x) и Q(x) с целыми коэффициентами таковы, что при любом целом k P (k) делится
на Q(k). Докажите, что P (x) делится на Q(x).