Задачи части «С-5» ЕГЭ по математике Задача № 1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств имеет решения a 2 2 ( x 2a ) ( y a ) 6 5 x 2 y 1 (1) (2) Решение. 1. Неравенство (1) на координатной плоскости (XOY) задает круг с центром в точке О1(2а;а) радиуса R a 6 5 2. Неравенство (2) на координатной плоскости образует полуплоскость с границей по прямой, проходящей через точки А(1;0), В(0;0,5) y 1 1 x 2 2 3. Система имеет решения, если круг и полуплоскость имеют общие точки. Для этого расстояние от центра круга до прямой y = 0,5x-0,5 должно быть не больше радиуса круга. 4. Данное расстояние есть расстояние между параллельными прямыми y=0,5x и y=0,5x-0,5, так как прямая y=kx проходит через точку О1(2а;а), а значит k tg a 1 1 , тогда y= x 2a 2 2 y O1 a O B B1 A 2a x 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO с вершинами О(0;0), А(1;0), В(0;-0,5). Его катеты равны ОА=1, ОВ=0,5, тогда высота ОВ1, опущенная на гипотенуза, есть расстояние между параллельными прямыми, равна: OB1 OA OB 1 0,5 1 5 AB 5 5 5 2 6. Таким образом, система имеет решения, если a 1 ; 5 6 5 a 6; или а -;-6 6; Ответ: а -;-6 6; Задача № 2. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет решения x 2 (4a 5) x 3a 2 5a 0, 2 2 x a 25. Решение. 1. Разложим на множители левую часть неравенства, решив квадратное уравнение x2+(4a+5)+3a2+5a=0. x1=-a, x2=-(3a+5), тогда неравенство примет вид: (x+3a+5)(x+a)<0. Оно задает пару вертикальных углов в плоскости OXa. 2. Уравнение окружность с центром в точке (0;0) радиусом 5. 3. Решение данной системы – это точки дуг окружности, лежащих в указанных вертикальных углах. Найдем абсциссы концов дуг: x2+a2=25 - x 3a 5 0, 2 2 x a 25. x 3a 5, 2 2 9a 30a 25 a 25. x a 0, или 2 2 x a 25. a= 5 2 2 Решим уравнение относительно а. 10a 2 30a 0; 10а (а 3) 0; а=0 или а=-3 5 2 5 2 Таким образом, а ; 3 0; 2 2 x 0 a Задача № 3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение x 2 y 1 11, 2 2 ( x a) ( y 2a) a 2. Решение. 1. Неравенство |x+2y+1|≤11 задает на плоскости (XOY) полосу, граница которой – пара параллельных прямых, у которых угловые коэффициенты одинаковы: 11 x 2 y 1 11 12 x 2 y 10 x 2 y 12 и x+2y=10 x x y=- 12; y=- 10. 2 2 2. Уравнение (x-a)2+(y2a)2=a+2 описывает круг с центром в точке М(а;2а) и радиусом R= а) если а+2<0, то система не имеет решений, таким образом при а<-2 решений нет; б) если а+2=0, то есть а=-2, то уравнение имеет вид: (x+2)2+(y+4)2=0. Удовлетворять неравенству |x+2y+1|≤11 будет единственная точка с координатами (-2;-4). 11 x 2 y 1 11 11 2 8 1 11 11 9 11 Таким образом, при а=-2 система имеет единственное решение. в) если а+2>0, то есть а>-2, тогда уравнение (x-a)2+(y-2a)2=a+2 задает окружность с центром в точке М (а;2а) и радиусом R= k tg y 2a 2 x a Определим нахождение центра окружности М(а;2а) на прямой y=kx, где Прямая y=2x перпендикулярна прямым x x у 12 и y=- 10 2 2 и пересекает их в точках с координатами A(-2,4;-4,8) и B(2;4), которые определяются из решения систем уравнений: x 2 y 12 y 2x x 2 y 10 и y 2x 3. Система имеет единственное решение, если окружность касается параллельных прямых внешним образом полосы в точках А или В: а) если касается полосы в точке А, то а=-2,4, но при а<-2 решений нет, следовательно это невозможно. б) если окружность касается полосы в точке В, только тогда, если а>2 и МВ=R. Расстояние МВ найдем при условии, что М(а;2а), В(2;4), из уравнения (а-2)2+(2а-4)2=а+2; 5а2-21а+18=0; а=3; а=1,2. Условию а>2 удовлетворяет лишь значение а=3. Таким образом, единственное решение возможно при а=-2 и а=3.