Задачи 10 класса

10 класс
Институт математики и информационных технологий ОмГУ им. Ф.М. Достоевского
V олимпиада по математике имени профессора Г.П. Кукина, 2012-13 учебный год
10 класс
заочный этап
Часть А
В каждой задаче А1-А5 дано четыре варианта ответов, из которых только один верный.
Решите задание, выберите код верного ответа.
А1. Никита утверждает, что у квадратного уравнения х 2  х  1  0 корни
Антон настаивает на том, что корнями являются числа 3 2  5 и
А) Никита
В) Антон
С) оба не правы
3
1 5
1 5
и
,а
2
2
2  5 Кто прав?
D) оба правы
А2. В прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 вписан полукруг с диаметром, лежащем
на большем катете треугольника. Найдите радиус полукруга.
А) 3
B) 4
C) 2
D) 1
А3. Укажите, график функции y  4  x 2 .
A)
B)
C)
D)
А4. Сколько из предложенных пяти чисел равны 1:
1)
11,04
1
2
5 6
75
75
2)
1
1
48  2 12 
27
2
3
3)
5 3
3  2   3  2 
4
4
156 2

4) 3 sin 30  cos 60
5) 0,(3)+0,(7)
А)4
B) 3
C) 2
D) 1
А5.. Бизнесмены А, Б и С играли в карты. На кон они поставили деньги в пропорции 1 : 4 : 3.
После игры игроки рассудили, что выигрыш нужно разделить в пропорции 2 : 7 : 5. Каков
результат игры?
A) А проиграл, Б выиграл, С выиграл;
С) А выиграл, Б остался при своем, С проиграл
В) А проиграл, Б проиграл, С выиграл;
D) А выиграл, Б выиграл, С остался при своем.
10 класс
Часть В
Ответом в заданиях В1-В10 может быть только целое число
или конечная десятичная дробь.
Единицы измерения в ответе писать не надо.
В1. То да это, да половина того да этого. Сколько это будет процентов от трети того да
этого?
В2. Найдите сумму всех четных трехзначных чисел, делящихся на 3.
В3. Машина ехала с постоянной скоростью. Когда ей осталось проехать путь, в 2 раза
меньший того, что она проехала, она увеличила скорость в 2 раза. Сколько процентов
составила средняя скорость на всем пути от первоначальной скорости машины?
В4. Биссектрисы двух смежных углов содержат стороны треугольника, длины которых
равны 8 и 15. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.
В5. Найдите все такие целые значения а, при которых дробь
27  9а
является целым числом.
3а  1
В ответе укажите среднее арифметическое этих чисел.
В6. Пусть V, R, G – соответственно число вершин, ребер и граней пирамиды, основанием
которой служит 2012-угольник. Чему равна сумма V + R + G?
В7. В квадрате с периметром 16 (см. рис.), найдите площадь заштрихованной
части, образованной дугами равных окружностей с центрами в вершинах
квадрата. Результат округлите до десятых.
В8. Сколько существует 5-значных чисел, у которых первые три цифры образуют куб
натурального числа, а последние три цифры – квадрат натурального числа.
В9. При каком значении параметра b сумма квадратов корней уравнения x 2  bx  b  1  0
будет наименьшей?
В10. На доске написаны последовательные натуральные числа 1, 2, …, 100. Разрешается
стереть любые два из них (a и b) и вместо них записать a + b - 1. Эта операция повторяется
до тех пор, пока на доске не останется одно число. Чему оно равно?