Задания по математике для проведения олимпиады вузов Росрыболовства

Задания по математике
для проведения олимпиады вузов Росрыболовства
среди учащихся 10 классов 2011-12 уч. год
I тур.
Задача 1. Найдите все такие двузначные натуральные числа, при
перестановке цифр в которых это число увеличивается на 75%.
Решение.
Пусть первая цифра числа х, а вторая ─ у, тогда двузначное число
можно записать в виде 10 х+ у, а число, которое получается при
перестановке цифр можно записать в виде 10 у + х. При этом х и у могут
принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
По условию задачи 10 у + х=1,75(10 х+ у).
Отсюда получаем, у=2 х.
Перебирая возможные значения переменных, получаем искомые
натуральные числа: 12, 24, 36, 48.
Задача 2. Найти наименьшее значение выражения 4sin α – 5cos2 α.
Решение.
Введем переменную t=sinα, t, где t   1; 1 , и рассмотрим функцию
f t   5t 2  4t  5 , определённую для значений t  1; 1 . Наименьшее значение
этой функции совпадает с наименьшим значением данного
тригонометрического выражения.
4
 4
t в   , f     5,8; f  1  4; f 1  4.
10
 10 
Таким образом, наименьшее значение выражения равно -5,8.
Задача 3. Решить неравенство x  2  x  1  2  x .
Решение.
x  2

Найдём множество допустимых значений переменной:  x  1 .
x  2

Оно состоит из одного решения х=2. Подстановкой проверяем, что это
значение является решением неравенства. Ответ: х=2.
Задача 4. Катер прошёл по течению реки 90 км за некоторое время. За то
же время он прошёл бы против течения 70 км. Какое расстояние за это время
проплывёт плот?
Решение.
Пусть скорость катера в стоячей воде х км/ч, а скорость течения реки у
90
70
. Отсюда находим 9x  y   7x  y   x  8 y .

x y x y
90 10
Значит, время движения плота равно
 . За это время плот проплывёт
9y
y
км/ч, тогда
10км.
Задача 5. Найти в квадратных единицах площадь земельного участка
ABCDEF с вершинами в точках A(1;2), B(-2;7), C(9;6), D(11;1), E(9;-8),
F(-2;-3).
y
В
С
A
D
X
F
E
Решение.
Искомую площадь можно найти как сумму площадей треугольника CDE и
трапеции BCEF из которой вычитается площадь треугольника BAF:
S=14+132-15=131.