Треугольник Паскаля – числовая схема, удобная форма записи биномиальных коэффициентов и иллюстрация многих математических закономерностей. Треугольник назван в честь великого французского учёного Блеза Паскаля, который описал его свойства в книге «Трактат об арифметическом треугольнике», изданной в 1653 году. Известны упоминания треугольной последовательности биномиальных коэффициентов до 1653 года: Индия – X век (Халаюдха), Персия – около 1100 года (Омар Хайам) , Китай – XIII век (Ян Хуэй), Европа – 1529 год (Петер Апиан). 1) Бином Ньютона -- название формулы, позволяющей выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени. (a b) n C n0 a n b 0 C n1 a n 1b1 ... C nk a n k b k , , ,C nn a 0 b n . n(n 1)...( n k 1) n! , k! k!(n k )! где k –номер коэффициента от 0 до n, n – степень бинома. С nk Некоторые свойства: Cnk a Cnk 1 Cnk1 . С nn k C nk . C n0 C n1 ... C nn 2 n . 2) В комбинаторике биномиальный коэффициент интерпретируется как число сочетаний из n по k, т.е. всех подмножеств (выборок) размера k в n-элементном множестве. (eg Станция пересадок в Петербурге до открытия 5-ой линии – это выборка размера 2 на 2 4-х элементном множестве. C 4 = 6 – число всех станций пересадок.) 3) Симплекс или n-симплекс – простейшая геометрическая фигура n-мерного пространства, состоящая из n+1 точки, так что каждая точка соединена с каждой ребром (т.е. является выпуклой оболочкой n+1 точки). Выпуклая оболочка любых m+1 из n+1 вершин n-симплекса сама является симплексом и называется m-гранью симплекса. 0-грани это вершины, 1-грани это рёбра, n-1 - грани называют просто гранями. Каждый n-симплекс – это множество из n+1 точки. Как известно, n+1 точка (если никакие 3 из них не лежат на одной прямой) задаёт n-мерное пространство. Т.е. n-мерное пространство однозначно задаётся n-симплексом. k По п.2. в симплексе, состоящем из n+1 точки, можно выделить C n 1 подмножеств из k k 1 элементов, а значит C n 1 (k-1)-граней. Т.е. C n 1 вершин, C n21 рёбер и т.д. C nn11 =1 соответствует всему симплексу целиком. C n01 =1 – пустое множество. Каждый ряд треугольника Паскаля, соответствующий степени n+1, описывает nсимплекс, задающий n-мерное пространство. 4) 1, 3, 6, 10, 15 …– треугольные числа: 3=1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+4 и т.д. 1, 4, 10, 20 …– тетраэдральные числа: 4=1+3, 10=1+3+6, 20=1+3+6+10 и т.д. Числа, составленные таким образом – симплексные числа соответствующего пространства (натуральный ряд соответствует отрезкам на числовой оси). Каждая линия треугольника Паскаля, начинающаяся на n-ступени треугольника (n≥0), содержит ряд n-симплексных чисел. S qd C dd q 1 (q d 1)( q d 2)...( q 1)q (q d 1)! , где d – число измерений d! d!(q 1)! симплекса, q – количество точек в ребре симплекса, S qd - симплексное число.