Задачи на Биномиальные коэффициенты (Часть I)

Министерство образования и науки Российской Федерации
Елабужский государственный педагогический университет
Минкин А.В.
Сборник задач по дискретной математике.
Суммы и рекуррентные соотношения.
(варианты индивидуальных заданий)
учебно-методическое пособие
Елабуга
2009
УДК 519
Сборник задач по дискретной математике. Суммы и рекуррентные
соотношения (варианты индивидуальных заданий): Учебно-методическое
пособие/ Минкин А.В. – Елабуга: Елабужский государственный педагогический
университет, 2008. – 56 с.
Учебно-методическое пособие содержит индивидуальные задания для
студентов по курсу дискретная математика (25 вариантов) и предназначено для
обеспечения самостоятельной работы по освоению курса.
Рецензенты:
кандидат физ. – мат. наук, доцент А.В. Костин (Елабужский государственный
педагогический университет);
кандидат техн. наук, доцент М.И. Конюхов (Казанский государственный
технический университет им. А.Н. Туполева).
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов физико –
математических специальностей.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Елабужского
государственного педагогического университета (протокол № 23 от 28 февраля
2008 года).
© Елабужский государственный педагогический университет, 2009.
2
Предисловие
В настоящий сборник включены основные типы задач по курсу
дискретной математики, а именно той её части, что касается сумм и
рекуррентных соотношений. Также в сборник включены задачи на
вычисление кратных сумм, однородных и неоднородных линейных
рекуррентных соотношений, а также систем из рекуррентных
соотношений и задачи на асимптотику.
Поводом для написания учебного пособия послужило то
обстоятельство, что у наших студентов, как я заметил, практически нет
навыков решения задач по данному курсу. Одной из причин является
отсутствие доступного учебника или сборника задач.
Будучи сторонником индивидуальной и самостоятельной работы
студентов, я надеюсь, что задачи из данного сборника помогут каждому
из вас (индивидуально) разобраться с основными методами и приемами
решения задач. С целью более легкого освоения материала в начале
пособия рассмотрены все типы задач, предлагаемых для
самостоятельного решения. В конце помещен список рекомендуемой
литературы, которая поможет вам глубже изучить данный предмет.
Несмотря на все усилия, которые были приложены для написания
данного пособия, не исключено, что остались, какие-то неточности,
неясности, опечатки и т.д., которые могут исказить, как смысл
отдельных слов, так и всего содержания задачи в целом. Поэтому все
замечания (и предложения) прошу сообщить по e-mail:
minkins@yandex.ru.
Здесь же хочется поблагодарить одного из рецензентов учебного
пособия – Костина Андрея Викторовича, который еще на стадии
подготовки рукописи к печати сделал ряд полезных замечаний и
исправлений.
Надеюсь, решение задач доставит вам удовольствие, а не заставит
думать о дискретной математике только как о скучной и ненужной
дисциплине.
3
1. Метод приведения.
Некоторые конечные суммы, вида
n
S n = ∑ ai
i =0
можно вычислить используя метод приведения. Суть данного метода заключается
в следующем. Для нахождения исходной суммы S n записывают сумму Sn+1 двумя
способами, выделяя последний член
S n+1 = Sn + an+1
(1)
и первый член
n +1
n +1
i =0
i =1
S n+1 = ∑ ai = a0 + ∑ ai = i → i + 1 = a0 +
n +1
n
∑a
i +1=1
i +1
= a0 + ∑ ai +1 .
(2)
i =0
Т.к. левые части (1) и (2) равны, то равны и их правые части, следовательно
n
S n + an+1 = a0 + ∑ ai +1 .
(3)
i =0
n
∑a
Если в последней сумме
i =0
i +1
выражения (3) мы выделим сумму S n , то получим
уравнение, из которого можно найти S n .
n
Пример 1. Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1) ( 2k + 3)
k
k =0
Решение. Выпишем общий член нашей суммы, который имеет вид
ak = ( −1) ( 2k + 3) .
И перепишем (3) с учетом, что a0 = 3 , получим
k
S n + ( −1)
n +1
n
( 2 ( n + 1) + 3) = 3 + ∑ ( −1) ( 2 ( k + 1) + 3) .
k +1
(4)
k =0
Отдельно рассмотрим последнюю сумму и попытаемся выделить в ней Sn .
n
n
n
∑ ( −1) ( 2 ( k + 1) + 3) = ∑ ( −1) ( 2k + 3) + 2∑ ( −1)
k +1
k =0
k +1
k =0
k +1
k =0
n
n
n
= −∑ ( −1) ( 2k + 3) − 2∑ ( −1) =
k
k =0
= − S n − 2∑ ( −1) .
k
k
k =0
(5)
k =0
n
k
Обозначим Z n = ∑ ( −1) и снова воспользуемся методом приведения для ее
k =0
нахождения, получим
Z n + ( −1)
n +1
n
= 1 + ∑ ( −1)
k +1
k =0
Из (6) следует
4
n
k
= 1 − ∑ ( −1) = 1 − Z n .
k =0
(6)
1 + ( −1)
Zn =
.
2
Подставим (7) в (5), а затем в (4) и найдем, что
n
S n = ( −1) ( 2 + n ) + 1.
n
(7)
(8)
2. Метод суммирующего множителя.
Рассмотрим рекуррентность общего вида
an Dn = bn Dn−1 + cn , D0 = ξ ( n ≥ 1) .
(1)
Умножим (1) на sn – суммирующий множитель (причем snbn = sn−1an−1 ) и получим
(2)
Gn = Gn−1 + sncn ,
где
Gn = sn an Dn .
(3)
Рекуррентные соотношения и суммы тесно связаны между собой, поэтому (2)
можно записать следующим образом
n
n
k =1
k =1
Gn = s0 a0 D0 + ∑ sk ck = s1b1D0 + ∑ sk ck
(4)
Подставляя (3) в (4) находим
n
1 ⎛
⎞
+
s
b
D
sk ck ⎟ .
(5)
∑
1 1 0
⎜
sn an ⎝
k =1
⎠
Вид суммирующего множителя (с помощью которого находится решение
рекуррентного выражения) можно найти из равенства snbn = sn−1an−1 . Отсюда
следует, что
s a
a a ⋅ … ⋅ a1
sn = n−1 n−1 = … = n−1 n−2
.
bn
bnbn−1 ⋅ … ⋅ b2
Пример 2. Используя метод суммирующего множителя, решить рекуррентное
соотношение
Dn = 3Dn−1 + 2 , D0 = 0 ( n ≥ 1) .
1
Решение. Из сравнения с (1) следует, что an = 1, bn = 3, cn = 2. Тогда sn = n и
3
подставляя в (5) имеем
n
n
1 ⎞ n
1
n⎛ 1
Dn = 3 ⎜ n ⋅ 3 ⋅ 0 + ∑ k ⋅ 2 ⎟ = 3 ⋅ 2 ⋅ ∑ k
(6)
k =1 3
k =1 3
⎝3
⎠
n
1
В (6) ∑ k , есть сумма членов геометрической прогрессии, которую, впрочем,
k =1 3
можно найти, используя метод приведения. Итак,
n
1 1
= (1 − 3− n ) .
(7)
∑
k
3
2
k =1
Окончательно получим, что
Dn = 3n − 1 .
(8)
Dn =
5
Производящей
степенного ряда
3. Производящая функция.
функцией последовательности
{ak }
называется
∞
f a ( x ) = ∑ ak x k .
сумма
(1)
k =0
Метод производящих функций один из самых развитых теоретических методов
комбинаторного анализа. Мы будем рассматривать применение этого метода для
решения, условно говоря, прямой и обратной задачи. Прямая задача заключается
в нахождении вида производящей функции f a ( x ) , если задана некоторая
{ak } . Обратная задача – вычислить все члены некоторой
последовательности {ak } , если задан вид производящей функции f a ( x ) .
последовательность
Пример 3. Найти производящую функцию следующей последовательности
{3(n − 4) + 5n+2} .
Решение. Подставим в (1) нашу последовательность, получим
∞
f a ( x ) = ∑ ⎡⎣3(k − 4) + 5k + 2 ⎤⎦x k .
(2)
k =0
Раскроем в (2) скобки и вычислим каждую сумму, при этом вспомним, что
∞
1
xk =
– убывающая геометрическая прогрессия ( x < 1 ).
∑
1− x
k =0
∞
∞
∞
d ⎛ 1 ⎞ 12
25
k −1
k
f a ( x ) = 3 x ∑ kx − 12∑ x + 25∑ 5k x k = 3 x ⎜
−
+
=
⎟
dx ⎝ 1 − x ⎠ 1 − x 1 − 5 x
k =0
k =0
k =0
3x
12
25
=
−
+
.
2
1
1
5
−
x
−
x
1
−
x
( )
Пример 4. Найти производящую функцию следующей последовательности
an = sin αn, n = 0,1,2,…
Решение. Запишем формулу Эйлера
eiα − e − iα
eiα + e − iα
iα
e = cos α + i sin α, sin α =
(3)
, cos α =
.
2i
2
Введем вспомогательную функцию ϕ ( α ) = cos α + i sin α . Тогда аналогично (3)
имеем
ϕn ( α ) − ϕn ( −α )
ϕn ( α ) + ϕn ( −α )
n
, cos α n =
. (4)
ϕ ( α ) = cos αn + i sin αn, sin αn =
2i
2
Пусть
∞
F ( x, α) = ∑ ϕk ( α )x k .
k =0
Тогда
6
(5)
∞
∞
F ( x, α) = ∑ ( cos αk + i sin αk )x k = ∑ ( cos α + i sin α ) x k =
k =0
k
k =0
∞
1
1
.
=
1 − t 1 − ( cos α + i sin α ) x
k =0
Аналогично тому, как это было получено в (4) найдем, что
∞
F ( x, α ) − F ( x, −α )
k
.
x
sin
α
k
=
∑
2i
k =0
Подставим (6) в (7) и после несложных математических расчетов получим
∞
x sin α
f a ( x ) = ∑ x k sin αk =
.
2
2
−
x
α
+
x
1
2
cos
k =0
= ( cos α + i sin α ) x → t = ∑ t k =
(6)
(7)
(8)
Пример 5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x)
является производящей
x
f a ( x ) = ∫ e − t dt .
0
Решение.
n
⎛
⎞
t2
n t
+ … ⎟dx =
f a ( x ) = ∫ e dt = ∫ ⎜1 − t + + … + ( −1)
2!
n!
⎠
0
0⎝
x
n
⎛
⎞
t2
x2
x3
x n+1
n t
n
= ∫ ⎜1 − t + + … + ( −1)
+ … ⎟dx = x − +
+ … + ( −1)
+… =
⋅
+
⋅
n
n
n
2!
!
2
3
2!
1
!
(
)
⎠
0⎝
x
x
−t
−1) k +1 ∞
(
x = ∑ ak x k .
=∑
k =0 ( k + 1)!
k =0
∞
Следовательно
k
( −1) .
ak =
( k + 1)!
k
(9)
Пример 6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x)
является производящей
f a ( x ) = arctgx .
Решение. Заметим, что
x
dt
arctgx = ∫
.
(10)
1+ t2
0
1
Рассмотрим g (t ) =
и попробуем ее разложить в ряд. Для этого вспомним
1+ t2
∞
1
= ∑ t k и сделаем
разложение в ряд убывающей геометрической прогрессии
1 − t k =0
2
замену t → −t . Тогда
7
∞
1
k 2k
1
=
−
t .
(
)
∑
1 + t 2 k =0
Подставим (11) в (10) и проинтегрируем
x
x
2 k +1
∞
∞
⎡∞
k 2k ⎤
k
k x
2k
f a ( x ) = ∫ ⎢ ∑ ( −1) t ⎥ dt = ∑ ( −1) ∫ t dt = ∑ ( −1)
.
2k + 1
k =0
k =0
⎦
0 ⎣ k =0
0
Значит
k
−1)
(
ak =
.
2k + 1
(11)
4. Кратные суммы.
Если члены суммы снабжены не только одним, а двумя и более индексами, то
такую сумму называют кратной, например
(1)
∑ aib j .
1≤i , j ≤ n
Для нахождения кратных сумм используют такие же методы, что для сумм с
одним индексом.
Пример 7. Найти кратную сумму
n n−k
∑∑ ( k − j ) .
k =0 j = 0
Решение. Выпишем отдельно внутреннюю сумму и найдем ее
n−k
n−k
n−k
n−k
(n − k )
j =0
2
∑ ( k − j ) = ∑ k −∑ j = k (n − k + 1) − ∑ j =k (n − k + 1) −
j =0
=
( 3k − n )
2
j =0
j =0
( n − k + 1) =
( n − k + 1) . Здесь полезно вспомнить сумму арифметической прогрессии
β
( α + β) β − α + 1 .
(
)
∑i =
2
Вернемся к нашей исходной сумме, получим
n n−k
n
( 3k − n ) n − k + 1 = n ⎛ − 3 k 2 + 2kn + 3 k − 1 n2 − 1 n ⎞ . (2)
−
=
k
j
(
)
(
) ∑⎜
∑∑
∑
⎟
2
2
2
2
2 ⎠
k =0 j = 0
k =0
k =0 ⎝
Если в (2) раскрыть скобки и объединить некоторые слагаемые, то получим три
различные суммы
n ( n + 1) n
3 n 2 ( 4n + 3 ) n
(3)
− ∑k +
k−
∑
∑1 .
2 k =0
2
2 k =0
k =0
Из всех сумм расчет только первой может вызвать некоторое затруднение.
Поэтому выпишем ее отдельно и найдем
n
n
n
n
(n + j) n − j +1 =
2
k
=
k
=
k
=
k
=
(
)
∑
∑ 1≤∑j≤n j∑
∑∑
∑
2
1≤ j ≤ k ≤ n
≤k ≤n
k =0
j =1 k = j
j =1
i =α
1 n
1 n
1 n
1 n 2
2
= ∑ ⎡⎣ n ( n + 1) + j − j ⎤⎦ = ∑ n ( n + 1) + ∑ j − ∑ j .
2 j =1
2 j =1
2 j =1
2 j =1
8
Последняя сумма совпадает с точностью до множителя с исходной суммой,
поэтому перенесем ее влево и после вычисления двух оставшихся (простых)
сумм, получим
n
n ( n + 1)( 2n + 1)
2
(4)
k
=
∑
6
k =0
Наконец, вернемся в (3) и найдем, что
n n−k
∑∑ ( k − j ) = n + 1 .
k =0 j =0
5. Биномиальные коэффициенты.
Биномиальная формула имеет вид
( a + b)
n
n
= ∑ Cnk a k b n−k ,
(1)
k =0
где Cnk – биномиальные коэффициенты (в комбинаторике они означают число
n!
(n – это количество
сочетаний без повторений), имеющие вид Cnk =
k !( n − k )!
элементов некоторого множества, а k – количество элементов образующих
подмножество исходного n – элементного множества).
Пример 8. Найти сумму
n
∑ kC
k =0
k
n
.
Решение. Воспользуемся биномиальной формулой (1) и положим b = 1, тогда
(1 + a )
n
n
= ∑ Cnk a k .
(2)
k =0
Продифференцируем (2), получим
n (1 + a )
n −1
n
= ∑ Cnk ka k −1
(3)
k =0
Положим в (3) a = 1 и найдем, что
n
∑C k = n ⋅ 2
k =0
k
n
n −1
(4)
Cnk
∑
k =0 k + 1
Решение. Так же воспользуемся биномиальной формулой (1) и положим b = 1
Пример 9. Найти сумму
n
(1 + a )
n
n
= ∑ Cnk a k .
(5)
k =0
Проинтегрируем (5)
a
∫ (1 + a )
n
n
da = ∑ C
k =0
0
9
a
k
n
∫ a da ,
k
0
(6)
получим
(1 + a )
n
−1
a k +1 k
⋅Cn .
k
1
+
k =0
n
=∑
(7)
n +1
Положим в (7) a = 1 и найдем, что
n
Cnk
2n+1 − 1
=
.
∑
k
1
n
1
+
+
k =0
Пример 10. Найти коэффициент при tk в разложении ( 2 + x 4 + x 7 ) ,
15
Решение. Представим исходное выражение в виде
(2 + x
(
)
+ x 7 ) = ⎡⎣ x 4 + x 7 ⎤⎦ + 2 = ( t + 2 ) ,
где t = x 4 + x 7 . Воспользуемся формулой (1), получим
15
4
(t + 2)
15
15
15
15
= ∑ C15k ⋅ t k ⋅ 215−k ,
k = 15
(8)
(9)
k =0
С общим членом
C15k ⋅ t k ⋅ 215−k .
(10)
Как видно из (10) t k = ( x 4 + x 7 ) , т.е. в tk входят степени х от 4k до 7k. Значит
k
степень 15 может входить только в t3 (k = 3, t3 содержит х от 12 до 21). Найдем t3
t =x
3
12
(1 + x )
3 3
=x
12
3
∑C x
r =0
r
3
3r
,
(11)
если в (11) положить r = 1, то появится член с х15 содержащий множитель C31 .
Возвращаясь в (10), находим, что
C153 ⋅ t 3 ⋅ 212 = C153 ⋅ C31 ⋅ 212 ⋅ x15 .
(12)
15
Следовательно, коэффициент при х равен
C153 ⋅ C31 ⋅ 212 = 5591040 .
6. Решение рекуррентных соотношений.
Рассмотрим однородное линейное рекуррентное соотношение с постоянными
коэффициентами
un+ k + a1un+ k −1 + a2un+ k −2 + … + ak un = 0 ,
(1)
где коэффициенты ai (i = 1..k) не зависят от n. Для того чтобы решить (1), т.е.
найти формулу общего члена un, достаточно отыскать производящую функцию
последовательности {un}. Рассмотрим, как это делается на примерах.
Пример 11. Найти общее решение рекуррентного соотношения un+2 − 4un+1 + 3un = 0 .
Решение. Будем искать решение в виде
un = C ⋅ x n .
(2)
Подставим (2) в наше рекуррентное соотношение, получим
C ⋅ x n+ 2 − 4 ⋅ C ⋅ x n+1 + 3 ⋅ C ⋅ x n = 0
(3)
или
10
которое равно нулю, если
C ⋅ x n ⋅ ( x 2 − 4 ⋅ x + 3) = 0 ,
(4)
C =0
(5)
xn = 0
(6)
или
или
x2 − 4 ⋅ x + 3 = 0 .
(7)
(5) и (6) дают тривиальные решения, поэтому рассмотрим (7). Корни уравнения
(7) равны
x1 = 1, x2 = 3 ,
поэтому общее решение рекуррентного соотношения можно записать в виде
un = C1 ⋅ x1n + C2 ⋅ x2n = C1 + C2 ⋅ 3n .
(8)
Пример 12. Решить однородное рекуррентное соотношение
un+2 − 4un+1 + 3un = 0, u0 = 2, u1 = 1
Решение. Рассмотрим производящую функцию
∞
f u ( x ) = ∑ uk x k .
k =0
(9)
Умножим наше рекуррентное соотношение на xk и просуммируем от нуля до
бесконечности, получим
∞
1 ∞
4 ∞
k +2
k +1
3
u
x
−
u
x
+
uk x k = 0
(10)
∑
∑
k +1
2 ∑ k +2
x k =0
x k =0
k =0
или
∞
1 ∞
4 ∞
k
k
u x − ∑ uk x + 3∑ uk x k = 0 .
(11)
2 ∑ k
x k =2
x k =1
k =0
С учетом (9), (11) можно записать в виде
1
4
f
x
−
u
−
u
⋅
x
−
(12)
(
)
(
)
( f u ( x ) − u0 ) + 3 f u ( x ) = 0
u
0
1
x2
x
и, подставив начальные условия ( u0 и u1 ), выразить отсюда fu(x)
2 − 7x
2 − 7x
fu ( x ) =
=
.
(13)
2
1 − 4 x + 3x
(1 − x )(1 − 3x )
Представим fu(x) в виде суммы простых дробей
A
B
fu ( x ) =
+
(14)
(1 − x ) (1 − 3x )
и найдем коэффициенты А и В из следующей системы
⎧ A+ B = 2
5
1
⇒ A= , B=− .
⎨
2
2
⎩3 A + B = 7
Итак,
11
∞
⎛ 5 − 3k ⎞ k
5
1
5 ∞ k 1 ∞
k
−
= ∑ x − ∑ ( 3x ) = ∑ ⎜
fu ( x ) =
(15)
⎟x
2 (1 − x ) 2 (1 − 3 x ) 2 k =0
2 k =0
2 ⎠
k =0 ⎝
Сравнивая (9) и (15), имеем
5 − 3n
un =
.
(16)
2
Замечание. Решение этого примера можно было получить проще, если
воспользоваться методом изложенным в предыдущей задаче (но проще не значит
лучше, см. пример 14).
Пример 13. Решить однородное рекуррентное соотношение
un+3 + 2un+ 2 − 5un+1 − 6un = 0, u0 = 0, u1 = 1, u2 = 2
Решение. Идея метода решения та же самая, что и в предыдущем примере, поэтому
сразу запишем кубическое уравнение
x3 + 2 x 2 − 5 x − 6 = 0 .
(17)
Его корни
x1 = −1, x2 = 2, x1 = −3 .
Следовательно, общее решение запишется в виде
n
n
un = C1 ⋅ x1n + C2 ⋅ x2n + C3 ⋅ x3n = C1 ( −1) + C2 ⋅ 2n + C3 ⋅ ( −3) .
Воспользуемся начальными условиями для un и составим систему уравнений
⎧ C1 + C2 + C3 = 0
⎪
(18)
⎨−C1 + 2C2 − 3C3 = 1 .
⎪
⎩ C1 + 4C2 + 9C3 = 2
Решив (18) найдем, что
1
2
1
C1 = − , C2 = , C3 = .
2
5
10
Тогда
n
n +1
n +1
−1)
( −3)
(
2
+
+
.
un =
2
5
10
Пример 14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
an+ 2 − 3an+1 + 2an = ( −1) , a0 = 1, a1 = 2
Решение. Как и в теории линейных дифференциальных уравнений, общее решение
неоднородных рекуррентных соотношений есть сумма частного решения
неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного
уравнения. Общих способов определения частного решения нет. Для нахождения
общего решения можно лишь рекомендовать воспользоваться методом,
изложенным в примере 12.
Итак,
∞
∞
1 ∞
3 ∞
k k
k +2
k +1
k
2
1
u
x
−
u
x
+
u
x
=
−
x .
(
)
∑
∑
∑
∑
k
k
k
+
+
2
1
x 2 k =0
x k =0
k =0
k =0
n
12
После несложных математических расчетов и подстановки начальных условий,
найдем
1
1
A
B
C
.
=
=
+
+
fu ( x ) =
(1 + x ) (1 − 3x + 2 x 2 ) (1 + x )(1 − x )(1 − 2 x ) (1 + x ) (1 − x ) (1 − 2 x )
Из системы
⎧ A + B + C =1
1
1
4
⎪
⎨ −3 A − B = 0 ⇒ A = , B = − , C = .
6
2
3
⎪2 A − 2 B − C = 0
⎩
1
1
4
1 ∞
1 ∞ k 4 ∞ k k
k k
fu ( x ) =
−
+
= ∑ ( −1) x − ∑ x + ∑ 2 x
6 (1 + x ) 2 (1 − x ) 3 (1 − 2 x ) 6 k =0
2 k =0
3 k =0
∞
fu ( x ) = ∑
(( −1)
k
+ 2 k +3 − 3
6
k =0
Отсюда
an
( −1)
(
=
n
+ 2n +3 − 3
6
)x .
k
).
Пример 15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧ an+1 = 3an + bn
, a1 = 14, b1 = −6
(19)
⎨
⎩bn+1 = −an + bn
Решение. Запишем первое рекуррентное соотношение в виде
an+ 2 = 3an+1 + bn+1 .
(20)
Вычтем из второго первое уравнение системы (19), получим
(21)
bn+1 = an+1 − 4an .
Подставим в (20) уравнение (21) и найдем, что
an+ 2 − 4an+1 + 4an = 0 .
(22)
Получили линейное однородное рекуррентное соотношение. Для его решения,
составим характеристическое уравнение
x2 − 4 x + 4 = 0 ,
(23)
корни которого x1,2 = 2 . Тогда решение для an в общем виде выглядит
an = ( C1 + n ⋅ C2 ) x n = ( C1 + n ⋅ C2 ) 2n .
(24)
Чтобы найти C1 , C2 воспользуемся начальными условиями задачи, но как видно
нам понадобится ещё одно начальное значение, скажем а2. Найти а2 можно из
первого уравнения системы (19): a2 = 3a1 + b1 = 3 ⋅ 14 − 6 = 36 . Теперь определим
C1 , C2 из системы уравнений
⎧⎪ ( C1 + 1 ⋅ C2 ) 21 = a1
⎧ C1 + C2 = 7
,
, ⇒ C1 = 5, C2 = 2
⎨
⎨
2
⎪⎩( C1 + 2 ⋅ C2 ) 2 = a2 ⎩C1 + 2 ⋅ C2 = 9
Следовательно
13
(25)
an = ( 5 + 2 ⋅ n ) 2n .
Решение для bn найдем, выразив его из первого уравнения системы (19)
bn = an+1 − 3an = ( 5 + 2 ⋅ ( n + 1) ) 2n+1 − 3 ⋅ ( 5 + 2 ⋅ n ) 2n = − (1 + 2 ⋅ n ) 2n .
(26)
(27)
7. Асимптотика.
Для оценки роста функций пользуются асимптотическими методами, причем
важными здесь становятся такие понятия как О (о большое), о (о малое) и ~
(асимптотическое равенство). Определим их следующим образом. Пусть даны
действительные функции f(x) и g(x).
f ( x) = O ( g ( x )) , x ∈ X
(1)
если существует такая константа С (С > 0), что f ( x) ≤ C g ( x) для x ∈ X .
f ( x) = o( g ( x)) , при x → a ,
(2)
f ( x)
если lim
= 0.
x →a g ( x )
f ( x) ∼ g ( x), при x → a ,
(3)
если f ( x) = g ( x) + o( g ( x)), при x → a .
Используем асимптотику для решения некоторых задач.
Пусть дана производящая функция последовательности un
P( x)
f u ( x) =
,
(4)
Q( x)
где P(x), Q(x) – многочлены с действительными коэффициентами. Предположим,
что λ1 – наименьший по абсолютной величине корень многочлена Q(x). Допустим
также, что он простой. Найдем асимптотическое решение, описывающее
последовательность un. Разложим fu ( x) на простые дроби
C1
C2
Cn
fu ( x) =
+
+…+
+ g ( x) ,
(5)
λ1 − x λ 2 − x
λn − x
где g(x) – многочлен. Для нахождения коэффициента С1 умножим f u ( x) на
( λ1 − x ) . Тогда
( λ1 − x ) fu ( x) =
−P ( x)
.
( x − λ2 ) ⋅… ⋅ ( x − λn )
(6)
Из (5) и (6) при x = λ1 находим, что
− P ( λ1 )
.
(7)
Q′ ( λ1 )
Аналогично можно вычислить и остальные коэффициенты Сi. Рассмотрим дробь
C1 =
k
⎛ x⎞
= ∑⎜ ⎟ .
⎛
x ⎞ k =0 ⎝ λ i ⎠
1
−
⎜
⎟
⎝ λi ⎠
С учетом (8) перепишем (5), тогда
∞
1
14
(8)
k
Ci ∞ ⎛ x ⎞
fu ( x) = ∑ ∑ ⎜ ⎟ + g ( x ) .
i =1 λ i k = 0 ⎝ λ i ⎠
n
При n → ∞ имеем
(9)
P ( λ1 ) −( n+1)
C1
C
C
C
.
(10)
+ n2+1 + … + nn+1 ∼ n1+1 = −
λ1
n +1
Q′ ( λ1 )
λ1
λ2
λn
λ1
В случае, если λ1 единственный корень Q(x) кратности m, причем Р(x) имеет
степень меньшую, чем Q(x) и λ1 не является корнем Р(x), то
un ∼
m −1
P ( x ) = ∑ Ci x i , Q ( x ) = ( x − λ1 ) ,
m
(11)
i =0
-1
а разложение Q (x) в ряд будет иметь вид
Q
−1
( x ) = ( −1)
m
−m
1
λ
⎛
x⎞
⎜1 − ⎟
⎝ λ1 ⎠
−m
⎛ 1⎞
= ⎜− ⎟
⎝ λ1 ⎠
m
k
⎛ x⎞
C ⎜ ⎟ .
∑
k =0
⎝ λ1 ⎠
∞
k
−m
(12)
Учитывая (11) и (12), получим
P( x) ⎛ 1 ⎞
fu ( x ) =
= ⎜− ⎟
Q ( x ) ⎝ λ1 ⎠
m
⎛ x⎞
∑
⎜ ⎟
k = 0 ⎝ λ1 ⎠
∞
k
m −1
∑ C ⋅C
i
i =0
k −i
−m
⋅ λ1i .
(13)
Следовательно
un = ( −1) λ1
m
−( m + k )
m −1
∑ C ⋅C
i =0
Если
n
fu ( x ) = P ( x ) + ∑
k =1
i
k −i
−m
⋅ λ1i .
(14)
,
(15)
Pk ( x )
( x − λk )
mk
где Pk(x) – многочлен степени меньше mk. Из (15) следует, что un, будет
определятся, как коэффициент при xn в разложении дроби
P1 ( x )
,
(16)
m1
( x − λ1 )
т.е. следует вернутся к (11) – (14).
В асимптотических задачах часто бывает полезна и так называемая формула
Стирлинга, которая имеет вид
n! ∼ 2πn ⋅ n n ⋅ e − n .
(17)
⎛n⎞
Пример 16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику Cnk = ⎜ ⎟ .
⎝k ⎠
Решение. Вспомним факториальное представление биномиального коэффициента
n!
Cnk =
.
(18)
k !( n − k )!
Подставим в (18) выражение (17) и после сокращений получим
15
n
nn
.
C ∼
2πk ( n − k ) k k ( n − k )n−k
k
n
Пример 17. Справедливо ли неравенство ( 2n )
n−2
(19)
≤ ( 2n )! ≤ ( n ( n + 1) ) .
n
Решение. Будем исходить из очевидного неравенства
2
2n + 1 ⎞
( m + 1)( 2n − m ) ≤ ⎛⎜
⎟ , 1≤ m < n,
⎝ 2 ⎠
которое является следствием более общего неравенства Коши
( x1 + x2 + … + xn ) .
n x ⋅ x ⋅… ⋅ x ≤
1
2
n
n
Учитывая, что
2
1
⎛ 2n + 1 ⎞
2
⎜
⎟ = n + n + ∼ n ( n + 1)
4
⎝ 2 ⎠
(20) можно записать в виде
( m + 1)( 2n − m ) ≤ n ( n + 1) .
Рассмотрим
n−2
∏ 2n = ( 2n )
n−2
(20)
(21)
n−2
и
m =1
∏ ( m + 1)( 2n − m ) ≤ ( 2n )!,
(22)
m =1
т.к.
n−2
( 2n )! = n ( n + 1) ∏ ( m + 1)( 2n − m ) < ( n ( n + 1) )
n
.
(23)
m =1
Тогда из (22) и (23) с учетом (21) следует
( 2n )
n−2
≤ ( 2n )! ≤ ( n ( n + 1) ) .
n
Пример 18. A(х) – производящая функция последовательности an.
асимптотическое поведение an, при n → ∞.
x +1
A( x) = 2
2 x − 3x + 1
Решение. Исходя из (4) имеем
Q ( x ) = 2 x 2 − 3 x + 1, P ( x ) = 1 + x .
Q(x) имеет корни
1
λ1 = , λ 2 = 1 .
2
Как видим, наименьший по абсолютной величине корень λ1. Вычислим
производную Q(x) и подставим в (10), найдем
1
−( n +1)
+
1
P ( λ1 ) −( n+1)
⎛1⎞
2
an ∼ −
λ1
=−
= 3 ⋅ 2n .
⎜
⎟
1
Q′ ( λ1 )
4⋅ − 3⎝ 2 ⎠
2
16
(24)
Найти
(25)
(26)
Пример 19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям
найти асимптотическое поведение an при n → ∞.
an+ 2 + 3an+1 + 2an = 0, a0 = 1, a1 = 2
(27)
Решение. Найдем производящую функцию последовательности из нашего
∞
рекуррентного соотношения. Пусть f a ( x ) = ∑ ak x k . Просуммируем (27), получим
k =0
⎡⎣ f a ( x ) − a1 x − a0 ⎤⎦ + 3 x ⎡⎣ f a ( x ) − a0 ⎤⎦ + 2 x 2 f a ( x ) = 0
или с учетом начальных условий ( a0 = 1, a1 = 2 ), имеем
1 + 5x
fa ( x ) = 2
.
(28)
2 x + 3x + 1
1
Корни знаменателя равны λ1 = − , λ 2 = −1 . Подставляя в (10) λ1 (наименьший по
2
абсолютной величине корень), находим
⎛ 1⎞
1 + 5⎜ − ⎟
−( n +1)
n
2⎠ ⎛ 1⎞
⎝
an ∼ −
(29)
− ⎟
= −3 ⋅ ( −2 )
⎜
2
⎛ 1⎞
⎠
4⎜ − ⎟ + 3 ⎝
⎝ 2⎠
8. Метод включения и исключения.
Некоторые задачи комбинаторного анализа сводятся напрямую к
вычислению числа решений с помощью известных и простых комбинаторных
конфигураций (сочетания, перестановки). Но встречаются и такие задачи, в
которых требуется рассмотреть проблему о возможности или невозможности
осуществления требуемых выборок или расположения элементов. Сущность
метода включения и исключения фактически заключается в том, что исходное
конечное множество можно разбить на подмножества (или объединить) в
зависимости от того, обладают ли их элементы определенной совокупностью
свойств или нет.
Пусть имеются множества А1, А2, …, Аk, и известно количество элементов в
каждом из множеств, которые обозначим N(А1), N(А2), …, N(Аk) соответственно,
тогда справедлива следующая формула (известная больше как формула
включения и исключения)
N ( A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ak ) = N ( A1 ) + N ( A2 ) + … + N ( Ak ) − ⎡⎣ N ( A1 ∩ A2 ) + (1)
N ( A1 ∩ A3 ) + … + N ( Ak −1 ∩ Ak ) ⎤⎦ + … + ( −1)
k −1
N ( A1 ∩ A2 ∩ … ∩ Ak ) .
Если в задаче требуется найти совокупность элементов обладающих точно r
свойствами из k возможных свойств, то она равна
k
N k ( r ) = ∑ ( −1) Cir N ( i ) ,
i −r
i=r
где N(i) – число элементов, удовлетворяющее i – му количеству свойств.
Пример 20. Задача на метод включения и исключения.
17
(2)
В одном из клубов города N собрались любители шахмат, шашек и нард, причем
каждый из них играет хотя бы в одну игру. Во время разговора выяснилось, что
6 – играют в шахматы, 6 – в шашки, 7 – в нарды, 4 – в шахматы и шашки,3 – в
шашки и нарды, 2 – в нарды и шахматы, а 1 – играет во все игры. Сколько человек
собралось в клубе? Сколько из них играет ровно в две игры?
Решение. Первоначально определим множества А, В, С (k = 3). Обозначающие тот
факт, что люди в клубе играют А – в шахматы, В – в шашки, С – в нарды. Тогда
N(А) = 6, N(В) = 6, N(С) = 7, N(А∩В) = 4, N(В∩С) = 3, N(С∩А) = 2 N(А∩В∩С) = 1.
Поскольку в клубе нет людей, которые не играют хотя бы в одну игру, то для
ответа на первый вопрос воспользуемся выражением (1), получим
N ( A ∪ B ∪ C ) = N ( A) + N ( B ) + N (C ) − N ( A ∩ B ) − N ( B ∩ C ) − N ( A ∩ C ) +
+ N ( A ∩ B ∩ C ) = 6 + 6 + 7 − 4 − 3 − 2 + 1 = 19 − 9 + 1 = 11 .
Найдем количество людей играющих ровно в две игры. Для этого воспользуемся
(2), причем r = 2
3
N 3 ( 2 ) = ∑ ( −1)
i =2
i −2
Ci2 N ( i ) = C22 N ( 2 ) − C32 N ( 3) .
Осталось найти количество людей играющих хотя бы в две игры
N ( 2 ) = N ( A ∩ B) + N ( B ∩ C ) + N ( A ∩ C ) = 4 + 3 + 2 = 9
и в три
N ( 3) = N ( A ∩ B ∩ C ) = 1 .
Подставим (4) и (5) в (3)
N3 ( 2 ) = C22 ⋅ 9 − C32 ⋅ 1 = 1 ⋅ 9 − 3 ⋅ 1 = 6 .
18
(3)
(4)
(5)
(6)
Варианты индивидуальных заданий
Вариант №1
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1) ( 2k + 1)( k − 1)
k
k =0
2. Используя
соотношение
метод
суммирующего множителя, решить
(n + 2) Dn = (n + 3) Dn−1 + n + 3,
D0 = 1
рекуррентное
3⎫
⎧ 10
Найти производящую функцию следующей последовательности ⎨
+ k⎬
⎩k +1 2 ⎭
4. Найти производящую функцию следующей последовательности
an = sin(2n)cos(3n) + sin(3n)cos(2n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
2
⎛1+ x ⎞
f a ( x ) = ln ⎜
производящей
⎟
⎝1− x ⎠
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
f a ( x ) = sin 2 ( 3 x )
производящей
3.
7.
Найти кратную сумму
n +1 n − k − 2
∑∑
k =1
8.
Найти сумму
n
j =1
∑ ( 3k
2
k =0
9.
Найти сумму
j +1
k
+ 2k + 1) Cnk
Cnk −1
∑
k =1 k ( k + 1)
n
10. Найти коэффициент при tk в разложении
(3 − t
2
+ t4 ) , k = 7
10
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения 3un+ 2 + un+1 − 2un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
4un+ 2 + un+1 + 3un = 0, u0 = −4, u1 = −2
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
U n+3 − U n +2 − U n+1 + U n = 0, U 0 = 0, U1 = 2, U 2 = 4
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
6an+ 2 = 5an+1 − an − 6, a0 = 0, a1 = 1
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧an+1 = 2an + 4bn
, a1 = 1, b1 = 2
⎨
⎩ bn+1 = 2an + 3bn
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику (2n − 1)!!
a = n n / 2 , b = n!
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t +3
A(t ) = 2
поведение an, при n → ∞
t +t −2
19
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
un+2 + 2un+1 − 3un = 0, u0 = 1, u1 = 2
асимптотическое поведение un, при n → ∞
20. Задача на метод включения и исключения.
В НИИ «Проблемы информатики и кибернетики» работает 83 человека; 32 из них
знают английский, 27 – немецкий, 22 – французский, 17 – английский и
французский, 16 – английский и немецкий, 12 – французский и немецкий, 9 – все
три языка. Необходимо определить, сколько человек не знают ни одного языка.
Вариант №2
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
k +1
( k − 3)( k + 1)
k =0
2. Используя метод суммирующего множителя, решить рекуррентное
соотношение
(n + 1) Dn = (n + 2) Dn−1 + n 2 + n,
D0 = 0
3. Найти производящую функцию следующей последовательности
⎧⎪ 5
⎫
k +3 ⎪
−
8
⎨
⎬
⎪⎩ ( k + 2 )!
⎪⎭
4. Найти производящую функцию следующей последовательности
an = cos 2 (2n) − sin 2 (2n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
2
fa ( x ) = 2x
производящей
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
производящей
f a ( x ) = cos3 ( 3x )
7.
Найти кратную сумму
n −1 n − k −1
∑∑
k =1
8.
Найти сумму
n
j =1
∑ ( 2k
2
k =0
9.
Найти сумму
2 j +1
k
− 3k + 1) Cnk
( −1) Cnk −2
∑
k = 2 k ( k − 1)
k
n +1
10. Найти коэффициент при tk в разложении
( 2 − 2t
3
+ t 4 ) , k = 10
12
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения
3un+ 2 + un+1 − 2un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
4un+ 2 − un+1 − 3un = 0, u0 = 4, u1 = −1
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
3U n+3 − 7U n +2 + 5U n+1 − U n = 0, U 0 = 0, U1 = 1, U 2 = 2
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
n
3an+ 2 = 7 an+1 − 2an + 6 ( −1) , a0 = 0, a1 = 2
20
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧ an+1 = −3an
, a1 = −1, b1 = 2
⎨
−
=
+
2
2
b
a
b
1
n
+
n
n
⎩
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику
⎛ 2n ⎞
⎜n⎟
⎝ ⎠
n
⎛ n +1⎞
a=⎜
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
⎟ , b = n!
⎝ 2 ⎠
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t −3
A(t ) = 2
поведение an, при n → ∞
t + 5t + 6
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое поведение un, при n → ∞
3un+ 2 + 7un+1 + 2un = 0, u0 = −1, u1 = 2
20. Задача на метод включения и исключения.
По результатам исследования рейтинга телевизионных передач, проведенного
одним известным журналом, оказалось, что из 100 % телезрителей 56 %
предпочитают смотреть сериалы, 14 % – соц.-полит. программы, 12 % –
развлекательные передачи, 25 % – сериалы и соц.-полит. программы, 23 % –
сериалы и развлекательные передачи, 13 % – развлекательные передачи и соц.полит. программы, 10 % – сериалы, соц.-полит. программы и развлекательные
передачи. Сколько процентов телезрителей смотрит передачи других жанров?
Вариант №3
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
k +2
( 2k − 3)( k + 1)
k =0
множителя, решить рекуррентное
n 2 + 7 n + 12
(n + 3) Dn = (n + 4) Dn−1 +
,
D0 = 1
соотношение
n+2
3. Найти производящую функцию следующей последовательности
⎧ 4k
⎫
+ 3⎬ , k ≥ 4
⎨
⎩k − 3 ⎭
4. Найти производящую функцию следующей последовательности
an = sin(3n)cos(3n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
2
f a ( x ) = e −2 x
производящей
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
производящей
f a ( x ) = cos ( 7 x )
2.
7.
Используя
метод
суммирующего
Найти кратную сумму
n n + k −1
∑ ∑ 2k + j
k =1
j =1
21
8.
n
∑ ( 3k
Найти сумму
2
k =0
9.
− 2k − 1) Cnk
Cnk
∑
2
k =0 k + 3k + 2
n
Найти сумму
10. Найти коэффициент при tk в разложении
( 4 + 3t
5
+ 2t 3 ) , k = 11
14
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения
4un+ 2 + 3un+1 − un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
un+2 − 6un+1 + 8un = 0, u0 = 5, u1 = −2
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
U n+3 − 4U n +2 − 3U n+1 + 18U n = 0, U 0 = 1, U1 = 2, U 2 = 3
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
−6an+ 2 = an+1 − an + 3n 2 , a0 = 0, a1 = 2
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧ an+1 = − an − 3bn
, a1 = −2, b1 = 1
⎨
−
=
+
3
2
6
b
a
b
n
n
⎩ n+1
( 2n )!!
( 2n − 1)!!
2n
Верно ли, что а асимптотически больше b? a = ( n + 1) , b = ( 4n )!
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику
17.
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t−4
A(t ) = 2
поведение an, при n → ∞
t + 3t + 1
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое
поведение
un,
при
n→∞
un+2 + un+1 − 6un = 0, u0 = 1, u1 = −2
20. Задача на метод включения и исключения.
В комнате находилось несколько женщин, каждая из которых использовала
какую-либо косметику. На вопрос одного любопытного журналиста, косметику
каких фирм вы предпочитаете, они ответили следующим образом: 7 из низ
используют vichy, 5 – l′oreal, 6 – nivea, 5 – vichy и l′oreal, 4 – vichy и nivea, 3 –
l′oreal и nivea, 2 – vichy, l′oreal и nivea. Сколько же было женщин в комнате?
Вариант №4
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
2 k +1
( k + 2 )( k + 1)
k =0
2. Используя
соотношение
3.
метод
суммирующего множителя, решить
(n + 1) Dn = (n + 3) Dn−1 + n 2 + 4n + 3,
D0 = 2
рекуррентное
⎧ 2k + 4
⎫
Найти производящую функцию следующей последовательности ⎨
− 5k ⎬
⎩ k!
⎭
22
4.
Найти производящую функцию следующей последовательности
an = 1 − 2sin 2 (2n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
3
f a ( x ) = ln ( 5 − x )
производящей
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
f a ( x ) = sin ( 2 x 2 )
производящей
7.
Найти кратную сумму
n −1 n − k
∑∑
k =1 j =1
8.
Найти сумму
n
∑(k
k =0
9.
Найти сумму
2
j +1
2k
− 3k + 2 ) Cnk
Cnk +1
∑
k =0 ( k + 2 )( k + 3 )
n −1
10. Найти коэффициент при tk в разложении
( 3 + 4t
2
+ t 3 ) , k = 13
8
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения
2un+ 2 + un+1 − 3un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
un+2 − 2un+1 − 8un = 0, u0 = −3, u1 = −2
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
12U n+3 − 8U n +2 − U n+1 + U n = 0, U 0 = 0, U1 = 1, U 2 = 2
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
3
−6an+ 2 = −an+1 − an + , a0 = 0, a1 = 1
2
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧2an+1 = 2an + 3bn
, a1 = −1, b1 = 1
⎨
=
+
2
2
b
a
b
n
n
⎩ n+1
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику (2n)!!
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
n
n
⎛ 1⎞
⎛ 3n + 1 ⎞
a = ⎜1 + ⎟ , b = ⎜
⎟
⎝ n⎠
⎝ n ⎠
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
2t + 3
A(t ) = 2
поведение an, при n → ∞
2t − 3t − 2
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое
поведение
un,
при
n→∞
3 un+2 + 4un+1 + un = 0, u0 = 3, u1 = 4
20. Задача на метод включения и исключения.
В докладе декана одного из факультетов (о прошедшей экзаменационной сессии)
сообщалось, что из 223 студентов сдававших экзамены, 125 – сдали математику,
23
115 – физику, 120 – химию, 45 – математику и физику, 37 – математику и химию,
29 – физику и химию, 23 – математику, физику и химию, а студентов, не сдавших
ни одного экзамена, нет. После доклада декан был уволен. Почему?
Вариант №5
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
2 k −1
( 3k + 2 )( k − 1)
k =0
множителя, решить рекуррентное
n + n2
nDn = (n + 1) Dn−1 +
D0 = 0
,
соотношение
n+2
3. Найти производящую функцию следующей последовательности
{2 k 2 + 6 k }
2.
Используя
метод
суммирующего
Найти производящую функцию следующей последовательности
an = 3sin(3n) − 4sin 3 (3n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
2
производящей
f a ( x ) = 3x −1
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
производящей
f a ( x ) = 1 − cos ( 5 x )
4.
7.
Найти кратную сумму
n + 2 n + k −1
∑∑
k =1
8.
Найти сумму
n
j =1
∑ ( 5k
2
k =0
9.
Найти сумму
j −1
k
+ 2k − 1) Cnk
Cnk +3
∑
k =0 ( k + 4 )( k + 5 )
n −3
10. Найти коэффициент при tk в разложении
( 2 − 4t
6
+ t4 ) , k = 9
9
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения
un+2 + 6un+1 + 8un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
un+2 + 2un+1 − 8un = 0, u0 = −1, u1 = −5
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
U n+3 − 2U n +2 − 15U n+1 + 36U n = 0, U 0 = 1, U1 = 2, U 2 = 2
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
3an+ 2 = 4an+1 − an + 2n+1 , a0 = 1, a1 = 1
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧2an+1 = −4an − 9bn
, a1 = 7, b1 = −10
⎨
=
+
3
3.1
b
a
b
n
n
⎩ n+1
24
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику
n!
⎛⎛ n ⎞ ⎞
⎜ ⎜ 3 ⎟!⎟
⎝⎝ ⎠ ⎠
3
n
⎛n⎞
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
a = ⎜ ⎟ , b = n!
⎝3⎠
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t −1
поведение an, при n → ∞
A(t ) = 2
2t + t − 1
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
2un+ 2 − un+1 − un = 0, u0 = 0, u1 = 2
асимптотическое поведение un, при n → ∞
20. Задача на метод включения и исключения.
В федеральной таможенной службе работает 112 человек; 41 из них знают хотя
бы английский, 32 – немецкий, 29 – французский, 19 – английский и французский,
16 – английский и немецкий, 10 – французский и немецкий, 5 – все три языка.
Необходимо определить, сколько человек знают ровно два языка?
Вариант №6
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
2 k +3
( k + 2 )( k − 1)
k =0
2. Используя метод суммирующего множителя, решить рекуррентное
(n + 2) Dn = (n + 4) Dn−1 + n 2 + 7 n + 12,
D0 = 1
соотношение
3. Найти производящую функцию следующей последовательности
{( k + 2 ) 3k −1 − 7}
4.
Найти производящую функцию следующей последовательности
an = cos(3n)cos(2n) − sin(2n)sin(3n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
3
f a ( x ) = e4 x
производящей
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
производящей
f a ( x ) = sh 2 ( 2 x )
7.
Найти кратную сумму
n +3 n − k + 2
∑∑
k =1
8.
Найти сумму
n
j =1
∑ ( 2k
2
k =0
9.
Найти сумму
3 j +1
k
+ 3k − 2 ) Cnk
( −1) Cnk −1
∑
k =1 k ( k + 1)
k
n
10. Найти коэффициент при tk в разложении
( 3 − 5t
7
+ t 5 ) , k = 16
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения
un+2 + 2un+1 − 3un = 0
25
13
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
un+2 − 5un+1 + 6un = 0, u0 = −2, u1 = 6
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
18U n+3 − 9U n +2 − 2U n+1 + U n = 0, U 0 = 0, U1 = 2, U 2 = 3
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
n
2an+ 2 = 3an+1 − an + ( −2 ) , a0 = 1, a1 = 1
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧an+1 = −2an − 20bn
, a1 = 14, b1 = −4
⎨
⎩ 4bn+1 = −6an + 3bn
( 2 n )!
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику
( 2n − 1)!!
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
⎛ n ( n + 1) ⎞
2
a=⎜
⎟ , b = ( n!)
2 ⎠
⎝
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
2t + 3
поведение an, при n → ∞
A(t ) = 2
3t + t − 2
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое поведение un, при n → ∞
2un+ 2 + un+1 − 6un = 0, u0 = −1, u1 = 3
20. Задача на метод включения и исключения.
В 108 микропроцессорной ЭВМ, решающей очень важную задачу, 23
микропроцессора обрабатывают текстовую информацию, 19 графическую, 17
символьную, 12 микропроцессоров одновременно обрабатывают графическую и
текстовую, 7 текстовую и символьную, 5 графическую и символьную, а часть
микропроцессоров одновременно обрабатывают графическую, текстовую и
символьную информацию. Сколько микропроцессоров является универсальными,
если при решении задачи не задействованы 72 микропроцессора?
n
Вариант №7
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
2 k −3
( 2k + 3)( k + 1)
k =0
2. Используя
соотношение
3.
4.
метод
суммирующего множителя, решить
(n + 3) Dn = (n + 1) Dn−1 + 3,
D0 = 2
рекуррентное
5⎫
⎧
Найти производящую функцию следующей последовательности ⎨k − 6 + k ⎬
3 ⎭
⎩
Найти производящую функцию следующей последовательности
2tg (2n)
an =
1 + tg 2 (2n)
26
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
2
f a ( x ) = ln ( 4 − x )
производящей
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
f a ( x ) = ch ( 8 x ) − 1
производящей
7.
Найти кратную сумму
n n−k −2
∑ ∑ 3k + j − 1
k =1
8.
n
j =1
Найти сумму
∑ ( 4k
Найти сумму
Cnk + 2
∑
k =0 ( k + 3 )( k + 4 )
2
k =0
9.
− 3k + 1) Cnk
n −2
10. Найти коэффициент при tk в разложении
(1 + 2t
5
+ t 9 ) , k = 16
11
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения
3un+ 2 + 7un+1 + 2un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
un+2 − un+1 − 12un = 0, u0 = 10, u1 = −2
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
10U n+3 − 7U n +2 − 4U n+1 + U n = 0, U 0 = 0, U1 = 1, U 2 = 3
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
2an+2 = 5an+1 − 3an − 2 + 3n, a0 = 0, a1 = 1
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧an+1 = −6an − 146bn
, a1 = 14, b1 = −1
⎨
⎩ 3bn+1 = −an − 29bn
формулу
Стирлинга,
найти
асимптотику
16. Используя
( m + 1)( m + 2 )…( m + n )
( k + 1)( k + 2 )…( m + k )
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
n( n +1)
2
⎛ 2n + 1 ⎞
b=⎜
⎟
⎝ 3 ⎠
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t−2
поведение an, при n → ∞
A(t ) = 2
4t + 3t − 1
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое
поведение
un,
при
n→∞
4un+ 2 + 7un+1 + 3un = 0, u0 = 4, u1 = 2
20. Задача на метод включения и исключения.
На японском автомобильном заводе «Toyota» работает 90 роботов, 51 занимаются
сварочной работой (СР), 27 закручивают болты (ЗБ), 32 штампуют детали (ШД),
17 роботов одновременно занимаются СР и ШД, 10 – СР и ЗБ , 6 – ЗБ и ШД, а 5 –
a = 1 ⋅ 22 ⋅ … ⋅ n n ,
27
одновременно занимаются СР, ШД и ЗБ. Сколько роботов не задействовано на
заводе?
Вариант №8
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
k −1
( 2k + 1)( k + 2 )
k =0
2. Используя метод суммирующего множителя, решить рекуррентное
соотношение
(n + 4) Dn = (n + 2) Dn−1 + 2,
D0 = 0
3. Найти производящую функцию следующей последовательности
⎧⎪ 8
4 ⎫⎪
+
⎨
⎬, k ≥ 3
⎪⎩ k − 2 ( k + 1)!⎪⎭
Найти производящую функцию следующей последовательности
an = sin(3n)cos(4n) − sin(4n)cos(3n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
3
f a ( x ) = 5 x −2
производящей
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
производящей
f a ( x ) = ch ( 5 x )
4.
7.
Найти кратную сумму
n −1 n − k + 2
∑∑
k =1
8.
Найти сумму
n
j =1
∑ ( 3k
2
k =0
9.
Найти сумму
2j −3
k
+ 4k − 1) Cnk
( −1)
k
Cnk
∑
2
k =0 k + 3k + 2
n
10. Найти коэффициент при tk в разложении
( 3 + 2t
3
+ t 5 ) , k = 13
14
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения
un+2 + un+1 − 6un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
un+2 + un+1 − 2un = 0, u0 = 3, u1 = 1
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
6U n+3 − 5U n +2 − 2U n+1 + U n = 0, U 0 = 0, U1 = 1, U 2 = 4
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
n +1
9an+ 2 = 9an+1 − 2an + ( −1) , a0 = 0, a1 = 2
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧ an+1 = −6an − 5.2bn
, a1 = 4, b1 = −5
⎨
=
−
+
3
b
a
10.6
b
n
n
⎩ n+1
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику
28
⎛ 3n ⎞
⎜ 2n ⎟
⎝ ⎠
( 2n − 1)!! ,
( 2n )!!
1
3n + 1
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t +1
поведение an, при n → ∞
A(t ) = 2
2t + t − 3
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
при
n→∞
асимптотическое
поведение
un,
4un+ 2 + un+1 − 3un = 0, u0 = 3, u1 = −2
20. Задача на метод включения и исключения.
Сколько студентов первого курса физико-математического факультета ЕГПУ
изучают по свободному учебному плану три дисциплины? Если известно, что 19
студентов изучают физику, 17 – информатику, 11 – английский язык , 10 – физику
и английский язык, 7 – физику и информатику, 5 – информатику и английский
язык, а 175 студентов обучаются по типовому плану. Всего студентов первого
курса 200 человек.
17. Верно ли, что а асимптотически больше b? a =
b=
Вариант №9
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
k −2
( 2k − 1)( k + 1)
k =0
2. Используя метод суммирующего множителя, решить рекуррентное
соотношение
(n + 5) Dn = (n + 3) Dn−1 + 10,
D0 = 1
3. Найти производящую функцию следующей последовательности
1⎫
⎧
⎨10 ( k + 7 ) − k ⎬
5 ⎭
⎩
4. Найти производящую функцию следующей последовательности
1 − cos(4n)
an =
2
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
3
f a ( x ) = e− x
производящей
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
производящей
f a ( x ) = sh ( 3 x 2 )
7.
Найти кратную сумму
n −3 n − k − 2
∑∑
k =1
8.
Найти сумму
n
j =1
∑ ( 7k
2
k =0
9.
Найти сумму
j−2
k
− 5k + 2 ) Cnk
( −1) Cnk +1
∑
k =0 ( k + 2 )( k + 3 )
k
n −1
10. Найти коэффициент при tk в разложении
29
(3 + t
4
− 3t 7 ) , k = 14
12
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения
3 un+2 + 4un+1 + un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
un+2 + 5un+1 + 6un = 0, u0 = 3, u1 = −5
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
12U n+3 − 16U n +2 + 7U n+1 − U n = 0, U 0 = 0, U1 = 1, U 2 = 2
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
2
12an+ 2 = 7 an+1 − an + ( n + 1) , a0 = 1, a1 = 0
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧ an+1 = −6an − 2bn
, a1 = 2, b1 = −5
⎨
=
−
+
3
b
a
11
b
n
n
⎩ n+1
( 2 n )!
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику
n!
n
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
a = n , b = ( 2n − 1)!!
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t +3
поведение an, при n → ∞
A(t ) = 2
t + 6t + 8
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое
поведение
un,
при
n→∞
4un+ 2 + un+1 + 3un = 0, u0 = −1, u1 = −2
20. Задача на метод включения и исключения.
На физико-математическом факультете ЕГПУ 450 студентов второго курса
сдавали осеннюю сессию. Из них 190 сдали математику, 170 физику, 180
программирование, 53 студента сдали математику и физику, 46 математику и
программирование, 41 физику и программирование, 14 сдали математику, физику,
программирование. Сколько студентов «провалили» сессию (не сдали 3
экзамена)?
Вариант №10
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
k −3
( k − 3)( k + 1)
k =0
2.
Используя
метод
суммирующего
множителя,
решить
2
(n + 2) Dn = nDn−1 + ,
D0 = 2
n
Найти производящую функцию следующей последовательности
⎧⎪ 7
⎫
k⎪
−
9
⎨
⎬
⎪⎩ ( k + 6 )!
⎭⎪
соотношение
3.
4.
Найти производящую функцию следующей последовательности
an = 2cos 2 (3n) − 1
30
рекуррентное
5.
Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
3
⎛1− x ⎞
производящей
f a ( x ) = ln ⎜
⎟
⎝1+ x ⎠
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
производящей
f a ( x ) = 4cos3 ( 2 x )
7.
Найти кратную сумму
n n − k +1
∑∑
k =1
8.
Найти сумму
n
j =1
∑ ( 2k
2
k =0
9.
Найти сумму
3 j −1
k
− 4k + 1) Cnk
( −1) Cnk +3
∑
k =0 ( k + 4 )( k + 5 )
k
n −3
10. Найти коэффициент при tk в разложении
(4 − t
3
+ 2t 7 ) , k = 14
13
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения 2un+ 2 − un+1 − un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
un+2 + 3un+1 + un = 0, u0 = 6, u1 = 2
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
U n+3 + U n +2 − 5U n+1 + 3U n = 0, U 0 = 1, U1 = 1, U 2 = 2
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
2
3an+ 2 = 10an+1 − 3an + , a0 = 1, a1 = 0
5
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧an+1 = −3an + 0.5bn
, a1 = 2, b1 = −16
⎨
⎩ bn+1 = − an + 6bn
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику ( n + 1)( n + 2 )…( m + n )
a = e − n n n , b = n!
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t+2
поведение an, при n → ∞
A(t ) = 2
t + 4t + 3
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
4un+ 2 − un+1 − 3un = 0, u0 = 4, u1 = 1
асимптотическое поведение un, при n → ∞
20. Задача на метод включения и исключения.
В ЕГПУ на кафедре «Зарубежной литературы» работает 13 человек, причем
каждый из них владеет хотя бы одним иностранным языком; 10 из них знают
английский, 7 – немецкий, 6 – французский, 4 – английский и французский, 5 –
английский и немецкий, 3 – французский и немецкий. Необходимо определить,
сколько человек владеет всеми тремя языками?
31
Вариант №11
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
3 k +1
( 2k + 1)( k + 1)
k =0
2.
Используя
метод
суммирующего
множителя, решить рекуррентное
2
соотношение
(n + 3) Dn = nDn−1 +
,
D0 = 0
n+2
3. Найти производящую функцию следующей последовательности
{3( k − 1) + 4}, k ≥ 1
2
Найти производящую функцию следующей последовательности
1 − tg 2 (2n)
an =
1 + tg 2 (2n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
2
производящей
f a ( x ) = 7 x +1/ 2
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
f a ( x ) = sin ( 3 x ) cos(2 x)
производящей
4.
7.
Найти кратную сумму
n −1 n − k − 2
∑ ∑ 4j + k −3
k =1
8.
Найти сумму
n
j =1
∑ ( 3k
2
k =0
9.
Найти сумму
+ 5k − 2 ) Cnk
( −1) Cnk +2
∑
k =0 ( k + 3 )( k + 4 )
k
n−2
10. Найти коэффициент при tk в разложении
( 3 − 9t
4
+ t 7 ) , k = 16
16
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения 2un+2 + un+1 − 6un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
2un+ 2 − 3un+1 − 2un = 0, u0 = −4, u1 = 5
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
U n+3 − 7U n +2 + 6U n = 0, U 0 = 0, U1 = 2, U 2 = 4
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
1
−3an+ 2 = 2an+1 − an − n , a0 = 1, a1 = 1
2
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧ an+1 = 4an + 2bn
, a1 = 4, b1 = −7
⎨
⎩4bn+1 = − an + 40bn
( m − 1)( m − 2 )… 2 ⋅1
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику
2π
n
⎛ 1⎞
17. Верно ли, что а асимптотически больше b? a = ⎜1 + ⎟ ,
⎝ n⎠
32
⎛ 2n − 1 ⎞
b=⎜
⎟
⎝ n ⎠
n
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
2t + 1
поведение an, при n → ∞
A(t ) = 2
t + 2t − 3
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
un,
при
n→∞
асимптотическое
поведение
un+2 − 6un+1 + 8un = 0, u0 = 5, u1 = 2
20. Задача на метод включения и исключения.
Студенты психологического факультета ЕГПУ решили узнать читательские вкусы
студентов физико-математического факультета. В результате проведенного ими
опроса выяснилось, что 60 % студентов читают журнал «Компьютер пресс», 50
% – журнал «Квант», 50 % – журнал «Успехи физических наук», 30 % – журнал
«Компьютер пресс» и «Квант», 20 % – «Квант» и «Успехи физических наук», 40
% – «Компьютер пресс» и «Успехи физических наук», 10 % – «Успехи
физических наук», «Компьютер пресс» и «Квант». Сколько процентов студентов
не читают ни одного из журналов?
Вариант №12
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
3 k −1
( 2k + 1)( k − 2 )
k =0
2.
Используя
метод
суммирующего
множителя, решить рекуррентное
6
соотношение
(n + 4) Dn = (n + 1) Dn−1 +
,
D0 = 0
n+3
3. Найти производящую функцию следующей последовательности
⎧⎪ 5k −1
10 ⎫⎪
−
⎨
⎬
⎩⎪ k + 3 ( k + 4 )!⎭⎪
Найти производящую функцию следующей последовательности
1 + cos(3n)
an =
2
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
2
f a ( x ) = e3 x
производящей
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
производящей
f a ( x ) = 4sin 3 ( x )
4.
7.
Найти кратную сумму
n +1 n − k − 2
∑ ∑ (3 j − 2) k + 1
k =1
8.
Найти сумму
n
j =1
∑ ( 2k
2
k =0
9.
Найти сумму
− 3k + 4 ) Cnk
Cnk −2
∑
k = 2 k ( k − 1)
n +1
10. Найти коэффициент при tk в разложении
33
( 5 − 2t
9
+ t 4 ) , k = 19
8
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения 4un+ 2 + 7un+1 + 3un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
2 un+ 2 + un+1 − un = 0, u0 = 0, u1 = 4
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
U n+3 − 2U n +2 − U n+1 + 2U n = 0, U 0 = 0, U1 = 1, U 2 = 3
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
n
−6an+ 2 = −10an+1 − 4an + ( −3) , a0 = 1, a1 = 2
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧3an+1 = 2an − 2.2bn
, a1 = 14, b1 = 10
⎨
b
a
b
=
+
2
6.6
n
n
⎩ n+1
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику
⎛⎛ n ⎞ ⎞
⎜ ⎜ 2 ⎟!⎟
⎝⎝ ⎠ ⎠
2
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
n
a = (1 + α ) , b = (1 + αn ) , α ≥ −1
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
2t − 3
A(t ) = 2
поведение an, при n → ∞
3t + 7t + 2
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое
поведение
un,
при
n→∞
un+2 − 2un+1 − 8un = 0, u0 = −3, u1 = 2
20. Задача на метод включения и исключения.
В малом университете ЕГПУ обучается 35 учащихся. Из них 20 посещает
математический
кружок,
16 – физический,
12 – радиотехнический,
7–
математический и физический, 5 – математический и радиотехнический, 4 –
радиотехнический и физический, 2 – не посещают ни один кружок. Сколько
учащихся посещает все три кружка?
Вариант №13
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1) ( k + 3)( k + 1)
k
k =0
2. Используя
соотношение
метод
суммирующего множителя, решить
(n + 7) Dn = (n + 5) Dn−1 + 7,
D0 = 1
рекуррентное
⎧ 7 k −2
⎫
+ 9⎬
3. Найти производящую функцию следующей последовательности ⎨
⎩k + 2
⎭
4. Найти производящую функцию следующей последовательности
an = cos(4n)cos(3n) + sin(4n)sin(3n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
⎛5− x⎞
производящей
f a ( x ) = ln ⎜
⎟
⎝3+ x ⎠
34
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
производящей
f a ( x ) = sin( x)sin ( 2 x )
7.
Найти кратную сумму
n+ 2 n−k + 2
∑ ∑ 5k − 2 j + 1
k =1
8.
Найти сумму
n
j =1
∑ ( 5k
2
k =0
9.
Найти сумму
− 2k + 3) Cnk
2k +1 Cnk −1
∑
k =1 k ( k + 1)
n
10. Найти коэффициент при tk в разложении
( 7 − 3t
6
− t11 ) , k = 19
13
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения 4un+2 + un+1 − 3un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
3un+ 2 + un+1 − 2un = 0, u0 = 7, u1 = 2
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
U n+3 − U n +2 − 4U n+1 + 4U n = 0, U 0 = 0, U1 = 1, U 2 = 2
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
15an+ 2 = 8an+1 − an + 3 + 5n, a0 = 2, a1 = 2
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧3an+1 = 2an + 7.7bn
, a1 = −8, b1 = 20
⎨
⎩ 2bn+1 = 9an + 8.6bn
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику
( 2n − 1)!!
n!
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
n +1
n
⎛n+2⎞
⎛ n +1⎞
a=⎜
⎟ , b=⎜
⎟
⎝ n +1 ⎠
⎝ n ⎠
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t +1
A(t ) = 2
поведение an, при n → ∞
t +t −6
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое
поведение
un,
при
n→∞
un+2 + 2un+1 − 8un = 0, u0 = −1, u1 = 5
20. Задача на метод включения и исключения.
На выборах в государственную думу (разрешалось отмечать в бюллетене
несколько партий), по данным центральной избирательной комиссии, избиратели
проголосовали следующим образом: 80 % избирателей проголосовали за «Единую
Россию», 60 % за «Справедливую Россию», 50 % за «Родину», 45 % за «Единую
Россию» и «Справедливую Россию», 35 % – «Единую Россию» и «Родину», 25
% – «Справедливую Россию» и «Родину», 10 % за «Единую Россию»,
«Справедливую Россию» и «Родину». Сколько процентов избирателей не сходило
на выборы?
35
Вариант №14
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
k +1
( k + 4 )( k + 3)
k =0
2. Используя метод суммирующего множителя, решить рекуррентное
(n + 6) Dn = (n + 4) Dn−1 + 3,
D0 = 2
соотношение
3. Найти производящую функцию следующей последовательности
⎧ 3
⎫
+ 8k −1 ⎬ , k ≥ 6
⎨
⎩k − 5
⎭
4. Найти производящую функцию следующей последовательности
an = sin(5n)cos(3n) + sin(3n)cos(5n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
⎛ 1 ⎞
производящей
f a ( x ) = ln ⎜
⎟
⎝3+ x ⎠
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
f a ( x ) = cos ( 3x ) cos(4 x)
производящей
7.
Найти кратную сумму
n −1 n + k +1
∑ ∑ 7k − 5 j − 3
k =1
8.
Найти сумму
n
∑(k
k =0
9.
Найти сумму
j =1
2
+ 7 k + 2 ) Cnk
( −2 ) Cnk −2
∑
k = 2 k ( k − 1)
k
n +1
10. Найти коэффициент при tk в разложении
( 3 − 4t
2
+ t4 ) , k = 7
12
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения 4un+2 + un+1 + 3un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
3un+ 2 + un+1 − 2un = 0, u0 = 1, u1 = −2
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
U n+3 − 5U n +2 + 8U n+1 − 4U n = 0, U 0 = 0, U1 = 1, U 2 = 3
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
n
2an+ 2 = 7 an+1 − 3an + ( −1) , a0 = 0, a1 = 2
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧ 2an+1 = an + bn
, a1 = −16, b1 = 20
⎨
⎩3bn+1 = 9an + 14.7bn
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику
36
⎛ 4n ⎞
⎜ 3n ⎟
⎝ ⎠
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
k
⎛n⎞
⎛ ⎛ n − k ⎞⎞
a = ⎜ 2⎜
⎟ ⎟ , b = ⎜ ⎟, n ≥ k ≥ 1
⎝ ⎝ k +1 ⎠⎠
⎝k ⎠
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t+2
поведение an, при n → ∞
A(t ) = 2
3t + 4t + 1
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое
поведение
un,
при
n→∞
un+2 − 5un+1 + 6un = 0, u0 = 2, u1 = 6
20. Задача на метод включения и исключения.
97 студентов ЕГПУ отправились в туристическую поездку за границу. Во время
поездки выяснилось, что немецким языком владеет 37 человек, английским
языком владеет 39 человек, французским языком владеет 31 человек, английским
и немецким владеет 18 человек, английским и французским 10 человек, немецким
и французским 5 человек, тремя языками 3 человека. Сколько студентов не
владеет ни одним иностранным языком?
Вариант №15
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
k +2
( k + 3)( k − 2 )
k =0
2.
Используя
метод
суммирующего
множителя, решить рекуррентное
10
(n + 5) Dn = (n + 2) Dn−1 +
,
D0 = 2
соотношение
n+3
3. Найти производящую функцию следующей последовательности
⎪⎧ 7
⎪⎫
− 2k −1 ⎬
⎨
⎪⎩ ( k + 3)!
⎪⎭
4. Найти производящую функцию следующей последовательности
an = cos 2 (3n) − sin 2 (3n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
⎛ 1+ x ⎞
производящей
f a ( x ) = ln ⎜
⎟
⎝3+ x ⎠
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
производящей
fa ( x ) = s h ( 2x ) c h ( x )
7.
Найти кратную сумму
n −1 n + k +1
∑ ∑ 3k + j
k =1
8.
Найти сумму
n
j =1
∑ ( 2k
2
k =0
9.
Найти сумму
− 5k + 3) Cnk
2k Cnk
∑
2
k =0 k + 3k + 2
n
37
10. Найти коэффициент при tk в разложении
(2 − t
3
+ 3t 4 ) , k = 10
11
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения 4un+ 2 − un+1 − 3un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
4un+ 2 + 3un+1 − un = 0, u0 = 1, u1 = −7
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
U n+3 − 3U n+1 + 2U n = 0, U 0 = 0, U1 = −1, U 2 = 1
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
2
2an+ 2 = 9an+1 − 9an + ( 2n + 1) , a0 = 0, a1 = 1
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧ 3an+1 = −2an − 4.5bn
, a1 = −36, b1 = 28
⎨
9
b
2
a
13.5
b
−
=
−
−
n +1
n
n
⎩
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику
⎛⎛ n ⎞ ⎞
⎜ ⎜ 2 ⎟!⎟
⎝⎝ ⎠ ⎠
n!
2
⎛ 2n ⎞
4n
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
a=
, b=⎜ ⎟
2 n
⎝n⎠
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t−2
A(t ) = 2
поведение an, при n → ∞
2t − t − 2
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое
поведение
un,
при
n→∞
un+2 − un+1 − 12un = 0, u0 = 10, u1 = 2
20. Задача на метод включения и исключения.
По данным переписи населения РФ оказалось, что из 145 млн. россиян 10 млн.
знает английский, 8 млн. – немецкий, 7 млн. – французкий язык, 6 млн. –
английский и немецкий, 4 млн. – английский и французкий, 3 млн. – немецкий и
французкий, 1 млн. – все три языка, а 133 млн. честно написали, что не владеют
ни одним иностранным языком. Можно ли доверять этим данным о переписи
населения и почему?
Вариант №16
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
2 k +1
( k − 2 )( k + 1)
k =0
2.
Используя
соотношение
3.
метод
суммирующего
множителя, решить
10
(n + 6) Dn = (n + 3) Dn−1 +
,
D0 = 2
n+5
рекуррентное
⎧ 12k
⎫
Найти производящую функцию следующей последовательности ⎨
+ 5⎬
⎩k +1 ⎭
38
4.
Найти производящую функцию следующей последовательности
an = sin(2n)cos(2n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
⎛4− x⎞
производящей
f a ( x ) = ln ⎜
⎟
⎝5+ x ⎠
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
f a ( x ) = s h ( 3x ) s h ( 2 x )
производящей
7.
Найти кратную сумму
n +1 n − k +1
∑∑
k =1
8.
Найти сумму
n
j =1
∑ ( 4k
2
k =0
9.
Найти сумму
3 j +1
2k
+ 5k − 1) Cnk
2k +1 Cnk +1
∑
k =0 ( k + 2 )( k + 3 )
n −1
10. Найти коэффициент при tk в разложении
( 4 + 3t
5
− t 3 ) , k = 11
13
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения
un+2 − 6un+1 + 8un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
2un+ 2 + un+1 − 3un = 0, u0 = 4, u1 = 3
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
U n+3 + U n +2 − 10U n+1 + 8U n = 0, U 0 = 0, U1 = 2, U 2 = 3
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
4
3an+ 2 = 8an+1 − 4an + , a0 = 0, a1 = 2
5
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧−3an+1 = −2an − 18bn
, a1 = 18, b1 = 2
⎨
⎩ bn+1 = −2an + 61bn
1/ 3
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику ( (3n)!)
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
⎛n⎞
nn
, n>k >0
a = ⎜ ⎟, b = k
n−k
k
k (n − k )
⎝ ⎠
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t +1
поведение an, при n → ∞
A(t ) = 2
2t + t − 6
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
un+2 + un+1 − 2un = 0, u0 = −1, u1 = 1
асимптотическое поведение un, при n → ∞
20. Задача на метод включения и исключения.
По
данным
сельскохозяйственной
переписи
населения,
в
1251
сельскохозяйственном районе существуют садоводнические объединения граждан
39
(СОГ), в 1121 – животноводческие объединения (ЖО), в 1023 – дачные
некоммерческие объединения (ДНО), в 523 – СОГ и ЖО, 489 – ЖО и ДНО, 376 –
ДНО и СОГ, 209 – ДНО, СОГ и ЖО. Во всех районах участвовавших в переписи
было хоть одно объединение. Всего участвовало 2215 районов. Верная ли это
информация и почему?
Вариант №17
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
2 k −1
( 2k + 1)( k + 3)
k =0
множителя, решить рекуррентное
14
(n + 7) Dn = (n + 4) Dn−1 +
,
D0 = 3
соотношение
n+6
3. Найти производящую функцию следующей последовательности
⎧⎪ 3k −2
⎫⎪
k
−
4
⎨
⎬
⎪⎩ ( k + 1)!
⎪⎭
2.
Используя
метод
суммирующего
4.
Найти производящую функцию следующей последовательности
an = 1 − 2sin 2 (3n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
3
f a ( x ) = 3x + 2
производящей
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
f a ( x ) = ch ( 5 x ) ch(4 x)
производящей
7.
Найти кратную сумму
n n + k −1
∑∑
k =1
8.
n
j =1
Найти сумму
∑ ( 5k
Найти сумму
2k Cnk + 2
∑
k =0 ( k + 3 )( k + 4 )
2
k =0
9.
j−4
k
− 3k + 2 ) Cnk
n−2
10. Найти коэффициент при tk в разложении
( 3 + 4t
2
+ t 3 ) , k = 13
9
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения un+2 − 2un+1 − 8un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
un+2 + 6un+1 + 8un = 0, u0 = 3, u1 = 5
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
U n+3 − 6U n +2 + 11U n+1 − 6U n = 0, U 0 = 1, U1 = 1, U 2 = 2
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
18an+ 2 = 15an+1 − 3an + 32 n+1 , a0 = 1, a1 = 2
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧ 2an+1 = −6an − 17bn
, a1 = −8, b1 = 8
⎨
⎩3bn+1 = 4an + 11.5bn
40
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику
( 2n + 2 )!!
( 2 n )!
⎛ 2n ⎞
4n
a = ⎜ ⎟, b =
3n + 1
⎝n⎠
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t+2
A(t ) = 2
поведение an, при n → ∞
4t + 7t + 3
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое
поведение
un,
при
n→∞
un+2 + 5un+1 + 6un = 0, u0 = 3, u1 = 5
20. Задача на метод включения и исключения.
Почта России при доставке корреспонденции до адресата пользуется услугами
авиа –, ж.д. –, автотранспорта или просто доносят (пешком). Из 250 писем 125
доставляется авиапочтой, 140 – по железной дороге, 112 – на автомобиле, 58 –
авиапочтой и на автомобиле, 49 – по железной дороге и на автомобиле, 37 –
авиапочтой и по железной дороге, 12 – авиапочтой, по железной дороге и на
автомобиле, а остальные доносят (пешком). Сколько писем доносит почта России,
не прибегая к услугам какого-либо транспорта?
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
Вариант №18
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
2 k +3
( 3k + 1)( k + 1)
k =0
2.
Используя
8.
Найти сумму
метод
суммирующего
множителя, решить рекуррентное
n+2
(n + 1) Dn = (n − 1) Dn−1 +
,
D0 = 1
соотношение
n
3. Найти производящую функцию следующей последовательности
⎪⎧ 4k + 2
⎪⎫
+ 9k ⎬
⎨
⎩⎪ ( k + 3)!
⎭⎪
4. Найти производящую функцию следующей последовательности
an = 3sin(4n) − 4sin 3 (4n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
2
f a ( x ) = e5 x − 2
производящей
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
⎛ x⎞
производящей
f a ( x ) = sin 3 ⎜ ⎟
⎝2⎠
n −3 n + k + 2
j+2
7. Найти кратную сумму
∑
∑
k
k =1 j =1
n
∑ ( 2k
2
k =0
41
+ 3k − 7 ) Cnk
9.
2k +1 Cnk +3
∑
k =0 ( k + 4 )( k + 5 )
n −3
Найти сумму
10. Найти коэффициент при tk в разложении
(2 − t
6
+ 4t 4 ) , k = 9
14
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения un+2 + 2un+1 − 8un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
un+2 + 2un+1 − 3un = 0, u0 = −1, u1 = 2
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
2U n+3 − 3U n +2 − 2U n+1 + 3U n = 0, U 0 = 1, U1 = 2, U 2 = 4
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
n +1
21an+ 2 = 10an+1 − an + ( −5 ) , a0 = 0, a1 = 0
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧8an+1 = −4an + 140bn
, a1 = −22, b1 = −6
⎨
⎩ 2bn+1 = 3an − bn
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику (2n − 3)!!
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
k
⎛n⎞
1 ⎛ en ⎞
a = ⎜ ⎟, b = ⎜ ⎟ , n ≥ k ≥ 1
e⎝ k ⎠
⎝k ⎠
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t −3
поведение an, при n → ∞
A(t ) = 2
4t + t − 3
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое
поведение
un,
при
n→∞
un+2 + 3un+1 + un = 0, u0 = −2, u1 = 2
20. Задача на метод включения и исключения.
В одном английском клубе джентльмены очень любят коротать вечера за
чашечкой горячего шоколада, чая или стаканом апельсинового сока. Причем 25 из
них предпочитает горячий шоколад, 21 – чай, 19 – апельсиновый сок,15 – горячий
шоколад и чай, 9 – горячий шоколад и сок, 8 – сок и чай, 4 – пьют горячий
шоколад, чай и сок. Сколько всего членов в этом клубе, если каждый из них
обязательно пьет или шоколад, или чай, или сок?
Вариант №19
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
2 k −3
( 3k − 2 )( k + 1)
k =0
2. Используя
соотношение
метод
суммирующего множителя, решить
(n + 8) Dn = (n + 6) Dn−1 + 4,
D0 = 0
рекуррентное
{
3.
Найти производящую функцию следующей последовательности 7 ( k + 2 )
4.
Найти производящую функцию следующей последовательности
42
2
}
an = cos(7 n)cos(2n) − sin(2n)sin(7 n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
производящей
f a ( x ) = ln ( ( 7 + x )( 6 + x ) )
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
⎛ x⎞
f a ( x ) = cos ⎜ ⎟
производящей
⎝4⎠
7.
Найти кратную сумму
n+ 2 n−k
∑∑ 3k + 2 j − 1
k =1 j =1
8.
Найти сумму
n
∑ ( 3k
2
k =0
9.
Найти сумму
− 5k + 2 ) Cnk
( −2 ) Cnk −1
∑
k =1 k ( k + 1)
k
n
10. Найти коэффициент при tk в разложении
(3 − t
7
+ 5t 5 ) , k = 16
12
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения
un+2 − 5un+1 + 6un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
3un+ 2 + 7un+1 + 2un = 0, u0 = 1, u1 = 5
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
3U n+3 + U n +2 − 8U n+1 + 4U n = 0, U 0 = 0, U1 = 2, U 2 = 3
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
−12an+ 2 = − an+1 − an − 3 + 7 n, a0 = 0, a1 = 1
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧2an+1 = − an − 34.5bn
, a1 = 25, b1 = −6
⎨
⎩ 4bn+1 = 3an + 32.5bn
( 3n )!
( 2 n )!
( 2 n )! ,
a=
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
b = ( n + 1)
n
n
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
2t − 5
A(t ) = 2
поведение an, при n → ∞
4t + t + 3
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое поведение un, при n → ∞
2un+ 2 − 3un+1 − 2un = 0, u0 = −4, u1 = 2
20. Задача на метод включения и исключения.
В Москве работает 1023 компании, предлагающих населению услуги
коммутируемого Интернета (КИ), 1206 – с помощью технологии ADSL, 1012 – с
помощью предоставления выделенной линии (ВЛ), 513 – КИ и ADSL, 489 – ADSL
43
и ВЛ, 371 – КИ и ВЛ. Всего таких компаний 2009. Сколько компаний предлагает
одновременно услуги трех типов соединения?
Вариант №20
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
k −1
( 2k + 1)( k − 3)
k =0
множителя, решить рекуррентное
8
соотношение
(n + 8) Dn = (n + 5) Dn−1 +
,
D0 = 0
n+7
3. Найти производящую функцию следующей последовательности
2 ⎫
⎧
⎨4 ( k − 2 ) − 2 k +1 ⎬
6 ⎭
⎩
4. Найти производящую функцию следующей последовательности
tg (3n)
an =
1 + tg 2 (3n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
4
f a ( x ) = 2 x +1
производящей
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
⎛x⎞
производящей
f a ( x ) = sin 2 ⎜ ⎟
⎝3⎠
n−2 n+ k −2
3j −2
7. Найти кратную сумму
∑
∑
k
k =1 j =1
2.
8.
Используя
Найти сумму
метод
суммирующего
n
∑(k
k =0
9.
Найти сумму
2
+ 3k + 4 ) Cnk
2k Cnk −2
∑
k = 2 k ( k − 1)
n +1
10. Найти коэффициент при tk в разложении
(1 + t
5
+ 2t 9 ) , k = 16
15
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения
un+2 − un+1 − 12un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
un+2 + un+1 − 6un = 0, u0 = −1, u1 = −2
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
U n+3 − 13U n+1 + 12U n = 0, U 0 = 0, U1 = 1, U 2 = 2
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
6an+ 2 = −5an+1 − an + n − 3, a0 = 0, a1 = 2
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧2an+1 = −an − 44bn
, a1 = 32, b1 = −6
⎨
⎩ 4bn+1 = 3an + 36bn
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику (2n + 2)!!
44
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
a = ( 2n ) , b = n!
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
2t + 1
A(t ) = 2
поведение an, при n → ∞
4t − t − 3
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
2 un+ 2 + un+1 − un = 0, u0 = 0, u1 = 3
асимптотическое поведение un, при n → ∞
20. Задача на метод включения и исключения.
В порт Магадана вошли траулеры, в каждом из которых был груз рыбы. 7 из них
были с сельдью, 8 с треской, 6 с камбалой, 5 – с сельдью и треской, 3 – с треской
и камбалой, 2 – с камбалой и сельдью, 1 – со всеми тремя видами рыб. Сколько
всего траулеров вошло в порт?
n
Вариант №21
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
k −2
( 3k − 4 )( k + 2 )
k =0
множителя, решить рекуррентное
n3 + 12n 2 + 47 n + 60
соотношение
(n + 3) Dn = (n + 5) Dn−1 +
,
D0 = 0
n+2
3. Найти производящую функцию следующей последовательности
{( k − 10 ) 9k − 4}
2.
Используя
метод
суммирующего
Найти производящую функцию следующей последовательности
an = sin(n)cos(3n) − sin(3n)cos(n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
2
производящей
f a ( x ) = e 2 x −1
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
⎛x⎞
производящей
f a ( x ) = cos3 ⎜ ⎟
⎝2⎠
n +1 n − k −1
j+3
7. Найти кратную сумму
∑
∑
k
k =1 j =1
4.
8.
Найти сумму
n
∑ ( 3k
2
k =0
9.
Найти сумму
− 4k + 5 ) Cnk
( −2 ) Cnk
∑
k =0 ( k + 1)( k + 2 )
k
n
10. Найти коэффициент при tk в разложении
(3 + t
3
+ 2t 5 ) , k = 13
11
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения un+2 + un+1 − 2un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
3 un+2 + 4un+1 + un = 0
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
45
U n+3 − 4U n +2 − 7U n+1 + 10U n = 0, U 0 = 1, U1 = 1, U 2 = 2
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
2 n −1
5an+ 2 = 6an+1 − an + ( −1) , a0 = 1, a1 = 2
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧4an+1 = an + 209bn
, a1 = 26, b1 = 2
⎨
⎩ 2bn+1 = 3an − 37bn
⎛ 4n ⎞
⎜ 2n ⎟
⎝ ⎠
( 2 n )!
2
a = n , b = ( n!)
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
2
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t +3
A(t ) = 2
поведение an, при n → ∞
t − 6t + 8
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое поведение un, при n → ∞
3un+ 2 + un+1 − 2un = 0, u0 = −3, u1 = 2
20. Задача на метод включения и исключения.
На рынке России 112 компаний предлагает покупателю гибискус (суданская
роза), 119 – желтый чай, 103 – черный чай, 67 – гибискус и желтый чай, 71 –
гибискус и черный чай, 53 – желтый и черный чай, 32 – гибискус, желтый и
черный чай. Сколько чайных компаний работает в России?
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику
Вариант №22
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
k −3
( k + 2 )( k + 4 )
k =0
2.
Используя
метод
суммирующего
множителя, решить рекуррентное
n 2 + 9n + 20
(n + 4) Dn = (n + 5) Dn−1 +
,
D0 = 1
соотношение
10n + 20
3. Найти производящую функцию следующей последовательности
⎧⎪
7 k ⎫⎪
⎨k + 3 +
⎬, k ≥ 2
( k − 2 )!⎪⎭
⎪⎩
4. Найти производящую функцию следующей последовательности
1 − cos(5n)
an =
2
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
производящей
f a ( x ) = ln ( ( 3 + x )( 4 − x ) )
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
⎛x⎞
производящей
fa ( x ) = s h 2 ⎜ ⎟
⎝5⎠
46
7.
Найти кратную сумму
n −1 n + k − 2
∑ ∑ 3j +k −3
k =1
8.
n
j =1
∑ ( 2k
Найти сумму
2
k =0
9.
+ 5k − 3) Cnk
( −2 ) Cnk +1
∑
k =0 ( k + 2 )( k + 3 )
k
n −1
Найти сумму
10. Найти коэффициент при tk в разложении
( 2 + 4t
4
− 3t 7 ) , k = 14
17
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения un+2 + 5un+1 + 6un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
2un+ 2 − un+1 − un = 0, u0 = 0, u1 = −2
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
U n+3 − 9U n +2 + 20U n+1 − 12U n = 0, U 0 = 1, U1 = 2, U 2 = 3
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
14an+ 2 = 9an+1 − an − 5n , a0 = 1, a1 = 1
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧3an+1 = − an + 235bn
, a1 = 41, b1 = 2
⎨
⎩ 2bn+1 = an − 18.5bn
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику (2n + 3)!!
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
n
n −1
⎛ n ⎞
⎛ n −1⎞
a=⎜
⎟ , b=⎜
⎟
⎝ n +1⎠
⎝ n ⎠
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t +3
A(t ) = 2
поведение an, при n → ∞
t − 2t − 8
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое поведение un, при n → ∞
3un+ 2 + un+1 − 2un = 0, u0 = 5, u1 = 2
20. Задача на метод включения и исключения.
В одном крупном коммерческом банке 1234 клиента имели рублевые сбережения
(РС), 1342 валютные сбережения (ВС), 918 хранили деньги в виде золотого запаса
(ЗЗ), 756 – в РС и ВС, 696 – в РС и ЗЗ, 491 – в ВС и ЗЗ. Всего клиентов 1671.
Сколько клиентов хранили свои сбережения сразу в трех видах?
Вариант №23
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
3 k +1
( 2k − 3)( k + 2 )
k =0
2.
Используя
соотношение
метод
суммирующего
множителя, решить рекуррентное
n3 + 18n 2 + 103n + 210
(n + 5) Dn = (n + 7) Dn−1 +
,
D0 = 1
42(n + 2)
47
3.
Найти производящую функцию следующей последовательности
⎧⎪ 4
3 ⎫⎪
+
⎨
⎬
⎪⎩ k + 1 ( k + 2 )!⎪⎭
4. Найти производящую функцию следующей последовательности
an = 2cos 2 (7 n) − 1
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
2
f a ( x ) = 4 x −3
производящей
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
f a ( x ) = sh ( 3 x ) sh ( x )
производящей
7.
Найти кратную сумму
n +1 n − k + 2
∑ ∑ ( 2 j − 1) k + 1
k =1
8.
Найти сумму
n
∑(k
k =0
9.
Найти сумму
j =1
2
− 7 k − 3) Cnk
( −2 ) Cnk +2
∑
k =0 ( k + 3 )( k + 4 )
k
n −2
10. Найти коэффициент при tk в разложении
( 4 − 2t
3
+ t 7 ) , k = 14
11
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения un+2 + 3un+1 + un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
2un+ 2 + un+1 − 6un = 0, u0 = 1, u1 = 3
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
U n+3 − 9U n +2 + 26U n+1 − 24U n = 0, U 0 = 1, U1 = 2, U 2 = 4
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
1
2an+ 2 = 7 an+1 − 5an + n , a0 = 1, a1 = 1
3
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧3an+1 = − an + 43bn
, a1 = 1, b1 = 10
⎨
2
b
a
0.3
b
=
+
n
n
⎩ n+1
n!
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику
4
⎛⎛ n ⎞ ⎞
⎜ ⎜ 4 ⎟ !⎟
⎝⎝ ⎠ ⎠
nn
n
a=e , b=
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
n!
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t +1
A(t ) = 2
поведение an, при n → ∞
t − 5t + 6
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое поведение un, при n → ∞
4un+ 2 + 3un+1 − un = 0, u0 = 1, u1 = 7
48
20. Задача на метод включения и исключения.
В комнате собрались любители экстремальных видов спорта. 13 из них
занимаются дайвингом, 12 – парашютизмом, 9 – скалолазанием, 7 – дайвингом и
парашютизмом, 5 – дайвингом и скалолазанием, 4 – парашютизмом и
скалолазанием, 3 – всеми тремя видами спорта. Сколько человек сидит в
комнате?
Вариант №24
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
3 k −1
( 4k + 3)( k + 1)
k =0
2. Используя метод суммирующего множителя, решить рекуррентное
nDn = (n + 2) Dn−1 + n(n + 1),
D0 = 3
соотношение
3. Найти производящую функцию следующей последовательности
⎧⎪ 18
⎫
2 k +1 ⎪
−
4
⎨
⎬
⎩⎪ ( k + 3)!
⎭⎪
4. Найти производящую функцию следующей последовательности
1 − tg 2 (5n)
an =
1 + tg 2 (5n)
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
3
f a ( x ) = e3 x − 2
производящей
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
производящей
f a ( x ) = cos ( 3 x ) cos ( x )
7.
Найти кратную сумму
n n + k −1
∑ ∑ k − 2 j +1
k =1
8.
Найти сумму
n
j =1
∑ ( 4k
2
k =0
9.
Найти сумму
+ 3k + 5 ) Cnk
( −2 )
k +1
Cnk +3
∑
k =0 ( k + 4 )( k + 5 )
n −3
10. Найти коэффициент при tk в разложении
(3 − t
4
+ 9t 7 ) , k = 16
14
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения 2un+ 2 − 3un+1 − 2un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
4un+ 2 + 7un+1 + 3un = 0, u0 = −4, u1 = 2
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
3U n+3 − 11U n +2 + 12U n+1 − 4U n = 0, U 0 = 1, U1 = −1, U 2 = 2
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
n
−9an+ 2 = 3an+1 − 2an + , a0 = 1, a1 = 1
3
15. Решить систему рекуррентных соотношений
49
⎧2an+1 = −5an + 25.5bn
,
⎨
⎩ 2bn+1 = an − 0.9bn
a1 = 13, b1 = 10
( 2n − 3)!!
( 2 n )!
n
a = ( n + 1) , b = 3n n!
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t −3
A(t ) = 2
поведение an, при n → ∞
t + 2t − 8
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое поведение un, при n → ∞
2un+ 2 + un+1 − 3un = 0, u0 = −4, u1 = 3
20. Задача на метод включения и исключения.
В Республике Татарстан работает 128 предприятий хлебопечения. Из них 120
непосредственно заняты производством хлеба, 112 – хлебобулочных изделий,
88 – кондитерских изделий, 79 – хлеба и хлебобулочных изделий, 76 – хлеба и
кондитерских изделий, 68 – хлебобулочных и кондитерских изделий. Сколько
предприятий занимается производством всех трех видов продукции?
Вариант №25
1.
n
Найти сумму, используя метод приведения S n = ∑ ( −1)
2 k +1
( k + 5)( k + 1)
k =0
2. Используя метод суммирующего множителя, решить рекуррентное
соотношение
nDn = (n + 3) Dn−1 + n3 + 4n 2 + 3n,
D0 = 2
3. Найти производящую функцию следующей последовательности
4 ⎪⎫
⎪⎧ 6k + 2
+
⎨
⎬, k ≥ 4
k
−
k
+
3
1
!
(
)
⎩⎪
⎭⎪
4. Найти производящую функцию следующей последовательности
1 + cos(5n)
an =
2
5. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
производящей
f a ( x ) = ln ( ( 5 − x )(1 − x ) )
6. Найти общий член an последовательности, для которой функция fa(x) является
производящей
f a ( x ) = sh ( 5 x ) c h ( 3 x )
7.
Найти кратную сумму
n − 2 n − k −1
∑ ∑ 6k − 4 j − 5
k =1
8.
Найти сумму
n
j =1
∑ ( 7k
2
k =0
50
− 3k + 1) Cnk
9.
Найти сумму
3k Cnk
∑
2
k =0 k + 3k + 2
n
10. Найти коэффициент при tk в разложении
(5 − t
9
+ 2t 4 ) , k = 19
12
11. Найти общее решение рекуррентного соотношения
2 un+ 2 + un+1 − un = 0
12. Решить однородное рекуррентное соотношение
4un+ 2 + un+1 − 3un = 0, u0 = 3, u1 = 2
13. Решить однородное рекуррентное соотношение
3U n+3 + 4U n +2 − 13U n+1 + 6U n = 0, U 0 = 1, U1 = 3, U 2 = 4
14. Решить неоднородное рекуррентное соотношение
1
an+ 2 = −4an+1 − 3an + n + , a0 = 1, a1 = 0
3
15. Решить систему рекуррентных соотношений
⎧3an+1 = −5an + 17.5bn
, a1 = 13, b1 = 20
⎨
4
b
a
0.15
b
=
−
n
n
⎩ n+1
⎛ 5n ⎞
⎜ 4n ⎟
⎝ ⎠
2
n
a = n , b = ( n!)
17. Верно ли, что а асимптотически больше b?
18. A(t) – производящая функция последовательности an. Найти асимптотическое
t+2
A(t ) = 2
поведение an, при n → ∞
t − t − 12
19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям найти
асимптотическое поведение un, при n → ∞
un+2 + 6un+1 + 8un = 0, u0 = −3, u1 = 5
20. Задача на метод включения и исключения.
В Москве 345 автосалонов предлагают автомобили отечественного производства
(ОП), 542 – «западного» производства (ЗП), 489 – «восточного» производства
(ВП). 379 – ОП и ВП, 425 – ЗП и ВП, 281 – ОП и ВП, 240 – всех трех. Сколько
всего автосалонов в Москве?
16. Используя формулу Стирлинга, найти асимптотику
51
Рекомендуемая литература
Гаврилов, Г. П. Задачи и упражнения по курсу дискретной математики
1.
/ Г. П. Гаврилов, А. А. Сапоженко. – М.: Физматлит, 2005. – 416 с.
Кнут, Д. Э. Искусство программирования. Основные алгоритмы: в 3 т.
2.
/ Д. Э. Кнут. – М.: Вильямс, 2000. – Т. 1. – 720 с.
Иванов, Б. Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы
3.
/ Б. Н.Иванов. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2003. – 288 с.
Новиков, Ф. А.
Дискретная
математика
для
программистов
4.
/ Ф. А. Новиков. – СПб.: Питер, 2005. – 364 с.
Яблонский, С. В. Введение в дискретную математику / С. В. Яблонский. –
5.
М.: Высш. шк., 2006. – 384с.
Капитонова, Ю.В. Лекции по дискретной математике / Ю.В. Капитонова,
6.
С.Л. Кривой. – Спб.: BXV-Питер, 2004. – 624 с.
Горбатов, В.А. Фундаментальные основы дискретной математики / В. А.
7.
Горбатов. – М.: Физматлит, 2000. – 544 с.
Ерусалимский, Я.М. Дискретная математика / Я. М. Ерусалимский. – М.:
8.
Вузовская книга, 2000. – 284 с.
52
Содержание
Предисловие ..................................................................................................3
1. Метод приведения.......................................................................................4
2. Метод суммирующего множителя. .............................................................5
3. Производящая функция...............................................................................6
4. Кратные суммы. ........................................................................................8
5. Биномиальные коэффициенты. ...................................................................9
6. Решение рекуррентных соотношений. ........................................................10
7. Асимптотика...........................................................................................14
8. Метод включения и исключения. ...............................................................17
Варианты индивидуальных заданий ................................................................19
Рекомендуемая литература ........................................................................52
53
Для заметок
54
Для заметок
55
Минкин Александр Владимирович
Сборник задач по дискретной математике. Суммы и рекуррентные
соотношения
Учебное пособие
Авторская редакция
Издательство Елабужского госпедуниверситета
423630, Елабуга, ул. Казанская, 89
Лиц. №0317 от 20.10.2000
Усл. печ. л. 3.
56