Занятие № 8 Тема: «Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля» Цели: 1) Формировать представление о биномиальных коэффициентах и их свойствах. 2) Способствовать самостоятельному применению знаний и умений студентов для решения комбинаторных задач. Структура занятия: 1. Оргмомент 2. Анализ самостоятельной работы 3. Проверка д.з. 4. Лекция 5. Решение примеров 6. Подведение итогов Ход занятия. I. Проверка д.з. Сколькими способами из мешка с шарами (всего 90 шаров) можно сделать выборки по 5 штук? Ответ: N = C905 Сколькими способами в выборке окажется шар, помешенный числом 90? Ответ: N = C894 II. Лекция Числа C nk часто называют биномиальными коэффициентами. Числа обладают целым рядом свойств. 1) 2) C n0 = Cnn 1 3) C nk C kr C nkrr C nr 4) 5) Доказательство: 1) n! , (n k )!k! n! n! , ч.т.д. (n (n k ))!(n k )! k!(n k )! Cnk Cnnk 2) Вытекает из 1) n! k! n! · = , (n k )!k! (k r )!r! (n k )!(k r )!r! (n r )! n! n! C nkrr C nr = · = , ч.т.д. (n k )!(k r )! (n r )!r! (n k )!(k r )!r! n! 4) Cnk , (n k )!k! (n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)! Сnk11 Cnk1 = = (n 1 k 1)!(k 1)! (n 1 k )!k! (n k )!(k 1)! (n k 1)!k! 3) Cnk Сkr Преподаватель Авдеева Е.В. Белгородский педагогический колледж Занятие № 8 (n 1)!(k n k ) n! = = C nk , ч.т.д. (n k )!k! (n k )!k! Заметим, что при k=0 C n0 = C n11 + C n01 , т.к. C n0 =1 и C n01 =1, то следует положить, = что C n11 =0. Аналогично положить, что C nk =0 для k>n, тогда формула верна для k=n. 5) C n0 + C n1 +…+ C nn =2n – примем пока без доказательства (доказательство приведем после изучения темы «Бином Ньютона». Свойства 1) и 2) позволяют расположить биномиальные коэффициенты в виде треугольника. Построенная таблица чисел известна как треугольник Паскаля. Треугольник Паскаляэто бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел. В такой форме треугольник Паскаля появился в сочинении Паскаля "Трактат об арифметическом треугольнике", изданном в 1665 г. уже после смерти автора. В указанном сочинении была опубликована следующая таблица, в которой каждое число А равно сумме предшествующего числа в том же , что и А, горизонтальном ряду, и предшествующего числа в том же, что и А, вертикальном ряду: Таким образом, наш треугольник отличается от "треугольника" рассматриваемого самим Паскалем, поворотом на 45 градусов. Паскаль подробно исследовал свойства и применения своего "треугольника". Приведем для примера лишь 3 свойства "треугольника", Преподаватель Авдеева Е.В. Белгородский педагогический колледж Занятие № 8 найденные самим Паскалем; при этом будем исходить из того расположения "треугольника" на плоскости, какое было указанно Паскалем, и говорить о горизонтальных и вертикальных рядах. Свойство 1: Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего горизонтального ряда, начиная с самого левого вплоть до стоящего непосредственно над числом А(в котором клетки, содержащие слагаемые, дающие в сумме А, заштрихованы). Свойство 2: Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего вертикального ряда, начиная с самого верхнего вплоть до стоящего непосредственно левее числа А. Свойство 3: Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальными и горизонтальными рядами, на пересечении которых стоит число А (сами эти ряды в рассматриваемый прямоугольник не включаются). III. Решение примеров Самостоятельная работа 2 варианта. 2 n 1 2. ю Преподаватель Авдеева Е.В. Белгородский педагогический колледж Занятие № 8 2. ю 3. ю Преподаватель Авдеева Е.В. Белгородский педагогический колледж