Лекция: Свойства биномиальных коэффициентов. Подсчет сумм

Лекция: Свойства биномиальных
коэффициентов. Подсчет сумм и метод
производящих функций (конечный случай).
Полиномиальные коэффициенты. Оценки
биномиальных и полиномиальных
коэффициентов. Оценки сумм биномиальных
коэффициентов.
Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна
Лекции по “Избранным вопросам дискретной математики”.
3-й курс, группа 318,
факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова
Лекции на сайте http://mk.cs.msu.su
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Биномиальные коэффициенты
Напомним, что биномиальный коэффициент Cnk равен числу
сочетаний из n по k.
Мы знаем, что Cnk =
Откуда получаем
(n)k
k! .
(n)k
(n)k · (n − k)!
n!
=
=
.
k!
k! · (n − k)!
k!(n − k)!
Следовательно,
Свойство 1. Для всех 0 ≤ k ≤ n верно Cnk = Cnn−k .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Последовательности биномиальных коэффициентов
Теорема 2. При каждом n ≥ 1 (конечная) последовательность
биномиальных коэффициентов Cnr , где r = 0, 1, . . . , n,
n−1
возрастает, если r < n−1
2 , и убывает, если r > 2 .
Доказательство. Рассмотрим отношение
Cnr +1
Cnr ,
0 ≤ r ≤ n − 1:
Cnr +1
n!
n!
n−r
=
:
=
.
Cnr
(r + 1)!(n − r − 1)! r !(n − r )!
r +1
Определим, когда это отношение больше единицы:
n−r
n−1
> 1, если r <
.
r +1
2
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Последовательности биномиальных коэффициентов
Доказательство (продолжение). Получаем, что
при r < n−1
2 последовательность возрастает,
n−1
при r > 2 последовательность убывает.
Пример 1.
Пусть n = 3. Тогда последовательность такова: 1, 3, 3, 1.
Пусть n = 4. Тогда последовательность такова: 1, 4, 6, 4, 1.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Максимальные значения
Следствие 2.1. При четных значениях n максимальное
значение среди биномиальных коэффициентов Cnr ,
r = 0, 1, . . . , n, достигается только при r = n2 ;
при нечетных значениях n максимальное значение среди
биномиальных коэффициентов Cnr , r = 0, 1, . . . , n, достигается
n+1
при r = n−1
2 и при r = 2 .
Доказательство. По теореме 2 если n ≥ 1, то
r
при r < n−1
2 последовательность Cn , r = 0, 1, . . . , n, возрастает
n−1
и при r > 2 последовательность Cnr , r = 0, 1, . . . , n, убывает.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Максимальные значения
Доказательство. Если значение n четно, то число n−1
2
нецелое; поэтому максимальное значение достигается при
n
r = b n−1
2 c + 1 = 2;
если значение n нечетно, то число
n−1
2
n+1
2
n−1
2
целое; следовательно,
Cn = Cn , и максимальное значение достигается при
n+1
r = n−1
2 и при r = 2 .
bnc
Следствие 2.2. Для всех n ≥ 1 и 0 ≤ r ≤ n верно Cnr ≤ Cn 2 .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Суммы биномиальных коэффициентов
Напомним формулу бинома Ньютона:
n
P
Cnk x n−k y k .
При n ≥ 1 верно (x + y )n =
k=0
Из нее следуют два свойства сумм биномиальных
коэффициентов:
Теорема 3. Для всех n ≥ 1 верно
n
P
1.
Cnk = 2n .
2.
k=0
n
P
(−1)k Cnk = 0.
k=0
Доказательство.
n
P
1. (1 + 1)n =
Cnk = 2n .
k=0
2. (1 + (−1))n =
n
P
k=0
Cnk (−1)k = 0.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Подсчет сумм биномиальных коэффициентов
Можно находить значения других сумм биномиальных
коэффициентов.
n
P
Пример 2. Найти значение суммы
Cnk · ak , где a ∈ R.
k=0
Например, если n = 2, a = 2, то надо найти значениие суммы
C20 · 20 + C21 · 21 + C22 · 22 = 1 + 4 + 4 = 9.
Решение. Несложно заметить, что указанная сумма
непосредственно сворачивается по формуле бинома Ньютона:
n
X
k=0
Cnk · ak ·1n−k = (a + 1)n .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Подсчет сумм биномиальных коэффициентов
Пример 3. Найти значение суммы
n
P
k · Cnk .
k=0
Например, если n = 3, то надо найти значение суммы
0 · C30 + 1 · C31 + 2 · C32 + 3 · C33 = 0 + 3 + 6 + 3 = 12.
Решение. Заметим, что при k ≥ 1 верно
k · Cnk = k ·
=n·
n!
n!
=
=
k!(n − k)!
(k − 1)!(n − k)!
(n − 1)!
k−1
= n · Cn−1
.
(k − 1)!((n − 1) − (k − 1))!
Слагаемое при k = 0 обнуляется. Поэтому, получаем
n
X
k=0
k · Cnk =
n
X
k=1
k · Cnk =
n
X
k=1
k−1
n · Cn−1
=n·
n−1
X
l=0
l
Cn−1
= n · 2n−1 .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Подсчет сумм биномиальных коэффициентов
b 2n c
Пример 4. Найти значение суммы
P
Cn2k .
k=0
Например, если n = 4, то надо найти значениие суммы
C40 + C42 + C44 = 1 + 6 + 1 = 8.
Если n = 5, то надо найти значение суммы
C50 + C52 + C54 = 1 + 10 + 5 = 16.
Решение. По теореме 3 (п. 2) верно
n
P
(−1)k Cnk = 0.
k=0
b 2n c
Поэтому
P
Cn2k =
k=0
b 2n c
P
Cn2k+1 .
k=0
Следовательно,
n
b2c
X
k=0
n
Cn2k =
1X k
1
Cn = · 2n = 2n−1 .
2
2
k=0
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Производящие функции
Одним из методов получения значения комбинаторных сумм и
доказательства тождеств является метод производящих
функций.
Для последовательности чисел {an } (конечной или
бесконечной) рассмотрим
формальную сумму (конечную или
P
бесконечную)
an t n , где t ∈ R.
Если последовательность {an } конечна, то эта сумма всегда
определяет функцию
X
F (t) =
an t n ,
которая называется производящей функцией для
последовательности {an }.
Рассмотрим примеры подсчета комбинаторных сумм при
помощи производящих функций.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Применение производящих функций
Вернемся к примеру 3: нам надо найти значение суммы
n
P
k · Cnk .
k=0
Решение. Рассмотрим конечную последовательность
биномиальных коэффициентов Cn0 , Cn1 , . . . , Cnn и ее
n
P
Cnk t k . Из примера 2
производящую функцию F (t) =
k=0
следует, что F (t) = (t + 1)n .
Функция F (t) дифференцируема в R. Найдем ее производную.
С одной стороны, F 0 (t) = ((t
1)n )0 =
n(t + 1)n−1 .
+
0
n
n
P
P
Cnk kt k−1 .
С другой стороны, F 0 (t) =
Cnk t k =
k=0
k=0
Подставляя в оба полученные выражения для производной
n
P
F 0 (t) значение t = 1, получаем
k · Cnk = n · 2n−1 .
k=0
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Применение производящих функций
k
P
Пример 5. Доказать тождество
r =0
k
Cnk Cmk−r = Cn+m
.
Решение. Рассмотрим конечные последовательности
биномиальных коэффициентов Cnr и Cmr , где
r = 0, 1, . . . , max(n, m), и их производящие функции
n
m
P
P
F (t) =
Cnr t r = (t + 1)n и G (t) =
Cmr t r = (t + 1)m .
r =0
r =0
Тогда
F (t) · G (t) = (t + 1)n · (t + 1)m = (t + 1)n+m =
n+m
P
s=0
s
Cn+m
ts .
С другой стороны, перемножаем многочлены:
!
n
m
n+m s
P r r
P r r
P P j s−j
F (t) · G (t) =
Cn t ·
Cm t =
Cn Cm
ts .
r =0
r =0
Приравнивая коэффициенты при
k
P
k
Cnr Cmk−r = Cn+m
.
r =0
s=0
tk ,
получаем
j=0
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Обобщение формулы бинома Ньютона
Можно найти формулу для степени суммы вида
(x1 + · · · + xm )n , аналогичную формуле бинома Ньютона.
Теорема 4. Для всех n ≥ 1, m ≥ 2 верно
(x1 + · · · + xm )n =
X
k1 , . . . , km ≥ 0 :
k1 + · · · + km = n
n!
km
x k1 . . . xm
.
k1 ! . . . km ! 1
Доказательство можно провести индукцией по m.
Базис индукции составляет формула бинома Ньютона.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Полиномиальные коэффициенты
Комбинаторное число k1 !k2 !...kn!m−1 !km ! , где n ≥ 1, k1 , . . . , km ≥ 0
m
P
ki = n, называется полиномиальным коэффициентом
и
i=1
n
и обозначается C (n; k1 , . . . , km ) или k1 ,...,k
.
m
Через полиномиальные коэффициенты формулу из теоремы 4
можно переписать в следующем виде.
X
km
.
(x1 + · · · + xm )n =
C (n; k1 , . . . , km )x1k1 . . . xm
k1 , . . . , km ≥ 0,
k1 + · · · + km = n
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Формула квадрата суммы трех переменных
Пример 6. Найдем формулу для выражения (x + y + z)2 .
Решение. В соответствии с теоремой 4 сначала нам нужно
найти всевозможные разбиения числа n = 2 на упорядоченные
суммы трех (m = 3) неотрицательных чисел.
Таких разбиений ровно Ĉ (3, 2) = C (3 + 2 − 1, 2) = 6 (см.
предыдущую лекцию):
2 = 0+0+2 = 0+1+1 = 0+2+0 = 1+0+1 = 1+1+0 = 2+0+0.
Теперь для каждой суммы надо найти соответствующий
полиномиальный коэффициент:
C (0, 0, 2) = C (0, 2, 0) = C (2, 0, 0) =
C (0, 1, 1) = C (1, 0, 1) = C (1, 1, 0) =
2!
0!0!2!
2!
0!1!1!
= 1;
= 2.
Следовательно, получаем формулу
(x + y + z)2 = z 2 + 2yz + y 2 + 2xz + 2xy + x 2 .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Сумма полиномиальных коэффициентов
Аналогично теореме 3 можно получить значение суммы
полиномиальных коэффициентов.
Теорема 5. Для всех n ≥ 1, m ≥ 2 верно
X
C (n; k1 , . . . , km ) = mn .
k1 , . . . , km ≥ 0,
k1 + · · · + km = n
Доказательство. Подставим в формулу из теоремы 4
значения x1 = · · · = xn = 1.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Оценки биномиальных коэффициентов
Иногда нужно знать оценки биномиальных коэффициентов или
их сумм.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Оценка биномиального коэффициента
Теорема 6. Для всех n ≥ 1, 0 ≤ k ≤ n, верно Cnk ≤
nn
k k (n−k)n−k
(по определению полагаем, что 00 = 1).
Доказательство. Сначала заметим, что для всех n ≥ 1 верно
n
Cn0 = 1 ≤ nnn·00 = 1, т.е. при k = 0 утверждение теоремы 6
верно.
Доказательство для n ≥ 1 при всех k, 1 ≤ k ≤ n проведем
индукцией по значению n.
Базис индукции. Если n = 1, то Cn1 = 1 ≤
11
00 ·11
= 1.
Индуктивный переход. Предположим, что для некоторого n ≥ 1
при всех k, 1 ≤ k ≤ n, утверждение теоремы 6 верно.
k
Рассмотрим n + 1. Тогда Cn+1
=
=
(n + 1)!
n+1
n!
n+1
=
·
=
· Cnk−1 .
k!(n − k + 1)!
k
(k − 1)!(n − k + 1)!
k
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Оценка биномиального коэффициента
Доказательство (продолжение). Воспользуемся
nn
предположением индукции, что Cnk−1 ≤ (k−1)k−1 (n−k+1)
n−k+1 , и
проведем рассуждения:
n + 1 k−1 n + 1
nn
(n + 1)n k k
·Cn ≤
·
·
=
·
k
k (k − 1)k−1 (n − k + 1)n−k+1 (n + 1)n k k
(n + 1)n+1
k k−1
nn
·
·
=
k k (n − k + 1)n−k+1 (n + 1)n (k − 1)k−1
k−1
1
1
+
n+1
k−1
(n + 1)
(n + 1)n+1
= k
·
≤
.
n
k (n − k + 1)n−k+1
k k (n − k + 1)n−k+1
1 + n1
=
В завершающем переходе мы воспользовались
тем, что
1 n
последовательность an = 1 + n возрастает.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Оценка полиномиального коэффициента
Следствие 6.1. Для всех m ≥ 2 и таких k1 , . . . , km ≥ 0, что
k1 + · · · + km = n, верно
C (n; k1 , . . . , km ) ≤
nn
km
k1k1 . . . km
(по определению полагаем, что 00 = 1).
Доказательство можно провести индукцией по m.
Базис индукции: m = 2 составляет теорема 6.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Функция энтропии
Рассмотрим функцию действительного аргумента
H(t) = −t log2 t − (1 − t) log2 (1 − t) на интервале t ∈ (0, 1).
Она называется функцией (двузначной) энтропии.
Теорема 7 [свойства функции энтропии]. Для функции
действительного агрумента H(t) = −t log2 t − (1 − t) log2 (1 − t)
на интервале t ∈ (0, 1) верны свойства:
1) lim H(t) = 0, и lim H(t) = 0;
t→0+
t→1−
2) на промежутке t ∈ (0; 12 ] функция H(t) монотонно
возрастает, а на промежутке t ∈ [ 12 ; 1) функция H(t) монотонно
убывает;
3) свое единственное максимальное значение на интервале
t ∈ (0, 1) функция
H(t) принимает ровно в одной точке t = 12 ,
1
причем H 2 = 1.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Функция энтропии
Доказательство. Заметим, что
1
.
H(t) = t log2 1t + (1 − t) log2 1−t
1) Тогда lim H(t) = lim t log2
t→0+
t→0+
1
t
= lim
t→0+
log2
1
t
1
t
= 0. Равенство
lim H(t) = 0 выводим аналогично.
t→1−
Теперь найдем производную функции H(t) и приравняем ее к
нулю:
1
1
1
H 0 (t) = log2 + t · t · − 2 ·
+
t
t
ln 2
1
1
1
1−t
+ (1 − t) · (1 − t) ·
= 0.
+ − log2
·
= log2
2
1−t
(1 − t) ln 2
t
Откуда t = 12 .
Исследуя промежутки знакопостоянства производной H(t)
получаем утверждения 2) и 3).
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Функция энтропии и биномиальные коэффициенты
Следствие 7.1. Для всех n ≥ 1, 1 ≤ k ≤ n − 1 верно
неравенство
k
Cnk ≤ 2H ( n )n ,
где H(t) – функция двузначной энтропии.
Доказательство. По теореме 6 верно неравенство:
Cnk ≤
nn
.
k k (n − k)n−k
Положим α = kn , тогда k = αn, n − k = (1 − α)n. Получаем:
nn
nn
1
=
= αn
=
k
n−k
(1−α)n
(1−α)n
αn
αn
k (n − k)
α n (1 − α)
n
α (1 − α)(1−α)n
= 2− log2 (α
αn (1−α)(1−α)n )
1
1
= 2n(α log2 α +(1−α) log2 1−α ) = 2H(α)n .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Оценка суммы биномиальных коэффициентов
Теорема 8. При n ≥ 1 и 0 < k < b n2 c верно двойное
неравенство
k
X
n−k k
k
Cn <
Cnr <
C .
n − 2k n
r =0
Доказательство. Левое неравенство очевидно. Докажем
k
P
правое неравенство. Пусть k < b n2 c. Рассмотрим сумму
Cnr .
r =0
Сначала заметим, что для произвольного r , такого что
0 ≤ r < k, верно
Cnr
n!
k!(n − k)!
·
=
=
r !(n − r )!
n!
Cnk
(k)k−r
k · (k − 1) · · · · · (r + 1)
=
=
≤
(n − r )k−r
(n − r ) · (n − r − 1) · · · · · (n − k + 1)
k
n−k
k−r
.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Оценка суммы биномиальных коэффициентов
Доказательство (продолжение). Т.к. k < b n2 c, верно
Тогда
k
X
r =0
k
X
Cnr
r
k
Cn = Cn
≤ Cnk
Cnk
1+
r =0
k
n−k
+
k
n−k
k
n−k
< 1.
!
2
...
.
В больших скобках стоит сумма бесконечно убывающей
k
геометрической прогрессии со знаменателем n−k
< 1. Найдем
ее:
1
n−k
=
.
k
n − 2k
1 − n−k
Откуда получаем оценку:
k
X
r =0
Cnr ≤
n−k
· Cnk .
n − 2k
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Оценка суммы биномиальных коэффициентов
Следствие 8.1. При n ≥ 1 и k >
n
X
r =k
Cnr <
n
2
верно неравенство
k
Ck.
2k − n n
Доказательство. По теореме 8 и свойству Cnr = Cnn−r
получаем
n
X
r =k
Cnr =
n−k
X
s=0
Cns <
k
n − (n − k) n−k
C
=
Ck.
n − 2(n − k) n
2k − n n
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Оценки сумм биномиальных коэффициентов
Можно доказать следующие оценки сумм биномиальных
коэффициентов.
Теорема 9. 1. Пусть n ≥ 1, и k < b n2 c. Тогда
k
X
Cnr <
r =0
nn
.
k k (n − k)n−k
2. Пусть n ≥ 1, и k > n2 . Тогда
n
X
r =k
Cnr <
nn
.
k k (n − k)n−k
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Асимптотические оценки
При решении задач довольно часто необходимо знать
асимптотическое поведение биномиальных коэффициентов и
их сумм.
Обычно находят асимтотику или порядок комбинаторных
чисел.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
O-символика
Напомним некоторые определения из математического
анализа. Мы будем изучать поведение неотрицательных
функций натурального аргумента n при n → ∞.
Пишут ϕ(n) = O(ψ(n)), если существует такая положительная
константа C , что ϕ(n) ≤ C · ψ(n).
Если одновременно выполняются условия ϕ(n) = O(ψ(n)) и
ψ(n) = O(ϕ(n)), то говорят, что функции ϕ(n) и ψ(n) имеют
одинаковый порядок (равны по порядку), и пишут
ϕ(n) ψ(n).
Пишут ϕ(n) = o(ψ(n)), если существует такая функция χ(n),
χ(n) → 0 при n → ∞, что ϕ(n) = χ(n) · ψ(n).
Говорят, что функции ϕ(n) и ψ(n) эквивалентны
(асимптотически равны), и пишут ϕ(n) ∼ ψ(n), если
ϕ(n) = ψ(n) + o(ψ(n)).
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Асимптотика биномиальных коэффициентов
√
При помощи формулы Стирлинга n! ∼ 2πnnn e −n , где e
обозначает основание натурального логарифма (e = 2, 71 . . . ),
можно доказать следующие теоремы.
Теорема 10. При k → ∞ и (n − k) → ∞ верно
√
n
nn
k
Cn ∼ p
· k
.
2πk(n − k) k (n − k)n−k
Следствие 10.1. При n → ∞ для четных значений n верно
r
n
2 2n
2
·√ .
Cn ∼
π
n
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Асимптотика сумм биномиальных коэффициентов
√
Теорема 11. При n → ∞ если ϕ(n) → ∞, и ϕ(n) n = o(n), то
√
b 2n +ϕ(n) nc
X
√
r =b 2n −ϕ(n) nc
Cnr ∼ 2n .
Доказательство. Пусть k < b n2 c. По теореме 8 верно, что
k
X
r =0
Cnr ≤
n−k k
C .
n − 2k n
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Асимптотика сумм биномиальных коэффициентов
Доказательство (продолжение). Мы знаем, что
Cnk = Cnn−k для всех k (по свойству 1),
Cnk ≤ Cnr при k ≤ r ≤ b n2 c (по следствию 2.1).
Рассмотрим произведение Cnk · (n − 2k) и получим оценки:
Cnk · (n − 2k) = Cnk + · · · + Cnk ≤
|
{z
}
n−2k
bnc
≤ Cnk + Cnk+1 + · · · + Cn 2 + · · · + Cnn−k ≤
|
{z
}
n−2k+1
n
X
Cnr = 2n .
r =0
Значит, нашли оценку:
k
X
r =0
Cnr ≤
n−k
n − k k n − 2k
C ·
≤ 2n ·
.
n − 2k n n − 2k
(n − 2k)2
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Асимптотика сумм биномиальных коэффициентов
Доказательство (продолжение). Пусть теперь ϕ(n) → ∞,
√
√
ϕ(n) n = o(n), и k = b n2 − ϕ(n) nc.
Тогда
√
n − b n2 − ϕ(n) nc
√
≤
≤2 ·
(n − 2b n2 − ϕ(n) nc)2
r =0
√
n − n2 + ϕ(n) n + 1
n
√
≤2 ·
=
(n − 2 n2 + 2ϕ(n) n)2
√
n
1
n 2 + ϕ(n) n + 1
=2 ·
≤ 2n ·
= o(2n ) при n → ∞,
2
4ϕ (n)n
C ϕ2 (n)
где C , C > 0, некоторая постоянная величина.
n
P
По свойству 1 заключаем, что
Cnk = o(2n ).
k
X
Cnr
n
r =n−k
Теорема 11 доказана (Почему?).
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Как распределяются значения биномиальных
коэффициентов?
Теорема 11 имеет простой содержательный смысл: в значение
n
P
Cnk всех биномиальных коэффициентов при
суммы
k=0
достаточно больших n основной вклад вносят коэффициенты
с большим значением k (примерно половина n плюс-минус
корень из n на некоторую возрастающую функцию).
И наоборот, коэффициенты с малым значением k никакого
существенного вклада в значение суммы не вносят (они все
есть всего лишь o-маленькое от 2n ).
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти значение суммы
n
P
k=0
2. Найти значение суммы
n
P
1
k
k+1 Cn .
k2k .
k=0
3. Найти максимальное значение и поведение конечной
последовательности (k − 1)r Cnr , где r = 0, 1, . . . , n, а k –
фиксированное натуральное число, k ≥ 3.
4. Аналогично теореме 7 найти свойства функции k-значной
энтропии (k – фиксированное натуральное число, k ≥ 3)
Hk (t) = −t logk t − (1 − t) logk (1 − t) + t logk (k − 1)
на промежутке t ∈ (0, 1).
5. [2] Гл. VIII 1.18, 1.25, 3.10, 5.8.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Литература к лекции
1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.:
Высшая школа, 2001. Ч. II, с. 197-200, 202-214.
2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по
дискретной математике. М.: Физматлит, 2004. Гл. VIII 1.13,
1.18, 3.10.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Конец лекции