Лекция 2. Комбинаторика. Свойства биномиальных

Лекция 2. Комбинаторика. Свойства
биномиальных коэффициентов. Подсчет сумм и
метод производящих функций. Полиномиальные
коэффициенты. Оценки биномиальных и
полиномиальных коэффициентов.
Асимптотические оценки биномиальных
коэффициентов и их сумм.
Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна
Лекции по “Дискретным моделям”.
Магистратура, 1-й курс,
факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова
Лекции на сайте http://mathcyb.cs.msu.su
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Биномиальные коэффициенты
k
Напомним, что биномиальный коэффициент
Cn равен числу
n
сочетаний из n по k. Другое обозначение: k .
По теореме 1.4 верно Cnk =
Откуда получаем
(n)k
k! .
(n)k
(n)k · (n − k)!
n!
=
=
.
k!
k! · (n − k)!
k!(n − k)!
Следовательно,
Свойство 2.1. Для всех 0 ≤ k ≤ n верно Cnk = Cnn−k .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Последовательности биномиальных коэффициентов
Теорема 2.2. При каждом n ≥ 1 (конечная)
последовательность биномиальных коэффициентов
Cn0 , Cn1 , . . . , Cnr , . . . , Cnn−1 , Cnn
возрастает, если r <
n−1
2 ,
и убывает, если r >
Доказательство. Рассмотрим отношение
n−1
2 .
Cnr +1
Cnr ,
0 ≤ r ≤ n − 1:
Cnr +1
n!
n!
n−r
=
:
=
.
r
Cn
(r + 1)!(n − r − 1)! r !(n − r )!
r +1
Определим, когда это отношение больше единицы:
n−r
n−1
> 1, если r <
.
r +1
2
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Последовательности биномиальных коэффициентов
Доказательство (продолжение). Получаем, что
при r < n−1
2 последовательность возрастает,
n−1
при r > 2 последовательность убывает.
Пример 2.1.
Пусть n = 3. Тогда последовательность такова: 1, 3, 3, 1.
Пусть n = 4. Тогда последовательность такова: 1, 4, 6, 4, 1.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Максимальные значения
Следствие 2.2.1. При четных значениях n максимальное
значение среди биномиальных коэффициентов Cnr ,
r = 0, 1, . . . , n, достигается только при r = n2 ;
при нечетных значениях n максимальное значение среди
биномиальных коэффициентов Cnr , r = 0, 1, . . . , n, достигается
n+1
при r = n−1
2 и при r = 2 .
Доказательство. По теореме 2.2 если n ≥ 1, то
r
при r < n−1
2 последовательность Cn , r = 0, 1, . . . , n, возрастает
n−1
и при r > 2 последовательность Cnr , r = 0, 1, . . . , n, убывает.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Максимальные значения
Доказательство. Если значение n четно, то число n−1
2
нецелое; поэтому максимальное значение достигается при
n
r = b n−1
2 c + 1 = 2;
если значение n нечетно, то число
n−1
2
n+1
2
n−1
2
целое; следовательно,
Cn = Cn , и максимальное значение достигается при
n+1
r = n−1
2 и при r = 2 .
bnc
Следствие 2.2.2. Для всех n ≥ 1 и 0 ≤ r ≤ n верно Cnr ≤ Cn 2 .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Суммы биномиальных коэффициентов
Напомним формулу бинома Ньютона (теорема 1.5):
n
P
Cnk x n−k y k .
При n ≥ 1 верно (x + y )n =
k=0
Из нее следуют два свойства сумм биномиальных
коэффициентов:
Теорема 2.3. Для всех n ≥ 1 верно
n
P
1.
Cnk = 2n .
2.
k=0
n
P
(−1)k Cnk = 0.
k=0
Доказательство.
n
P
1. (1 + 1)n =
Cnk = 2n .
k=0
2. (1 + (−1))n =
n
P
k=0
Cnk (−1)k = 0.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Подсчет сумм биномиальных коэффициентов
Можно находить значения других сумм биномиальных
коэффициентов, сводя их к суммам теорем 1.5 и 2.3.
n
P
Пример 2.2. Найти значение суммы
Cnk · ak , где a ∈ R.
k=0
Например, если n = 2, a = 2, то надо найти значениие суммы
C20 · 20 + C21 · 21 + C22 · 22 = 1 + 4 + 4 = 9.
Решение. Несложно заметить, что указанная сумма
непосредственно сворачивается по теореме 1.5:
n
X
k=0
Cnk · ak ·1n−k = (a + 1)n .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Подсчет сумм биномиальных коэффициентов
Пример 2.3. Найти значение суммы
n
P
k · Cnk .
k=0
Например, если n = 3, то надо найти значениие суммы
0 · C30 + 1 · C31 + 2 · C32 + 3 · C33 = 0 + 3 + 6 + 3 = 12.
Решение. Заметим, что при k ≥ 1 верно
k · Cnk = k ·
=n·
n!
n!
=
=
k!(n − k)!
(k − 1)!(n − k)!
(n − 1)!
k−1
= n · Cn−1
.
(k − 1)!((n − 1) − (k − 1))!
Слагаемое при k = 0 обнуляется. Поэтому, получаем
n
X
k=0
k · Cnk =
n
X
k=1
k · Cnk =
n
X
k=1
k−1
n · Cn−1
=n·
n−1
X
l=0
l
Cn−1
= n · 2n−1 .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Подсчет сумм биномиальных коэффициентов
b 2n c
Пример 2.4. Найти значение суммы
P
Cn2k .
k=0
Например, если n = 4, то надо найти значениие суммы
C40 + C42 + C44 = 1 + 6 + 1 = 8.
Если n = 5, то надо найти значение суммы
C50 + C52 + C54 = 1 + 10 + 5 = 16.
Решение. По теореме 2.3 (п. 2) верно
n
P
(−1)k Cnk = 0.
k=0
b 2n c
Поэтому
P
Cn2k =
k=0
b 2n c
P
Cn2k+1 .
k=0
Следовательно,
n
b2c
X
k=0
n
Cn2k =
1X k
1
Cn = · 2n = 2n−1 .
2
2
k=0
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Производящие функции
Одним из методов получения значения комбинаторных сумм и
тождеств является метод производящих функций.
Для последовательности чисел {an } (конечной или
бесконечной) рассмотрим
формальную сумму (конечную или
P
бесконечную)
an x n , где x ∈ R.
Если последовательность {an } конечна, то эта сумма всегда
определяет функцию
X
F (x) =
an x n ,
которая называется производящей функцией для
последовательности {an }.
Рассмотрим пример подсчета комбинаторной суммы при
помощи производящей функции.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Применение производящих функций
Вернемся к примеру 2.3: нам надо найти значение суммы
n
P
k · Cnk .
k=0
Решение. Рассмотрим конечную последовательность
биномиальных коэффициентов Cn0 , Cn1 , . . . , Cnn и ее
n
P
Cnk x k . Из примера 2.2
производящую функцию F (x) =
k=0
следует, что F (x) = (x + 1)n .
Функция F (x) дифференцируема в R. Найдем ее производную.
С одной стороны, F 0 (x) = ((x
1)n )0 =
n(x + 1)n−1 .
+
0
n
n
P
P
Cnk kx k−1 .
С другой стороны, F 0 (x) =
Cnk x k =
k=0
k=0
Подставляя в оба полученные выражения для производной
n
P
F 0 (x) значение x = 1, получаем
k · Cnk = n · 2n−1 .
k=0
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Обобщение формулы бинома Ньютона
А можно ли найти формулу для степени суммы вида
(x1 + · · · + xm )n , аналогичную формуле бинома Ньютона?
Интуитивно кажется, что можно. И в самом деле это так.
Теорема 2.4’. Для всех n ≥ 1, m ≥ 2 верно (x1 + · · · + xm )n =
n n−k
P
P1
k1 =0 k2 =0
···
n−k1 −···−k
P m−2
km−1 =0
k
k
k2
m−1
m−1 km
xm ,
. . . Cn−k
x k1 . . . xm−1
Cnk1 Cn−k
1
1 −···−km−2 1
где km = n − k1 − · · · − km−2 − km−1 .
Доказательство можно провести индукцией по m, применяя
формулу бинома Ньютона (теорему 1.5).
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Преобразование коэффициентов
Рассмотрим подробнее коэффициент при степенях переменных.
n!
Воспользуемся формулой Cnk = k!(n−k)!
и проведем цепочку
рассуждений:
k
k2
m−1
Cnk1 Cn−k
. . . Cn−k
=
1
1 −···−km−2
...
n!
(n − k1 )!
·
...
k1 !(n − k1 )! k2 !(n − k1 − k2 )!
n!
(n − k1 − · · · − km−2 )!
=
,
km−1 !(n − k1 − · · · − km−2 − km−1 )!
k1 !k2 ! . . . km−1 !km !
где km = n − k1 − · · · − km−2 − km−1 .
Т.е.
k
k2
m−1
Cnk1 Cn−k
. . . Cn−k
=
1
1 −···−km−2
n!
.
k1 !k2 ! . . . km−1 !km !
Полученное равенство можно строго доказать индукцией по m.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Полиномиальные коэффициенты
Комбинаторное число k1 !k2 !...kn!m−1 !km ! , где n ≥ 1,
m
P
ki = n, называется полиномиальным
0 ≤ k1 , . . . , km ≤ n и
i=1
коэффициентом и обозначается C (k1 , . . . , km ).
Т.е.
C (k1 , . . . , km ) =
(k1 + · · · + km )!
.
k1 !k2 ! . . . km−1 !km !
Через полиномиальные коэффициенты формулу из теоремы
2.4’ можно переписать в следующем виде.
Теорема 2.4. Для всех n ≥ 1, m ≥ 2 верно
X
km
(x1 + · · · + xm )n =
C (k1 , . . . , km ) x1k1 . . . xm
.
k1 , . . . , km ≥ 0,
k1 + · · · + km = n
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Формула квадрата суммы трех переменных
Пример 2.5. Найдем формулу для выражения (x + y + z)2 .
Решение. В соответствии с теоремой 2.4 сначала нам нужно
найти всевозможные разбиения числа n = 2 на упорядоченные
суммы трех (m = 3) неотрицательных чисел.
Таких разбиений шесть:
2 = 0+0+2 = 0+1+1 = 0+2+0 = 1+0+1 = 1+1+0 = 2+0+0.
Теперь для каждой суммы надо найти соответствующий
полиномиальный коэффициент:
C (0, 0, 2) = C (0, 2, 0) = C (2, 0, 0) =
C (0, 1, 1) = C (1, 0, 1) = C (1, 1, 0) =
2!
0!0!2!
2!
0!1!1!
= 1;
= 2.
Следовательно, получаем формулу
(x + y + z)2 = z 2 + 2yz + y 2 + 2xz + 2xy + x 2 .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Сумма полиномиальных коэффициентов
Аналогично теореме 2.3 можно получить значение суммы
полиномиальных коэффициентов.
Теорема 2.5. Для всех n ≥ 1, m ≥ 2 верно
X
C (k1 , . . . , km ) = mn .
k1 , . . . , km ≥ 0,
k1 + · · · + km = n
Доказательство. Подставим в формулу из теоремы 2.4
значения x1 = · · · = xn = 1.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Число полиномиальных коэффициентов
Несложно увидеть, что в сумме
n + 1.
А сколько слагаемых в сумме
n
P
Cnk слагаемых в точности
k=0
P
C (k1 , . . . , km )?
k1 , . . . , km ≥ 0,
k1 + · · · + km = n
Понятно, что их столько же, сколько разбиений числа n на
упорядоченные суммы m неотрицательных чисел.
А их столько же, сколько сочетаний с повторениями из m
элементов по n (Почему?). Следовательно, верно следующее
Свойство 2.6. При каждых n ≥ 1, m ≥ 2 число
полиномиальных коэффициентов C (k1 , . . . , km ) при
k1 + · · · + km = n, k1 , . . . , km ≥ 0, равно C̄mn .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Число полиномиальных коэффициентов
Пример 2.6. При помощи теоремы 1.7 и свойства 2.6 найдем
число полиномиальных коэффициентов при некоторых n и m.
1. Для n = 2 и m = 3 (пример 2.5) получаем:
2
C̄32 = C3+2−1
= C42 = 6.
3
2. Для n = 3 и m = 3 получаем: C̄33 = C3+3−1
= C53 =
5·4
2!
= 10.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Изучение комбинаторных чисел
Точные формулы для нахождения биномиальных или
полиномиальных коэффициентов, других комбинаторных чисел
не всегда позволяют качественно оценить их значения.
Иногда важно знать верхнюю или нижнюю оценки
комбинаторных чисел, а иногда необходимы их порядок или
асимптотика.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Оценки биномиальных коэффициентов
Теорема 2.7. Для всех n ≥ 1, 0 ≤ k ≤ n Cnk верно
nn
0
Cnk ≤ k k (n−k)
n−k (по определению полагаем, что 0 = 1).
Доказательство. Сначала заметим, что для всех n ≥ 1 верно
n
Cn0 = 1 ≤ nnn·11 = 1, т.е. при k = 0 утверждение теоремы 2.4
верно.
Доказательство для n ≥ 1 при всех k, 1 ≤ k ≤ n проведем
индукцией по значению n.
Базис индукции. Если n = 1, то Cn1 = 1 ≤
11
00 ·11
= 1.
Индуктивный переход. Предположим, что для некоторого n ≥ 1
при всех k, 1 ≤ k ≤ n, утверждение теоремы 2.1 верно.
Рассмотрим n + 1. Тогда
k
Cn+1
=
(n + 1)!
n+1
n!
n + 1 k−1
=
·
=
·Cn .
k!(n − k + 1)!
k (k − 1)!(n − k + 1)!
k
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Оценки биномиальных коэффициентов
Доказательство (продолжение). Воспользуемся
nn
предположением индукции, что Cnk−1 ≤ (k−1)k−1 (n−k+1)
n−k+1 , и
проведем рассуждения:
n + 1 k−1 n + 1
nn
(n + 1)n k k
·Cn ≤
·
·
=
·
k
k (k − 1)k−1 (n − k + 1)n−k+1 (n + 1)n k k
(n + 1)n+1
k k−1
nn
·
·
=
k k (n − k + 1)n−k+1 (n + 1)n+1 (k − 1)k−1
k−1
1
1
+
n+1
k−1
(n + 1)
(n + 1)n+1
= k
·
≤
.
n
k (n − k + 1)n−k+1
k k (n − k + 1)n−k+1
1 + n1
=
В завершающем переходе мы воспользовались
тем, что
1 n
последовательность an = 1 + n возрастает.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Оценки полиномиальных коэффициентов
Следствие 2.7.1. Для всех m ≥ 2 и k1 , . . . , km ≥ 0 верно
C (k1 , . . . , km ) ≤
(k1 + · · · + km )k1 +···+km
km
k1k1 . . . km
(по определению полагаем, что 00 = 1).
Доказательство можно провести индукцией по m.
Базис индукции: m = 2 составляет теорема 2.7.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Исследование полученных оценок
Сложно понять, насколько верхние оценки, полученные в
теореме 2.7 и следствии 2.7.1 точны.
Например, если n – четное число, и k = n2 , по теореме 2.7
находим
n
nn
n
Cn2 ≤ n
n = 2 .
n 2
n 2
·
2
2
Т.е. оценка достаточно “груба”, т.к. мы знаем, что
n
X
Cnk ≤ 2n .
k=0
Иногда требуются более “тонкие” оценки. Они, как правило,
асимптотические.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
O-символика
Напомним некоторые определения из математического
анализа. Мы будем изучать поведение функций натурального
аргумента n при n → ∞.
Пишут ϕ(n) = O(ψ(n)), если существует такая положительная
константа C , что ϕ(n) ≤ C · ψ(n).
Если одновременно выполняются условия ϕ(n) = O(ψ(n)) и
ψ(n) = O(ϕ(n)), то говорят, что функции ϕ(n) и ψ(n) имеют
одинаковый порядок (равны по порядку), и пишут
ϕ(n) ψ(n).
Пишут ϕ(n) = o(ψ(n)), если существует такая функция χ(n),
χ(n) → 0 при n → ∞, что ϕ(n) = χ(n) · ψ(n).
Говорят, что функции ϕ(n) и ψ(n) эквивалентны
(асимптотически равны), и пишут ϕ(n) ∼ ψ(n), если
ϕ(n) = ψ(n) + o(ψ(n)).
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Асимптотика биномиальных коэффициентов
Находят асимтотику или хотя бы порядок комбинаторных
чисел.
Например, для биномиальных коэффициентов выполняются
Теорема 2.8. При k → ∞ и n − k → ∞ верно
√
n
nn
k
Cn ∼ p
· k
.
2πk(n − k) k (n − k)n−k
Следствие 2.8.1. При n → ∞ для четных значений n верно
n
2n
Cn2 ∼ p n .
π2
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Асимптотика сумм биномиальных коэффициентов
Теорема 2.9. Если ϕ(n) – произвольная сколь угодно
медленно растущая функция натурального аргумента, то
√
b 2n c+ϕ(n) n
X
√
Cnk ∼ 2n .
k=b 2n c−ϕ(n) n
Доказательство. Пусть K < b n2 c. Рассмотрим сумму
K
P
Cnk .
k=0
Сначала заметим, что для произвольного k, 0 ≤ k < K , верно
Cnk
n!
K !(n − K )!
=
·
=
K
k!(n − k)!
n!
Cn
K −k
(k + 1)(k + 2) . . . K
K
=
≤
.
(n − K + 1)(n − K + 2) . . . (n − k)
n−K
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Асимптотика сумм биномиальных коэффициентов
Доказательство (продолжение). Т.к. K < b n2 c, верно
Тогда
K
X
Cnk
=
CnK +CnK −1 +· · ·
≤
CnK
1+
k=0
K
n−K
+
K
n−K
K
n−K
< 1.
!
2
...
В больших скобках стоит сумма бесконечно убывающей
K
геометрической прогрессии со знаменателем n−K
< 1. Найдем
ее:
1
n−K
=
.
K
n
− 2K
1 − n−K
Откуда получаем оценку:
K
X
k=0
Cnk ≤ CnK ·
n−K
.
n − 2K
.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Асимптотика сумм биномиальных коэффициентов
Доказательство (продолжение). С другой стороны, пользуясь
свойством 2.1 и следствием 2.2.1, получаем CnK · (n − 2K ) =
bnc
CnK + · · · + CnK ≤ CnK + CnK +1 + · · · + Cn 2 + · · · + Cnn−K ≤ 2n
|
{z
}
n−2K
Получили оценку:
K
X
k=0
Cnk ≤ 2n ·
n−K
.
(n − 2K )2
√
Теперь, если K = b n2 c − ϕ(n) n − 1, то при n → ∞ верно
K
n
P
P
Cnk = o(2n ). А по свойству 2.1 верно
Cnk = o(2n ).
k=0
k=n−K
Этим завершается доказательство теоремы 2.9 (Почему?).
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Как распределяются значения биномиальных
коэффициентов?
Теорема 2.9 имеет простой содержательный смысл: в значение
суммы всех биномиальных коэффициентов при достаточно
больших n основной вклад вносят коэффициенты с большим
значением k (примерно половина n плюс-минус корень из n).
И наоборот, коэффициенты с малым значением k никакого
существенного вклада в значение суммы не вносят (они все
есть всего лишь o-маленькое от 2n ).
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти значение суммы
n
P
k(k − 1)Cnk .
k=0
2. Найти значение суммы
n
P
k=0
k2k .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Литература к лекции 2
1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.:
Высшая школа, 2001. Ч. II, с. 197-200, 202-214.
2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по
дискретной математике. М.: Физматлит, 2004. Гл. VIII 1.13,
1.18, 3.10.
3. Селезнева С.Н. Основы дискретной математики. М.: МАКС
Пресс, 2010
(http://mathcyb.cs.msu.su/paper/selezn/selezn-odm.pdf). Ч. 2.3,
с. 28-31.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Конец лекции 2