Оригинальные вопросы и задачи

РАЗМЕСТИТЬ НА САЙТЕ 18 марта 2013 года.
Для групп М21 и ПМИ21. Оригинальные вопросы и задачи к коллоквиуму по
линейной алгебре (составил Савватеев В.В.). Для сдачи коллоквиума необходимо
ответить на три вопроса из приведенного ниже списка. На зачёте по «Практикуму на
ЭВМ» могут быть задания, составленные по мотивам задач, входящих в этот список.
ВОПРОС 1.
Дана линейная система из 100 уравнений со 100 неизвестными. Почти все
коэффициенты расширенной матрицы системы равны 1 (кроме элементов, стоящих
на диагонали на 1-м, 4-м, 9-м и т.д. месте (номер места является квадратом)
- эти элементы равны 0). Решить ее методом Гаусса. Чему равен определитель
этой системы? Чему равно количество свободных неизвестных? Имеет ли эта
система решения, состоящие только из нулей и единиц? Найти решение системы,
в котором 50 неизвестных равны нулю, а остальные положительны и являются
(после нужной перестановки порядка следования столбцов) последовательными
членами одной и той же арифметической прогрессии с положительной разностью
прогрессии.
ВОПРОС 2.
Что такое магический квадрат? Пусть квадрат 4х4 заполнен по строкам числами
от 1 до 16. С помошью метода Гаусса получить ответ на вопрос: как поменять
местами элементы, не стоящие на диагоналях, чтобы квадрат стал магическим?
Может ли быть магическим прямоугольник с размерами 2х3 ?
ВОПРОС 3.
Вычислить определитель "в форме пропеллера с четырьмя лопастями", в котором
имеются четыре строки, заполненные следующими числами: (a 0 b a), (b c c 0),
(0 c c b), (a b 0 a), где a,b,c - известные числа. В каких случаях он равен
0? Как он выглядит для случая определителя 8-го порядка? Сколько в нем будет
нулей?
ВОПРОС 4.
Если А- единичная матрица второго порядка,
то квадрат этой матрицы получается возведением в квадрат каждого ее
элемента. А есть ли другие матрицы второго порядка, обладающие этим
свойством?
ВОПРОС 5.
Пусть А - квадратная матрица второго порядка, В - обратная к ней, а С транспонированная матрица А. Может ли быть равенство А + С = В ?
ВОПРОС 6.
Рассматривая проекции сторон правильного пятиугольника на ось ОХ и пользуясь
теоремой "проекция суммы векторов равна сумме их проекций", вывести
выражение для косинуса 72 градусов.
ВОПРОС 7.
Что такое линейно зависимая система векторов? Почему нельзя сказать:
"Система векторов является линейно зависимой в том и только в том случае,
когда кажый вектор этой системы можно линейно выразить через остальные"?
Дана система из пяти векторов, определяемых тремя числами: (1 2 3),
(квадраты этих чисел), (кубы этих чисел), и так далее. до пятых степеней
чисел 1, 2 и 3. Доказать, что эта система линейно зависима (не применяя
метода Гаусса).
ВОПРОС 8.
В 3-мерном пространстве на плоскости (XY) лежит квадрат со стороной "а" с
центром в точке (0,0) и сторонами, параллельными осям x и Y. Из каждой
вершины квадрата во внешнюю сторону проведен отрезок длины "а", лежащий на
продолжении диагонали квадрата. Затем отрезки повернуты вверх как жесткий
стержень так, что высота концевой вершины равна Н. Затем концы отрезков
соединены для образования верхнего, более широкого квадрата. Получилась
перевернутая правильная четырехугольная усеченная пирамида. С помощью метода
координат найти на оси Z точку, равноудаленную: а)от всех граней пирамиды,
кроме верхней; б)от всех вершин пирамиды.
ВОПРОС 9.
Для тела в предыдущем вопросе найти "относительную поверхность", то есть
корень 6-й степени из частного от деления куба поверхности на квадрат
объёма). На сколько процентов она больше по сравнению с телом в форме сферы?
ВОПРОС 10.
Рассказать о простейших свойствах векторного произведения векторов и о
формуле "бац минус цаб".
ВОПРОС 11.
Решить задачу "об 1/7 площади треугольника" в обратной постановке: "какую
часть надо отсекать от каждой стороны, чтобы площадь малого тр-ка составила
1/9 площади большого".
ВОПРОС 12.
Рассказать о смешанном произведении векторов. Как оно помогает найти
площадь, ограниченную замкнутой ломаной линией на плоскости?