ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Алгебраические операции
Пусть дано некоторое множество М. Будем говорить, что на множестве М задана
внутренняя алгебраическая операция, если задан закон (правило), по которому каждой
упорядоченной паре элементов а и в из М ставится в соответствие вполне определённый
элемент с. Если при этом для любой пары элементов а, в из М соответствующий элемент с
всегда тоже принадлежит М, то М замкнуто относительно данной операции.
Пусть даны два множества М и К. Будем говорить, что на множестве М задана
внешняя алгебраическая операция, если задан закон, по которому для каждой пары элементов
а  М, в  К ставится в соответствие вполне определённый элемент с  М.
Сложение и умножение действительных чисел – примеры внутренних алгебраических
операций на множестве действительных чисел. Умножение вектора на действительное число –
пример внешней алгебраической операции на множестве векторов трёхмерного евклидова
пространства.
Пусть на множестве элементов Р определены две внутренние алгебраические операции:
сложение и умножение: при сложении каждой упорядоченной паре элементов а и в из Р
взаимнооднозначно соответствует элемент с  Р (с = а + в); при умножении тоже каждой
упорядоченной паре элементов а и в из Р взаимнооднозначно соответствует элемент с  Р
(с = ав).
Определение 12. Множество элементов Р называется полем, если на нём заданы две
алгебраические операции: сложение и умножение, удовлетворяющие следующим требованиям
(аксиомам):
1.
Р замкнуто относительно обеих операций;
2.
а + в = в + а для любых элементов а и в из Р (коммутативный закон для сложения);
3.
(а + в) + с = а + (в + с) для любых элементов а, в и с из Р (ассоциативный закон);
4.
 0  Р такой, что а + 0 = а для любого а  Р;
5.
для любого а  Р существует (а)  Р такой, что а + (а) = 0;
6.
ав = ва для любых элементов а и в из Р (коммутативный закон);
7.
(ав)с = а(вс) для любых элементов а, в и с из Р (ассоциативный закон);
8.
 е Р такой, что еа = а для любого а  Р (е называется единицей и обозначается 1);
9.
для любого а Р существует а-1Р такой, что аа-1= е (а-1 – обратный элемент для а);
10.
(а + в)с = ас + вс для любых элементов а, в и с из Р.
Примерами полей являются множество рациональных чисел ( R ), множество
действительных чисел (Q ), множество комплексных чисел (С ).
Определение и примеры линейных пространств
Пусть даны множество элементов L и поле Р. Элементы из L будем называть
векторами. В качестве поля Р будем использовать поле действительных (иногда –
комплексных) чисел. Векторы будем обозначать а, в, …; элементы из Р  , , , …
Определение 13. Множество элементов L называется линейным (векторным)
пространством над полем Р, если на L определены две алгебраические операции: сложение
векторов и умножение их на элементы поля Р, удовлетворяющие следующим условиям:
1.
L замкнуто относительно обеих операций;
2.
а + в = в + а для любых а и в из L.;
3.
(а + в) + с = а + (в + с) для любых элементов а, в и с из L;
4.
 0  L такой, что а + 0 = а для любого а  L;
5.
для любого а  L существует (а)  L такой, что а + (а) = 0;
6.
1а = а для любого а  L;
7.
()а = (а) для любого а  L и любых ,   Р ;
8.
( + )а = а + а для любого а  L и любых ,   Р ;
9.
(а + в) = а + в для любых а и в из L и любого   Р (дистрибутивный
закон).
Примеры: I. L = 0, Р – любое поле.
II. Множество всех коллинеарных геометрических векторов.
III. Множество всех компланарных геометрических векторов.
IV. Множество всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства.
V. Множество всех многочленов степени не выше n с действительными (комплексными)
коэффициентами.
VI. Множество всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами.
VII. Множество всех действительных непрерывных на отрезке ав функций.
Линейная зависимость и независимость векторов
Пусть L – линейное пространство над полем Р. Пусть а1, а2, … , аn
()
конечная система векторов из L. Вектор в = 1а1 + 2а2 + … + nаn
( 16) называется
линейной комбинацией векторов (), или говорят, что вектор в линейно выражается через
систему векторов ().
Определение 14. Система векторов () называется линейно зависимой, тогда и только
тогда, когда существует такой ненулевой набор коэффициентов 1, 2, … , n, что
1а1 + 2а2 + … + nаn = 0. Если же 1а1 + 2а2 + … + nаn = 0  1 = 2 = … = n = 0, то
система () называется линейно независимой.
Свойства линейной зависимости и независимости.
0
1 . Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Действительно, если в системе () вектор а1 = 0, то 10 + 0а2 + … + 0аn = 0.
20. Если система векторов содержит два пропорциональных вектора, то она линейно
зависима.
Пусть а1 = а2. Тогда 1а1 –а2 + 0а3 + … + 0аn = 0.
30. Конечная система векторов () при n  2 линейно зависима тогда и только тогда, когда
хотя бы один из её векторов является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.
 Пусть () линейно зависима. Тогда найдётся ненулевой набор коэффициентов 1, 2, … , n,
при котором 1а1 + 2а2 + … + nаn = 0 . Не нарушая общности, можно считать, что 1  0.
Тогда существует 11 и а1 = 11 2а2 + … + 11 nаn. Итак, вектор а1 является линейной
комбинацией остальных векторов.
 Пусть один из векторов () является линейной комбинацией остальных. Можно считать, что
это первый вектор, т.е. а1 = 2а2 + … + nаn, Отсюда (–1)а1 + 2а2 + … + nаn = 0, т.е. ()
линейно зависима.
Замечание. Используя последнее свойство, можно дать определение линейной
зависимости и независимости бесконечной системы векторов.
Определение 15. Система векторов а1, а2, … , аn , … () называется линейно
зависимой, если хотя бы один её вектор является линейной комбинацией некоторого
конечного числа остальных векторов. В противном случае система () называется линейно
независимой.
40. Конечная система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из её
векторов нельзя линейно выразить через остальные её векторы.
50. Если система векторов линейно независима, то любая её подсистема тоже линейно
независима.
60. Если некоторая подсистема данной системы векторов линейно зависима, то и вся система
тоже линейно зависима.
Пусть даны две системы векторов а1, а2, … , аn , … (16) и в1, в2, … , вs, …
(17).
Если каждый вектор системы (16) можно представить в виде линейной комбинации конечного
числа векторов системы (17), то говорят, что система (17) линейно выражается через систему
(16).
Определение 16. Две системы векторов называются эквивалентными, если каждая из
них линейно выражается через другую.
Теорема 9 (основная теорема о линейной зависимости).
Пусть
a1, a2 ,..., an и b1, b2 ,..., bs – две конечные системы векторов из L. Если первая
система линейно независима и линейно выражается через вторую, то n  s.
Доказательство. Предположим, что n  s. По условию теоремы
система
a1, a2 ,..., an линейно независима, то
 a1  11  b1  12  b2  ...  1s  bs , Так как
a    b    b  ...    b , равенство x  a  x  a  ...  x  a  0 (18)  х1=х2=…=хn= 0.
1
1
2
2
n
n
 2
21
1
22
2
2s
s

Подставим
сюда
выражения
векторов
a1, a2 ,..., an :
......................................

 an   n1  b1  an 2  b2  ...   ns  bs x1  (11b1  ...  1sbs )  …+ xn  ( n1  b1  ...   ns  bs ) =0
(19).
Отсюда ( x111  ...  xn n1 )  b1  ...  ( x11s  ...  xn ns )  bs  0 (20).
Условия (18), (19) и (20), очевидно, эквивалентны. Но (18)
 x111  x2 21  ...  xn n1  0,
выполняется только при х1=х2=…=хn= 0. Найдём, когда верно
 x   x   ...  x   0,
равенство (20). Если все его коэффициенты равны нулю, то
 1 12 2 22
n n2
(21) оно, очевидно, верно. Приравняв их нулю, получим систему

 ....................................
(21). Так как эта система имеет нулевое решение, то
 x11s  x2 2 s  ...  xn ns  0.
она
совместна. Так как число уравнений больше числа неизвестных, то система имеет бесконечно
много решений. Следовательно, у неё есть ненулевое решение х10, х20, …, хn0. При этих
значениях равенство (18) будет верно, что противоречит тому, что система векторов a1, a2 ,..., an
линейно независима. Итак, наше предположение не верно. Следовательно, n  s.
Следствие. Если две эквивалентные системы векторов конечны и линейно независимы,
то они содержат одинаковое число векторов.
Определение 17. Система векторов называется максимальной линейно независимой
системой векторов линейного пространства L, если она линейно независима, но при
добавлении к ней любого вектора из L , не входящего в эту систему, она становится уже
линейно зависимой.
Теорема 10. Любые две конечные максимальные линейно независимые системы
векторов из L содержат одинаковое число векторов.
Доказательство следует из того, что любые две максимальные линейно независимые
системы векторов эквивалентны.
Легко доказать, что любую линейно независимую систему векторов пространства L
можно дополнить до максимальной линейно независимой системы векторов этого
пространства.
Примеры:
1. Во множестве всех коллинеарных геометрических векторов любая система, состоящая их
одного ненулевого вектора, является максимальной линейно независимой.
2. Во множестве всех компланарных геометрических векторов любые два неколлинеарных
вектора составляют максимальную линейно независимую систему.
3. Во множестве всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова
пространства любая система трёх некомпланарных векторов является максимальной линейно
независимой.
4. Во множестве всех многочленов степени не выше n с действительными (комплексными)
коэффициентами система многочленов 1, х, х2, … , хn является максимальной линейно
независимой.
5. Во множестве всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами
примерами максимальной линейно независимой системы являются
а) 1, х, х2, … , хn, … ;
б) 1, (1 – х), (1 – х)2, … , (1 – х)n, …
6. Множество матриц размерности mn является линейным пространством (проверьте это).
Примером максимальной линейно независимой системы в этом пространстве является система
 1 0 ... 0 
 0 1 ... 0 
 0 0 ... 0 






 0 0 ... 0 
 0 0 ... 0 
 0 0 ... 0 
матриц Е11 = 
, Е12 = 
, … , Еmn = 
.
. . ... . 
. . ... . 
. . ... . 






 0 0 ... 0 
 0 0 ... 0 
 0 0 ... 1 






Пусть дана система векторов с1, с2, … , ср (). Подсистема векторов из () называется
максимальной линейно независимой подсистемой системы (), если она линейно
независима, но при добавлении к ней любого другого вектора этой система она становится
линейно зависимой. Если система () конечна, то любая её максимальная линейно независимая
подсистема содержит одно и то же число векторов. (Доказательство проведите самостоятельно).
Число векторов в максимальной линейно независимой подсистеме системы () называется
рангом этой системы. Очевидно, эквивалентные системы векторов имеют одинаковые ранги.
Базис векторного пространства. Координаты вектора
Пусть L – линейное пространство над полем Р.
Определение 18. Базисом линейного пространства называется любая упорядоченная
максимальная линейно независимая системе его векторов.
Базису можно дать другое определение, эквивалентное приведённому.
Определение 19.
Базисом линейного пространства L
называется любая
упорядоченная система а1, а2, … , аn , … () его векторов, удовлетворяющая следующим
требованиям:
1.
любой вектор из L можно представить в виде линейной комбинации конечного числа
векторов из ();
2. ни один вектор ак из системы () нельзя представить в виде линейной комбинации
конечного числа остальных векторов из ().
Теорема 11. Если линейное пространство L имеет конечный базис, то все базисы
этого пространства конечны и содержат одно и то же число векторов.
Доказательство. Любые два базиса эквивалентны. Так как каждый из них линейно
независим, то отсюда и следует утверждение теоремы.
Определение 20. Линейное пространство называется бесконечно мерным, если в нём
есть базис, содержащий бесконечное множество векторов. Если все базисы пространства
содержат n векторов, то пространство называется n-мерным.
Размерность линейного пространства будем обозначать dimL.
Примеры. 1. Множество всех коллинеарных геометрических векторов есть одномерное
линейное пространство. Базисом является любой ненулевой вектор.
2. Множество всех компланарных геометрических векторов есть двумерное линейное
пространство. Базисом является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.
3. Множество всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства
есть трёхмерное линейное пространство. Базисом будет любая упорядоченная тройка
некомпланарных векторов.
4. Множество всех многочленов степени не выше n с действительными (комплексными)
коэффициентами есть (n + 1)-мерное линейное пространство. Система 1, х, х2, … , хn – один из
базисов в нём.
5. Множество всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами есть
бесконечно мерное линейное пространство. Система 1, х, х2, … , хn, … – один из базисов в нём.
6. Арифметическое n-мерное пространство. Пусть Аn – множество всех возможных
упорядоченных наборов а =(1, 2,… , n ) действительных чисел. Если в = (1, 2, … , n), то
сумму наборов и умножение набора на действительное число определим следующим образом:
а + в = (1 + 1, 2 + 2, … , n + n);
а = (1, 2, … , n). Легко проверить, что все
требования определения 13 выполняются, т.е. Аn является линейным пространством. Очевидно,
система е1 = (1, 0, … ,0), е2 = (0, 1, … 0), … , еn = (0, 0, … , 0) является линейно независимой.
Если а =(1, 2,… , n ) – любой набор, то а = 1е1 + 2е2 + … + nеn. Следовательно, система
е1, е2, … , еn является базисом в Аn, т.е. Аn – n-мерное линейное пространство.
 1 0 ... 0 


 0 0 ... 0 
7. Во множестве матриц размерности mn является система матриц Е11 = 
,
. . ... . 


 0 0 ... 0 


 0 1 ... 0 
 0 0 ... 0 




 0 0 ... 0 
 0 0 ... 0 
Е12 = 
, … , Еmn = 
.
. . ... . 
. . ... . 




 0 0 ... 0 
 0 0 ... 1 




Пусть L – n-мерное линейное пространство и В = е1, е2, … , еn  базис в нём. Если
а – любой вектор из L, то а = 1е1 + 2е2 + … + nеn.
Определение 21. Упорядоченный набор коэффициентов, с помощью которых данный
вектор выражается через базисные векторы, называется координатами этого вектора в данном
базисе. Обозначение а = 1, 2, … , n.
Если Через е = (е1, е2, … , еn ) обозначить строку базисных векторов, а через х –
столбец координат вектора а, т.е. х = (1, 2, … , n)Т, то а = ех
(22). Это матричная
запись вектора в данном базисе.
Теорема 12. Каждый вектор пространства L имеет в базисе В единственный набор
координат.
Доказательство. По определению базиса каждый вектор имеет хотя бы один набор
координат. Предположим, что некоторый вектор а имеет в базисе В два различных набора
координат, т.е. а = 1е1 + 2е2 + … + nеn и а = 1е1 + 2е2 + … + nеn . Будем считать, что
1  1. Тогда 1е1 + 2е2 + … + nеn = 1е1 + 2е2 + … + nеn . Отсюда
(1 – 1)е1 = (2 – 2)е2 + … + (n – n)еn.
2   2
n   n
 e2  ... 
 en , т.е. один из базисных векторов выразился через остальные
е1 =
1  1
1  1
векторы базиса, что противоречит определению 19. Итак, 1 = 1. Аналогично получается
равенство остальных соответствующих координат.
Теорема 13. Если векторы заданы координатами в одном и том же базисе, то при
сложении векторов складываются их соответствующие координаты, при умножении вектора на
действительное (комплексное) число на это число умножается каждая его координата.
Доказательство проведите самостоятельно.
Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах
Пусть L – линейное пространство над полем Р и пусть в нём зафиксированы два
базиса е = (е1, е2, … , еn ) и е1 = (е11, е21, … , еn1 ). Пусть
Если ввести матрицу
 11 12 ... 1n 


  21  22 ...  2 n 
Т= 
,
.
. ... . 





...

n2
nn 
 n1
 e11  11e1   21e2  ...   n1en ,
1
e2  12e1   22e2  ...   n 2en ,
(23)

 .....................................
 e1n  1ne1   2 ne2  ...   nnen
то систему (23) можно
записать в матричном
виде
е1 = еТ
(24).
Матрица Т называется матрицей перехода от базиса е к базису е1. Так как векторы
е1 ,
… , еn1 линейно независимы, то матрица Т невырожденная.
Если вектор а в базисе е имеет координаты х = (1, 2, … , n)Т, а в базисе е1 его
координаты х1 = (1, 2,…, n)Т, то а = ех и а = е1х1. отсюда ех = е1х1. Используя формулу
(24), получим ех = (еТ)х1 = е (Тх1). Отсюда
х = Тх1 (25). Формула (25) даёт связь
координат одного и того же вектора в разных базисах. Её называют формулой преобразования
координат.
Пример. Пусть е = (е1, е2, е3 , е4 ) – базис в пространстве L4. Пусть е11 = 2е1 – 3е3 ,
1
е2 = е2 + е4 , е31 = 4е1 + е2 – е4 , е41 = е2 + 3е3 – е4 ; е111 = е1 + е2 , е211 = е1 – е3 , е311 = е3 + е4 ,
е411 = е3 – е4 . Покажите, что е1 = (е11, е21, … , еn1 ) и е11 = (е111, е211, … , еn11 ) являются
базисами в L.. Вектор а в базисе е1 имеет координаты (1, 4, –2, 5). Найдите координаты этого
вектора в базисе е11.
Решение. Составим определители матриц перехода Т1 и Т2 от базиса е к е1 и е11
соответственно.
2 0 4 0
1 1 0 0
2 0 4 0
2 0 4
0 1 1 1
1 0 0 0
1 1 1 1
Т1 =
, Т2 =
,
Т1=
 3  1 1 1 =–12
3 0 0 3
0 1 1 1
0 0 0 3
1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
1 1 1 1
1
е21,
1
0
0
Т2 =  1   1 1
0
1 = 2. Так как матрицы Т1 и Т2 невырожденные, то е1 и е11 – базисы.
1 1
Из формулы (25) следует х = Т1х1, х = Т2х11. Отсюда Т1х1 = Т2х11, х11 = (Т2-1Т1)х1.
Найдём Т2-1. Для этого вычислим все алгебраические дополнения элементов матрицы Т2.
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0
0
1 ,
1 = 1, А13 = 0  1 1 = 1, А14 = – 0  1 1 = 1, А21 = –  1 1
0 1 1
0 0 1
0 0 1
0 1 1
А11= 0, А12 = – 0 1
1 0
0
А22 = 0 1
1 = –2, А23
0 1 1
1 0
А32 = – 1 0
0
0 = 0,
0 1 1
0
0
1 1
1 1 0
1 0 0
0
1 = –1, А24 = 0  1 1 = –1, А31 = 0 0 0 = 0,
0 0 1
0 1 1
1
0
А33 = 1 0
1 0 0
А42 = 1 0 0 = 0. А43
0 1 1
1 1
= – 0 1
0 = 1,
0 0 1
1
= – 1
1
0
0
0 = 1,
1 1 1
1 1 0
А34 = – 1 0 0 = –1,
0 0 1
1
А44 = 1
1
1
0 0
А41 = – 0
0 0 = 0,
1 1 1
0
0 0 = –1. Используя найденные
0 1 1
алгебраические дополнения, получим
Т2-1 =
 x111 
 0 1 0 0   2
 11 

 
1 1  2 0 0   0
 x2 
 11  = 2   1  1 1 1     3
 x3 

 
 1  1  1  1  0
 x11 

 
 4 
0
1
3
  1 
  
  4 
    2
  
1  1  1  5 
0
1
0
4
1
0
7
вектор имеет координаты (  ; –10; 0; –17).
2
 0 1

1 1  2

2 1 1

1 1

 7
 
 2
=   10  .
 0 


  17 



.

 1  1
0
0
1
0
0
1
Следовательно,
Итак, в базисе е11 данный