§ 7. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА (продолжение) 3. Понятие линейной зависимости и независимости. Базис Напомним, что если M – некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на числа, то выражение 1 m1 2 m 2 k m k (где m1 , m 2 , , m k M , 1 , 2 , , k – числа) называют линейной комбинацией элементов m1 , m 2 , , m k с коэффициентами 1 , 2 , , k . Если m M и m является линейной комбинацией элементов m1 , m 2 , , m k , т.е. m 1 m1 2 m 2 k m k , то говорят, что m линейно выражается через элементы m1 , m 2 , , m k . Пусть L – линейное пространство над ℝ(ℂ), a1 , a2 , , ak L . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что векторы a1 , a2 , , ak линейно зависимы, если существуют числа 1 , 2 , , k , не все равные нулю и такие, что линейная комбинация 1 a1 2 a2 k ak равна нулевому элементу o линейного пространства L . Если же равенство 1 a1 2 a2 k ak o возможно только при условии 1 2 k 0 , то векторы a1 , a2 , , ak называют линейно независимыми. Справедливо следующее утверждение. ЛЕММА 4. Векторы a1 , a2 , , ak линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1) Необходимость. Пусть векторы a1 , a2 , , ak – линейно зависимы. Тогда по определению существуют числа 1 , 2 , , k , не все равные нулю и такие, что 1 a1 2 a2 k ak o . Пусть, например, 1 0 . Тогда 1 a1 2 a2 k ak , a1 2 a2 k ak . 1 1 2) Достаточность. Пусть один из векторов a1 , a2 , , ak линейно выражается через оставшиеся. Например, пусть 1 a1 2 a2 3 a3 k ak . a1 2 a2 3 a3 k ak o . Следовательно, векторы a1 , a2 , , ak – линейно зависимы. Замечание. Часто в качестве определения линейно зависимых векторов берут формулировку леммы 4. ПРИМЕРЫ. 1) Рассмотрим матрицы 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 E1 , E2 , E3 , E4 , A . 0 0 0 0 1 0 0 1 3 4 Матрицы E1 , E 2 , E 3 , E 4 , A – линейно зависимы, матрицы E1 , E 2 , E 3 , E 4 – линейно независимы. 2) Многочлены g1 ( x ) 1, g2 ( x ) x , g3 ( x ) x 2 , g4 ( x ) (1 x )2 – линейно зависимы, так как g4 ( x ) является линейной комбинацией g1 ( x ) , g2 ( x ) , g3 ( x ) . Многочлены f1 ( x ) 2 x 1 , f 2 ( x ) x 2 , f 3 ( x ) x 3 x 1, f 4 ( x ) x 4 1 – линейно независимы. 3) Пусть a1 (2; 3; 1) , a 2 (3; 1; 5 ) , a 3 (1; 4; 3 ) . Выясним, является ли эта система векторов пространства ℝ 3 линейно зависимой. 1a1 2 a 2 3a 3 o . Пусть 1a1 2 a 2 3a 3 Тогда имеем: (21; 31; 1 ) (3 2 ; 2 ; 5 2 ) ( 3 ; 4 3 ; 3 3 ) (21 3 2 3 ; 31 2 4 3 ; 1 5 2 3 3 ) ( 0; 0; 0 ) . 21 3 2 3 0 , 31 2 4 3 0 , 1 5 2 3 3 0 . Таким образом, векторы a 1 , a 2 , a 3 будут линейно независимыми, если 1 2 3 0 – единственное решение системы. Согласно критерию единственности решения системы (см. §4) это будет иметь место, если r(A ) n , где A – матрица системы, n – число неизвестных. A 35 0 , В нашем случае имеем: r( A ) 3 . Следовательно, система имеет только тривиальное решение 1 2 3 0 , и, значит, векторы a 1 , a 2 , a 3 – линейно независимые. 2 Теперь рассмотрим n ( n 3 ) произвольных векторов из ℝ 3 : a 1 ( a11 , a21 , a31 ) , a 2 ( a12 , a22 , a32 ) , , a n ( a1n , a2 n , a3 n ) . Эти векторы всегда будут линейно зависимы. Действительно, рассмотрение линейной комбинации 1a1 2 a 2 n a n o приведет нас к системе уравнений 1a11 2 a12 n a1n 0 , 1a21 2 a22 n a2 n 0 , 1a31 2 a32 n a3 n 0 . Так как A – матрица размера 3 n и n 3 , то ее ранг r(A ) 3 n . Следовательно, система будет иметь нетривиальные решения, и, значит равенство 1a1 2 a 2 n a n o возможно не только при нулевых коэффициентах. Таким образом, мы можем утверждать, что в пространстве ℝ 3 линейно независимых векторов может быть не более трех. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства называется базисом этого линейного пространства. Иначе говоря, векторы e1 , e2 , , e n L образуют базис в линейном пространстве L если выполняются два условия: 1) e1 , e2 , , e n – линейно независимы; 2) e1 , e2 , , e n , a – линейно зависимы для любого вектора a из L . Очевидно, что в линейном пространстве существует не единственный базис (например, легко доказать, что если e1 , e2 , , e n образуют базис в линейном пространстве L и 1 , 2 , , n – отличные от нуля действительные числа, то векторы 1e1 , 2 e2 , , n en тоже будут базисом). Но справедлива следующая теорема. ТЕОРЕМА 5. Любые два базиса линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов. Если в линейном пространстве L существует базис из n векторов, то пространство называют конечномерным, а n называют размерностью линейного пространства (пишут: dim L n ). Если в линейном пространстве L для любого натурального n можно найти линейно независимую систему векторов, то пространство называют бесконечномерным (пишут: dim L ). ПРИМЕРЫ. 1) Линейное пространство M (2 2, ℝ ) 3 матриц второго порядка с элементами из ℝ имеет размерность dim M (2 2, ℝ ) 4 . Его базисом будут, например, матрицы 1 0 0 1 0 0 0 0 E1 , E2 , E3 , E4 . 0 0 0 0 1 0 0 1 Базис E1 , E 2 , E 3 , E 4 в дальнейшем будем называть стандартным базисом пространства M (2 2, ℝ ) . 2) Множество свободных векторов плоскости V ( 2) является конечномерным линейным пространством. Его размерность dimV (2 ) 2 . Базисом будут являться любые два неколлинеарных вектора. Действительно, пусть e1 , e2 – неколлинеарные векторы на плоскости. Покажем, что они линейно независимы. Пусть 1e1 2 e2 0 . Предположим, что хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации отличен от нуля. Например, 1 0 . Тогда e1 2 e , 1 2 и, значит, векторы e1 и e2 – коллинеарные. Следовательно, предположение неверно и линейная комбинация векторов e1 , e2 равна нулевому вектору только при 1 2 0 , что и означает линейную независимость векторов e1 , e2 . Теперь покажем, что любой вектор a V ( 2 ) можно представить в виде линейной комбинации векторов e1 и e2 . Для этого построим векторы CA a , CE 1 e1 и CE 2 e2 . Через точку e2 E 2 A проведем прямые параллельные векторам A2 e1 и e2 . Точки пересечения этих прямых и a прямых, на которых лежат векторы e1 и e2 , C обозначим соответственно A1 и A2 . По правилу параллелограмма имеем: a CA CA 1 CA 2 . Но векторы CA 1 и CE 1 коллинеарны, и, следовательно, CA1 CE1 e1 для некоторого ℝ. Аналогично CA2 CE2 e2 . Таким образом, получили a e1 e2 . 4 A E1 A1 e1 3) Линейное пространство V ( 3 ) свободных векторов пространства имеет размерность dimV (3 ) 3 . Легко доказать, что базисом в пространстве V ( 3 ) являются любые три некомпланарных вектора. Замечание. Хотя в качестве базиса на плоскости (в пространстве) можно взять любые два неколлинеарных (любые три некомпланарных) вектора, на практике предпочитают работать с декартовым прямоугольным базисом i , j ( i , j , k ). Это единичные векторы, которые сонаправлены координатным осям Ox и Oy соответственно (сонаправлены координатным осям Ox , Oy и Oz соответственно). 4) Арифметическое линейное пространство ℝ n тоже является конечномерным. Его размерность dim ℝ n n . Базисом будут являться, например, векторы e1 (1; 0; , 0 ) , e 2 ( 0; 1; , 0 ) , , e n ( 0; 0; , 1) (будем называть его стандартным базисом пространства ℝ n ). 5) Пусть задана некоторая система линейных однородных уравнений AX O , имеющая нетривиальные решения. Множество ℋ ее решений является конечномерным линейным пространством. Его базисом будет фундаментальная система решений, и, следовательно, dim ℋ n r , где n – число неизвестных, r – ранг матрицы A 6) Линейное пространство ℝ [x] многочленов с коэффициентами из ℝ является бесконечномерным. Легко проверить, что для любого натурального n многочлены f 0 ( x ) 1 , f1 ( x ) x , f 2 ( x ) x 2 , , f n ( x ) x n будут линейно независимы. Роль базиса в линейном пространстве характеризует следующая теорема. ТЕОРЕМА 6 (о базисе). Каждый вектор линейного пространства линейно выражается через любой его базис, причем единственным образом. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть e1 , e2 , , e n – базис линейного пространства L и a – произвольный вектор из L . Тогда, по определению, e1 , e2 , , e n – линейно независимы, а e1 , e2 , , e n , a – линейно зависимы. Следовательно, существуют числа 1 , 2 , , n , не все равные нулю и такие, что линейная комбинация 5 1 e1 2 e2 n en a o . Причем, коэффициент не может быть равен нулю. Действительно, если 0 , то 1 e1 2 e2 n en o , где коэффициенты 1 , 2 , , n не все равны нулю. Так как существует нулевая линейная комбинация элементов e1 , e2 , , e n с коэффициентами, среди которых есть ненулевые, то e1 , e2 , , e n – линейно зависимые. Но они по условию образуют базис, и, следовательно, линейно независимы. Так как 0 , то a линейно выражается через e1 , e2 , , e n : a 1 e1 2 e2 n en , a 1 e1 2 e2 n en . Теперь докажем, что a линейно выражается через базис единственным образом. Предположим противное. Пусть a 1 e1 2 e2 n en a 1 e1 2 e2 n en , и причем i i хотя бы для одного i 1, n . Пусть для определенности 1 1 . Тогда a a (1 e1 2 e2 n en ) ( 1 e1 2 e2 n en ) , o (1 1 ) e1 ( 2 2 ) e2 ( n n ) en . Так как 1 1 , то 1 1 0 . Таким образом, получили, что существует нулевая линейная комбинация векторов e1 , e2 , , e n , среди коэффициентов которой есть ненулевые. Значит e1 , e2 , , e n – линейно зависимые. Но они по условию линейно независимы, так как образуют базис. Следовательно, предположение неверное и вектор a разлагается по базису e1 , e2 , , e n единственным образом. 6