Чуднова Е.Р.

Чуднова Е.Р., педагог-психолог
Культурные аспекты детского математического знания
Данная статья представляет собой обзор англоязычной литературы по обозначенной теме. На мой взгляд, эта тема актуальна применительно к русскоязычной культуре
массового школьного образования. В ситуации, когда едва ли удается нивелировать культурные различия математического (или общеязыкового) знания, и это неминуемо сказывается на академической успеваемости ребенка, родителям важно осознавать, что эти различия лишь подчеркивают ценность их семейных традиций и особенностей, а учителям следует руководствоваться в своей логике построения диалога с учеником не законом исключенного третьего, а законом тождества.
Есть люди, которые полагают, что математика «культурно свободна». Не имеет значения, кто «занимается» математикой, ведь задачи остаются неизменными. Эти люди
не понимают природу культуры и ее глубокого воздействия на сознание.
Gloria Ladson-Billings “It doesn’t add up”
Излишне доказывать, что весьма маленькие дети, может быть, даже младенцы обладают определенным пониманием порядкового счета и арифметики. Еще до того, как они
получают формальные знания по математике, большинство детей способны пересчитывать и сравнивать предметы в небольших количествах, многие демонстрируют понимание
основных арифметических операций, таких как сложение и вычитание. Способы, которые
при этом используют дети, часто отличаются от тех, которые преподаются в школе, хотя в
основе тех и других могут лежать одинаковые математические принципы, которые и формируют основу школьного знания (Carreher, Schliemann and Carreher 1988; Klein and Starkey 1988; Nunes 1995; Resnick 1986). Тот факт, что дети, принадлежащие к широкому ряду
культур и находящиеся в различных условиях, приобретают схожие математические представления, не требующие при этом многословных объяснений, заставил исследователей
выделить универсальные единицы детского математического мышления и рассматривать
число в качестве естественной области человеческого знания
Таким образом, нет ничего удивительного в том, что дети, выросшие в самых различных областях, развивают схожие математические представления. «В какой культуре –
как бы она ни была бедна – будет недоставать предметов для счета? Какая культура не
предоставит возможность добавить нечто к тому, что уже было до этого? Кажется, что математические явления и феномены универсальны для всего физического мира (Baron and
Ginsburg 1993, p. 5)». Исследования нескольких групп американцев, различающихся по
расе и социальному классу (Ginsburg and Baron 1993; Ginsburg and Russell 1981; Saxe, Guberman and Gearhart 1987), а также детей из различных культур (Ginsburg, Posner and Russel 1981; Guberman 1996; Petitto and Ginsburg 1982; Saxe 1991; Song and Ginsburg 1987)
констатируют устойчивые и схожие математические представления и, тем самым, подтверждают участие универсальных единиц в развитии детского математического мышления.
Очевидно также, что математическое знание различается в зависимости от социального класса и культурной группы. Значительное внимание общества и ученых (Secada
1992; Stevenson and Stigler 1992; Tate 1997) привлекли национальные и социальные классовые различия в школьной успеваемости по математике, в некоторой степени отражающие ситуацию до поступления в школу. Азиатские дети – еще до получения каких-либо
1
формальных знаний по математике – демонстрируют более высокий уровень успешности
при решении многих математических задач, нежели американские сверстники (Geary et al.
1993; Miura 1987; Song and Ginsburg 1987). Американские ученые (Ginsburg and Russell
1981) обнаружили, что социальный класс играет роль при решении некоторых задач, и все
же они делали акцент на изначальной силе дошкольного мышления, несмотря на социальный класс и расу. Другие исследователи (Saxe et al. 1987) заметили, что дошкольники, которых они изучали – дети из белых семей среднего и рабочего классов, – показывали значительные знания по математике, хотя дети среднего класса демонстрировали более высокий уровень, нежели дети рабочего класса в задачах, касающихся воспроизведения чисел,
натурального ряда и арифметики. Обзор исследований социального неравенства у дошкольников (Secada 1992) позволил сделать заключение о том, что очевидна академическая беспомощность многих детей из малообеспеченных семей при поступлении в школу
по сравнению с их сверстниками, принадлежащими к среднему классу.
Различная школьная успеваемость детей, принадлежащих к разным нациям и социальным контекстам, находила множество объяснений у огромного числа ученых. Общие
источники групповой вариативности математических достижений детей школьного возраста включают: структуру образовательной программы по математике; ожидания и ориентацию на успех, присущие детям, родителям и учителям; разногласия между домом и
школой; и культурная значимость математики и школьного обучения вообще (Geary et al.
1993; Gutstein et al. 1997; Ladson-Billings 1997; Pellegrini and Stanic 1993; Stevenson and
Stigler 1992). Несравнимо меньше мы знаем о причинах групповых различий при оценке
математических достижений детей, находящихся на пороге формального обучения.
Объяснения культурных различий в области детского математического знания
Наиболее общее объяснение различий в области детского математического знания
предполагает, что эти различия в большинстве своем поверхностны. Например, дети одного из регионов Папуа Новой Гвинеи используют систему счисления с основанием «27»
(по количеству частей тела), которая не имеет явной структуры, и, тем не менее, их счет
подобен счету западных детей - и те, и другие следуют одному из главных принципов:
однозначное соответствие между словом, которое обозначает число, и количеством объектов (Klein and Starkey 1998). Схожим образом, другой исследователь отмечает, что при
сравнении математики, которой пользуются бразильские дети, торгующие на улицах, и
математики, преподаваемой в школе, с точки зрения скрытых математических свойств,
оказалось, что им присущи одни и те же свойства (Nunes 1995). И, хотя некоторые исследователи делали важное разграничение между детским формальным и неформальным математическим знанием (Song and Ginsburg 1987), они оценивали неформальные математические знания корейских детей с помощью задач, разработанных для американских детей,
основываясь тем самым на невысказанном предположении о том, что эти знания могут
варьировать в количестве, но отнюдь не в качестве. С этой точки зрения, поверхностные
свойства детского математического знания и уровня его развития могут варьировать в зависимости от группы, но овладение математическими принципами предполагает инвариантную и универсальную последовательность (Klein and Starkey 1988). Схожие аргументы
были предложены теорией Пиаже для объяснения культурных различий в когнитивном
развитии (Dasen 1972; Piaget 1972).
Альтернативный подход к пониманию развития детского математического знания,
разрабатываемый сначала Выготским (1978), а затем его последователями (Forman,
Minick, and Stone 1993; Wertsch 1985), особенно хорошо подходит для оценки социальных
и культурных аспектов детского математического мышления. Данная точка зрения была
хорошо описана (Terezinha Carraher 1989, p. 320): «Полагаю, что математическое знание
является не результатом развертывания когнитивного развития, а скорее культурной практикой, в которой люди становятся все более профессиональны по мере обучения и овла2
дения определенными способами репрезентации чисел и количества, а также соответствующими операциями». В этой перспективе «культурной практики» (Goodnow, Miller,
and Kessel 1995; Scribner and Cole 1981) развитие детского математического знания отражает деятельности, в которых участвует ребенок и культурные инструменты, которые он
при этом использует (Saxe 1991). Два исследовательских направления – детские математические упражнения вне школы и лингвистические аспекты системы счисления – иллюстрируют данный подход.
Культурные вариации в детской математической деятельности
Очевидным, но мало изученным источником культурных различий в детском математическом знании является то, что общности различаются между собой по тем возможностям, которые предоставляются детям для участия в математической деятельности.
Например, некоторые исследователи полагают, что корейские дошкольники менее компетентны, нежели американские дети, в задачах, направленных на проверку их неформальных математических знаний, поскольку для корейских детей существует ограниченное
количество для участия в математической деятельности до поступления в школу. Культурные устои, которые удерживают многих корейских родителей от объяснения своим детям счета и денежных единиц, таким образом, могут влиять на детскую математическую
деятельность и соответствующие достижения (Song and Ginsburg 1987).
Повседневная деятельность детей и математика, которую дети изучают, участвуя в
ней, формируются множеством факторов. Для многих бедных детей участие в коммерческих транзакциях - экономическая необходимость (Nunes, Schliemann, and Carraher 1993;
Oloko 1994; Saxe 1991). Для этого они развивают математические системы, которые хорошо подходят для их целей. Изучение маленьких бразильских детей, участвующих в
продаже сладостей (Saxe 1991) и уличной торговли в Нигерии (Oloko 1994) показывает,
что дети с небольшими формальными знания по математике развивают определенные математические навыки в своих ежедневных коммерческих транзакциях, включая способность быстро посчитать стоимость и правильно дать сдачу, не записывая вычисления на
бумаге. Что касается уличной математики, то дети исключительно редко используют
письменные вычисления (Nunes, Schliemann and Carraher 1993). И действительно, бразильские продавцы сладостей, которые достаточно компетентны при использовании местных
денег, сталкиваются со значительными трудностями при узнавании чисел на бумаге (Saxe
1991). Подобно другим формам повседневного познания (Guberman and Greenfield 1991;
Scribner 1984), математическое знание, которое дети приобретают в ежедневной деятельности, может быть гибко использовано для решения широкого ряда проблем, с которыми
они сталкиваются в своей практике, хотя в других обстоятельствах его польза может быть
весьма ограничена (Lave 1988; Schliemann et al. 1998). Например, дети из Нигерии, которые работают в уличной торговле, показывают гораздо худший результат, нежели не работающие дети, в тесте на время, проверяющем арифметические навыки, возможно, из-за
того, что неформальные процедуры, используемые в уличной торговле, требуют больше
времени, чем соответствующие алгоритмы (Oloko 1994).
Деятельность, предоставляющая детям математический контекст, также весьма
разнообразна и среди американских этнических групп. В исследовании, сравнивающем
латиноамериканских и корейских детей, живущих в Америке, учащихся начальной школы, культурная значимость обучения детей использованию денег и родительские ожидания их школьных успехов были связаны с тем, насколько дети использовали математику
вне школы (Guberman 1994). Несмотря на то, что и те, и другие часто сталкивались с математическими упражнениями, все же корейские американцы гораздо чаще сталкиваются
с упражнениями, направленными на закрепление математики, которую они изучали в
школе, например, родители «гоняли» их по таблице умножения; в противоположность
этому, латиноамериканские дети чаще сталкивались с упражнениями, требующими не3
формальной математики для того, чтобы достичь практической (нематематической) цели,
например, такой как сложение монет для совершения коммерческой транзакции. Различия
в детской математической деятельности были связаны с различной силой формального и
неформального математического знания, проявленной при тестировании.
Лишь некоторые исследователи обращали внимание на математическую практику
детей до их поступления в школу, хотя, судя по всему, большинство американских дошкольников часто сталкиваются с упражнениями на неформальную математику. Опрос
матерей американских дошкольников показал, что их детям предоставлен целый спектр
счетной и вычислительной деятельности, независимо от класса – среднего или рабочего
(Saxe, Guberman, and Gearhart 1987). Некоторые упражнения, цитируемые матерями,
включали детские стишки с названиями чисел, счет пальцев на руках и ногах, совместное
чтение книг по математике, настольные игры, требующие бросания кости для того, чтобы
определить, на какое расстояние продвинуть чью-либо фишку, карточные игры, предполагающие сравнения величин, а также сложение небольших количеств монет. Кроме того,
почти все матери сообщили, что их дети регулярно смотрят образовательную телепередачу (Улица Сезам), которая включает элементы счета и простейших вычислений.
Изучение того, как дети используют математику в своей повседневной активности
вне школы, важно для педагогической практики. Для того, чтобы основываться на неформальном понимании и математическом чувстве, с которым дети приходят в школу, учителю необходимо понимать и ценить повседневные математические упражнения и неформальные знания, приобретаемые в них детьми (Fuson et al. 1995; Sleeter 1997; Tate 1997).
Повседневная активность может служить моделью обучения в классе, основанной на естественной детской мотивации и способствующей пониманию учениками приложения в реальном мире математики, преподаваемой в школе.
Культурные инструменты: различия в системах счисления
Участие в культурной практике обычно с необходимостью предполагает использование культурных артефактов или инструментов, которые были развиты в ходе социальной истории. Математическое знание, приобретенное через участие в культурной практике, тесно связано с математическими инструментами, используемыми в данной практике.
Числовая система, один из примеров культурного инструмента, - человеческое изобретение, которое изменяется в зависимости от времени и места обитания (Ifrah 1985). Miura и
его коллеги (Miura 1987; Miura et al. 1994; see also Fuson and Kwon [1991,1992]) провели
серию исследований, показывающих, что свойства числовых систем могут облегчать или
напротив - препятствовать развитию понимания детьми математики. Miura замечает
(1987), что азиатские языки, берущие свои корни в древнекитайском (среди них – китайский, японский, корейский), организованы таким образом, что названия чисел совпадают с
таковыми в традиционной десятичной системе счисления. В этих азиатских языках устные
названия чисел точно соотносятся с их письменной формой: 14 произносится как « десять
четыре», а 57 – как « пять десятков четыре». В противоположность этому, в большинстве
европейских систем названия чисел в пределах 100 не подчиняются единому правилу.
Лингвистические вариации в системах счисления предъявляют различные требования к обучению детей счету. Детям, говорящим на китайском, японском или корейском,
необходимо запомнить названия первых девяти чисел, названия степеней числа 10 (десять, сто, тысяча) и порядок, в котором произносятся слова ( от большего разряда к меньшему) (Fuson and Kwon 1991). Англоговорящие дети должны помнить, в добавок к этому,
названия чисел на интервале от 11 до 19 и названия множителей числа 10 (двадцать, тридцать etc.) в пределах сотни. Вследствие очевидных трудностей, китайские дети совершают
гораздо меньше ошибок при произнесении чисел до 19, нежели англоговорящие дети в
США (Miller and Stigler 1987), а корейские дети демонстрируют мастерство счета гораздо
раньше, чем американские дети (Song and Ginsburg 1987).
4
Лингвистические аспекты систем счисления влияют на развитие детского математического знания и за пределами скандирования детьми числовых последовательностей. В
силу очевидности значения каждого разряда, а также прямой связи между произношением
и написанием чисел, азиатские системы счисления облегчают понимание детьми исходной
структуры отдельно взятой системы, значения ее позиционности и соответствующих
арифметических вычислений (Fuson and Kwon 1991, 1992; Miura 1987; Miura et al. 1994).
Азиатские дети демонстрируют понимание десятичной структуры написания двух- и
трехзначных чисел гораздо раньше американских первоклассников, еще до объяснения
десятков и единиц в школе. Когда их просят воспроизвести двухзначное число, используя
элементы десятичной системы, китайские, японские и корейские дети с большей вероятностью, нежели французы, шведы или американцы, воссоздадут канонический вид, который предполагает использование разрядов десятков и единиц (например, четыре десятка и
две единицы для 42); в противоположность этому, американские и европейские дети скорее всего будут использовать только единицы в своих конструкциях (сорок две единицы
для 42) (Miura et al. 1994). Схожим образом, когда их спрашивают, что означают дополнительные единицы, помещенные над десятками при сложении в столбик, корейские дети в
первом и втором классах с большей вероятностью, нежели американцы, будут трактовать
эти дополнительные единицы в качестве десятков, что является пониманием позиционности (Fuson and Kwon 1992).
Исследователи (Miura and Fuson) полагают, что различия в математических показателях азиатских и американских детей отражают различную когнитивную репрезентацию
числа: для говорящих на азиатских языках числа разбиты на десятки и единицы; позиционность оказывается интегральной частью когнитивной репрезентации (Miura 1987).
Англоговорящие дети медленнее конструируют «десятичную» концепцию числа, с большей вероятностью образуют концепции чисел, состоящих из одних единиц, и с меньшей
вероятностью понимают значение отдельной взятой разрядной единицы в структуре написания числа.
Другие языковые аспекты, касающиеся систем счисления, также влияют на математические способности дошкольников. Некоторые исследователи (Stigler, Lee, and Stevenson 1986) обнаружили, что скорость произношения чисел варьирует в зависимости от
языка и связана с межъязыковыми различиями в отрезках числовой памяти у детей. На
китайском языке, например, числа могут быть названы гораздо быстрее, чем на английском, и китайские дошкольники владеют числовым отрезком, который на 2.6 единицы
превосходит таковой у англоговорящих детей (Geary et al. 1993). Оказывается, способность удерживать в кратковременной памяти больше китайских чисел, чем английских,
влияет на математический навык, требующий применения порядкового счета, например,
для элементарных задач на сложение, которые дети обыкновенно решают, скандируя числа. Китайские дошкольники решали в три раза больше примеров на сложение (слагаемые
меньше пяти), чем американские дети, кроме того, китайские дети охотнее использовали
устный счет в своих решениях (Geary et al. 1993).
Тот факт, что лингвистические характеристики систем счисления связаны с навыком порядкового счета у маленьких детей, пониманием структуры и позиционности десятичной системы, а также с арифметическими вычислениями, может быть важным источником национальных различий в детском математическом знании. И хотя дальнейшее
влияние этих ранних трудностей неизвестно, межъязыковое сравнение детского математического знания проливает свет на некоторые трудности, с которыми сталкиваются американские дети при освоении курса элементарной школьной математики, который по
большей части направлен на то, чтобы помочь детям сформировать именно те концепты,
которые находятся в фокусе сравнительных исследований. Предполагается, что учителя
должны оказывать поддержку детям для того, чтобы компенсировать исключительность
английских чисел.
5