1. Найти два числа, зная их сумму 168 и общий делитель 24. Ответ: 24 и 144, 48 и120, 72и 96. Решение : числа делящиеся на 24 это 24, 48,72,96,120,144,168.Среди них суммы пар чисел с краев дают 168 2. В каком году родились люди, которым 1958 году исполнилось столько лет, какова сумма цифр года их рождения? Ответ: в 1942 году , возраст их в 1958 году составляет 16 лет, сумма цифр года рождения также 16. Решение : годы возраст сумма цифр 1958 0 23 1957 1 22 1956 2 21 … … … 1950 8 15 1949 9 23 Через 8 лет повторяется сумма цифр, поэтому проверяю тех, кому в 1958 году исполнится в 2 раза больше лет -16, т.е это 1942 года рождения. 3. Найти такое трехзначное число, удвоив которое мы получим число, выражающее количество цифр, необходимое для написания всех последовательных целых чисел от 1 до этого трехзначного числа. Ответ : 108 и 216 Решение : сумма цифр числа 108 равно 9, умножив 108 на 2 имеем 216, у которого сумма цифр также равна 9 4. Если к некоторой сумме денег прибавить через год 1 следующий - 12 1 12 ее, а в новой суммы, то первоначальная сумма за два года увеличиться на 16900. Найти первоначальную сумму. Ответ:14400 1 13 Решение : 1+12 =12 ; 16900 :13 Х12 =15600;15600 :13Х12=14400 Проверяю 14400 +14400:12 =14400 +1200 =15600 15600+15600:12= 15600+1300=16900 5. Дана система 𝑧 𝑥+𝑦 { 𝑧 𝑦−𝑥 = 2, = 3, где 𝑥>0, 𝑦>0, z>0. Что больше: z или 𝑥 Ответ : z> 𝑥. 12 Решение : на 2 и 3 делятся числа 6, 12, …подбираю 5+1 12 5−1 6. = 2, = 3, Сколько всего диагоналей можно провести в многоугольнике, имеющим 103 стороны. Ответ :5150 (𝑛−3)𝑛 Решение : по формуле d= 2 = (103−3)103 2 =5150 7. В треугольнике АВС высота ℎ𝑎 составляет половину биссектрисы внешнего угла этого треугольника при вершине А. Найти разность углов В и С. Ответ: 30 Решение :В-С=60-30=30 8. Найти сумму + 1 √2+1 √3−√2 + (√3+√2)(√3−√2) + 1 √3+√2 ⋯+( + ⋯+ 1 √100+√99 √100−√99 √100+√99)(√100−√99) =( √2−1 √2+1)(√2−1) + = √2 − 1 + √3 − √2 − √3 + ⋯ + √99 + √100 − √99 = −1 + √100 = −1 + 10 = 9 9. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению 𝑥 2 − 𝑦 2 = 69 Ответ:13и 10 Решение : 132 − 102 = 169 − 100 = 69 10. В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников. Доказательство:1000:30=33,3… округляем до целых-33 приходится в среднем на один класс учеников, затем 33Х30=990;1000-990=10. Значит возможно, что в 10 классах может быть по 34 ученика.Отсюда заключаем, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.