АННОТАЦИЯ программы учебной дисциплины «Интегральные уравнения и вариационное исчисление» для направления 011200.62 «Физика» Общее количество часов – 108 ч. (3 зачетные единицы) 1. Цели и задачи дисциплины Цели изучения дисциплины: – снабдить студентов математическим аппаратом, необходимых для применения математических методов в практической деятельности и в научных исследованиях; – обучение студентов основам теории интегральных уравнений и вариационного исчисления, практическим навыкам использования основных положений, методов, излагаемых в этом курсе для решения практических задач. Задачи изучения дисциплины: – теоретическое освоение студентами современных концепций и моделей теории интегральных уравнений и вариационного исчисления; – приобретение практических навыков применения аппарата теории интегральных уравнений и вариационного исчисления для решения задач математики, физики, естествознания. 2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций: Общекультурные компетенции (ОК): способность овладеть основными методами, способами и средствами, хранения, переработки информации, иметь навыки работы с компьютером как средством управления информацией (ОК-12), способность использовать в познавательной и профессиональной деятельности навыки работы с информацией из различных источников (ОК-16), способность использовать в познавательной и профессиональной деятельности базовые знания в области информатики и современных информационных технологий, навыки использования программных средств и навыки работы в компьютерных сетях; умение создавать базы данных и использовать ресурсы Интернет (ОК-17), способность использовать нормативные правовые документы в своей деятельности (ОК-20), способность понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны (ОК-21). Профессиональные компетенции (ПК): способность использовать базовые теоретические знания для решения профессиональных задач (ПК-1), способность применять на практике базовые профессиональные навыки (ПК-2). В результате изучения дисциплины студент должен: иметь базовые знания: в области теории интегральных уравнений и вариационного исчисления, необходимые для успешного изучения математических и теоретикоинформационных дисциплин, решения задач, возникающих в профессиональной сфере; возникающих в естествознании и физике. уметь: формулировать теоремы, выделять основные аспекты их доказательств, применять методы теории интегральных уравнений и вариационного исчисления для решения математических задач, построения и анализа моделей механики, физики и естествознания, самостоятельно решать классические задачи. владеть: навыками практического использования современного математического инструментария для решения и анализа задач механики, физики и естествознания. 3. Содержание дисциплины. Основные разделы Интегральные уравнения: – классификация линейных интегральных уравнений: уравнения Фредгольма и Вольтерра первого и второго рода, примеры физических задач, приводящих к интегральным уравнениям; – линейные операторы в бесконечномерном евклидовом пространстве: вполне непрерывный оператор, теорема существования собственного значения и собственного вектора у симметричного вполне непрерывного оператора, построение последовательности собственных значений и собственных векторов; – однородное уравнение Фредгольма второго рода, существование собственных значений и собственных функций у интегрального оператора с симметричным ядром, вырожденные ядра, теорема Гильберта-Шмидта; – краевая задача на собственные значения и собственные функции (задача ШтурмаЛиувилля): сведение задачи Шттурма-Лиувилля к интегральному уравнению, свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лийвилля, теорема Стеклова; – неоднородное уравнение Фредгольма второго рода: принцип сжатых отображений, уравнение Фредгольма с «малым l», уравнение Фредгольма с вырожденным и невырожденным ядром, теоремы Фредгольма; – уравнение Вольтерра: метод последовательных приближений; – понятие о корректно и некорректно поставленных задачах: уравнение Фредгольма первого рода как пример некорректно поставленной задачи, метод А.Н. Тихонова регуляризации решения уравнения Фредгольма первого рода. Вариационное исчисление: – основные понятия: задачи, приводящие к задачам вариационного исчисления, понятие функционала, первая и вторая вариация функционала; – метод вариаций в задаче с неподвижными границами: уравнение Эйлера, допустимые экстремали, уравнение Эйлера-Пуассона, достаточные условия экстремума функционала; – метод вариаций в задаче с подвижными границами: случай гладких и негладких экстремалей, условия трансверсальности, функционал Больца, терминальный член; – вариационные задачи поиска условного экстремума: задачи на условный экстремум с конечными, дифференциальными и интегральными связями, изопериметрические задачи. Составитель: к.ф.-м.н., ст. преподаватель каф. МАиМ Кушнирук Н.Н.