chislennoe-reshenie-sistemy-integralnyh-uravneniy-fredgolma-2-go-roda-v-srede-maple

Численное решение системы интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода…
УДК 519.714.3,517.972.6
А.В. Жариков, Е.В. Матюнин
Численное решение системы интегральных уравнений
Фредгольма 2-го рода в среде Maple
A.V. Zharikov, E.V. Matyunin
Numerical Solution of Fredholm Integral Equations System
of the Second Kind by using Maple Software
В работе рассматривается численное решение
системы интегральных уравнений Фредгольма 2-го
рода. Схема решения реализована в среде Maple.
Проведен анализ предложенной численной схемы
для различных начальных параметров и функций
ядра на основе зависимости невязки от количества
разбиений исходного интервала интегрирования.
In the paper authors consider numerical solution
of Fredholm integral equations system of the second
kind. Numerical solution was realized by using Maple
software. The analysis of the offered numerical scheme
was carried out for various initial parameters and kernel
functions on the basis of dependence discrepancy
for the different numbers of partitions on initial interval
of integration.
Ключевые слова: системы интегральных уравнений,
интегральные уравнения Фредгольма, квадратурные
методы.
Key words: integral equations systems, Fredgolm integral
equations, quadrature methods.
1. Постановка задачи. В работе рассматривается система интегральных уравнений Фредгольма
2-го рода:
c2 ( x1 , x2 ) = ∫ c2 ( x1 , x2 ) P ( w ) dw =
X (t ) − δ ∫ K (t , s ) X ( s )ds = f (t ),
2
W
( x ( w) + α x ( w) ) P w dw,
=∫
( )
2r ( w )
2
(1)
где r1 ( w ) , r2 ( w ) – функции квалификации активных элементов; α – некоторый параметр.
Функция дохода центра:
⎛ x (t ) ⎞
X (t ) = ⎜ 1
⎟ – искомые функции;
⎝ x 2 (t ) ⎠
K 1 (t , s ) ⎞
⎛ 0
K (t, s ) = ⎜
⎟ – ядро системы
K
(
t
,
s
)
0
⎝ 2
⎠
⎛ f1 (t ) ⎞
интегральных уравнений; f (t ) = ⎜
⎟ – неко⎝ f 2 (t ) ⎠
где
H ( x1 , x2 ) = ∫ ( x1 ( w ) + x2 ( w ) ) P ( w ) dw . (3)
W
При использовании центром компенсаторной
системы стимулирования задача центра сводится
к поиску оптимальных реализуемых действий:
⎧⎪Φ ( x1, x2 ) = H ( x1, x2 ) − c1 ( x1, x2 ) − c2 ( x1, x2 ) → max,
x1 , x2
⎨
⎪⎩c1 ( x1, x2 ) + c2 ( x1, x2 ) ≤ R.
(4)
торые функции.
Область D = [a, b] – отрезок. Решение уравне1
ния рассматривается в пространстве С (D).
Данный вид уравнений возникает при решении
задач стимулирования второго рода [1] с двумя
активными элементами (АЭ) при асимметрии информированности [2]. Предполагается, что информационный вектор w распределен на множестве
W = W1 × W2 ⊆ R 2 с плотностью P ( w ) и функ-
В выражении (4) R – ограничение фонда заработной платы.
При разной информированности АЭ:
∂x1
∂x
= 0, 2 = 0 .
∂w1
∂w2
Как показано в работе [3], на одном из этапов
решения возникает система интегральных уравнений вида:
ции затрат АЭ имеют вид:
c1 ( x1 , x2 ) = ∫ c1 ( x1 , x2 ) P ( w ) dw =
⎧ x1 ( t ) − x2 ( s ) K1 ( t , s ) ds = f1 (t ),
∫D
⎪
⎨
⎪ x2 ( t ) − ∫ x1 ( s ) K 2 ( t , s ) ds = f 2 (t ),
D
⎩
W
( x ( w) + α x ( w) ) P w dw;
=∫
( )
2r ( w )
2
1
W
2
W
D
(2)
1
2
1
77
(5)
УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА
3. Интерполирование вектора решений. Решением матричного уравнения (9) является набор
значений функций x1 ( t ) , x2 ( t ) в узлах сетки. Обо-
где правая часть системы зависит от положительного
параметра λ. Система интегральных уравнений (5)
является частным случаем системы (1).
В данной работе рассматривается реализация
численного решения системы интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода (1) в программной среде Maple с помощью метода квадратур.
2. Численное интегрирование. Для аппроксимации интегралов в системе уравнений (1) воспользуемся следующей квадратурной формулой [4]:
(
a
(
)
x1 − x1j
=
i
j
j =0,i ≠ j x1 − x1
n
x − x10 x1 − x1i −1 x1 − x1i +1 x1 − x1n
= 1i
;
x1 − x10 x1i − x1i −1 x1i − x1i +1 x1i − x1n
x2 − x2j
=
i
j
j =0,i ≠ j x2 − x2
n
l2i (t ) = ∏
Для полученного приближенного решения интегрального уравнения (1) в виде полиномов некоторой степени вычисляется невязка.
a
a
Для аппроксимации x1 ( t ), x 2 ( t ) решения
x1 (t ), x2 (t ) уравнения (1) вычисляется функция
невязки [6]:
)
R(t ) = X a (t ) − δ ∫ K (t , s ) X a ( s )ds − f (t ) . (12)
)
D
Абсолютную величину невязки находим как:
R a = max | X a (t ) − δ ∫ K (t , s ) X a ( s ) ds − f (t ) | .
D
4. Реализация алгоритма в программной среде Maple. В среде Маple 8 реализован алгоритм численного
решения (5), который включает следующие этапы:
1. Инициализация входных параметров. В алгоритме задается число разбиений исходного
интервала, границы интегрирования, функции ядра,
правая часть системы (5), интервалы для вывода
графиков, параметры интерполяции.
2. Построение расчетной сетки.
3. Вычисление элементов матрицы (8). Заполняется матрица коэффициентов системы уравнений
(9) на основе выражений (7).
4. Решение уравнения (9).
5. Интерполяция решений. Для решений x1 ( t )
)
Таким образом, система (7) запишется в матричном виде AX=B:
⎛ x1 ⎞
⎜ 2 ⎟ ⎛ f1(t1) ⎞
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎛ E A2 ⎞⎜ xn ⎟ ⎜ f (t ) ⎟
⎜
⎟⎜ 2 ⎟ = ⎜ 1 n ⎟ .
1
⎜ A E ⎟⎜ x1 ⎟ ⎜ f (t ) ⎟
⎝
⎠⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 1 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜ n ⎟ ⎜⎝ f2(tn ) ⎟⎠
⎜x ⎟
⎝ 1⎠
(11)
x − x20 x2 − x2i −1 x2 − x2i +1 x2 − x2n
.
= 2i
x2 − x20 x2i − x2i −1 x2i − x2i +1 x2i − x2n
(8)
(
i =0
a
l1i (t ) = ∏
⎛ −K t , s −K t , s ⎞
1 n +1 n
⎜ 1 n 2 +1 1
2
2 ⎟
⎜
⎟;
1
A =⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ − K1 ( tn , s1 ) − K1 tn , sn ⎟
2
⎝
⎠
⎛ −K t , s
⎞
− K 2 ( t1 , sn ) ⎟
2 1 n +1
⎜
2
⎜
⎟.
A2 = ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ − K 2 tn , sn +1 − K 2 tn , sn ⎟
2
2
2
⎝
⎠
)
(10)
где x1 (t ), x2 (t ) – приближенные решения системы
интегральных уравнений (1) и базисные полиномы
определяются как:
где E – единичная матрица соответствующей размерности,
(
)
x2a (t ) = ∑ x2i l2i (t ),
2
(
n
n
где e – ошибка, связанная с заменой интеграла конечной суммой.
Для решения системы уравнений (7) составим
матрицу коэффициентов ее левой части:
(
1
i =0
n
a −b
⎧
⎪ x1 ( t j ) − ∑ n x2 ( si )K1 ( t j , si ) = f1 ( t j ) + e, j = 1..m,
⎪
i =1
(7)
⎨
n
⎪ x ( t ) − a − b x ( s )K ( t , s ) = f ( t ) + e, j = 1..m,
1 i
2 j i
2 j
⎪⎩ 2 j ∑
n
i =1
)
(
n
Учитывая формулу (6), систему интегральных уравнений (1) можно представить в следующем виде [5]:
(
n
x1a (t ) = ∑ x1il1i (t );
n
⎛x +x ⎞
f
x
dx
f ⎜ i −1 i ⎟ ( xi − xi −1 ) , (6)
(
)
≈
∑
∫a
⎝ 2 ⎠
i =1
где n – количество отрезков разбиения интервала
интегрирования [a, b].
A ⎞
⎟,
E⎠
1
полиномов некоторой степени осуществляется
с помощью многочлена Лагранжа:
b
⎛E
A=⎜ 1
⎝A
)
значим x1 = x1 ,…, x1 , x2 = x2 ,… , x2 . Интерполирование искомых функций x1 (t ) и x2 (t ) в виде
(9)
и x2 ( t ) уравнения (9) строится интерполяционный
полином заданной степени.
78
Численное решение системы интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода…
6. Вычисление невязки. По формуле (12) вычисляется функция невязки для полученных полиномов, определяющая порядок точности проводимых
вычислений.
Листинг 1. Решение уравнения (5).
7. Вывод результатов. Для реализации алгоритма подготовлена программа в среде вычислений
Maple 8. Фрагмент решения системы интегральных
уравнений представлен на листинге 1.
79
УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА
5. Расчетный пример использования описанного алгоритма. Рассмотрим пример использования данного алгоритма для системы уравнений (5)
с ядрами:
1
K1 ( w1 , w2 ) =
2⋅e
1
K 2 ( w1 , w2 ) =
4⋅e
+ cos( w1 + w2 ) ; (13)
1
− ( w1 + w2 + w1⋅w2 )
2
1
− ( w1 + w2 + w1⋅w2 )
2
1
+
e
1
− ( w1 + w2 + w1⋅w2 )
2
. (14)
Уравнение определено на интервале [0,1], а пра1
вая часть f ( w) =
, где λ = 5 .
1− λ
На рисунках 1, 2 представлены графики численных
решений x1 ( w ) и x2 ( w ) системы уравнений (7) для различного числа разбиений – m исходного интервала.
Рис. 3. График интерполяционных многочленов
a
a
x1 ( w ), x 2 ( w ) , при m = 30
Для
восстановления
искомых
функций
x1 ( w2 ) , x2 ( w1 ) – по полученным точечным ре-
шениям – используется интерполяционный многочлен 4-й степени.
Получаем следующие интерполяционные полиномы x1a (t ), x2a (t ) :
a
4
3
2
⎪⎧x1 (w2 ) = 0.0094w2 + 0.0241w2 + 0.0952w2 + 0.2166w2 + 0.0057
, (15)
⎨ a
4
3
2
⎪⎩x2 (w1) = 0.0103w1 + 0.0262w1 + 0.1029w1 + 0.2327w1 + 0.0224.
На рисунке 3 представлен график интерполяционных полиномов для 30 разбиений исходного
интервала.
Интерполяционные многочлены для 60 и 120
разбиений исходного интервала, формулы (15) и
(16)–(17) соответственно:
Рис. 1. Численное решение x1 ( w ) и x2 ( w ) при m = 30
⎧⎪x1a (w2 ) = 0.0095w24 + 0.0240w23 + 0.0953w22 + 0.2166w2 + 0.0056,
(16)
⎨ a
4
3
2
⎪⎩x2 (w1) = 0.0104w1 + 0.0260w1 + 0.1030w1 + 0.2326w1 + 0.0223,
⎧⎪x1a (w2 ) = 0.0096w24 + 0.0239w23 + 0.0953w22 + 0.2166w2 + 0.0056,
(17)
⎨ a
4
3
2
⎪⎩x2 (w1) = 0.0104w1 + 0.0259w1 + 0.1031w1 + 0.2326w1 + 0.0223.
Далее вычисляется функция невязки решений.
На рисунках 4–6 представлены графики функций
невязок для различного числа разбиений исходного
интервала (m = 30, m = 60, m = 120).
Рис. 2. Численное решение x1 ( w ) и x2 ( w ) при m = 60
а
б
a
Рис. 4. а – график функции невязки для x ( w ) при m = 30; б – график функции невязки для x a ( w ) при m = 30
1
2
80
Численное решение системы интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода…
а
б
a
Рис. 5. а – график функции невязки для x ( w ) при m = 60; б – график функции невязки для x a ( w ) при m = 60
1
2
а
б
Рис. 6. а – график функции невязки для x a ( w ) при m = 120; б – график функции невязки для x a ( w ) при m = 120
1
2
полученные результаты предлагаемого метода решения систем интегральных уравнений Фредгольма
2-го рода демонстрируют, что представленный метод применим для решения изложенных в работе
задач.
Анализ приведенных зависимостей показывает,
что при изменении числа разбиений исходного интервала от 30 до 120 абсолютная величина невязки
уменьшается для xa ( w) от 0.000071 до 0.000016,
1
для x a ( w ) – от 0.00014 до 0.000041. Таким образом,
2
Библиографический список
1. Новиков Д.А. Теория управления организационными системами. – М., 2005.
2. Жариков А.В. Модели стимулирования агентов
промышленной корпорации в условиях асимметрии информированности // Известия АлтГУ. – 2010. – №1.
3. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных
уравнений. – M., 1989.
4. Волков Е.А. Численные методы. – М., 2004.
5. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. – M., 2002.
6. Манжиров А.В., Полянин А.Д. Методы решения
интегральных уравнений. – M., 2008.
81