Интегральные уравнения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Кемеровский государственный университет»
Новокузнецкий институт (филиал)
Факультет информационных технологий
Рабочая программа дисциплины
Б2.В.ОД.4 Интегральные уравнения
Направление подготовки
010400.62 «Прикладная математика и информатика»
Направленность (профиль) подготовки
«Прикладная математика и информатика (общий профиль)»
Степень выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Новокузнецк 2014
Оглавление
1. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине, соотнесенных с
планируемыми результатами освоения основной образовательной программы бакалавриата
010400.62 Прикладная математика и информатика..........................................................................3
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата ..............................................................3
3. Объем дисциплины в зачетных единицах с указанием количества академических часов,
выделенных на контактную работу обучающихся с преподавателем (по видам занятий) и на
самостоятельную работу обучающихся .............................................................................................3
3.1. Объём дисциплины по видам учебных занятий (в часах) .............................................3
4. Содержание дисциплины, структурированное по темам (разделам) с указанием
отведенного на них количества академических часов и видов учебных занятий .........................4
4.1. Разделы дисциплины и трудоемкость по видам учебных занятий (в академических
часах) .................................................................................................................................................4
4.2 Содержание дисциплины, структурированное по темам (разделам) .............................4
5. Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы
обучающихся по дисциплине..............................................................................................................6
6. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по
дисциплине ...........................................................................................................................................8
6.1. Паспорт фонда оценочных средств по дисциплине ........................................................8
6.2. Типовые контрольные задания или иные материалы .....................................................9
6.2.1. Зачёт ..............................................................................................................................9
6.2.2 Контрольная работа №1 ...............................................................................................9
6.2.3 Контрольная работа №2 .............................................................................................10
7. Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для освоения
дисциплины ........................................................................................................................................11
а) основная учебная литература: ........................................................................................11
б) дополнительная учебная литература: ............................................................................11
8. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»,
необходимых для освоения дисциплины .........................................................................................11
9. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины..............................11
10. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине, включая перечень программного обеспечения и
информационных справочных систем (при необходимости) ........................................................12
11. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине.....................................................................................12
12. Иные сведения и (или) материалы .......................................................................................12
12.1.
Перечень образовательных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю) ...............................................................12
1. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине, соотнесенных с планируемыми результатами освоения основной образовательной
программы бакалавриата 010400.62 Прикладная математика и информатика
В результате освоения ООП бакалавриата обучающийся должен овладеть следующими
результатами обучения по дисциплине:
Коды компетенции
Результаты освоения ООП Содер-
ПК-1
способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов,
концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой
и информатикой
жание компетенций*
Перечень планируемых результатов
обучения по дисциплине
Знать:
− основные понятия и методы в области естественнонаучных и математических дисциплин,
− основные концепции и принципы
теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой.
Уметь:
− использовать базовые общенаучные знания в научно-исследовательской
и прикладной деятельности,
− использовать математический аппарат для решения практических задач.
Владеть:
− навыками решения практических
задачс использованием базовых знаний
естественных наук, математики и информатики.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Интегральные уравнения»относится к профессиональному циклу. Для её
изучения требуется предварительное освоение дисциплин: «Математический анализ», «Геометрия и алгебра», «Дифференциальные уравнения».
Освоение данной дисциплины необходимо для последующего изучения дисциплины:
«Вариационное исчисление».
Дисциплина изучается на третьем курсе в 6 семестре.
3. Объем дисциплиныв зачетных единицах с указанием количества
академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с
преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную работу обучающихся
Общая трудоемкость (объем) дисциплины составляет 3 зачетных единицы (ЗЕТ), 108
академических часов.
3.1. Объём дисциплины по видам учебных занятий (в часах)
Объём дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины
Всего часов
для очной формы
обучения
108
Всего часов
Объём дисциплины
для очной формы
обучения
Контактная работа обучающихся с преподавателем (по видам учебных занятий) (всего)
Аудиторная работа:
в т. числе:
Лекции
Семинары, практические занятия
Практикумы
Лабораторные работы
Внеаудиторная работа:
В том числе, индивидуальная работа обучающихся с преподавателем:
Курсовое проектирование
Групповая, индивидуальная консультация ииные виды
учебной деятельности, предусматривающие групповую
или индивидуальную работу обучающихся с преподавателем
Творческая работа (эссе)
Самостоятельная работа обучающихся
Вид промежуточной аттестации обучающегося (зачет)
57
19
38
51
51
4. Содержание дисциплины, структурированное по темам (разделам) с
указанием отведенного на них количества академических часов и видов
учебных занятий
4.1. Разделы дисциплины и трудоемкость по видам учебных занятий (в академических часах)
1.
2.
Раздел
дисциплины
Уравнения
Вольтерра
Уравнения
Фредгольма
ИТОГО:
сах)
№
п/п
Общая трудоёмкость (в ча-
для очной формы обучения
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость
(в часах)
Учебная работа
всего
лекции
семинары,
практические занятия
самостоятельная
работаобучающихся
34
8
12
14
74
11
26
37
108
19
38
51
Формы текущего контроля успеваемости
Контрольная
работа
Контрольная
работа
Зачёт
4.2 Содержание дисциплины, структурированное по темам (разделам)
№п/п
1
Наименование раздела дисциплины
Раздел 1
Содержание
Содержание лекционного курса
1.1.
Вводная. Определения.
Определение. Основные понятия. Задачи, приводящие к задаче Вольтерра.
1.2
Уравнения Вольтерра
первого и второго рода.
Существование и единственность решения уравнения Вольтерра первого рода. Существование и единственность решения уравнения Вольтерра второго рода.
1.3
Резольвента уравнений Резольвента уравнений Вольтерра.
Вольтерра.
1.4
Численные методы ре- Численные методы решения уравнений Вольтерра.
шения уравнений Вольтерра.
Темы практических занятий
Уравнения Вольтерра
Уравнения Вольтерра
Резольвента уравнений
Вольтерра.
Численные методы решения уравнений Вольтерра.
Основные понятия
Связь между уравнением Вольтерра и задачей Коши
Решение уравнения Вольтерра с помощью резольвенты
1.9
Численные методы решения уравнений Вольтерра.
Сведение уравнения Вольтерра первого рода к уравнению
Вольтерра второго рода.
1.10
Численные методы решения уравнений Вольтерра.
Метод последовательных приближений для уравнений
Вольтерра 2-го рода.
2
Раздел 2
1.5
1.6
1.7
1.8
Решение уравнения Вольтерра второго рода последовательным дифференцированием.
Содержание лекционного курса
2.1
Уравнения Фредгольма Определения и основные понятия. Задачи, приводящие к
(1 час.).
уравнениям Фредгольма.
2.2
Уравнения Фредгольма. Случай «малого λ». Обобщение на случай полярных ядер.
Уравнения Фредгольма с распавшимся ядром
2.3
Резольвента. Однород- Резольвента уравнения Фредгольма. Однородное уравнение
ные и неоднородные Фредгольма второго рода. Неоднородное уравнение Фредуравнения Фредгольма. гольма.
2.4
Вырожденные ядра.
2.5
Теоремы Фредгольма. Уравнения Фредгольма с непрерывным ядром специального вида. Существование последовательности собственных функций ядра.
Уравнения Фредгольма Теорема Гильберта-Шмидта. Теорема Мерсера. Решение
второго рода с ядром уравнения Фредгольма второго рода с ядром специального
№п/п
2.6
Наименование раздеСодержание
ла дисциплины
специального вида.
вида.
Численное
решение Численное решение уравнений Фредгольма.
уравнений Фредгольма.
Темы практических занятий
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
Уравнения Фредгольма.
Резольвента.
Вырожденные ядра.
Неоднородные уравнения Фредгольма
Собственные числа и
собственные функции
Уравнения с непрерывным
симметричным
ядром.
Решение
уравнений
Фредгольма.
Решение систем (4
час.).
Решение
уравнений
Фредгольма (4 час.).
Уравнение Абеля (4
час.).
Введение основных понятий.
Итерированные ядра. Резольвента.
Однородные уравнения с вырожденным ядром.
Неоднородные уравнения Фредгольма 2-го рода с распавшимся ядром.
Собственные числа и собственные функции однородного
уравнения.
Решение уравнений с непрерывным симметричным ядром.
Решение уравнения с помощью операционного исчисления.
Решение систем.
Решение уравнения Фредгольма с помощью продолжения
Фредгольма.
Уравнение Абеля.
5. Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной
работы обучающихся по дисциплине
Самостоятельная работа осуществляется в следующих формах:
- Подготовка к практическим занятиям.
При подготовке к практическим занятиям студент должен изучить теоретический курс
по теме занятия, освоить основные понятия и формулы, ответить на контрольные вопросы. В
течении занятия студенту необходимо решить задания, выданные преподавателем, выполнение которых зачитывается как текущая работа студента на «зачтено» и «не зачтено».
- Выполнение индивидуальных заданий.
Для закрепления практических навыков решения задач студенты по каждой пройденной теме обязательно выполняют индивидуальные задание по своему варианту, которые
должны быть сданы в установленные строк. Варианты выдает преподаватель практических
занятий.
- Подготовка к контрольной работе.
Промежуточный контроль знаний осуществляется в форме аудиторных контрольных
работ, на которые выносятся задачи по отдельным темам. При подготовке к контрольной работе студентам необходимо повторить материал практических занятий по отмеченным преподавателем темам, а также повторить теоретический материал по данным темам.
1.
Задания для индивидуальной и самостоятельной работы.
Проверить являются ли данные функции решениями соответствующих интегральных уравнений:
1.1.
= 1− ;
=
1.2.
= 3;
=
−
1.3.
= − ;
= −
ℎ −
1.4.
=
cos − sin
1.5.
= 1−
cos 1 −
sin 1 +
1− −
2. Составить интегральное уравнение, соответствующее задаче Коши:
2.1. ′′ + = 0; 0 = 0; ′ 0 = 1
2.2. ′′ + = cos ; 0 = ′ 0 = 0
2.3. ′′ − ′ sin +
= ; 0 = 1; ′ 0 = −1
′
2.4.−5 + 6 = 0; 0 = 0; ′ 0 = 1;
3. Решить интегральное уравнение.
= sin −
3.1.
3.2.
=
+ .
4. Найти резольвенты следующих ядер.
4.1.
$ , = − .
&
&
4.2.
$ , =
.
' &
4.3.
$ , = ' &.
5. С помощью резольвента решить интегральное уравнение.
5.1.
=
+
= sin + 2
5.2.
5.3.
= ∗3 − 3
6. Решить интегральные уравнения.
6.1.
= sin .
cos −
6.2.
7. Решить уравнения Абеля.
* +
7.1.
= sin .
√
-
=
.
.
+
7.2.
=√ .
√
8. Проверить являются ли данные функции решениями соответствующих уравнений.
8.1.
= ;
+ . sin
= 1.
8.2.
= cos ;
−
+
cos
= sin .
'
8.3.
=
;
−4
= −1
.
9. С помощью продолжения Фредгольма решить следующие интегральные уравнения.
9.1.
+
= .
9.2.
−.
4 −
= .
10. Найти итерированные ядра.
10.1.
$ , = − ; 0 = −1; 1 = 1.
3
10.2.
$ , = sin − ; 0 = 0; 1 = (n=2, 3)
10.3.
$ , =
; 0 = 0; 1 = 1
11. Построить резольвенты следующих ядер
11.1.
$ , = ' ; 0 = 0, 1 = 1
11.2.
$ , =
; 0 = −1, 1 = 1
12. Решить следующие однородные уравнения
−.
2 −4
=0
12.1.
3
12.2.
−.
cos +
=0
13. Решить следующие интегральные уравнения.
4
&
−.
13.1.
4
7
sin cos
= sin .
−.
tan
= cot .
13.2.
14. Найти собственные числа и собственные функции следующих симметричных ядер.
+ 2 ,0 ≤ ≤
14.1.
$ , =8
+1 , ≤ ≤1
sin cos , 0 ≤ ≤
$ , =:
14.2.
sin cos , ≤ ≤ ;
15. Решить следующие неоднородные симметричные уравнения.
15.1.
−. $ ,
= − 1,
− ,0 ≤ ≤
$ , =:
− , ≤ ≤1
3
15.2.
−. $ ,
=1
sin cos , 0 ≤ ≤
$ , =:
sin cos , ≤ ≤ ;
16. Преобразованием Лапласа решить уравнения.
= + sin −
.
16.1.
16.2.
= cos +
17. Решить системы уравнений.
=
+
17.1.<
= 1−
−
=
=1−
18.Решить уравнения.
18.1. cos −
17.2.<
18.2.
19.Решить уравнения.
19.1.
.
1−
+
+4
= sin .
= ℎ .
&
=
=&
&
+
.
19.2. sin −
=
− 1.
20.Методом последовательных приближений решить уравнение.
20.1.
= 1+
−
.
20.2.
20.3.
20.4.
20.5.
=
+1−
&
=
=
=
>
+
+4
+
.
−
+
.
.
.
6. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине
6.1. Паспорт фонда оценочных средств по дисциплине
№ Контролируемые разделы (темы) Код контролируемой компетенции
п/п дисциплины
(результаты по разделам)
1.
Уравнения Вольтерра
ПК-1
2.
Уравнения Фредгольма
ПК-1
наименование
оценочного
средства
Контрольная
работа
Контрольная
работа
6.2. Типовые контрольные задания или иные материалы
6.2.1.Зачёт
а)
типовые вопросы (задания)
Раздел 1. «УравненияВольтерра»
1. Определение уравнения Вольтерра и основных понятий, связанных с ним.
2. Теорема существования и единственности решения для уравнения Вольтерра второго
рода.
3. Последовательное дифференцирование.
4. Резольвента уравнений Вольтерра.
5. Уравнения, зависящие от разности аргументов.
6. Уравнения Вольтерра со слабо полярным ядром.
7. Уравнение Абеля.
8. Метод последовательных приближений.
Раздел 2. «Уравнения Фредгольма»
9. Задачи, приводящие к уравнениям Фредгольма.
10. Основные определения и понятия.
11. Теорема о «малом λ».
12. Резольвента Фредгольма.
13. Продолжение Фредгольма.
14. Обобщение результатов на полярном ядре.
15. Теоремы Фредгольма.
16. Однородные уравнения с вырожденным ядром.
17. Неоднородные уравнения.
18. Альтернатива Фредгольма.
19. Теорема Гильберта-Шмидта.
20. Теорема Мерсера.
21. Собственные пары для симметричного ядра.
22. Решение уравнений Фредгольма с симметричным ядром.
23. Метод Фурье для нетипичных уравнений.
24. Метод последовательных приближений.
б)
критерии оценивания компетенций (результатов)
Критерием оценивания является:
- посещение всех аудиторных занятий
- работа на практических занятиях
- выполнение контрольных работ
В случае невыполнения данных условий, студент имеет возможность сдавать теоретический зачет по вопросам. В этом случае критерием получения зачета является удовлетворительный уровень освоения дисциплины, при котором студент показывает углубленные теоретические знания в области интегральных уравнений.
в)
описание шкалы оценивания
- оценка «зачтено» выставляется студенту, если он владеет методами решения модельных
задач и знает основные разделы дисциплины.
- оценка «незачтено» выставляется студенту, если в не достаточном объеме показывает
знание методов решения основных задач.
6.2.2 Контрольная работа №1
а)
типовые задания – образец
1. Решить интегральное уравнение
=
+ 3?
−
2. Решить с помощью интеграла Лапласа
@@
+
+
= 1, 0 = @ 0 = 0
3. Свести уравнение к задаче Коши и затем найти решение обеих задач
=
+?
4. Составить интегральное уравнение для следующей задачи коши и найти его решение
y’’-6y’+5y=x, y(0)=1, y’(0)=0
б)
критерии оценивания компетенций (результатов)
Контрольная работа по результатам выполнения оценивается с учетом следующих основных параметров:
- качество оформления и решения заданий.
в)
описание шкалы оценивания
- оценка «зачтено» выставляется обучающемуся, есливыполнено более 1/2 части от общего объема задач;
- оценка «незачтено» ставится, если выполнено менее 1/2 части от общего объема задач.
6.2.3Контрольная работа №2
а)
типовые задания – образец
1. Методом последовательных приближений решить интегральное уравнение.
= .?
−
+ .
2. С помощью продолжения Фредгольма найти резольвенту уравнения.
3
= . ? cos
−
.
3. Найти собственные числа и собственные функции уравнения.
4
&
= . ? cos
4. Решить интегральное уравнение.
= .?A
б)
1
− B
3
+
+0 +1+1
критерии оценивания компетенций (результатов)
Контрольная работа по результатам выполнения оценивается с учетом следующих основных параметров:
- качество оформления и решения заданий.
в)
описание шкалы оценивания
- оценка «зачтено» выставляется обучающемуся, есливыполнено более 1/2 части от общего объема задач;
- оценка «не зачтено» ставится, если выполнено менее 1/2 части от общего объема задач.
7. Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для освоения дисциплины
а) основная учебная литература:
1. Краснов, М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию [Текст]: учебное пособие
/ М.Л. Краснов – 3-е издание – Москва :URSS, 2010. – 304 с. Гриф МО "Допущено".
б) дополнительная учебная литература:
1.
2.
Васильева, А.Б. Интегральные уравнения [Текст]: учебник / А.Б. Васильева – 2-е издание. – Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 160 с. - Гриф МО "Рекомендовано".
Стрельников, А.Н. Интегральные уравнения [Текст]: конспект лекций / А.Н. Стрельников – НФИ КемГУ. – Новокузнецк: РИО НФИ КемГУ, 2004. – 78 с
8. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети
«Интернет», необходимых для освоения дисциплины
Ресурсы сети интернет не используются.
9. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
Приступая к решению задач, прежде всего следует повторить теоретический материал
и ответить на контрольные вопросы по теме.
Практические занятия позволяют параллельно с усвоением теоретического материала
приобретать практические навыки решения интегральных уравнений. Однако для эффективного использования времени необходимо предварительное изучение учебного материала.
Материал усваивается лучше, если его изучать по отдельным темам программы, соблюдая последовательность, принятую программой.
Усвоив сущность теоретического материала очередного параграфа, прорешайте задачи,
которые даны для индивидуальной и самостоятельной работы. Не рекомендуется приступать
к работе над следующей темой, пока твердо не усвоена предыдущая.
Если появляются вопросы, следует обратиться на кафедру к преподавателю, согласно
графику консультаций ведущего преподавателя. Преподаватели в таких случаях окажут конкретную помощь студенту. Обращаясь за консультацией, необходимо указать, каким учебником пользовались и какой раздел, глава, параграф вам не понятен. Если нужна помощь в решение задач, укажите способ, с помощью которого вы пытались решить их.
График самостоятельной работы студентов.
Общее кол-во часов по учебному плану - 108 час.
57часов Аудиторная работа
51 час. Самостоятельная работа
Виды самостоятельной учебной
Формы аудиторных учебных занятий (час.)
работы (час.)
№
Наименование раздела дисциплины
1
Уравнения Вольтерра
2
Уравнения Фредгольма
ИТОГО
6 семестр
19 часов
38 часов
Лекции
Практические
занятия
8
12
11
26
19
38
15 час (*).
Изучение теоретического материала
5
(Вопросы 1-8)
10
(Вопросы 9-26)
15
36 час (**).
Решение практических задач
10
(Задачи 1-7, 16, 17,
19, 20.1-20.3)
26
(Задачи 2-4, 6, 8-10,
12, 14-16, 18)
36
Вопросы для изучения теоретического материала (*) см. в примерном перечне вопросов к
зачёту п. 6.2.1. Задания для индивидуальной и самостоятельной работы (**) представлены в
п.5.
10. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине, включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости)
Главный акцент при изучении дисциплины “интегральные уравнения” делается на освоении методов решения. Обучение осуществляется по традиционной технологии (лекции,
практика).
11. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления образовательного процесса по дисциплине
1. Мультимедиапроекторы;
2. Компьютерные презентации.
12. Иные сведения и (или) материалы
12.1. Перечень образовательных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине
В соответствии с требованиями ФГОС ВПО предусмотрено использованиев учебном
процессе интерактивных форм проведения занятий, в том числе:
Тема занятия
Наименование формы проведения занятиям
Численные методы решения
уравнений Вольтерра.
Резольвента. Однородные и
неоднородные
уравнения
Фредгольма.
Численное решение уравнений Фредгольма.
Численные методы решения
уравнений Вольтерра.
Неоднородные
уравнения
Фредгольма
Собственные числа и собственные функции
Итого:
Интерактивная лекция (лекция - прессконференция)
Интерактивная лекция (лекция с заранее
запланированными ошибками)
Интерактивная лекция
конференция)
Работа в малых группах
(лекция - пресс-
Количество
часов
2
2
2
2
Работа в малых группах
2
Работа в малых группах
2
12
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, составляет 22% (12 час.).
Составитель: старший преподаватель Васильева Е.И.
Макет рабочей программы дисциплины (модуля) одобрен научно-методическим советом (протокол № 8 от 09.04.2014 г.)