010800 механика и математическое моделирование Теоретическая механика и управление движением Направление подготовки

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Направление подготовки
010800 механика и математическое моделирование
Профиль подготовки
Теоретическая механика и управление движением
Цели и задачи курса:
Методы оптимизации - дисциплина цикла обще-профессиональных дисциплин
направления. В современная жизни требуется максимально эффективное использование
ресурсов, материальных средств, выполнение задач за минимальное время. Все
практические задачи такого рода, представленные в математической форме, состоят в
нахождении оптимума (минимума или максимума) некоторой функции (функционала) с
учетом ограничений, наложенных на допускаемые значения переменных. Такие задачи
принято называть оптимизационными. В курсе изучаются
задачи конечномерной
оптимизации и задачи вариационного исчисления. Обсуждается связь классического
вариационного исчисления и современной теории оптимального управления.
Изучение данной дисциплины позволит приобрести навыки в построении математических
моделей различных практических задач, в выборе математических методов для их
решения с использованием вычислительных машин, помогает глубже понять ряд других
специальных курсов.
Содержание курса:
История развития задач на минимум и максимум, классическое вариационное исчисление.
Простейшая вариационная задача. Уравнение Эйлера. Необходимые условия
оптимальности для случая векторной функции и в задаче со старшими производными.
Условие трансверсальности. Вариационные задачи в параметрической форме.
Необходимые условия оптимальности в вариационной задаче с функционалом,
задаваемым двойным интегралом. Вариационное исчисление и задачи механики. Принцип
Гамильтона. Задачи вариационного исчисления с ограничениями. Изопериметрические
задачи. Вариационное исчисление и современные задачи оптимального управления.
Элементы теории поля. Достаточные условия оптимальности (условия Вейерштрасса,
Лежандра, Якоби). Уравнение Гамильтона-Якоби. Численные методы решения задач
вариационного исчисления. Классические модельные задачи вариационного исчисления.
Гладкие задачи математического программирования. История развития задач
математического программирования. Правило множителей Лагранжа. Необходимые
условия локального оптимума для задач с ограничениями в виде равенств и в виде
неравенств. Элементы выпуклого анализа. Теорема об отделимости выпуклых множеств.
Задачи выпуклого программирования. Максимин и минимакс. Матричные игры.
Двойственность
в
математическом
программировании.
Задачи
линейного
программирования и проблемы экономики. Симплекс-метод. Численные методы решения
задач без ограничений: метод Ньютона, градиентные методы, методы прямого поиска.