Иррациональные уравнения

« Иррациональные уравнения»
• Математика ,
1 курс
Определение
Иррациональными называются
уравнения, в которых переменная
содержится под знаком корня
(радикала).
Примеры:
x  12  x  0,
3
x  1  x.
Какие из уравнений не являются
иррациональными?
а )5  х  3  х
б) 2х  7  2х
в) х  1  х  2  4
г) 5х  х  2  0
2
д) х  7  8  0
е) 3 х  6  6
3
Идея решения
Основная идея решения иррационального уравнения
состоит
в
сведении
его
к
рациональному
алгебраическому уравнению, которое либо равносильно
исходному иррациональному уравнению, либо является
его следствием.
Главный способ избавиться от корня и получить
рациональное уравнение – возведение обеих частей
уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень,
содержащий неизвестное.
Простейшие иррациональные
уравнения
f ( x)  a
f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)
Запомни!
При возведении обеих частей уравнения
• в четную степень (показатель корня – четное
число) – возможно появление постороннего
корня (проверка необходима)
• в нечетную степень (показатель корня –
нечетное число) – получается уравнение,
равносильное исходному (проверка не нужна)
Запомни!
Решая иррациональные
уравнения с помощью
равносильных преобразований
(проверка не нужна)
Решение уравнения
1) а<0, то
Пример:
f ( x)  a
уравнение корней не имеет
f ( x)  a
2
х

5


3
2) а=0, то
Пример:
f ( x)  0  f ( x)  0
3) a>0, то х  7  0  x  7  0  x  7
Пример:
2
2
f ( x)  a  ( f ( x) )  а  f ( x)  a 2
9  х  10  9  х  100  х  91
Решение уравнения
f ( x)  g ( x)
 3x  3  x  1
1 способ
 3x  3  x  1
 3 х  3  ( х  1) 2
 3х  3  х 2  2 х  1
х2  х  2  0
 х1  1
х  2
 2
проверка
при х  1  3  (1)  3  1  1
при х  2
ответ : 2
 3 2  3  2 1
2 способ
х 1  0
 3x  3  x  1  
2
 3х  3  ( х  1)
х  1

  х1  1
 х  2
 2
Ответ: 2
Вывод
Уравнение вида f ( x)  g ( x) решается:
1) Возведением в квадрат обеих частей
равенства с последующей проверкой;
1) Осуществляется переход к системе
равносильной данному уравнению, т.е.
 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)  
 g ( x)  0.
2
Решение уравнения
f ( x)  g ( x)
х3  5 х
1 способ
х3  5 х
х3  5 х
2х  2
х 1
проверка
при х 1
ответ : 1
1 3  5 1
2 способ
х  3  0
х3  5 х  
х  3  5  х
 х  3

ответ : 1.
х  1
Вывод
Уравнение вида f ( x)  g ( x) решается:
1) Возведением в квадрат обеих частей
равенства с последующей проверкой;
1) Осуществляется переход к системе
равносильной данному уравнению, т.е.
 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)  
 f ( x)  0,
 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)  
 g ( x)  0.
I
II
III
IV