ПЗ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ Основные методы интегрирования 1. Метод разложения: ∫(𝑎𝑓1 (𝑥) + 𝑏𝑓2 (𝑥))𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓1 (𝑥)𝑑𝑥 + 𝑏 ∫ 𝑓2 (𝑥)𝑑𝑥. 2. Метод подстановки или замены переменной: ∫ 𝑓(𝑥(𝑡))𝑥 ′ (𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, где 𝑥 = 𝑥(𝑡). 3. Метод интегрирования по частям ∫ 𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) − ∫ 𝑣(𝑥)𝑢′ (𝑥)𝑑𝑥 или в более короткой форме: ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 Этот метод целесообразно использовать, когда подынтегральная функция является произведением степенной и показательной, логарифмической, тригонометрической или обратной тригонометрической функций, а также произведением двух разноименных функций. Подынтегральная функция Дополнительные условия Метод интегрирование Интегрирование по частям: 𝑓(𝑥) = 𝑃𝑛 (𝑥)𝜑(𝑥) 𝑃𝑛 (𝑥)−многочлен, 𝑢 = 𝑃𝑛 , 𝑑𝑣 = 𝜑𝑑𝑥 𝜑(𝑥)−функция: в случаях (1), (3); 1) показательная, 𝑢 = 𝜑 , 𝑑𝑣 = 𝑃𝑛 𝑑𝑥 2) логарифмическая, в случаях (2), (4); 3) тригонометрическая, 4) обратная тригонометрическая 𝑎𝑥 Интегрировать по частям 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑎𝑥 дважды 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 Пример 1. Найти интеграл x 2 e x dx Решение. u = x 2 du = 2 xdx x 2 e x dx = = x 2 e x − 2 x e x dx = x 2e x − 2 xe x dx = x x dv = e dx v = e u = x du = dx 2 x x x 2 x x x = x x = x e − 2( xe − e dx) = x e − 2 xe + 2e + C. dv = e dx v = e x cos x Пример 2. Вычислить интеграл dx . sin 2 x du = dx u = x, x cos x dx = Решение. cos x cos xdx d (sin x ) 1 = 2 dv = dx , v = = = − sin x sin 2 x sin 2 x sin x sin 2 x =− x dx x x + =− + ln tg + C . sin x sin x sin x 2
