Автономная некоммерческая образовательная организация высшего образования « Сибирский институт бизнеса и информационных технологий» Зачётная работа (2 семестр) Дисциплина: Математика Реферат Тема: Исследование функции средствами дифференциального исчисления Выполнила: Вехтер Н. С. Менеджмент организации, гр. МС-1120(2) Проверил(а): Омск 2021 г. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 3 ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ............................................................................................................ 5 1.1 Локальные экстремумы функции ................................................................. 5 1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа ....................................................................................................... 6 ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ............................................................ 12 2.1 Достаточные условия экстремума функции.................................................. 12 2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба ...... 17 2.3 Асимптоты графика функции ......................................................................... 20 2.4 Общая схема построения графика функции ................................................. 23 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ......................................................................................................... 28 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ......................................................................................... 29 ВВЕДЕНИЕ В данной исследовательской работе изучается раздел математики, называемый дифференциальным исчислением. В нем продолжается исследование свойств функций, заданных на интервалах. Если ранее такое исследование было доведено лишь до выяснения свойств непрерывных функций, то дифференциальное исчисление продвигает его намного дальше. Свойство непрерывности говорит о том, что функция мало отклоняется от своего значения в точке 0 x при малом отклонении x аргумента от 0 x . Поэтому в окрестности точки 0 x непрерывную функцию можно приближенно заменить константой (ее значением в точке 0 x ), при этом абсолютная погрешность приближения стремится к нулю при 0 .x Однако такая аппроксимация никак не отражает того, как меняется функция при переходе независимой переменной через точку 0 x , какова скорость этого изменения, возрастает или убывает она при этом. Дифференциальное исчисление отвечает в первую очередь на эти вопросы. С помощью вводимых понятий производной и дифференциала функции в точке 0 x удается построить более точную аппроксимацию функции в окрестности точки 0 x не константой, а линейной функцией. Такая аппроксимация отражает не только величину, но и характер изменения функции в точке 0 x . Значение такого подхода к локальному исследованию функции связано с тем, что он позволил ввести строгое понятие скорости изменения функции в точке. На языке физики это, например, возможность дать строгое определение скорости неравномерного движения; на языке геометрии – возможность определить касательную к произвольной линии. С такого рода приложениями было связано бурное развитие основ дифференциального исчисления во второй половине XVII века – в эпоху расцвета механики и астрономии. Дифференциальное исчисление было создано независимо друг от друга Исааком Ньютоном (1643–1727) и Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646–1716). Кропотливая работа их учеников придала дифференциальному исчислению тот совершенный вид, который 3 присущ сейчас. Этапными в этом направлении были работы Огюстена Коши (1789–1857) и Карла Вейершрассе (1815–1897). Целью данной работы является выявление особенностей дифференциального исчисления. Задачи работы: 1. Рассмотреть основные теоремы дифференциального исчисления; 2. Изучить локальные экстремумы функции; 3. Исследовать функции; 4 ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1.1 Локальные экстремумы функции Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0– внутренняя точка множества Х. Обозначим через U(х0) окрестность точки х0. В точке х0 функция f(х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(х) £f(х0). Аналогично: функция f(х) имеет в точке х0 локальный минимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(х) ³f(х0). Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции. Пусть функция f(х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полу окрестностью. Проиллюстрируем данные выше определения: На рисунке точки х1, х3 – точки локального минимума, точки х2, х4 – точки локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума. 5 Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х3 – точка соответственно глобального минимума. 1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем математического анализа или основных теорем дифференциального исчисления, поскольку указывают на взаимосвязь производной функции в точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теорему Ферма. Пьер Ферма (1601–1665) – французский математик. По профессии – юрист. Математикой занимался в свободное время. Ферма – один из создателей теории чисел. С его именем связаны две теоремы: великая теорема Ферма (для любого натурального числа n > 2 уравнение хn+ yn= zn не имеет решений в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р – простое число и а – целое число, не делящееся на р, то ар-1 – 1 делится на р). Теорема Ферма. Пусть функция f(х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х0 Î (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х0 существует конечная производная f'(x0), то f'(x0) = 0. Доказательство. Пусть, для определенности, в точке х0 функция имеет локальный минимум, то есть f(х) ³f(х0), œх ÎU(х0). Тогда в силу дифференцируемости f(х) в точке х0 получим: при х > х0: 6 при х < х0: Следовательно, эти неравенства в силу дифференцируемости имеют место одновременно лишь когда Теорема доказана. Геометрический смысл теоремы Ферма: если х0 Î (а, b) является точкой минимума или максимума функции f(х)и в этой точке существует производная функции, то касательная, проведенная к графику функции в точке (х0, f(х0)), параллельна оси Ох: 7 Заметим, что оба условия теоремы Ферма – интервал (а, b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны. Пример 1. у = çх÷, х Î (–1; 1). В точке х0 = 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условие дифференцируемости функции в точке х0). Пример 2. у = х3, х Î [–1; 1]. В точке х0 = 1 функция имеет краевой максимум. Теорема Ферма не выполняется, так как точка х0 = 1 Ï (–1; 1). Мишель Ролль (1652–1719) – французский математик, член Парижской академии наук. Разработал метод отделения действительных корней алгебраических уравнений. 8 Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f(а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка x, а < x < b, такая, что f'(x) = 0. Доказательство: 1) если f(x) = const на [a, b], то f'(х) = 0, œх Î (a, b); 2) если f(x) ¹const на [a, b], то непрерывная на [a, b] функция достигает наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках отрезка [a, b]. Следовательно, maxf(x)или minf(x) обязательно достигается во внутренней точке x отрезка [a, b], а по теореме Ферма имеем, что f'(x) = 0. Теорема доказана. Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику f(x) в точке (x, f(x)) ïïOx (см. рисунок). Заметим, что все условия теоремы существенны. Пример 3. f(x) = çх÷, х Î [-1; 1]. f(-1) = f(1) = 1. В точке х = 0 нарушено условие дифференцируемости. Следовательно, теорема Ролля не применяется – ни в одной точке отрезка [–1; 1] производная в нуль не обращается. Пример 4. Для данной функции f(0) = f(1) = 0, но ни в одной точке интервала 9 (0; 1) производная не равна 0, так как теорема Ролля не выполняется – функция не является непрерывной на [0; 1]. Огюстен Коши (1789–1857) – французский математик, член Парижской академии наук, почетный член Петербургской и многих других академий. Труды Коши относятся к математическому анализу, дифференциальным уравнениям, алгебре, геометрии и другим математическим наукам. Теорема Коши. Пусть функции f(х) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) ¹ 0, œх Î (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что . (1) Доказательство. Рассмотрим вспомогательную Функция функцию F(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), причем F(а) = F(b) = 0. Следовательно, по теореме Ролля на (a, b) существует точка x, такая, что F'(x) = 0: Следовательно: . Теорема доказана. 10 Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – французский математик и механик, почетный член Парижской и Петербургской академий. Ему принадлежат выдающиеся исследования по математическому анализу, по различным вопросам дифференциальных уравнений, по алгебре и теории чисел, механике, астрономии. Лагранж впервые ввел в рассмотрение тройные интегралы, предложил обозначения для производной (y', f'(x)). Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что (2) Доказательство. Из формулы (1) при g(x) = xполучаем формулу (2). Теорема доказана. Равенство (2) называют формулой конечных приращений или формулой Лагранжа о среднем. Геометрический смысл теоремы Лагранжа. При выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику функции f(x) в точке (x, f(x)) параллельна секущей, проходящей через точки А (а, f(а)) и В (b, f(b)) (см. рисунок). Рассмотрим следствия из теоремы Лагранжа: 1. (условие постоянства функции на отрезке). Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Если f'(x) = 0, œх Î (a, b), то функция f(x) постоянна на [a, b]. 11 2. Пусть функции f(x) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), f'(x) = g'(х), œх Î (a, b). Тогда f(x) = g(х) + С, где С = const. 3. (условие монотонности функции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируемая на интервале (a, b). Тогда, если f'(x) > 0,œх Î (a, b), то f(x) строго монотонно возрастает на (a, b). Если же f'(x) < 0, œх Î (a, b), то f(x) строго монотонно убывает на (a, b). ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 2.1 Достаточные условия экстремума функции В главе 1 мы рассмотрели основные теоремы математического анализа, которые широко используются при исследовании функции, построении ее графика. По теореме Ферма: из дифференцируемости функции f(x) в точке локального экстремума х0 следует, что f'(x0) = 0. Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, то есть если в точке х0 – экстремум функции f(x) и в этой точке существует производная, то f'(x0) = 0. Точки х0, в которых f'(x0) = 0, называются стационарными точками функции. Заметим, что равенство нулю производной 12 в точке не является достаточным для существования локального экстремума в этой точке. Пример 1. у = х3, у' = 3х2, у'(0) = 0, но в точке х0 = 0 нет экстремума. Точками, подозрительными на экстремум функции f(x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х0 = 0: f'(0) = 0 f'(0) $f'(0) = ¥ Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно – минимум или максимум?». Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f(x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U(x0) точки х0 (проколотая окрестность означает, что сама точка х0 выбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х0. Тогда: 13 1) если (1) то в точке х0 – локальный максимум; 2) если (2) то в точке х0 – локальный минимум. Доказательство. Из неравенств (1) и следствия 3 теоремы Лагранжа (о монотонности функции) следует, что при х < х0 функция не убывает, а при х > х0 функция не возрастает, то есть (3) Следовательно, из (3) получаем, что в точке х0 функция имеет локальный максимум. Аналогично можно рассмотреть неравенства (2) для локального минимума: f (x) f (x) f'(х) ³ 0 f'(х) £ 0 f'(х) £ 0 f'(х) ³ 0 Теорема доказана. 14 Пример 2. Исследовать на монотонность и локальный экстремум функцию с помощью производной первого порядка. Решение. Найдем стационарные точки функции: Þ х2 –1 = 0 Þ х1 = –1, х2 = 1. Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно: х (–¥; –1)–1(–1; 0)0(0; 1)1(1; +¥) у'+ 0 – –– 0+ у –2 – 2 maxmin То есть функция возрастает на интервалах (–¥; –1) и (1; +¥), убывает на интервалах (–1; 0), (0; 1), имеет локальный максимум в точке х1 = –1, равный уmax (–1) = –2; имеет локальный минимум в точке х2 = 1, уmin (1) = 2. Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х0 – стационарная точка (f'(х0) = 0), в которой f''(х0) > 0, то в точке х0 функция имеет локальный минимум. Если же f''(х0) < 0, то в точке х0 функция имеет локальный максимум. Доказательство. Пусть для определенности f''(х0) > 0. Тогда 15 Следовательно: при х< х0, f'(х) < 0, при х> х0, f'(х) > 0. Поэтому по теореме 1 в точке х0 функция имеет локальный минимум. Теорема доказана. Пример 3. Исследовать на экстремум функцию с помощью второй производной. Решение. В примере 2 для данной функции мы нашли первую производную и стационарные точки х1 = –1, х2 = 1. Найдем вторую производную данной функции: Найдем значения второй производной в стационарных точках. Þ в точке х1 = –1 функция имеет локальный максимум; Þ в точке х2 = 1 функция имеет локальный минимум (по теореме 2). Заметим, что теорема 1 более универсальна. Теорема 2 позволяет проанализировать на экстремум лишь точки, в которых первая производная равна нулю, в то время как теорема 1 рассматривает три случая: равенство производной нулю, производная не существует, равна бесконечности в подозрительных на экстремум точках. 16 2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба Пусть функция f(х) задана на интервале (a, b) и х1, х2 – любые различные точки этого интервала. Через точки А (х1, f(х1)) и В (х2, f(х2)) графика функции f(х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде у = у(х). Функция f(х) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для любых точек х1, х2 Î (a, b), а £ х1 < х2 £b, хорда АВ лежит не ниже графика этой функции, т. е. если f(х) £ у (х), œ х Î[х1, х2] Ì (a, b): Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх. Функция f(х) называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если для любых точек х1, х2 Î (a, b), а £ х1 < х2 £b, хорда АВ лежит не выше графика этой функции, т. е. если f(х) ³ у (х), œ х Î[х1, х2] Ì (a, b): 17 Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f(х) – дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и 1) f''(х) > 0, œ х Î(a, b), то на (a, b) функция f(х) выпукла вниз; 2) f''(х) < 0, œ х Î(a, b), то на (a, b) функция f(х) выпукла вверх. Точка х0 называется точкой перегиба функцииf(х), если $d – окрест-ность точки х0, что для всех х Î (х0 – d, х0) график функции находится с одной стороны касательной, а для всех х Î (х0 , х0 + d) – с другой стороны касательной,проведенной к графику функции f(х) в точке х0 , то есть точка х0 – точка перегиба функции f(х), если при переходе через точку х0 функция f(х) меняет характер выпуклости: х0 – d х0 х0 + d 18 Теорема 4 (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция f(х) имеет непрерывную в точке х0 производную f'' и х0 – точка перегиба, то f'' (х0) = 0. Доказательство. Если бы f'' (х0) < 0 или f'' (х0) > 0, то по теореме 3 в точке х0 функция f(х) была бы выпукла вверх или вниз. Следовательно, f''(х0) = 0. Теорема доказана. Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если функция f(х) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х0 и при переходе через точку х0 производная f''(х) меняет знак, то точка х0 является точкой перегиба функции f(х). Пример 4. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции у = х3. Решение. у' = 3х2, у'' = 6х = 0 Þ х0 = 0 – точка, подозрительная на перегиб. В точке х0 = 0 функция у = х3 имеет перегиб: х (–¥; 0) 0(0; +¥) у'' – 0+ у выпукла вверх0выпукла вниз точка перегиба 19 Пример 5. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции . Решение. В примере 3 мы уже находили вторую производную данной функции . Так как то точек подозрительных на перегиб нет. Рассмотрим промежутки выпуклости: х (–¥; 0) 0(0; +¥) у'' – –+ у выпукла вверх–выпукла вниз функция не определена 2.3 Асимптоты графика функции Асимптотой будем называть прямую, к которой график функции неограниченно близко приближается. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая х = х0 называется вертикальной асимптотой графика функции f(х), если хотя бы один из пределов f(х0 – 0) или f(х0 + 0) равен бесконечности. Пример 6. Найти вертикальные асимптоты функций: а) б) в) Решение. Вертикальными асимптотами функций будут прямые х = х0, где х0 – точки, в которых функция не определена. 20 а) х = 3 – вертикальная асимптота функции . Действительно, ; б) х = 2, х = –4 – вертикальные асимптоты функции . Действительно, , ; в) х = 0 – вертикальная асимптота функции Действительно, . Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции f(х) при х ® +¥ или х ® –¥, если f(х) = kx + b + α(х), , то есть если наклонная асимптота для графика функции f(х) существует, то разность ординат функции f(х) и прямой у = kx + b в точке х стремится к 0 при х ® +¥ или при х ® –¥. Теорема 6. Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f(х) при х ® +¥ или х ® –¥, необходимо и достаточно существование конечных пределов: (4) 21 Следовательно, если хотя бы один из данных пределов не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонных асимптот. Пример 7. Найти наклонные асимптоты функции Решение. Найдем пределы (4): Следовательно, k = 1. Следовательно, b = 0. Таким образом, функция имеет наклонную асимптоту у = kx + b = 1 · х + 0 = х. Ответ: у = х – наклонная асимптота. Пример 8. Найти асимптоты функции . Решение. а) функция неопределенна в точках х1 = –1, х2 = 1. Следовательно, прямые х1 = –1, х2 = 1 – вертикальные асимптоты данной функции. Действительно, . ; 22 б) у = kx + b. Следовательно, у = 2х + 1 – наклонная асимптота данной функции. Ответ: х1 = –1, х2 = 1 – вертикальные, у = 2х + 1 – наклонная асимптоты. 2.4 Общая схема построения графика функции 1. Находим область определения функции. 2. Исследуем функцию на периодичность, четность или нечетность. 3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум. 4. Находим промежутки выпуклости и точки перегиба. 5. Находим асимптоты графика функции. 6. Находим точки пересечения графика функции с осями координат. 7. Строим график. Прежде чем перейти к примерам, напомним определения четности и нечетности функции. Функция у = f(х) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принадлежит области определения и выполняется равенство f(х) = f(–х). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция у = f(х) называется нечетной для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принадлежит области 23 определения, и выполняется равенство f(–х) = –f(х). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Пример 9. Построить график . Решение. Мы используем данные, полученные для этой функции в других примерах. 1. D(у) = (–¥; 0) È (0; +¥). 2. Следовательно, функция нечетная. Ее график будет симметричен относительно начала координат. 3. (см. пример 2). Исследуем функцию на монотонность и экстремум: х (–¥; –1)–1(–1; 0)0(0; 1)1(1; +¥) у'+ 0 – –– 0+ у –2 – 2 maxmin 4. (см. пример 5). Исследуем функцию на выпуклость и найдем точки перегиба. х (–¥; 0) 0(0; +¥) у'' – –+ у выпукла вверх–выпукла вниз функция не определена Несмотря на то, что функция поменяла характер выпуклости при переходе через точку х = 0, но в ней нет перегиба, так как в этой точке функция не определена. 5. (см. примеры 6 и 7). Найдем асимптоты функции: 24 а) х = 0 – вертикальная асимптота; б) у = х – наклонная асимптота. 6. Точек пересечения с осями координат у данной функции нет, так как , при любых х Îú, а х = 0 ÏD(у). 7. По полученным данным строим график функции: Пример 10. Построить график функции . Решение. 1. D(у) = (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; +¥). 2. – функция нечетная. Следовательно, график функции будет симметричен относительно начала координат. 3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум: 25 3х2 – х4 = 0, х2 · (3 – х2) = 0, х1 = 0, х2 = х (–¥; у'– у ) 0 2,6 ( + ; 0)–1(–1; 0)0(0; 1)1(1; – + 0+ –+ – 0 – , х3 = ) ( 0 – –2,6 . ; +¥) 4. Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба: х = 0 – точка, подозрительная на перегиб. х (–¥; –1) –1(–1; 0) 0(0; 1) 1(0; +¥) у''+ – – 0+ –– выпу выпу выпу у кла – кла 0выпукла вниз–кла вниз вверх вниз перегиб 5. Найдем асимптоты функции: а) х = –1, х = 1 – вертикальные асимптоты. Действительно: 26 б) у = kx + b. , Þ у = –1х + 0 = – х – наклонная асимптота. 6. Найдем точки пересечения с осями координат: х = 0 Þ у = 0 Þ (0; 0) – точка пересечения с осями координат. 7. Строим график: 27 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Исходя из представленной работы, можно сделать вывод, что поставленные цели и задачи исследования решены: рассмотрены основные теоремы дифференциального исчисления; изучены локальные экстремумы функции, исследованы функции. Особенности дифференциального исчисления выявлены. 28 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. – М. : Наука, 1985. 2. Бугров, Я. С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 1 / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М. : Дрофа, 2004. 3. Введение в анализ / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. – М. : Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 4. Веретенников, В.Н. Высшая математика. Аналитическая геометрия :учебнометодическое пособие / В.Н. Веретенников. - Москва ; Берлин :Директ-Медиа, 2018. - 193 с. : ил. - Библиогр.: с. 189. - ISBN 978-5-44759589-0 ; 5. Владимирский, Б. М. Математика. Общий курс / Б. М. Владимирский, А. Б. Горстко, Я. М. Ерусалимский. – СПб. : Лань, 2002. 6. Гусак, А. А. Справочное пособие к решению задач : Математический анализ и дифференциальные уравнения / А. А. Гусак. – Минск : ТетраСистемс, 1998. 7. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М. : Высш. шк., 1980. 8. Демин С.Е.,Демина Е.Л. Дифференциальное исчисление функции одной переменной / Нижний Тагил, 2014 – стр. 6 9. Демина, Е. Л. Векторная функция действительного аргумента и ее механическое приложение / Е. Л. Демина, С. Е. Демин. – Екатеринбург : РИО УГТУ, 1995. 10.Кудрявцев, В. А. Краткий курс высшей математики / В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович. – М. : АСТ, 2005. 11.Краткий курс высшей математики: Учебник / Под общ.ред. д.э.н., проф. К.В. Балдина. – 2-е изд. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко », 2017. 29 12.Копылова Н. Т. , Поддубная М. Л. , Свердлова Е. Г. Математический анализ: учебно-методическое пособие / Н.Т. Копылова, М.Л. Поддубная, Е.Г. Свердлова. – 2-е изд. стер. – М.; Берлин: Директ-Медиа, 2017 13.Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) / Л. А. Кузнецов. – М. : Высш. шк., 1994. 14.Кудрявцев, В. А. Краткий курс высшей математики / В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович. – М. : АСТ, 2005. 15.Кутузов А. С. Математический анализ: дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной: учебное пособие / А.С. Кутузов. – 2-е изд. стер. – М., Берлин: Директ-Медиа, 2017. 16.Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1 / Н. С. Пискунов. – М. : Наука, 1985. 17.Руководство к решению задач по высшей математике. Ч. 2 / под общ. ред. Е. И. Гурского. – Минск : Высш. шк., 1990. 18.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 2 / Минск : Вышейш. шк., 1990.под ред. А. П. Рябушко. 19.Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1 / под ред. Е. А. Ефимова. – М. : Наука, 1986. 20.Туганбаев А. А. Математический анализ: производные и графики функций: учебное пособие / А.А. Туганбаев. – 3-е изд., стереотип. – М.: Флинта, 2017 30