130_18

Задание №18, Вариант 130. Парабола p 2 симметрична параболе p1 , заданной
уравнением у  ах 2 (а  0) , относительно точки Т( b; ab2 ), b>0. Некоторая прямая
пересекает каждую параболу ровно в одной точке: p1 – в точке À1 , p 2 – в точке
À2 так, что угол À1 À2Ò прямой. Касательная к параболе p1 , проведенная в точке
Т, пересекает прямую À1 À2 в точке К. Найдите отношение, в котором точка К
делит отрезок À1 À2 .

По свойству симметрии точка Т – середина
отрезка, соединяющего вершины парабол p 1 и
p 2 , следовательно, вершина параболы p 2 имеет
координаты (2b; 2ab 2 ) (рис.). Очевидно, что
прямая, которая пересекает каждую параболу
ровно в одной точке и отлична от их общей
касательной, параллельна оси Оу. В этом случае
угол А 1 А 2 Т будет прямой, если ординаты точек
Т и А 2 равны. Но тогда эти точки будут
симметричны относительно прямой х = 2b (оси
симметрии параболы p 2 ), следовательно, абсцисса точки А 2 равна 3b. Таким
образом, прямая А 1 А 2 задается уравнением х = 3b. Далее из уравнения у  а (3b) 2
находим ординату точки А 1 : у  9ab 2 .
Так как tg KTА 2 равен значению производной функции у  ах 2 в точке х = b,
то из прямоугольного треугольника КА 2 Т легко найти длину катета КА 2 :
ÊÀ 2  ÒÀ2  tg ÊTÀ 2  2b  2ab  4ab 2 .
Таким образом, получили
А 1 А 2  9ab 2  ab 2  8ab 2 ;
КА 2  4ab 2 ,
КА2  1 A1 А 2 , следовательно, точка К – середина отрезка А 1 А 2 .
2
Ответ: 1:1.
т.е.