МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ Содержание Введение…………………………………………………………………... 4 Требования к выполнению практических работ……………………….. 5 Практическая работа №1 Решение примеров на действия с комплексными числами…………... 6 Практическая работа №2 Исследование функции с помощью производной……………………… 9 Практическая работа №3 Вычисление определенного интеграла………………………………… 17 Практическая работа №4 Решение задач по теории множеств с помощью кругов Эйлера……... 23 Практическая работа №5 Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса…. 27 Практическая работа №6 Решение задач по теории вероятностей………………………………… 32 Литература………………………………………………………………… 40 2 Введение Данные методические рекомендации предназначены для студентов при проведении практических работ по дисциплине ЕН.01 Математика для специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям), базовая подготовка. Практические работы проводятся после изучения соответствующих разделов и тем дисциплины ЕН.01 Математика с целью закрепления теоретических знаний и приобретения необходимых практических умений и навыков. В результате выполнения практических работ, предусмотренных программой по дисциплине Математика, студент должен: Уметь: - применять математические методы для решения профессиональных задач; - использовать приемы и методы математического синтеза и анализа в различных профессиональных ситуациях; Знать: - основные понятия и методы математического синтеза и анализа, дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики. Методические рекомендации содержат описание практических работ, задание по вариантам, указания по их выполнению. Методические рекомендации самостоятельной работы студентов. 3 могут быть использованы для Требования к выполнению практических работ Прежде чем приступить к выполнению практической работы студент должен изучить содержание работы и порядок её выполнения. Вариант исходных данных для выполнения практических работ выбирается в соответствии с порядковым номером по списку. Студенты выполняют задания в рабочей тетради. Описания практических работ содержат: -наименование работы; -цель работы; -краткие теоретические сведения; - пример выполнения; - варианты заданий. Критерии оценивания практических работ: - если практическая работа выполнена в полном объеме и правильно оформлена, то ставится оценка «5»; - если практическая работа выполнена более чем на 75%, ставится оценка «4»; - если практическая работа выполнена более чем на 60%, ставится оценка «3»; - в противном случае работа не засчитывается. Продолжительность проведения практической работы – 2 часа. 4 Практическая работа №1 Решение примеров на действия с комплексными числами Цель практической работы – научиться выполнять арифметические действия с комплексными числами, заданными в алгебраической форме. 1. Сведения из теории Представим, что существует такое число i, квадрат которого равен -1. 𝑖 2 = −1 Такое число называют мнимой единицей. Изучим его свойства – начнем возводить i последовательно в разные степени. 𝑖0 = 1 (так как по свойству степеней любой число, отличное от нуля, в нулевой степени дает 1) 𝑖1 = 𝑖 (так как любое число в первой степени равно самому себе) 𝑖 2 = −1 (по определению) 𝑖 3 = 𝑖 2 ∙ 𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝑖 𝑖 4 = 𝑖 3 ∙ 𝑖 = −𝑖 ∙ 𝑖 = −𝑖 2 = −(−1) = 1 Обратим внимание на то, что значения начали повторяться. 𝑖5 = 𝑖4 ∙ 𝑖 = 1 ∙ 𝑖 = 𝑖 Таким образом мы знаем, что степени мнимой единицы принимают 4 различных значения: 1,i,-1,-i. И далее повторяются -–значит они периодичны с периодом 4. Чтобы найти значение степени мнимой единицы – необходимо поделить показать степени на 4 с остатком и посчитать чем равна мнимая единица в степени, равной остатку от деления. Например: a) 𝑖 27 Делим 27 на 4 с остатком 27 = 6 ∙ 4 + 3 Остаток 3. Значит 𝑖 27 = 𝑖 3 = −𝑖 b) 𝑖 18 Делим 18 на 4 с остатком 18 = 4 ∙ 4 + 2 Остаток 2. Значит 𝑖 18 = 𝑖 2 = −1 c) 𝑖 −6 Делим -6 на 4 с остатком −6 = (−2) ∙ 4 + 2 Остаток 2. Значит 𝑖 −6 = 𝑖 2 = −1 5 d) 𝑖 36 Делим 36 на 4 с остатком 36 = 9 ∙ 4 + 0 Остаток 0. Значит 𝑖 36 = 𝑖 0 = 1 Определение: Комплексным числом называется число вида a+bi, где a и b – действительные числа. Число a называется действительной часть, bi – мнимой частью. Например: 2+3i – комплексное число 3-i- комплексное число 4 – комплексное число (так как можно записать 4+0*i) Примечание: Такая форма записи называется алгебраической формой комплексного числа. Определение: Пусть 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 комплексное число. Тогда число𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖 называется комплексно-сопряженным числу z. Иными словами комплексно-сопряженные числа отличаются лишь знаком мнимой части. Например: 1+2i – сопряженное будет 1-2i 2-i – сопряженное будет 2+i 4 – сопряженное будет 4 (раз мнимая часть 0 – значит ничего не меняется) i – сопряженное будет -i 2. Пример выполнения задания Рассмотрим простейшие действия с комплексными числами в алгебраической форме на примере 2 чисел 𝑧1 = 2 + 3𝑖 и 𝑧2 = 3 − 𝑖: Сложение 𝑧1 + 𝑧2 = (2 + 3𝑖) + (3 − 𝑖) = 2 + 3𝑖 + 3 − 𝑖 = 5 + 2𝑖 (раскрыли скобочки и привели подобные слагаемые) 2) Вычитание 𝑧1 − 𝑧2 = (2 + 3𝑖) − (3 − 𝑖) = 2 + 3𝑖 − 3 + 𝑖 = −1 + 4𝑖 (раскрыли скобочки и привели подобные слагаемые) 1) Умножение 𝑧1 ∙ 𝑧2 = (2 + 3𝑖) ∙ (3 − 𝑖) = 6 − 2𝑖 + 9𝑖 − 3𝑖 2 = 6 + 7𝑖 − 3𝑖 2 (раскрыли скобочки и привели подобные слагаемые) Теперь вспомним, что по определению i в квадрате равно -1. 6 + 7𝑖 − 3 ∙ (−1) = 6 + 7𝑖 + 3 = 9 + 7𝑖 4) Деление 𝑧1 2 + 3𝑖 = 𝑧2 3−𝑖 3) 6 При делении – необходимо и числитель и знаменатель дроби домножить на число, комплексно-сопряженное знаменателю. (2 + 3𝑖) ∙ (3 + 𝑖) (3 − 𝑖) ∙ (3 + 𝑖) Вычисляем произведения 6 + 2𝑖 + 9𝑖 + 3𝑖 2 6 + 11𝑖 + 3 ∙ (−1) 6 + 11𝑖 − 3 3 + 11𝑖 3 11 = = = = + 𝑖 9 + 3𝑖 − 3𝑖 − 𝑖 2 9 − (−1) 9+1 10 10 10 3. Варианты заданий 𝑧1 = 2 + 𝑖 𝑧1 = −2 − 𝑖 𝑧1 = −2 + 𝑖 𝑧1 = 2 + 𝑖 𝑧2 = −1 − 𝑖 𝑧2 = −1 − 𝑖 𝑧2 = −1 − 𝑖 𝑧2 = 1 − 𝑖 𝑧1 = 2 + 𝑖 𝑧1 = 3 − 2𝑖 𝑧1 = 4 + 𝑖 𝑧1 = 2 + 𝑖 𝑧2 = −1 + 𝑖 𝑧2 = −1 − 2𝑖 𝑧2 = 5 − 𝑖 𝑧2 = 2 − 𝑖 𝑧1 = 3 + 2𝑖 𝑧1 = 1 + 𝑖 𝑧1 = 4 − 𝑖 𝑧1 = 7 + 5𝑖 𝑧2 = −1 − 2𝑖 𝑧2 = −3 − 𝑖 𝑧2 = −1 + 𝑖 𝑧2 = −3 − 2𝑖 𝑧1 = 2 + 2𝑖 𝑧1 = 2 + 𝑖 𝑧1 = −2 + 𝑖 𝑧1 = 6 + 𝑖 𝑧2 = −1 − 𝑖 𝑧2 = −5 − 𝑖 𝑧2 = 5 − 𝑖 𝑧2 = −3 − 𝑖 𝑧1 = 3 + 4𝑖 𝑧1 = 5 + 𝑖 𝑧1 = 2 + 5𝑖 𝑧1 = 2 + 5𝑖 𝑧2 = −1 − 2𝑖 𝑧2 = −2 − 𝑖 𝑧2 = −1 − 𝑖 𝑧2 = −1 + 𝑖 𝑧1 = 2 + 3𝑖 𝑧1 = −2 + 𝑖 𝑧1 = −2 + 𝑖 𝑧1 = 3 − 7𝑖 𝑧2 = −1 − 3𝑖 𝑧2 = −1 − 3𝑖 𝑧2 = −1 + 3𝑖 𝑧2 = 1 − 𝑖 𝑧1 = 4 + 5𝑖 𝑧1 = 3 + 6𝑖 𝑧1 = 9 + 𝑖 𝑧1 = 2 + 9𝑖 𝑧2 = −1 − 2𝑖 𝑧2 = −8 − 2𝑖 𝑧2 = −2 − 𝑖 𝑧2 = −1 − 9𝑖 𝑧1 = 4 + 5𝑖 𝑧1 = 4 − 5𝑖 𝑧1 = −4 + 5𝑖 𝑧1 = 3 + 4 𝑧2 = −1 − 2𝑖 𝑧2 = −1 − 2𝑖 𝑧2 = −1 − 2𝑖 𝑧2 = 1 + 4𝑖 7 Практическая работа №2 Исследование функции с помощью производной Цель практической работы: научиться исследовать функцию с помощью первой и второй производной и строить ее график. 1. Краткие сведения из теории Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей в некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными. Если функция не является монотонной, то область ее определения можно разбить на конечное число промежутков монотонности (которые иногда чередуются с промежутками постоянства функции). Монотонность функции y = f(x)характеризуется знаком ее первой производной f(x), а именно: - если в некотором промежутке f(x) > 0, то функция возрастает на этом промежутке. - если в некотором промежутке f(x) < 0, то функция убывает на этом промежутке. - если в некотором промежутке f(x) = 0, то функция постоянна на этом промежутке. Точка х = х0 называется точкой максимума функции y = f(x), если существует такая окрестность точки х0 , что для всех х (х х0) этой окрестности выполняется неравенство f(x) <f(x0) . 8 Точка х = х0 называется точкой минимума функции y = f(x), если существует такая окрестность точки х0 , что для всех х (х х0) этой окрестности выполняется неравенство f(x) >f(x0) . Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом) или экстремумом функции. Необходимое условие экстремума. Если функция y = f(x) имеет экстремум при x = x0, то ее производная в этой точке равна нулю или бесконечности либо вовсе не существует, при этом сама функция в точке x0определена. Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых первая производная f(x)обращается в ноль или терпит разрыв. Первое достаточное условие существования экстремума функции. Пусть точка х=х0является критической точкой I рода функции y = f(x), а сама функция дифференцируема во всех точках некоторого промежутка, содержащего эту точку (за исключением, возможно, самой этой точки). Тогда: 1) если при переходе слева направо через критическую точку I рода х = х0 первая производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция достигает максимума, т.е. х = х0 – точка максимума, ymax = f(x0); + max - f(x) | x = x0f(x) x 2) если при переходе слева направо через критическую точку I рода х = х0 первая производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция достигает минимума, т.е. х = х0 – точка минимума, ymin = f(x0); 9 - min + f(x) x = x0 f(x) x 3) если при переходе через критическую точку I рода первая производная не меняет знака, то в этой точке экстремума нет. Кривая обращена выпуклостью вверх или выпукла( ) на некотором промежутке, если она расположена ниже касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка. Кривая обращена выпуклостью вниз или вогнута( ) на некотором промежутке, если она расположена выше касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка. Точкой перегиба кривой называется такая ее точка, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости. Достаточное условие выпуклости (вогнутости) кривой. График дифференцируемой функции y = f(x) является выпуклым на некотором промежутке, если вторая производная функции отрицательна в каждой точке этого промежутка: f(x) <0. График дифференцируемой функции y = f(x) является вогнутым на некотором промежутке, если вторая производная функции положительна в каждой точке этого промежутка: f(x) >0. Точками перегиба графика функции y = f(x) могут служить только точки, абсциссы которых являются критическими точками II рода, т.е. точки, находящиеся внутри области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Точками перегиба графика функции y = f(x) являются лишь те из указанных точек, при переходе через которые вторая производная f(x) меняет знак. 10 Для исследования функций и построения графиков функций можно использовать следующую схему: 1. Найти область определения функции, если она не указана заранее. 2. Проверить функцию на четность и нечетность . 3. Исследовать функцию на периодичность. 4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (f(x) = 0; y = f(0)). 5. Найти интервалы знакопостоянства функции. 6. Найти критические точки первого рода, для этого нужно найти первую производную функции и приравнять ее нулю ( f ( x) 0 ); определить, в каких точках она не существует. 7. Проверить критические точки на экстремум, для этого найти вторую производную и определить ее знак ( f ( xi ) 0 - критическая точка – не экстремум, f ( xi ) 0 - критическая точка – точка минимума функции, f ( xi ) 0 - критическая точка - точка максимума). 8. возрастает, 9. Исследовать функцию на монотонность ( f ( x) 0 - функция f ( x) 0 - функция убывает). Найти критические точки второго рода, для этого приравнять нулю вторую производную ( f ( x ) 0 ). 10. Найти интервалы выпуклости графика функции ( f ( x) 0 - функция выпуклая, 11. f ( x) 0 - функция вогнутая). Исследовать критические точки второго рода на точки перегиба ( если вторая производная при переходе через критическую точку второго рода меняет знак – критическая точка является точкой перегиба, то есть отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой). Для исследования функции следует воспользоваться схемой, составить необходимые таблицы, затем по полученным данным построить график функции. 11 2. Пример выполнения задания Исследуйте функцию f ( x) x 4 2 x 2 1 и постройте ее график. 1. Областью определения данной функции является все множество действительных чисел: D(f) = ( . 2. 3. f ( x) ( x) 4 2( x) 2 1 f ( x) , то есть функция четная. Функция непериодическая. 4. Для определения точек пересечения функции с осью х решаем биквадратное уравнение: x 4 2x 2 1 0 ( x 2 1) 2 0 х2 1 0 х2 1 х 1 x1 1, x2 1 . Пересечение с осью y: f(0) = 1. 5. Найдем интервалы знакопостоянства функции: отметим на оси Х точки пересечения функции с этой осью и определим знак исследуемой функции на каждом полученном интервале. + -1 Функция f ( x) 0 + 1 + f(х) x при всех хкроме x1 и x 2 . 6. f ( x) 4 x 3 4 x 4 x( x 1)( x 1) 0 ; x1 1; x2 0 ; x3 1 . 7. Вычисляем вторую производную и находим ее значение в критических точках первого рода: f ( x) 12 x 2 4 4(3x 2 1) ; 12 f (1) 8 0 ; f (0) 4 0 ; f (1) 8 0 , то есть х = -1 – точка минимума функции, х = 0 – точка максимума; х = 1 – точка минимума. 8. Исследуем функцию на монотонность: отметим на оси х критические точки первого рода и определим знак первой производной на каждом полученном интервале. - min -1 0 1 f (x ) Первая производная при x (;1) при x (1;0) при x (0;1) f ( x) 0 при x (1;) min + f (x ) х f ( x) 4 x( x 1)( x 1) f ( x) 0 f ( x) 0 + max - имеет следующие знаки: - функция убывает; - функция возрастает; - функция убывает; f ( x) 0 - функция возрастает. Результаты исследования приводятся в таблице: x (-; -1) -1 (-1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; ) f(x) - 0 + 0 - 0 + f(x) 8 убывает f(x) min -4 возрастает max 0 1 8 убывает min возрастает 0 9. Для определения критических точек второго рода приравниваем нулю вторую производную f ( x) 12 x 2 4 4(3x 2 1) 0 и находим: x1 x2 1 3 . 13 1 3 и 10. Найдем интервалы выпуклости графика функции: отметим на оси х критические точки второго рода и определим знак второй производной на каждом полученном интервале. + 1 3 1 3 - f (x) + f (x) х Вторая производная 1 положительна – функция вогнутая; 3 при x ; 1 при x при x 11. 3 ; 1 отрицательна – функция выпуклая; 3 ; положительна – функция вогнутая. 3 1 Обе критические точки являются точками перегиба, так как в них происходит изменение знака второй производной. Результаты исследования приводятся в таблице: х (-; -1/ 3 ) -1/ 3 (-1/ 3 ;1/ 3 ) 1/ 3 (1/ 3 ;) f(x) + 0 - 0 + f(x) вогнутая перегиб выпуклая перегиб вогнутая 4/9 Пользуясь четностью 4/9 функции, построим график для правой полуплоскости, а затем отразим его симметрично относительно оси y. Нанесем на график точки пересечения с осями: (1; 0) и (0; 1). Точка (0; 1) является точкой максимума; точка (1; 0) - точкой минимума. В промежутке 14 между этими точками функция убывает, в точке x 1 3 0.58 функция меняет свою вогнутость на выпуклость. После х = 1 функция возрастает. 3. Варианты заданий Номера задания Номер Функция задания Номер Функция задания Номер Функция задания 1, 16 f ( x) 1 3 x x2 3 6, 21 1 f ( x) x 3 x 3 11, 26 1 f ( x) x 2 x 3 3 2, 17 f ( x) 1 x x3 3 7, 22 f ( x) 3 x 2 x 3 12, 27 f ( x) x 4 10 x 2 9 3, 18 f ( x) 2 3 x 2x2 3 8, 23 f ( x) x 4 6 x 2 5 13, 28 5 f ( x) 5 x 2 x 3 3 4, 19 f ( x) x 4 4 x 2 3 9, 24 f ( x) 2 x 2 14, 29 f ( x) 6 x 2 9 x x 3 5, 20 f ( x) 10, 25 f ( x) x 3 x 15, 30 f ( x) 3 x 3 x 2 5 3 x 5x2 3 15 2 3 x 3 Практическая работа №3 Вычисление определенного интеграла Цель практической работы: научиться вычислять определенный интеграл непосредственно и методом подстановки. 1. Краткие сведения из теории Таблица простейших интегралов x n 1 dx 1. x dx tg x C . C (n 1) . 7. n 1 cos 2 x dx dx ln x C . 2. 8. 2 ctg x C . x sin x x dx x a arcsin C . 3. a x dx C . 9. 2 2 a ln a a x dx 1 x arctg C . 4. e x e x C . 10. 2 2 a a a x dx 1 ax 5. cos x dx sin x C . 11. 2 ln C . 2 2a a x a x dx ln x x 2 a 2 C . 6. sin x dx cos x C . 12. 2 2 x a n Наиболее важными свойствами для вычисления определенных интегралов являются: 1) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: b b a a k f ( x)dx k f ( x)dx . 2) Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых: . b f ( x) f 1 a 2 b b a a ( x) dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dx . Для вычисления определенного интеграла от функции f(x), в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл F(x), служит формула Ньютона - Лебница: 16 b b f ( x)dx F ( x)| a a F (b) F (a) , т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования. 1.1. Метод непосредственного интегрирования Для вычисления определенного интеграла от функции f(x), в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл F(x), служит формула Ньютона-Лебница: b b f ( x)dx F ( x)| F (b) F (a) , a a т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования. 2.1. Пример выполнения задания Примеры вычисления определенных интегралов по формуле НьютонаЛейбница: 1 1 1 1) (5 x 3 )dx 5 dx x 3 dx 5x 11 1 1 1 x4 4 1 1 1 1 5(1 (1)) (14 (1) 4 ) 5 2 (1 1) 10 4 4 dx tgx 04 tg tg 0 1 0 1 . 2) 2 4 0 cos x 4 3.1. Варианты заданий № Интеграл вари анта 1, 31 0 (4 2 x 3)dx 2 2 3 3dx 0 cos 2 x № вари анта 11 Интеграл 2 3 2 (4 x 3x 4)dx № вари анта 21 Интеграл 0 (1 2 x 1 2 1 x (2e 4)dx 0 4 17 dx 2 cos 6 2 2 x 4 x 3 ) dx 2, 32 2 (3x 2 4 x x ) dx 3 12 (6 4 x 2 3) dx 22 6 1 ( x 8)dx 4dx 0 cos 2 x (4 x 3 x 2 7)dx 13 2 2 3 (6 x 2 x 4 x)dx 23 5 ( 1 x 2)dx 14 2 (3 4 x 6 x 2 )dx 1 2 (4 x 6 x 5)dx 24 1 dx 2 sin 2 x 2 (2 x 3 x 1) dx 3 2 15 1 1 (5 e (4 x 3 2 x 1) dx 2 25 x (e )dx (8 x 1)dx 16 2 2 x 0 (5 4 x 2 x ) dx 3 26 2 3 (4 x 2 x 3x)dx 17 (5 x 3 3 2 2 x 3 3 x ) dx 27 1 e (2 x 3 x 1 ( 3 1 x )dx 4)dx 1 (3sin x 2 cos x)dx 2 2dx (4 x e 18 2) dx 2 x 2 2 x 3 3 x )dx 2 e 2 2 4 2 1 1 3)dx x cos 1 5 1 (7 x )dx x 2 4) dx (3 5 x 2 (x 3 0 2 6 2 2 0 3dx cos 2 x dx ) dx 0 (2e 1)dx 0 0 4 cos x 2 1 1 1 2 8 2 1 0 7 (4 2 x 6 x 4 2 0 2 dx 2 4 sin x 6 6 5) dx 2 3 (3 cos x 5 sin x)dx 3 6 2 2 2 5 ( x 3x (3 cos x sin x)dx 2 4 1 1 e (6 cos x 2 sin x)dx 2 1 1 1 4 x 3 x ) dx 2 ( x 4)dx 4 1 (3x e e 2 1 2 1 3 0 1 2 (2 x x 4)dx 1 (2 sin x cos x)dx 1 28 1 (6 x 2 x 1 18 2 4) dx (2 sin x 4 cos x)dx 2 2 3 (4 x )dx 9 19 2 (5 2 x 3x 2 )dx (3 x 2 x 2 ) dx 2 2 x 2 ) dx 2dx 2 x sin 4dx sin 2 x 3dx sin (2 4 x 3x 2 2 2 2 2 4 29 2 4 6 6 10 1 (4 x 6 x 2 5) dx 20 1 (3cos x 5sin x)dx 2 3 2 ( x 3x 2)dx 30 1 2 (x 3 3 x 2 8) dx 1 1 x (2 e )dx 0 1 (1 3e )dx x 0 2 1.2. Метод замены переменной При вычислении определённых интегралов широко используется метод подстановки или метод замены переменной интегрирования. Вычисление определённого интеграла методом замены переменной состоит в следующем: 1) часть подынтегральной функции заменяют новой переменной; 2) находят дифференциал от обеих частей замены; 3) находят новые пределы определённого интеграла; 4) все подынтегральное выражение представляют через новую переменную (после чегодолжен получиться табличный интеграл); 5) вычислить полученный определенный интеграл. 2.2. Пример выполнения задания Вычислить интегралы: 4 1) x x 2 9dx 0 Решение: Введем новую переменную интегрирования, полагая 19 t х2 + 9 dt 2xdx dt dx 2x Вычислим новые пределы интегрирования: tн 0 9 9 , t в 4 2 9 16 9 25 . Следовательно, 3 3 3 25 1 dt 1 2 1 t 2 25 1 1 98 2 2 2 0 x x 9dx 9 x t 2 x 2 9 t dt 2 3 9 3 (25 9 ) 3 (125 27) 3 . 2 4 25 2) sin xdx (1 cos x ) 3 2 Решение: Введем новую переменную интегрирования, полагая t 1 cos x dt sin xdx dt dx . sin x Вычислим новые пределы интегрирования: 1 0 1, 2 t в 1 cos 1 1 2 . t н 1 cos Следовательно, 2 sin xdx (1 cos x ) 3 dt 2 2 2 sin x dt t 3 dt t 2 1 1 2 1 ( 1 1) 1 ( 3 ) 3 . 1 t 3 1 2 1 2 t2 1 2 4 2 4 8 t3 sin x 1 2 1 2 х 1 dx 3) x е 3 0 Решение: Введем новую переменную интегрирования, полагая t x3 1 dt 3 x 2 dx dt dx 2 3x Вычислим новые пределы интегрирования: 20 tн 0 1 1, t в 13 1 2 . Следовательно, 1 х 2 е х 3 1 0 2 2 dt 1 t 1 t2 1 2 1 1 dx x е е dt е ( е е ) е(е 1) 2 1 3 3 3 3 3 x 1 1 2 t 3.2. Варианты заданий Номера задания Номер Интеграл задания 3 1 4 3 х 16 х dх 0 Номер Интеграл задания 8 11 dx 1 17x 8 Номер задания 21 Интеграл 2 sin x cos xdx 0 2 3 хdx 2 (x 2 1) 3 12 13 4 2 x cos 2dx 4 5 24 tg( 3 0 22 4 x )dx 23 2 sin x 1 xdx 9 5x 2 0 e cos xdx 1 (2 x 3 4 ) x 2 dx 0 0 2 cos хdx 0 (3 sin x) 2 2 1 0 6 x 2 dx 3 8 7x 14 2 (2 х ) dх 4 dx sin 2 6 24 25 16 ln 3 e x dx 1 e2x 26 ln x dx x 27 0 0 sin хdx 2 4 0 dx 1 (1 2 x) 2 4 (1 2 cos x) x ctgx 15 3 2 e ln x dx x 1 2 (3 2 sin x) 3 cos xdx 0 7 2 0 8 17 4 x dx x 4 5 1 3 x e 25 3x 2 dх 18 0 2 x( x 2 1) 9 dx x x 2 9dх 0 28 2 cos хdx 2 sin x 1 1 0 4 0 9 2 (2 x 1 10 2 0 хdx 2 4) 4 3 2 2 3 20 x 2 dx 9 2x 19 xdx 29 1 x2 1 2 2x 1 0 x 2 x 1 dx 21 1 (5 2 x 3 ) x 2 dx 0 30 2 0 4 5 sin x cos xdx Практическая работа №4 Решение задач по теории множеств с помощью кругов Эйлера Цель практической работы: научиться решать задачи по теории множеств с помощью Кругов Эйлера. 1. Краткие сведения из теории Множество – такой набор, группа, коллекция элементов, которые обладают каким-либо общим для них всех свойством или признаком. Обозначение: A, B. Для иллюстрации операций над множествами часто используются диаграммы Эйлера – Венна. Операции над множествами: 1) Объединением множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих, по крайней мере, одному из данных множеств (т. е. либо A, либо B, либо одновременно и A и B). Обозначают A B и читают «объединение A и B». 2) Пересечением множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A и B. Обозначают A∩B и читают «пересечение A и B». 22 3) Разностью множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих A и не принадлежащих B. Обозначают A\B и читают «разность A и B». 4)Дополнением множества А называется множество элементов, принадлежащих U и не принадлежащих А. Обозначают A ( A = U \ A) 2.Пример выполнения задания Задача. Из 24 учеников 9 класса музыкальную школу посещают 10 человек, художественную школу – 8 человек, спортивную школу – 12 человек, 23 музыкальную и художественную школу – 3, художественную и спортивную школу – 2, музыкальную и спортивную школы – 2, все три школы посещает 1 человек. Сколько учеников посещают только одну школу? Сколько учащихся не посещают ни одну из перечисленных школ? Решение: В этой задаче 3 множества. Из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Только музыкальную школу посещают: 10 – 3 – 2 – 1 = 4 учащихся. Только художественную школу посещают 8 – 3 – 2 – 1 = 2 учащихся. Только спортивную школу посещают 12 – 2 – 2 – 1 = 7 учащихся. Только одну школу посещают 4 + 2 + 7 = 13 учеников. Не посещают ни одну из перечисленных школ: 24 – (4 + 2+7 + 3 +2 +2 +1) = 3 учащихся. Ответ: только одну школу посещают 13 учеников; 3 ученика не посещают ни одну из перечисленных школ. 3.Варианты заданий Задача 1. В классе 35 учеников: 24 из них играют в футбол, 18 – в волейбол, 12 – в баскетбол. При этом, 10 учеников одновременно играют в футбол и в 24 волейбол, 8 – в футбол и баскетбол, а 5 – в волейбол и баскетбол. Сколько учеников играют во все три игры одновременно? Задача 2. На полке стояло 26 различных математических игр-головоломок. В 4 из них поиграли и Вадим, и Саша. Игорь попробовал поиграть в 7 игр, которых не касались ни Вадим, ни Саша, и две головоломки, в которые играл Вадим. Всего Вадим играл в 11 математических игр-головоломок. Во сколько головоломок сыграл Саша? Задача 3. В классе 38 учеников: 16 из них играют в баскетбол, 17 – в хоккей, 18 – в футбол. Увлекаются двумя видами спорта – баскетболом и хоккеем – четверо, баскетболом и футболом – трое, футболом и хоккеем – пятеро. Трое не играют ни в одну из перечисленных игр. Сколько учеников играю лишь в один из этих видов спорта? 25 Практическая работа №5 Решение систем линейных уравнений методом Крамера и методом Гаусса Цель практической работы: научиться решать системы линейных уравнений методами Крамера и Гаусса. 1.1. Метод Крамера 1. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными а а a11 x a12 y c1 , при условии, что определитель системы 11 12 0 , а 21 а 22 a 21 x a 22 y c2 имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: x y с x , где ч 1 ; y с2 Если а12 а 22 , y a11 c1 a 21 c2 . (1) , то система: 1) или не имеет решений, если либо , либо ; 2) или имеет бесконечное множество решений, если . 2. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными a11 x a12 y a13 z c1 a 21 x a 22 y a 23 z c2 , при условии, что определитель системы a x a y a z c 32 33 3 31 26 a11 a12 a13 a 21 a31 a 22 a32 a 23 0 , имеет единственное решение, которое определяется a33 c1 по формулам Крамера x x ; y y ; z z . , a11 c1 y a 21 c2 a31 c3 a13 a11 a12 c1 a 23 , z a 21 a 22 c2 . (2) a33 a32 c3 a31 a12 a13 где x c2 a22 a23 , c3 a32 a33 2.1. Пример выполнения задания 2.1.1. Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: 5 х 2 y 11 . 4 x y 14 Определитель системы 5 2 4 1 13 0 ; поэтому система единственное решение, которое находим по формулам (1): 11 х 2 5 11 х 14 1 39 3 , 13 13 y y 4 14 13 26 2 . 13 Ответ: (3; -2) . 2.1.2.Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: . Находим определитель системы: 27 имеет 3 4 2 1 5 2 3 2 3 4 5 2 3 4 4 1 2 2 4 2 1 5 2 3 3 (20 6) 4 (4 4) 2 (3 10) 42 0 14 28 0. Следовательно, система имеет единственное решение. Находим его по формулам (2): x 8 4 2 3 8 2 5 5 2 1 5 2 3 3 4 56 x 2, 28 28 y y 2 3 4 28 28 1, 28 3 4 8 1 5 5 z 2 3 3 28 z 1 . 28 28 Ответ: (2; 1; -1) . 1.2. Метод Гаусса Метод Гаусса– это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой, последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы. 2.2. Пример выполнения задания . Обнулим коэффициенты при xво втором и в третьем уравнениях, прибавив к ним первое уравнение, умноженное на 3/2 и 1 соответственно: 28 . Обнулим при y в третьем уравнении, сложив его со вторым уравнением, умноженным на -4. . Таким образом, привели систему уравнений треугольному виду. . Ответ: (2; 3; -1) . 3. Варианты заданий Вычислить системы уравнений методом Крамера и методом Гаусса Номер Система уравнений задания Система уравнений 1, 16 5 x 2 y 6 0 7 x 5 y 4 0 2 x y 3z 1 x 3 y 2 z 10 3x 4 y z 5 2, 17 5 x 3 y 16 2 x 4 y 22 x 2y z 9 2 x y 3z 13 3x 2 y 5 z 1 3, 18 4 x y 17 3x 5 y 7 4, 19 3x 2 y 5 4 x y 14 x 2 y 3z 5 2x y z 1 x 3 y 4z 6 2 x 4 y 3 z 1 x 2 y 4z 3 3x y 5 z 2 29 к 5, 20 3x 4 y 9 2 x 5 y 6 6, 21 2 x 7 y 9 x y 0 7, 22 2x 3y 8 x 2 y 3 2 x 4 y 9 z 28 7 x 3 y 6 z 1 7 x 9 y 9z 5 8, 23 5 x 2 y 11 4 x y 14 x 2y z 2 2 x 3 y 2 z 2 3x y z 8 9, 24 x 4 y 12 3x 2 y 6 x 2y z 1 3x y 2 z 0 x 4 y 3z 2 10, 25 9 x 2 y 8 4x y 3 2x y z 2 3x 2 y 2 z 2 x 2y z 1 11, 26 5 x 3 y 1 x 11y 6 12, 27 5 x 3 y 7 2 x y 5 13, 28 3x 2 y 0 5 x 3 y 19 3x 4 y 11 5 y 6 z 28 x 2z 7 x 2y z 3 x 2 y 3z 5 x yz 2 2 x 3 y 3z 10 x 3 y 3z 13 x y 0 14, 29 2 x y 5 4x y 1 2 x 3 y 2 z 9 x 2 y 3z 14 3x 4 y z 16 15, 30 2 x 3 y 5 x 3y 2 2x y z 0 x y 3z 13 3x 2 y 4 z 15 x 2 y 4z 6 2 x y 3z 11 4 x y 5z 9 2x 3y z 2 2x y 4z 9 6 x 5 y 2 z 17 30 Практическая работа №6 Решение задач по теории вероятностей Цель практической работы: научиться решать задачи по теории вероятностей. 1. Краткие сведения из теории Вероятностью события А называют отношение числа mисходов, благоприятствующих этому событию, к числуnвсех равновозможных несовместных элементарных исходов: m P( A) , где m n . n 0 P ( A) 1 . Теорема сложения вероятностей Для любых событий А и В выполняется: вероятность суммы двух произвольных событий равна сумме вероятностей событий без вероятности их произведения: P( A В) Р( А) Р( В) Р( АВ) . Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P( A В) Р( А) Р( В) . Следствие: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р( А) Р( A ) 1 . Теорема умножения вероятностей Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: P( AВ) Р( А) Р( В / А) или P( AВ) Р( В) Р( А / В) . Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А, тогда: P( AВ) Р( А) Р( В) . 2. Пример выполнения задания Задача 1. Вероятность попасть в мишень для первого стрелка равна 0,7, для второго 0,6. Какова вероятность, что хотя бы один из них попадет в мишень? 31 Решение: Событие А – первый стрелок попадет в мишень; Событие В – второй стрелок попадет в мишень. P( A В) Р( А) Р( В) Р( АВ) . P( AВ) Р( А) Р( В) 0,7 0,6 0,42 P( A В) Р( А) Р( В) Р( АВ) 0,7 0,6 0,42 1,3 0,42 0,88 . Ответ: 0,88 Задача 2. В ящике лежат 9 шаров, из которых 2 белых, 3 красных и 4 зеленых. Наугад берут один шар. Какова вероятность, что шар цветной (не белый)? Решение: Событие А – появление красного шара; Событие В – появление зеленого шара. P( A В) Р( А) Р( В) m 3 1 Р ( А) ; n 9 3 m 4 Р( B) . n 9 1 4 3 4 7 P( A В) Р( А) Р( В) 3 9 9 9 7 Ответ: . 9 Задача 3. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в мишень равна 0,8. Какова вероятность того, что выстрелив по мишени один раз, этот стрелок промахнется? Решение: Событие А – попадание в цели при одном выстреле; Событие A - промах. Р( A ) 1 Р( А) 1 0,8 0,2 . Ответ: 0,2. Задача 4. Вероятность попасть в мишень для первого стрелка равна 0,7, для второго 0,6. Какова вероятность, что они оба попадут в мишень? Решение: Событие А – первый стрелок попадет в мишень; Событие В – второй стрелок попадет в мишень. P( AВ) Р( А) Р( В) 0,7 0,6 0,42 Ответ: 0,42 3. Варианты заданий 32 Номер Задача варианта 1 1) Решить задачу двумя способами: В ящике находятся 4 белых, 5 черных и 3 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность, что этот шар либо черный, либо красный? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 1 до 3, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что во второй и в третий раз выпадет число 2. 2 1) Решить задачу двумя способами: В папке находятся 12 билетов спортивной лотереи, 20 билетов художественной лотереи и 18 билетов денежно- вещевой лотереи. Найти вероятность того, что наугад вынутый из этой пачки один билет окажется билетом либо денежно-вещевой, либо спортивной лотереи? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 4 до 6, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что в первый и второй раз выпадут одинаковые числа. 3 1) Решить задачу двумя способами: Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность, что это либо дама, либо валет? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 1 до 3, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что во второй раз выпадет число 3. 4 1) Решить задачу двумя способами: В ящике находятся 3 белых, 4 синих и 5 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность, что этот шар либо белый, либо синий? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 4 до 6, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что четные числа выпадут ровно два раза. 5 1) Решить задачу двумя способами: В папке находятся 15 билетов спортивной лотереи, 20 билетов художественной лотереи и 30 билетов денежно- вещевой лотереи. Найти вероятность того, что наугад вынутый из этой пачки один билет окажется билетом либо спортивной, либо денежно-вещевой лотереи? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 1 до 3, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что все три раза выпадут разные числа. 33 6 7 8 9 10 11 1) Решить задачу двумя способами: Какова вероятность того, что на открытом наугад листе отрывного календаря за май окажется число кратное либо 4, либо 9? 2)Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 4 до 6, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что во второй раз выпадет четное число. 1) Решить задачу двумя способами: Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность, что это либо король червовой масти, либо дама любой масти? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 1 до 3, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что во второй раз выпадут нечетные числа. 1) Решить задачу двумя способами: В ящике находятся 2 белых, 3 черных и 4 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность, что этот шар либо белый, либо красный? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 4 до 6, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что в первый третий раз выпадут разные числа. 1) Решить задачу двумя способами: В папке находятся 10 билетов спортивной лотереи, 5 билетов художественной лотереи и 15 билетов денежно- вещевой лотереи. Найти вероятность того, что наугад вынутый из этой пачки один билет окажется билетом либо денежно-вещевой, либо художественной лотереи? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 1 до 3, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что первый и второй раз выпадет число 1. 1) Решить задачу двумя способами: Какова вероятность того, что на открытом наугад листе отрывного календаря за январь окажется число либо содержащее 0, либо кратное 8? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 4 до 6, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что в первый и во второй раз выпадут одинаковые числа. 1) Решить задачу двумя способами: Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность, что это либо валет любой масти, либо туз красной масти? 34 12 13 14 15 16 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 1 до 3, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что в первый и третий раз выпадут одинаковые числа. 1) Решить задачу двумя способами: В ящике находятся 3 белых, 4 синих и 5 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность, что этот шар либо синий, либо красный? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 4 до 6, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что в первый раз выпадет число 4, а в третий раз число 6. 1) Решить задачу двумя способами: В папке находятся 25 билетов спортивной лотереи, 10 билетов художественной лотереи и 15 билетов денежно- вещевой лотереи. Найти вероятность того, что наугад вынутый из этой пачки один билет окажется билетом либо спортивной, либо художественной лотереи? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 1 до 3, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что в первый и второй раз выпадет число 3. 1) Решить задачу двумя способами: Какова вероятность того, что на открытом наугад листе отрывного календаря за ноябрь окажется число кратное либо 5, либо 7? 3) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 4 до 6, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что во второй и в третий раз выпадут разные числа. 1) Решить задачу двумя способами: Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность, что это либо туз красной масти, либо валет трефовой масти? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 1 до 3, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что в первый и второй раз выпадут одинаковые числа. 1) Решить задачу двумя способами: В ящике находятся 2 белых, 5 черных и 3 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность, что этот шар либо черный, либо красный? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 4 до 6, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что в первый раз выпадет число 4, а в третий раз число 5. 35 17 18 19 20 21 22 1) Решить задачу двумя способами: В папке находятся 20 билетов спортивной лотереи, 10 билетов художественной лотереи и 5 билетов денежно- вещевой лотереи. Найти вероятность того, что наугад вынутый из этой пачки один билет окажется билетом либо денежно-вещевой, либо художественной лотереи? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 1 до 3, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что нечетные числа выпадут ровно два раза. 1) Решить задачу двумя способами: Какова вероятность того, что на открытом наугад листе отрывного календаря за февраль окажется число кратное либо 5, либо 6? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 4 до 6, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что во второй и в третий раз выпадет число 5. 1) Решить задачу двумя способами: Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность, что это либо семерка черной масти, либо валет любой масти? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 1 до 3, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что во второй раз выпадет четное число. 1) Решить задачу двумя способами: В ящике находятся 6 белых, 3 зеленых и 1 желтый шар. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность, что этот шар либо белый, либо зеленый? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 4 до 6, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что во второй раз выпадет число 5. 1) Решить задачу двумя способами: В папке находятся 5 билетов спортивной лотереи, 15 билетов художественной лотереи и 10 билетов денежно- вещевой лотереи. Найти вероятность того, что наугад вынутый из этой пачки один билет окажется билетом либо спортивной, либо денежно-вещевой? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 1 до 3, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что в первый третий раз выпадут разные числа. 1) Решить задачу двумя способами: Какова вероятность того, что на открытом наугад листе отрывного календаря за июль окажется число либо кратное 8, либо 36 23 24 25 26 27 содержащее цифру 3? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 4 до 6, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что все три раза выпадут разные числа. 1) Решить задачу двумя способами: Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность, что это либо туз пиковой масти, либо шестерка любой масти? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 1 до 3, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что в первый и во второй раз выпадут одинаковые числа. 1) Решить задачу двумя способами: В ящике находятся 2 белых, 4 черных и 4 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность, что этот шар либо белый, либо черный? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 4 до 6, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что во второй раз выпадут нечетные числа. 1) Решить задачу двумя способами: В папке находятся 16 билетов спортивной лотереи, 24 билета художественной лотереи и 10 билетов денежно- вещевой лотереи. Найти вероятность того, что наугад вынутый из этой пачки один билет окажется билетом либо спортивной, либо художественной лотереи? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 1 до 3, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что во второй раз выпадет число 1. 1) Решить задачу двумя способами: Какова вероятность того, что на открытом наугад листе отрывного календаря за август окажется число либо кратное 7, либо содержащее цифру 3? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 4 до 6, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что первый и второй раз выпадет число 4. 1) Решить задачу двумя способами: В ящике находятся 4 зеленых, 5 синих и 3 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность, что этот шар либо зеленый, либо красный? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 1 до 3, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова 37 28 29 30 возвращают в комплект). Найти вероятность того, что во второй и в третий раз выпадут разные числа. 1) Решить задачу двумя способами: В папке находятся 24 билета спортивной лотереи, 20 билетов художественной лотереи и 16 билетов денежно- вещевой лотереи. Найти вероятность того, что наугад вынутый из этой пачки один билет окажется билетом либо денежно-вещевой, либо художественной лотереи? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 4 до 6, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что в первый и третий раз выпадут одинаковые числа. 1) Решить задачу двумя способами: Какова вероятность того, что на открытом наугад листе отрывного календаря за январь окажется число кратное либо 4, либо 9? 2)Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 1 до 3, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что в первый раз выпадет число 1, а в третий раз число 2. 1) Решить задачу двумя способами: Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность, что это либо десятка красной масти, либо король любой масти? 2) Из трех карточек, пронумерованных натуральными числами от 4 до 6, три раза вынимают карточку (после эксперимента, ее снова возвращают в комплект). Найти вероятность того, что в первый и второй раз выпадет число 6. 38 Литература 1. Богомолов, Н.В.Математика : учебник для СПО / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. -5-е изд., перераб. и доп. – М. : Юрайт, 2019. – 401 с. 2. Дадаян А.А., Математика для СПО. - М.: Форум, Инфра-М, 2019. – 544 с. 3. Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике. В 2ч. Ч1 -2: Учеб.пособие для СПО.- 11-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во «Юрайт», Ч1 2020. - 326 с. Ч2 - 2020. - 251 с. (ЭБС «Юрайт»). 39
