Electrodynamics

Электродинамика
Курс лекций
Автор: доцент кафедры
теоретической и вычислительной физики
Т. П. Шестакова
Литература
1. В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин, Современная электродинамика.
Часть I. Микроскопическая теория, Москва – Ижевск, НИЦ
“Регулярная и хаотическая динамика”, 2005.
2. И. Н. Топтыгин, Современная электродинамика. Часть II. Теория
электромагнитных явлений в веществе, Москва – Ижевск, НИЦ
“Регулярная и хаотическая динамика”, 2005.
3. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля, Москва, “Наука”, 1988.
4. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред,
Москва, “Наука”, 1982.
5. В. Г. Левич, Курс теоретической физики. Том I, Москва, “Наука”,
1969.
1.Уравнения Максвелла
1 H  r, t 
rot E  r, t   
;
c
t
div H  r, t   0;
1 E  r, t  4
rot H  r, t  

j  r, t  ;
c
t
c
div E  r, t   4  r, t  .
1. Уравнения Максвелла
Вторая половина XVIII века: начало количественного изучения
электрических явлений. Появление первых измерительных
приборов.
1785 г.: Закон Кулона
q1q2 r
Fk 2
r r
(установлен также Г. Кавендишем в 1773 году,
однако последний не публиковал своих работ).
Конец XVIII века: Алессандро Вольта создает первый источник
электрического тока (гальванический элемент).
Первая треть XIX века: изучение различных явлений,
связанных с прохождением электрического тока. Исследования
Ома, Джоуля, Ампера. Х. Эрстед обнаружил действие
электрического тока на магнитную стрелку (1820 г.).
1. Уравнения Максвелла
Идея о существовании
электромагнитного поля:
В 1834 году Майкл Фарадей вводит понятие
о силовых линиях.
“Экспериментальные
исследования
по
электричеству” – серия докладов, которые
Фарадей
представлял
в
Лондонское
Королевское Общество на протяжении
двадцати четырех лет. Это отправной пункт
исследований Максвелла.
"…надо иметь могучий дар научного предвидения, чтобы
распознать, что в описании электрических явлений не заряды и не
частицы описывают суть явлений, а скорее пространство между
зарядами и частицами".
Альберт Эйнштейн
1. Уравнения Максвелла
Джеймс Клерк Максвелл
"Когда я стал углубляться в изучение работ
Фарадея, я заметил, что метод его
понимания тоже математичен, хотя и не
представлен
в
условной
форме
математических символов. Я также заметил,
что метод может быть выражен в обычной
математической форме…"
"Электромагнитное поле – это та часть пространства, которая содержит в
себе и окружает тела, находящиеся в электрическом или магнитном
состоянии."
1. Уравнения Максвелла
Представление
об
напряженности поля
электрическом
поле
→
понятие
Напряженность поля можно определить как отношения силы,
действующей электрический заряд, к величине этого заряда:
F
F  qE; E 
 из закона Кулона вытекает 
q
E r  
q0 r
r2 r
Принцип суперпозиции полей:
поле,
создаваемое
несколькими
источниками,
равно
геометрической сумме полей, создаваемых каждым из объектов
в отдельности, независимо от наличия других источников поля:
E  E1  E 2 
1. Уравнения Максвелла
Уравнения электростатики
  r  - пространственная плотность заряда;
n
  r    ea  r  ra 
a 1
  r  dV  r  - заряд, сосредоточенный в малом элементе объема dV  r 
Напряженность электрического поля в точке с радиус-вектором r:
dE  r 
r  r    r  dV  r 


r  r
3
Результат интегрирования по всему распределению зарядов:
E r   
 r  r   r dV  r 
r  r
3
1. Уравнения Максвелла
Уравнения электростатики
Er   
 r  r   r dV  r
r  r
r  r
1


grad
3
r  r
r  r

 r   
Скалярный потенциал
E r   
3
E  r    grad   r 
  r  dV  r 
r  r
 const
 r  r   r  dV  r  
r  r
 1
   grad 
 r  r
3

  r  dV  r 


.
   r  dV  r    grad 

r

r

1. Уравнения Максвелла
Уравнения электростатики
E  r    grad   r 

rot grad f  r   0
rot E  r   0
div E  r    div grad   r   

1
 4  r  r 
r  r
  r    

  r  dV  r 
r  r
div E  r   4  r 
 1
   
 r  r
  r   4  r 

   r  dV  r  

 4    r  r    r  dV  r   4  r 
1. Уравнения Максвелла
Магнитные явления
Отсутствие магнитных зарядов: поток напряженности магнитного
поля через замкнутую поверхность должен быть равен 0.
   HdS  0
S
 HdS   div HdV  0
S

V
Векторный потенциал
div rot a  0

H  rot A
div H  r   0
1. Уравнения Максвелла
Магнитные явления
Напряженность магнитного поля, создаваемую частицей с зарядом e,
движущейся с постоянной скоростью v:
H
e  v , r  r 
c r  r 3
1 n ea  v a , r  ra 
H 
3
c a 1
r  ra
Для n зарядов:
n
Плотность электрического тока:
H
H  rot A
j  r    ea v a  r  ra 
a 1
1  j  r  , r  r
dV 
3

c
r  r

A r  
1 j  r 
dV 
c  r  r
1. Уравнения Максвелла
Магнитные явления
1 j  r 
A r   
dV 
c r  r

div  fa    a, grad f   f div a
grad
div

div
j  r 
1
div
dV 


c
r r
j  r  
1
  j  r  , grad
r  r 
r  r



1
r  r
1
1

  grad
 
3
r  r
r  r
r  r
r  r

j  r 
1
   j  r  , 
r  r
r  r

 jdS  0
S
div
div A  r  
j  r 
j  r 
  div
r  r
r  r

 j  r 
   

 r  r
 jdS   div jdV  0
S

 j  r 
 
 r  r
div j  0
V
div A  r   
j  r 
1
1 j  r  dS


div
dV


0
c
r  r
c S r  r
div A  r   0
1. Уравнения Максвелла
Магнитные явления
rot H  rot rot A
H  rot A
rot rot a  grad div a  a

div A  r   0
j  r 
1
A  r    
dV 
c
r  r
A  r  
1  1
 

c  r  r

rot H  A
1
 4  r  r 

r r

4
4



j
r

r

r
dV


jr 




 j  r  dV   

c
c

rot H 
4
j r 
c
1. Уравнения Максвелла
Связь электрических и магнитных явлений
Электрический ток (движущиеся заряды, переменное электрическое
поле) создает магнитное поле

перемещение магнита (переменное магнитное поле) должно создавать
электрическое поле
Майкл Фарадей, 1821 год:
первая лабораторная модель электрогенератора
"…превратить магнетизм в электричество".
1831
год:
открытие
электромагнитной
индукции – возникновение электрического тока
в
проводнике
при
изменении
потока
магнитного поля через контур проводника.
1. Уравнения Максвелла
Закон электромагнитной индукции
Неподвижный контур в изменяющемся магнитном поле:
изменение магнитного поля вызывает появление в контуре сторонних
сил, действующих на носители тока, которые не связаны ни с
химическими, ни с тепловыми процессами в проводнике.
Индукционный ток обусловлен возникающим в проводнике
электрическим полем.
Работа сторонних сил F:
A   Fdl  q  Edl
L
ЭДС, возникающая в контуре:
L
E
A
  Edl
q L
Закон электромагнитной индукции Фарадея:
 Edl  
L
1 d
c dt
1 H 

rot
E


 dS  0
S 
c t 
 Edl   rot EdS
L

S
rot E 
E
1 d
c dt
1 d
1d
1 H

H
d
S


dS
c dt
c dt S
c S t
1 H
0
c t
1. Уравнения Максвелла
Единство электрического и магнитного полей
Закон электромагнитной индукции Фарадея позволил осознать
единство электрического и магнитного полей.
Рассмотрение этих полей по отдельности друг от друга возможно
лишь в частных случаях (в определенных системах отсчета).
В различных системах отсчета будут наблюдаться разные физические
явления, – идея, воплотившаяся в теории относительности.
Осознание единства электрического и магнитного полей - первый шаг
к идея объединения взаимодействий.
 В 1960-х годах С. Вайнбергом и А. Саламом была создана теория
электрослабых взаимодействий, объединяющая электромагнитные и
слабые взаимодействия.
 Стандартная Модель предполагает объединение электрослабых и
сильных взаимодействий.
1. Уравнения Максвелла
1 H  r, t 
rot E  r, t   
;
c
t
div H  r, t   0;
4
j  r, t  ;
c
div E  r, t   4  r, t  .
rot H  r, t  
Уравнение непрерывности:
Рассмотрим заряд внутри произвольного объема
V, ограниченный поверхностью S:
Изменение заряда внутри объема V:
d
  r, t  dV    j r, t  dS
dt V
S
dq
   j  r, t  dS
dt
S
  r, t 
V t dV  V div j r, t  dV
  r, t 
 div j  r, t   0
t
q     r, t  dV
V
1. Уравнения Максвелла
Следствия уравнения непрерывности:
  r, t 
 div j r, t   0
t
1) Статическое распределение зарядов:   r, t   const;
2) Постоянное магнитное поле:
j  r, t   0.
  r, t   const; j  r, t   const  0.
div j  r, t   0
rot H  r, t  
4
j r, t 
c
div rot a  0

div rot H  r, t  

4
div j  r, t 
c
div j  r, t   0
Противоречие с уравнением непрерывности !
1. Уравнения Максвелла
div E  r, t   4  r, t 
rot H  r, t  


1
E

div
t 4
t
1 E
4
j  r, t  
c t
c

  div j
t
1
E 4
div

div j  0
c
t
c
Полная система уравнений Максвелла:
1 H  r, t 
rot E  r, t   
;
c
t
div H  r, t   0;
1 E  r, t  4
rot H  r, t  

j  r, t  ;
c
t
c
div E  r, t   4  r, t  .
1. Уравнения Максвелла
Интегральная форма уравнений Максвелла
 rot EdS  
1 H  r, t 
;
c
t
div H  r, t   0;
rot E  r, t   
S
1 E  r, t  4

j  r, t  ;
c
t
c
div E  r, t   4  r, t  .

rot H  r, t  
 div HdV  0;
V
 rot HdS 
S
L

1d
HdS;
c dt S
 HdS  0;
S
 Hdl 
L
1d
4
E
d
S

jdS;


c dt S
c S
 EdS  4   dV .
S
V
1 E
4
d
S

jdS;
c S t
c S
 div EdV  4   dV .
V
 Edl  
1 H
dS;
c S t
V
1. Уравнения Максвелла
Закон сохранения энергии
1 H
rot E  
;
c t
div H  0;
1 E 4
rot H 

j;
c t
c
div E  4 .


E
1 E 4
rot H 

j
c t
c
H
rot E  
1 H
c t

1   E   H   4
 E,rot H    H,rot E     E,    H,     j, E 
c   t  
t   c
1. Уравнения Максвелла
Закон сохранения энергии
 E,rot H    H,rot E  
1   E   H   4
 j, E 
 E,    H,
 

c   t  
t   c
 b,rot a    a,rot b   div a, b 
1   E   H  
 c

E
,

H
,

div
E
,
H



 


    j, E 
4   t  
t  
4



1  2
 c

E  H 2   div   E, H      j, E 

8 t
 4

1
E2  H 2 

8
c
P
E, H 
4
w

w
 div P    jE 
t
1. Уравнения Максвелла
Закон сохранения энергии
w
 div P    jE 
t
w
V t dV  V div P dV  V  jE  dV
d
wdV    PdS    jE  dV

dt V
S
V


  j, E  dV     ea v a  r  ra  , E  dV   ea  v a , E 
V
V

a

a
1. Уравнения Максвелла
Закон сохранения энергии
e
F  eE   v, H 
c
Сила Лоренца:
Работа электрической составляющей силы Лоренца:
A   Fdl   eEdl
L
L
ea  v a , E  − работа, совершаемую электромагнитным полем над
заряженной частицей в единицу времени.
По закону сохранения энергии, эта работа должна производиться за
счет убыли энергии поля.
(j,E) − работа электромагнитного поля над заряженными частицами в
единице объема в единицу времени.
1. Уравнения Максвелла
Закон сохранения энергии
Уравнения движения:
dp a
 Fa
dt
Изменение кинетической энергии частицы:
dTa d  p a2
 
dt dt  2ma
  p a dp a
 ,
  ma dt

ea

v
,
F

e
v
,
E





 v a , v a , H   ea  v a , E 

a
a
a
a
c

d
wdV    PdS    jE  dV

dt V
S
V


j
,
E
dV

e
v

r

r
,
E
V  
V  a a a  a   dV  a ea  v a , E 
 P dS  0
S


d
 wdV   Ta   0
dt  V
a

1. Уравнения Максвелла
Закон сохранения энергии

d
wdV

T


a 0
dt  V
a

w
1
E 2  H 2  - плотность энергии электромагнитного поля;

8
При интегрировании по конечному объему

d
wdV

T


a     P dS
dt  V
a
S

P
c
E, H 
4
- вектор Пойнтинга (вектор плотности потока энергии
электромагнитного поля);
w
 div P    jE  - уравнение баланса энергии или теорема
t
Пойнтинга (уравнение непрерывности
с источником)
1. Уравнения Максвелла
Закон сохранения импульса
1 H
rot E  
;
c t
div H  0;
1 E 4
rot H 

j;
c t
c
div E  4 .




H
1 E 4

j
c t
c
1 H
rot E  
c t
div H  0
E
div E  4
H 
E 
rot H 

 H,rot H   E,rot E  H div H  E div E 
1   E   H   4
   H,   E,

 H, j  4 E


c   t   t   c
1. Уравнения Максвелла
Закон сохранения импульса
 H,rot H   E,rot E  H div H  E div E 
1   E   H   4
   H,   E,

 H, j  4 E
c   t   t   c
1   H   E   1
E,
  , H     j, H    E 



4 c   t   t
 c

1
4
   ea  r  ra 
a
 H,rot H   H div H  E,rot E  E div E   0
j   ea v a  r  ra 

a
 1 
  
 
1

j
,
H


E
dV

e
v

r

r
,
H

e

r

r
   a a 
a 
a   E  dV 

  a 
V  c  

c

   a
 
V   a
1

  ea    v a , H   r  ra  dV   E  r  ra  dV  
a
V
cV

dp
1
dp


   ea E  ra   ea  v a , H  ra      Fa   a 
c
dt
dt
 a
a 
a
1. Уравнения Максвелла
Закон сохранения импульса
1   H   E   1
E,

, H     j, H    E 
4 c   t   t
 c

1
4
 H,rot H   H div H  E,rot E  E div E   0
  H   E  
d  1

E
,

,
H
dV

E
,
H



 dV

 
4 c V   t   t
dt
4

c



V
1
Плотность импульса электромагнитного поля:
Π
1
4 c
E, H  
1
P
c2
E,rot E  E div E  ei  eijk E j eklml Em  Ei  j E j  


 ei  il  jm   im jl  E j l Em  Ei  j E j 
1

1

 ei  E j i E j  E j  j Ei  Ei  j E j   ei  i  E j E j    j  Ei E j    ei  j  E 2 ij  Ei E j 
2

2

1. Уравнения Максвелла
Закон сохранения импульса
1   H   E   1
E,
  , H     j, H    E 



4 c   t   t
 c

1
4
 H,rot H   H div H  E,rot E  E div E   0
 H,rot H   H div H  ei  j 
1 2

H  ij  H i H j 
2

E,rot E  E div E   H,rot H   H div H 
1

 ei  j   E 2  H 2   ij  Ei E j  H i H j   4 ei  j ij
2

Тензор плотности потока импульса (так называемый тензор
напряжений):
 ij 
1 1 2

2
E

H


E
E

H
H


ij
i j
i
j

4  2

1. Уравнения Максвелла
Закон сохранения импульса
1   H   E   1
E,
  , H     j, H    E 



4 c   t   t
 c

1
4
 H,rot H   H div H  E,rot E  E div E   0


d
p


dV
 i  i     j ij dV  0
dt 
V
 V
πi – плотность импульса частиц

d
   i   i  dV     j ij dV  0
dt  V
 V

 i   i    j ij  0
t

d



dV
  i
    ij dS j  0
i
dt  V
 S
2. Потенциалы электромагнитного поля
Скалярный и векторный потенциалы:
E  r    grad   r 
H  rot A
div H  r   0
div rot a  0
rot grad f  r   0
1 A 

rot  E 
0
c t 

H  rot A

rot E  0
E
1 A
E   grad  
c t
rot E 
1 H
0
c t
1 A
  grad 
c t
2. Потенциалы электромагнитного поля
Калибровочные преобразования потенциалов
   r, t     r, t  
1   r, t 
c t
A  r, t   A  r, t   grad   r, t 
1 A
1
 1 A 1 
  grad   grad


grad  
c t
c
t c t c t
1 A
  grad  
E
c t
E   grad   
H  rot A  rot A  rot grad   r, t   rot A  H
Так как в уравнения Максвелла входят только напряженности
электрического и магнитного полей, система уравнений Максвелла
инвариантна относительно калибровочных преобразований
2. Потенциалы электромагнитного поля
Четырехмерные векторы
Четырехмерный радиус-вектор:
x  :    0, 1, 2, 3 ,
x 0  ct ,
x1  x,
x 2  y,
x3  z
Интервал между двумя бесконечно близкими точками (событиями)
в пространстве-времени:
ds 2  c 2 dt 2  dx 2  dy 2  dz 2
Квадрат четырехмерного радиус-вектора:
c 2t 2  x 2  y 2  z 2
Контравариантные (с индексами сверху) и ковариантные (с
индексами снизу) компоненты :
x : x0  x 0  ct , x1   x1   x, x2   x 2   y , x3   x 3   z
def
3
x x   x x   c 2t 2  x 2  y 2  z 2

 0
2. Потенциалы электромагнитного поля
Четырехмерные векторы
Для произвольного 4-вектора:
A , A : A0  A0 ,
A1   A1 ,
A   A0 , A  ,
A2   A2 ,
A3   A3
A   A0 ,  A 
Скалярное произведение:
A B   g  A B  A0 B 0  A1B1  A2 B 2  A3 B 3
Метрический тензор:
g 
1 0 0 0 
 0 1 0 0 


 0 0 1 0 


0
0
0

1


A  g  A
A  g  A
g 
1 0 0 0 
 0 1 0 0 


 0 0 1 0 


0
0
0

1


g  g    
2. Потенциалы электромагнитного поля
Вектор-потенциал и тензор электромагнитного поля
Вектор-потенциал:
A    , A  ,
A   ,  A 
Тензор электромагнитного поля:
def
F    A   A 
F   F
A A
 

x
x
 0
 E
x
F  
 Ey

  Ez
Ex
Ey
0
H z
Hz
0
H y
Hx
Ez 
H y 
H x 

0 
2. Потенциалы электромагнитного поля
Тензор электромагнитного поля
A   ,  A 
 0
 E
x
F  
 Ey

  Ez
Ex
Ey
0
H z
Hz
0
H y
Hx
def
F    A   A 
Ez 
H y 
H x 

0 
1 A
E   grad  
c t
H  rot A
A A

x  x
1 Ax 

 Ex
c t
x
1 Ay 
F02   0 A2   2 A0  

 Ey
c t
y
F01   0 A1  1 A0  
F03   0 A3   3 A0  
1 Az 

 Ez
c t
z
Ay
Ax
 H z
x
y
A A
F13  1 A3   3 A1   z  x  H y
x
z
F12  1 A2   2 A1  
F23   2 A3   3 A2  

Az Ay

 H x
y
z
2. Потенциалы электромагнитного поля
Тензор электромагнитного поля
 0
 E
x
F  
 Ey

  Ez
Ex
Ey
0
H z
Hz
0
H y
Hx
Ez 
H y 
H x 

0 
g 
1 0 0 0 
 0 1 0 0 


 0 0 1 0 


0
0
0

1


F   g  g F  g  F g 
F

 0
E
x

 Ey

 Ez
 Ex
Ey
0
H z
Hz
0
H y
Hx
 Ez 
H y 
H x 

0 
2. Потенциалы электромагнитного поля
Принцип наименьшего действия
Четырехмерная формулировка позволяет получить уравнения
электромагнитного поля из принципа наименьшего действия и
проанализировать их структуру, рассматривая в качестве полевых
переменных не напряженности, а потенциалы поля, которые
выполняют роль обобщенных координат.
Принцип наименьшего действия в механике:
Функция Лагранжа:
L  q  t  , q  t  , t  , q  t   q a  t  , q  q a  t 
q  t1   q1 , q  t2   q2
Интеграл действия:
t2
S   L  q  t  , q  t  , t  dt
t1
2. Потенциалы электромагнитного поля
Принцип наименьшего действия
t2
S   L  q  t  , q  t  , t  dt
t1
 L
L 
 q   q  dt 
q
q 
t1 
t2
t2
 S    L  q  t  , q  t  , t  dt   
t1
t2
 L
 L

L d
d  L  d  L  
  q 

q
dt


q

 

 q  
  q  dt 

q
q dt
q
dt  q

 dt  q  
t1 
t1 
t2
t2
t2
 L d  L  
 L 

 q          qdt

q

 t1 t1  q dt  q  
Уравнения Лагранжа:
S  0

L d  L 
 
0
q dt  q 
2. Потенциалы электромагнитного поля
Принцип наименьшего действия
Действие для электромагнитного поля:
t2
1
 1

S    dt  dV 
F F   2 A j   
c
 16 c

t1
def
1
 1

  4
4
  
F F  2 A j  d x, d x  dV dt
16

c
c


S EM  
1
 4
F
F
d x - действие для свободного электромагнитного


16 c
S source  
поля (в отсутствие зарядов);
1
 4
A
j
d x

2 
c
- действие учитывающее взаимодействие с
источником;
j    c  , j - четырехмерный вектор тока.
j   c  ,  j 
2. Потенциалы электромагнитного поля
Принцип наименьшего действия
def
1
 1

 4
4
S   
F F  2 A j  d x, d x  dV dt
16

c
c


F    A   A
F F   F  F
  F F      F  F     g  g F F  
 g  g  F F  F  F    F F   F   F  2 F   F
1
 1 

F    A    A   2 j  A  d 4 x 
c
 8 c

1 
1
 1 

 
F   A 
F   A  2 j  A  d 4 x 
8 c
c
 8 c

 S   
1
 1

 
F    A  2 j  A  d 4 x 
c
 4 c

1
1 
 1
 4

4



F

A
d
x


F

A

j

A








d x 
  4 c
4 c 
c2

1 
 1
  
 F   2 j    A d 4 x.
c
 4 c

 F   
4 
j
c
2. Потенциалы электромагнитного поля
Принцип наименьшего действия
1
4 c

4

F

A
d
x






4

F

A
d
x





F
  A dS

4

A
d
x
 
 A  t1   0
t1 S1
t2 S 2

A dS 
 A  t2   0
2. Потенциалы электромагнитного поля
Уравнения поля в четырехмерной форме
 F

4 

j
c
F 
 0
E
x

 Ey

 Ez
 Ex
Ey
0
H z
Hz
0
H y
Hx
 Ez 
H y 
H x 

0 
  1:
1 F 10 F 11 F 12 F 13
4 1




j
c t
x
y
z
c
1 Ex H z H y
4



jx
c t
y
z
c
  2:
1 F 20 F 21 F 22 F 23
4 2




j
c t
x
y
z
c
1 E y H z H x
4



jy
c t
x
z
c
  3:
1 F 30 F 31 F 32 F 33
4 3




j
c t
x
y
z
c
1 Ez H y H x
4



jz
c t
x
y
c
1 E
4
 rot H  
j
c t
c
2. Потенциалы электромагнитного поля
Уравнения поля в четырехмерной форме
 F
  0:

4 

j
c
F 
 0
E
x

 Ey

 Ez
1 F 00 F 01 F 02 F 03
4 0




j
c t
x
y
z
c

Ez E y Ez


 4
x
y
z
div E  r   4  r 
 Ex
Ey
0
H z
Hz
0
H y
Hx
 Ez 
H y 
H x 

0 
2. Потенциалы электромагнитного поля
Первая пара уравнений Максвелла как следствие связи
между потенциалами и напряженностями поля
E   grad  
1 A
c t

rot E  

H  rot A


rot E   rot grad  
1 H
c t
div H  div rot A
div H  0
1
rot A
c t
2. Потенциалы электромагнитного поля
Уравнения поля в четырехмерной форме
A    F   F    F
A    F    F   F    F    F   F   A
  F   F    F  0
Уравнения
эквивалентны первой паре уравнений Максвелла
rot E  
1 H
c t
div H  0
Единичный абсолютно антисимметричный псевдотензор
e :
e0123  e0123  1
e   F  0

  F   F    F  0
2. Потенциалы электромагнитного поля
Уравнения поля в четырехмерной форме
e   F  0
  1:
e1032
e0123  e0123  1
  F   F    F  0
F32 1203 F03 1320 F20
e
e
0
0
2
3
x
x
x
F32 F03 F20
 2  3 0
0
x
x
x
 0
 E
x
F  
 Ey

  Ez
Ex
Ey
0
H z
Hz
0
H y
Hx
Ez 
H y 
H x 

0 
1 H x Ez E y


0
c t
y
z
  2:
  3:
F13
2130 F30
2301 F01

e

e
0
x 0
x1
x 3
F13 F30 F01
1 H y Ez Ex


0
 1  3 0
0
c

t

x

z
x
x
x
F
F
F
e3021 210  e3102 021  e3210 102  0
x
x
x
F21 F02 F10
1 H z E y Ex


0



0
0
1
2
c

t

x

y
x
x
x
e 2013
1 H
 rot E  0
c t
2. Потенциалы электромагнитного поля
Уравнения поля в четырехмерной форме
e   F  0
  0:
e0123
e0123  e0123  1
F23
0231 F31
0312 F12

e

e
0
1
2
3
x
x
x
F23 F31 F12
 2  3 0
1
x
x
x

  F   F    F  0
H x H y H z


0
x
y
z
div H  0
 0
 E
x
F  
 Ey

  Ez
Ex
Ey
0
H z
Hz
0
H y
Hx
Ez 
H y 
H x 

0 
2. Потенциалы электромагнитного поля
Теорема единственности
для системы уравнений Максвелла
1 H  r, t 
;
c
t
div H  r, t   0;
rot E  r, t   
1 E  r, t  4

j  r, t  ;
c
t
c
div E  r, t   4  r, t  .
rot H  r, t  
Пусть заданы источники поля – функции   r, t  и j r, t  в произвольный
момент времени. Пусть также заданы начальные условия – значения
E  r, 0  и H  r, 0 в начальный момент времени внутри некоторого объема V,
а на поверхности S этого объема заданы граничные условия –
компоненты одного из векторов E  r, t  S или H  r, t  S в произвольный
момент времени. При этих условиях решение уравнений Максвелла
внутри объема V единственно.
2. Потенциалы электромагнитного поля
Доказательство теоремы единственности
E1 , H1 , E2 , H 2  - два различные решения системы уравнений Максвелла
E  E1  E2 ,
H  H1  H 2  - также является решением уравнений Максвелла
с источниками
  r, t   0,
j r, t   0
с начальными условиями внутри объема V
E  r, 0   0,
и граничными условиями на поверхности S
E  r, t  S  0,
Уравнение баланса энергии:
V
2
 H 2  dV  const
H  r, t  S  0
w
 div P   jE
t
d
wdV    PdS   jE dV
dt V
S
V
E
H  r, 0   0
1 d
c
2
2
E

H
dV




8 dt V
4

E  r, t   0,
 E, H  dS
S
H  r, t   0
2. Потенциалы электромагнитного поля
Уравнения движения заряда как следствие
принципа наименьшего действия
dp
e
 eE   v, H 
dt
c
Действие для свободной релятивистской частицы выражается через
инвариантную величину - пространственно-временной интервал:
ds 2  c 2 dt 2  dx 2  dy 2  dz 2
2
2
2
1  dx   dy   dz  
v2
ds  c dt 1  2           c dt 1  2
c  dt   dt   dt  
c
t2
S particle  mc  ds  mc
t1
t2
2

t1
v2
1  2 dt
c
2. Потенциалы электромагнитного поля
Уравнения движения заряда как следствие
принципа наименьшего действия
t2
S particle  mc  ds  mc
t1
t2
2
v2
1  2 dt
c

t1
c
Нерелятивистский предел:
lim 1  x   1   x 

   1
x 0
2!
2
2
 1 v2 
mv 2
mv 2
2
 mc  1 
dt   mc  t2  t1   
dt  
dt
2 
2
c
2
2

t1 
t1
t1
t2
lim S particle
c 
x2 
t
t
2
Импульс определяется как производная функции Лагранжа по
обобщенной скорости:
L
p
q
При
t2
S   L  q  t  , q  t  , t  dt
t1
c
p  mv
L  mc
2
v2
1 2
c

p
mv
v2
1 2
c
2. Потенциалы электромагнитного поля
Уравнения движения заряда как следствие
принципа наименьшего действия
Член, учитывающий взаимодействие частицы с электромагнитным
полем:
S source  
dx 
j 
  c  ,  v    c  , j
dt

1
 4
A
j
d x

c2 
  e  r  r 
1
1
dx 
 4
S source   2  A j d x   2  A 
dV cdt 
c
c
dt
1
e
e
    A dx  dV    A dx   r  r  dV    A dx  .
c
c
c
e


S     mc ds  A dx  
c


2. Потенциалы электромагнитного поля
Уравнения движения заряда как следствие
принципа наименьшего действия
e


S     mc ds  A dx  
c




e
c
ds 2  c 2 dt 2  dx 2  dy 2  dz 2  dx dx 
u 
dx 

u 
ds
dx
ds


  ds  
e
c
ds  dx dx 
dx  dx  
dx dx

dx
ds
d  x    u d  x  


 S     mc   ds   A  dx     A dx   
e
c


 S     mc   ds   A  dx     A dx  
e
c
e
e


    mc u d  x    A d  x     A dx   
c
c


e
e
e


    mc d  u x    mc du x   d  A x    dA x    A dx  .
c
c
c


2. Потенциалы электромагнитного поля
Уравнения движения заряда как следствие
принципа наименьшего действия




 S     mc d  u x    mc du x   d  A x    dA x    A dx  .
dA 
A
x
e
c

dx
 A 
A
x

x
du 
e
c
du
ds
ds
e
c
dx
dx  u ds 
ds
ds


t2
du


e 

e A   e A   
 S    mc u  A   x      mc  ds  x  
dx  x 
 x dx  


c
ds
c

x
c

x


 t1


 du

e  A A 
   mc  ds  x        dx  x   
ds
c  x
x 


du
du




e
e
   mc  ds  x   F u ds  x      mc   F u  ds  x 
ds
c
ds c




mc
du
e
 F u
ds c
2. Потенциалы электромагнитного поля
Уравнения движения заряда как следствие
принципа наименьшего действия
du
e
mc
 F u
ds c
dx 

u 

ds
u 
dx
ds
  1, 2, 3:

1
v2
c 1 2
c
1
v2
c 1 2
c
В системе покоя
ds = c dτ
v2
ds  c dt 1  2
c




dx   1
v


;
2
2
dt 
v
v 
c 1 2 
 1 2
c
c 




dx  1
v


; 
2
2
dt 
v
v 
c 1 2 
 1 2
c
c 

dp
e
 eE   v, H 
dt
c
  0:

v2
c d  c dt 1  2
c

dt 
d
v2
1 2
c




d  mc 2 
 e  E, v 
2 
dt 
v
 1 2 
c 

2. Потенциалы электромагнитного поля
Электродинамика как теория со связями
1 H  r, t 
;
c
t
div H  r, t   0;
rot E  r, t   
1 E  r, t  4

j  r, t  ;
c
t
c
div E  r, t   4  r, t  .
rot H  r, t  


 F   
4 
j
c
dp
e
 eE   v, H 
dt
c
Только три из четырех уравнений содержат производные второго
порядка по времени от функций поля.
  0:
div E  4
не содержит первых производных по времени от компонент
напряженности электрического поля и, следовательно, вторых
производных по времени от потенциалов.
2. Потенциалы электромагнитного поля
Электродинамика как теория со связями
Задача Коши для системы уравнений Лагранжа: необходимо найти
функции q(t) при заданных начальных условиях, т. е. известных
значениях функций q(0) и их производных в начальный момент
времени.
Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений,
разрешимых относительно вторых производных по времени, задача
Коши имеет единственное решение.
L d  L 
 
0
q dt  q 

q  f  q, q 
Уравнения, которые содержат производные первого порядка по
времени и сами полевые функции, называются уравнениями связей.
Можно доказать, что в этом случае решение системы уравнений
зависит от произвольных функций, причем число этих произвольных
функций равно число уравнений связи.
2. Потенциалы электромагнитного поля
Электродинамика как теория со связями
Наличие связей также свидетельствует о том, что теория инвариантна
относительно некоторого класса преобразований, называемых
калибровочными, т. е. имеет место калибровочная инвариантность.
Такие теории называют теориями со связями или калибровочными
теориями.
Решение уравнений поля зависит от одной произвольной функции.
1   r, t 
   r, t     r, t  
c t
A  A    
 A   A    

A  r, t   A  r, t   grad   r, t 
def



   ,  
x
x
def
2. Потенциалы электромагнитного поля
Электродинамика как теория со связями
Для того, чтобы ограничить свободу выбора произвольной функции
  r, t  , на потенциалы поля накладываются дополнительные условия,
называемые калибровочными условиями.
Примеры калибровочных условий:
Калибровка Кулона:
div A  0
Калибровка Лоренца:
1 
 div A  0
c t
В четырехмерном виде
  A  0
2. Потенциалы электромагнитного поля
Уравнения для потенциалов поля
rot H 
1 E 4

j
c t
c
E   grad  
1 A
c t
rot rot a  grad div a  a

1 2A 1
 4
rot rot A   2 2  grad

j
c t
c
t
c
1 2A
 1 
 4
A  2 2  grad 
 div A  
j
c t
c

t
c


div E  4
H  rot A
div grad   

 
1
div A  4
c t
2. Потенциалы электромагнитного поля
Уравнения для потенциалов поля
1 2A
 1 
 4
A  2 2  grad 
 div A  
j
c t
c

t
c


 
Калибровка Кулона:
div A  0
1 2A 1 
4
A  2 2 
grad  
j
c t
c t
c
Калибровка Лоренца:
1 2A
4
A  2 2  
j
c t
c
1
div A  4
c t
  4
1 
 div A  0
c t
1  2
  2 2  4
c t
2. Потенциалы электромагнитного поля
Остаточные калибровочные преобразования
Проведем калибровочное преобразование потенциалов
   r, t     r, t  
1   r, t 
c t
в калибровке Лоренца
A  r, t   A  r, t   grad   r, t 
1 
 div A  0
c t
1  1  2 
 2 2  div A  div grad   0
c t c t
1 
1 2
 div A    2 2  0
c t
c t
В четырехмерном виде:
  A        0
1 2
  2 2  0
c t

   A   0

 A   A

   0

  
2. Потенциалы электромагнитного поля
Остаточные калибровочные преобразования
Произвольное калибровочное условие
f  A   0
не нарушается, если функция   r, t  (параметр калибровочного
преобразования) удовлетворяет уравнению для остаточных
калибровочных преобразований
f
 A  0

A
 A     - изменение потенциалов вследствие калибровочного
преобразования
в случае калибровки Лоренца
f
 
 A

  A  0
   0
2. Потенциалы электромагнитного поля
Эффект Ааронова – Бома
За первым экраном между щелями находится соленоид бесконечной
длины, расположенный параллельно плоскости экрана.
Магнитное поле соленоида сосредоточено внутри него. Все
электроны движутся в области, где магнитное поле отсутствует.
Пропускание электрического тока через соленоид приводит к
смещению интерференционной картины на втором экране.
2. Потенциалы электромагнитного поля
Эффект Ааронова – Бома
Уравнение Шредингера для
свободной частицы
1 2
pˆ   E 
2m
в присутствии магнитного поля
2
1 
e 
ˆ
p

A    E

2m 
c 
Разность фаз при движении электрона
  
i 
e  
   exp   p  A  r 
c  
 
e
e
e
e
e
A
d
r

A
d
r

A
d
r

rot
A
d
S

HdS
c L1
c L2
c L
c S
c S
H  rot A  0
A  grad 
3. Свободное электромагнитное поле
1 H  r, t 
;
c
t
div H  r, t   0;
rot E  r, t   
1 E  r, t 
rot H  r, t  
;
c t
div E  r, t   0.
rot rot E  
1
rot H
c t
rot rot H 
1  2E
grad div E  E   2 2
c t
и
1
rot E
c t
1  2H
grad div H  H   2 2
c t
1  2E
E  2 2  0
c t
Напряженности
д’Аламбера
rot rot a  grad div a  a
1  2H
H  2 2  0
c t
потенциалы
поля
1 2A
A  2 2  0
c t
1  2
  2 2  0
c t
удовлетворяют
уравнению
3. Свободное электромагнитное поле
Плоские волны
  
 


c

c


 f 0

t

x

t

x



2
2 f
2  f
c
0
t 2
x 2
x
c
 t ,  t
x
c
t
1
c
    , x     
2
2

t  x  1  
 


  c 
  t  x 2  t
x 

t  x  1  
 


  c 
  t  x 2  t
x 
2 f
0


f  ,    f1    f 2  
 x

f  t , x   f1  t    f 2  t 
 c

x

c
3. Свободное электромагнитное поле
Плоские волны: интерпретация


Решение f1  t   :
c
x


Поле имеет одинаковые значения для координат x и моментов времени t.
связанных соотношением
t
x
 const
c

x  x0  ct
Если в некоторый момент t=0 в некоторой точке пространства x=x0 поле
имело определенное значение, то через промежуток времени t поле
будет иметь то же самое значение на расстоянии ct от точки x=x0 вдоль
оси x.
Решение f1  t  x  представляет собой волну, распространяющуюся в

c
положительном направлении оси x.


Решение f 2  t   представляет собой волну, распространяющуюся в
c
x


отрицательном направлении оси x.
3. Свободное электромагнитное поле
Плоские волны: интерпретация
Фазой называется состояние колебательного процесса в определенный
момент времени.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе,
называется волновой поверхностью.
В данном случае волновой поверхностью является вся бесконечная
плоскость, перпендикулярная направлению распространения волны,
поэтому волна называется плоской.
Геометрическое место точек, которых достигают колебания к моменту
времени t, называется фронтом волны.
Фазовая скорость - скорость перемещения в пространстве точки с
определенным значением фазы
x  x0  ct

v ph 
dx
c
dt
3. Свободное электромагнитное поле
Поперечность плоских волн
Калибровка Лоренца:

 0
1 2A
A  2 2  0
c t
E   grad  
1 
 div A  0
c t
div A  0

 2 Ax
0
t 2


Ax
0
x
Ax
 const
t
1 A
c t

Ax  0
подразумевает наличие продольного электрического поля.

Ax  0
Векторный потенциал всегда может быть выбран перпендикулярным
к направлению распространения плоской волны.
3. Свободное электромагнитное поле
Поперечность плоских волн
 x
A  A  t    A  
 c
E   grad  
H  rot A  , A   ei eijk  j Ak  ei eijk


 grad  t 


1 A
1 dA

c t
c d
dAk
 
x  dA 
 j     t   ,

d
c
d


 

x  dA 
1  dA 
,


ex ,
  e x , E .

c  d  
c  d  
1
 x
grad  t     e x
c
 c
Напряженности электрического и магнитного полей E и H
перпендикулярны к направлению распространения волны (свойство
поперечности электромагнитных волн).
Вектор напряженности магнитного поля также перпендикулярен
вектору напряженности электрического поля.
3. Свободное электромагнитное поле
Поперечность плоских волн
H  e x , E 

EH
Плотность энергии электромагнитной волны:
1
E2 H 2
2
2
w
 E  H   4  4
8
Плотность потока
Пойнтинга):
энергии
электромагнитной
волны
c
c
c
E, H   E, e x , E   e x E 2  E  e x , E   
4
4
4
c 2
c 2

E ex 
H e x  cwe x .
4
4
P

Электромагнитное поле распространяется со скоростью света.
(вектор
3. Свободное электромагнитное поле
Монохроматическая плоская волна
cos t   
Поле является периодической функцией времени:
ω - частота волны.
1 2 f
f  2 2  0
c t

Длина волны
2 f
  2 f
2
t
2 c


f 
2
c2
f 0
Монохроматическая плоская волна: поле является периодической
x
c
функцией t  .


x  

A  Re  A 0 exp  i  t    
 c  


Фаза волны
k

c
n
x   r, n 

A  Re A 0 exp  i t  kr  

  t  kr
A  A 0 exp  i t  kr  
E
1 A 
 i A  ikA
c t
c
H  n, E  i  kn, A   i k , A 
3. Свободное электромагнитное поле
Поляризация волн

E  Re E0 exp  i t  kr  
E0  be  i
E02  E02 e 2i
E02  b 2e 2i

E  Re b1  ib 2  exp  i t  kr    

b 2  E02
 b1 , b 2   0
b 2  b12  b22  2i  b1 , b 2 
b  b1  ib 2



E y  Re b1 exp  i t  kr      b1 cos t  kr   


Ez  Re b2 exp  i t  kr      b2 sin t  kr   
E y2
Ez2

1
b12 b22
3. Свободное электромагнитное поле
Поляризация волн
E y2
Ez2

1
b12 b22
В каждой точке пространства вектор напряженности электрического
поля вращается в плоскости, перпендикулярной направлению
распространения волны, при этом его конец описывает эллипс. Волна
называется эллиптически поляризованной.
Если b1=b2, уравнение эллипса становится уравнением окружности.
Вектор E вращается, оставаясь постоянным по модулю. Волна является
поляризованной по кругу.
Двум направлениям вращения соответствует левая и правая
поляризации волны.
Если b1=0 или b2=0, вектора E колеблется вдоль одной прямой, меняясь
по направлению. Этот случай соответствует линейной поляризации
волны.
Эллиптически поляризованную волну можно рассматривать как
суперпозицию двух линейно поляризованных волн.
3. Свободное электромагнитное поле
Частично поляризованная волна
Электромагнитная волна, которая имеет набор частот в интервале
(ω-δω, ω+δω), т. е. набор частот, близких к определенной частоте ω,
называется частично поляризованной.
Интенсивность электромагнитной волны определяется как модуль
усредненного по времени плотности потока энергии, переносимой
волной.
I  P c w 
c
c
E2 
H2
4
4
Тензор поляризации
J  E  t  E*  t 
J  E y  t   Ez  t 
2
2
 E2 
*
J  J 
4
I
c
I
3. Свободное электромагнитное поле
Тензор поляризации
Естественный, или полностью неполяризованный, свет:
J 
2
I 
c
Монохроматическая волна (эллиптическая поляризация):
E y  b1 exp  i t  kr    
J
Ez  ib2 exp  i t  kr    
Круговая поляризация:
J 
Линейная поляризация:
Для поляризованных волн
2
c
J 
 b12

 ib1b2
ib1b2 

b22 
 1 i 
I

 i 1
4
c
1 0
I

0 0
J  0
J 
4
c
0 0
I

0 1
3. Свободное электромагнитное поле
Частично поляризованная волна
 
 
J  J
 J
n
p
 
J
- тензор полностью неполяризованного света;
n
 
J
- тензор полностью поляризованного света.
p
Степенью поляризации волны называется отношение интенсивности
полностью поляризованной части волны к полной интенсивности
волны:
P
Ip
I p  In
I p - интенсивность поляризованной части волны;
I n - интенсивность неполяризованной части волны.
Степень деполяризации волны:
p
In
1 P
I p  In
4. Запаздывающие потенциалы
Уравнения поля с источниками
Неоднородные уравнения д'Аламбера
A 
1 A
4


j
c 2 t 2
c
2
1  2
  2 2  4
c t
Общее решение неоднородного уравнения можно представить в виде
суммы общего решения однородного уравнения для свободного поля
и частного решения неоднородного уравнения.
Функция Грина неоднородного уравнения д'Аламбера G(r, t; r’, t’)
является решением уравнения
1  2G
G  2 2  4  r  r    t  t  
c t
Решение уравнения для потенциала φ:
  r, t    G  r, t ; r, t     r, t   dV  dt 
4. Запаздывающие потенциалы
Функция Грина неоднородного уравнения д'Аламбера
  r, t    G  r, t ; r, t     r, t   dV  dt 

1  2
1  2G 
  2 2    G  2 2    r, t   dV  dt  
c t
c t 

 4    r  r    t  t     r, t   dV  dt   4  r, t .
G  r, t ; r, t    G  r  r, t  t    G  R,  
R  r  r
  t  t

1  2G
G  2 2  4  R    
c 
1   2 G 
1
 
G 
1
 2G
G  2
R

 sin 

R R  R  R 2 sin   
  R 2 sin 2   2
1   2 G  1  2G
 4  R    
R

R 2 R  R  c 2  2
 2G 2 G 1  2G


 4  R    
R 2 R R c 2  2
4. Запаздывающие потенциалы
Функция Грина неоднородного уравнения д'Аламбера
 2G 2 G 1  2G


 4  R    
R 2 R R c 2  2
G  R,   
  R,  
R
G 1  1

 2   R,  
R R R R
2  1 2 
 2
 4 R  R    
2
2
R
c 

R  0:
2 1 2

0
R 2 c 2  2
R  0:
1  2G
G  2 2  4  R    
c 

1
    4  R    
R
      
 2G 1  2  2  2



  R,  
R 2 R R 2 R 2 R R 3

R

R
  R,    f1     f 2   
c
c




G  4  R    
1
 4  R 
R
G  R,   
G  R,   
1 
R
   
R 
c
1 
R
   
R 
c
4. Запаздывающие потенциалы
Общее решение неоднородного уравнения д'Аламбера
Функция Грина уравнения Пуассона:

1
 4  R 
R
g  4  R 
g R 
1
R
  r, t    G  r, t ; r, t     r, t   dV  dt  


r  r
1
  t  t 
r  r 
c

   r, t   dV  dt  



r  r
1
  r, t 
r  r 
c

1 
R
 dV      r, t   dV .
R 
c

Общее решение для потенциалов:
  r, t   
A  r, t  
1 
R
  r, t   dV   0  r, t 
R 
c
1 1 
R

j
r
,
t


 dV   A 0  r, t 

c R 
c
4. Запаздывающие потенциалы
Решения
  r, t   
A  r, t  
1 
R
  r, t   dV 
R 
c
1 1 
R

j
r
,
t


 dV 

c R 
c
определяют поле в точке наблюдения с радиус-вектором r в момент
наблюдения t через плотность заряда и плотность тока в
предшествующий момент времени
t  t 
R
c
Разница между моментами времени t и t’ определяется временем
распространения светового сигнала из точки с радиус-вектором r’, где
находится заряд, в точку наблюдения с радиус-вектором r. Поэтому
потенциалы называются запаздывающими.
4. Запаздывающие потенциалы
Потенциалы Лиенара – Вихерта
Определим потенциалы поля, создаваемого одним точечным зарядом,
движущимся по заданной траектории r=r0(t).
  r, t   

r  r
1
  t  t 
r  r 
c

   r, t   dV  dt 

  r, t    e  r  r0  t   
  r, t   e 

r  r
1
  t  t 
r  r 
c

r  r0  t  
1
 e
  t  t 
r  r0  t   
c
F  t  t  t 
r  r0  t  
c
1
 t  t  R t
c

   r  r0  t    dV  dt  


 dt .

  F  t  
1
  t   t0 
dF
 t0 

dt
t0 : F  t    0
4. Запаздывающие потенциалы
Потенциалы Лиенара – Вихерта

r  r0  t  
1

  r, t   e 
 t  t 
r  r0  t   
c
1
  F  t  
  t   t0 
dF
 t0 

dt
  r, t   e 
R
  r, t  
F  t  t  t 

 dt 

r  r0  t  
c
1
 t  t  R t
c
dF
1 dR
 1 
dt 
c dt 
1
e
  t   t0  dt  
1 dR
 1 dR 
R R
R 1 

c dt 
 c dt  
dR 1 d 2 1 d 2  dR 
 dr 

R 
R   R,
   R, 0     R, v 

dt  2 dt 
2 dt 
 dt  
 dt  
e
 v, R 
R
c
j  r, t    ev  t     r  r0  t   
A  r, t  
ev
cR   v, R 
4. Запаздывающие потенциалы
Потенциалы Лиенара – Вихерта
  r, t  
e
 v, R 
R
c
E   grad  
A  r, t  
1 A
c t
ev
cR   v, R 
H  rot A
  v2  
v  1  
v   
E
1

R

R

R
,
R

R  , v   

 2  
3
2 

c
c
c
c

  


 
 v, R    
R



c 

e
H
 R, E
R
5. Поле системы зарядов на больших расстояниях
R a  r  ra
ra
 r   
r
a
ea
r  ra
r
ra
 f 
1  2 f 
f  R a   f  r  ra   f  r   
 Ria  xi   
 Ria  xi   R ja  x j  


2  Ria R ja 
 Ria R a r
R a r

1
3 f
 

3!  Ria R ja Rka 
 Ria  xi   R ja  x j   Rka  xk  
R a r
R a  r  ra
Ria  xi   xia
1
r
  r    ea   ea
a
d   eara
a
a
f Ra  
xi
xia 
r3

 r  
1
Ra
f
R
  ia3
Ria
Ra
1
1
ea  3  ea  ra , r  

r a
r a
1
 d, r  
e

 a r3
r a
 f 
xi




r3
 Ria R a r
5. Поле системы зарядов на больших расстояниях
Дипольный момент системы зарядов
d   eara
a
Если сумма всех зарядов равна нулю. дипольный момент не зависит
от выбора начала координат.
d   eara   eara  a ea   eara  d
ra  ra  a
a
a
a
a
ea+, ra+, –ea–, ra– – положительные и отрицательные заряды системы и
их радиус-векторы, соответственно.
d   eara   eara  R   ea  R   ea
a
a
a
a
R
e r

e
 
a a
a

a
a
R
e r

e
 
a a
a

a
a
R+, R– – радиус векторы центров положительных и отрицательных
зарядов.
e  e

a
a

a
a
q
R
 
 R  R
d  qR 
 
5. Поле системы зарядов на больших расстояниях
Квадрупольный момент системы зарядов
 ij 3Ria R ja
2 f
  Ria 




 3
3
Ria R ja
R ja  Ra 
Ra
Ra5
 2 f 
 3x x
  ij3  i5 j


r
r
 Ria R ja R a r
 2 f 
  ij 3 xi x j
R

x
R

x

 ia i   ja j    3  5


r
 r
 Ria R ja R a r
 2 f 
1

 ea 
2 a  Ria R ja 
R a r

ra2 3xi x j xia x ja
 xia x ja   3 
r
r5

xi x j 1
xi x j
1
2
 Ria  xi   R ja  x j    ea  3xia x ja   ij ra  5  Dij 5
2 a
r
2
r
Dij – тензор квадрупольного момента системы,
 r  
xx
Q
x 1
 di 3i  Dij i 5 j 
r
r
2
r
Q   ea
a
Dij   ea  3xia x ja   ij ra2 
a
5. Поле системы зарядов на больших расстояниях
Сумма диагональных компонент тензора квадрупольного момента равна
нулю:
Dii   ea  3xia xia  3ra2   0
a
Если полный заряд системы и ее дипольный момент равны нулю, то
тензор квадрупольного момента не зависит от выбора начала координат.
Вычислим напряженность электрического поля:
E   grad 
Ei  
Q
 r  
xx
Q
x 1
 di 3i  Dij i 5 j 
r
r
2
r
3x x


x
 Q 3i  d j  ij3  i5 j
xi
r
r
r
 1
  ij xk  ik x j 5 xi x j xk

D
 5 
jk 

5
r
r7
 2
 r
xi d j
1 D jk
2
2
2

3
x
x

r


5
x
x
x

r

x

r
 ik x j  



i
j
ij
i
j
k
ij
k
3
5
7
r
r
2 r




5. Поле системы зарядов на больших расстояниях
Разложение напряженности электрического поля
Ei  Ei   Ei   Ei  
1
2
3
Кулоновское поле одиночного заряда:
xi
Ei  Q 3
r
E   Q
1
1
r
r3
Поле диполя:
Ei  
2
dj
r
5
 3x x
i
j
 r 2 ij 
E  
2
1
3 d , r  r  r 2d 
5  
r
Поле квадруполя:
 3
Ei
1 D jk

5 xi x j xk  r 2 ij xk  r 2 ik x j 
7 
2 r
5. Поле системы зарядов на больших расстояниях
Стационарное магнитное поле
A r  
1 j  r 
dV 
c  r  r
A r  
j  r    ea v a  r  ra 
A r  
a
1
1
e
v

 a a cr 3 a ea v a xi xia 
cr a

1
1
e
v

 a a cr 3 a ea v a ra , r  
cr a
1 d
1

eara  
e v r ,r  


3  a a a
cr dt  a
2
cr
a

1 d
1


e
r
r
,
r



 a a a  2cr 3 a eara  v a , r  
2cr 3 dt  a
A r  
T
f T   f  0 
df
1 df
  dt 
dt
T 0 dt
T
1
ea v a

c a r  ra
lim
T 
df
0
dt
5. Поле системы зарядов на больших расстояниях
Стационарное магнитное поле
1
 ea  v a  ra , r   ra  v a , r    
2cr 3 a
1
1



e
r
,
v
,
r





 ea ra , v a , r  
a
a
a

2cr 3 a 
2cr 3 a 
A r  
Вектор магнитного момента системы
m
1
 ea ra , v a 
2c a
A  
2
1
m, r 
3
r
Напряженность магнитного поля:
2
2
2
H    rot A    , A   
1

x 
2
2
H i   eijk  j Ak   eijk  j  3 eklm ml xm   eijk eklm ml  j  m3 
r

r 
5. Поле системы зарядов на больших расстояниях
Стационарное магнитное поле
1

x 
2
2
H i   eijk  j Ak   eijk  j  3 eklm ml xm   eijk eklm ml  j  m3 
r

r 
eijk eklm   il jm   im jl
3x x 

H i2   il jm   im jl  ml  jm3  j5 m  
r 
 r
3x x 
3x x  3x x m m


 mi  3jj  j5 j   m j  ij3  i5 j   i 5j j  3i
r 
r 
r
r
r
r
H  
2
1
3 m , r  r  r 2m 
5  
r
E  
2
1
3 d , r  r  r 2d 
5  
r
Пусть у всех зарядов системы одинаково отношение заряда к массе,
ea
e

ma m
m
1
e
e
e
ea ra , v a  
ma ra , v a  
ra , p a   M



2c a
2mc a
2mc a
2mc
M   ra , p a 
a
m
e

M 2mc
6. Излучение электромагнитных волн
R  r  r
r
r
r
R  r  r 
 r 1
 r  r    r 2  2  r, r     r   
2  n, r  
r
r
2
2
  n, r   
 r 
    r 1 
  r   n, r   .
r 
r

1 
R
  r, t      r , t   dV 
R 
c
1 1 
R
A  r, t    j  r , t   dV 
c R 
c
2
  r, t  
1 
r nr  


r
,
t



 dV 

r
c
c 

A  r, t  
1 
r nr  

j
r
,
t



 dV 

cr 
c
c 

6. Излучение электромагнитных волн
Напряженности электрического и магнитного поля
A  r, t  
1 
r nr  

j
r
,
t



 dV 

cr 
c
c 
t  t 
H  rot A  , A   e i eijk  j Ak  e i eijk
1 
 e i eijk 
 c x
j


x j
r nr 

c
c
1




j
r
,
t
dV


  k

 cr

Ak t  
1



 .
   jk  r , t  dV  
r

t

x
 
j 

x j
xj
1


 
r3
r
t 
1 r
1 xj


x j
c x j
c r
x j Ak
1
1  A 
H   e i eijk
   n,
c
r t 
c  t 
6. Излучение электромагнитных волн
Напряженности электрического и магнитного поля
x j Ak
1
1  A 
H   ei e jk
  n,
c
r t 
c  t 
E   grad  
1 A
c t
n, E   n, grad  
  1
 t  



grad  e i 

r
,
t
dV



  
t  xi 
 xi  r 
1  xi 
1 
 xi



 e i  3    r , t  dV 


n



c t r 
c t
r
divA 

Ai t 
r nr  
1
 

j
r
,
t


dV


  i 

c c 
t  xi
r

r nr  
1 xi Ai
1  A 


ji  r , t  
dV



n,



c c 
c r t 
c  t 

Ai 1 

xi c xi
1 xi
c r3 
1  A 
n,
c  t 
H   n, E 
 A 
 n,
0
 t 
6. Излучение электромагнитных волн
Напряженности электрического и магнитного поля
E  grad 
 H, n   
1 A
E  
c t
1   A   1   A   1  A  1 A
n,
, n  n, n,
 n  n,
 E

c   t   c   t   c  t  c t
Напряженности электрического и магнитного поля в электромагнитной
волне:
1  A 
H   ,n
c  t 
1   A  
E   H, n     , n  , n 
c   t  
Вектор плотности потока энергии волны (вектор Пойнтинга):
c
c
c
c 2
2
P
E, H   H, H, n    H  H, n   nH   H n
4
4
4
4
6. Излучение электромагнитных волн
Интенсивность излучения
Интенсивность излучения dI в элемент телесного угла dΩ – это
количество энергии, протекающей в единицу времени через элемент
сферической поверхности dS с центром в начале координат и радиусом
r, dS  r 2 d   r 2 sin  d d
dI 
c 2 2
H r d
4
Так как H обратно пропорционально r, количество энергии, излучаемое
системой в единицу времени в элемент телесного угла dΩ, одинаково
для всех расстояний r, что ожидаемо, поскольку электромагнитные
волны распространяются в пространстве с постоянной скоростью c, не
накапливаясь и не исчезая.
6. Излучение электромагнитных волн
Дипольное излучение
Если система имеет размеры порядка a,
nr  a
~
c
c
T – время, в течении которого распределение зарядов в системе
существенно изменяется. Излучение системы должно обладать
периодом порядка T. Необходимо выполнение условия
nr 
c
T или
a
c
T
Длина волны излучения λ=cT,  a 
Размеры системы должны быть малы по сравнению с длиной
волны излучения.
v - скорость зарядов по порядку величины, T ~
a
v
 ~
ca
v
 v
c`
Скорости зарядов должны быть малы по сравнению со скоростью
света.
6. Излучение электромагнитных волн
Дипольное излучение
A  r, t  
1 
r

j
r
,
t


 dV 

cr 
c
j  r , t      r , t   v  r , t     ea v a  r , t     r   ra 
a
1
A  r, t    ea v a  ra , t  
cr a
1  A 
H   ,n
c  t 

E   H, n 

 ea v a 
a
d
ea ra  d

dt a
1
H  2 d, n 
c r
E
1
  d, n  , n 
2 
 
c r
A
1
d
cr
6. Излучение электромагнитных волн
Дипольное излучение
dI 
c 2 2
H r d
4
1
I
4 c3
2
dI 
2
1
1
2
2


d
,
n
d


d
sin
 d
3 
3

4 c
4 c


d2
2
d

d
sin

d



1

cos
  d  cos  

3 
0 0
2c 0
2
3

d2 
1
2

  3  cos  cos3    3 d 2
2c 
3
 0 3c
Полное излучение движущегося заряда:
d  er, d  ea, a – ускорение заряда.
2e 2 a 2
I
3c3
Для замкнутой системы, состоящей из частиц, у которых отношения
зарядов к массам одинаковы, интенсивность дипольного излучения
равна нулю.
d   ea ra  
a
a
ea
e
e
ma ra   ma ra  R 0  ma
ma
m a
m
a
P0   ma ra  R 0  ma
a
a
6. Излучение электромагнитных волн
Квадрупольное и магнито-дипольное излучение
r nr   
r   n, r    
r
 


j r , t  

j
r
,
t


j
r
,
t

 



c
c  
c
c t  
c

A  r, t  
1 
r
1 


j
r
,
t

dV

 n, r  


2


cr 
c
c r t
r

j  r , t   dV 
c

j  r , t     ea v a  r , t     r   ra 
a
A  r, t  
1
1 

e
v
r
,
t

ea  n, ra  v a  ra , t  




a a
a
2
cr a
c r t a
1
1 
1
v a  n, ra  
r
n
,
r

ra  n, v a  



a
a 
2
2 t
2
1 
1
1 
1


ra , v a  , n 

r
n
,
r

n
,
r
,
v

r
n
,
r

 a a 


a
a 
a
a 

2 t
2
2 t
2
v a  n, ra  
1 d
1 2
A  r, t  

cr t 2c 2 r t 2
 eara  n, ra  
a
1 
 ea ra , v a , n 
2c 2 r t a 
6. Излучение электромагнитных волн
Квадрупольное и магнито-дипольное излучение
1 d
1 2
A  r, t  
 2
cr t 2c r t 2
a
1 
ea ra , v a  , n 

2
2c r t a
1
1 2
A  r, t   d  2
cr
2c r t 2
1
m   ea ra , v a 
2c a
1  A 
H   ,n
c  t 
 eara  n, ra  

E   H, n 
1
1 2
A  r, t   d  2
cr
6c r t 2
 eara  n, ra  
a
1
m, n
cr
 ea  3ra  n, ra   nra2  
a
1
m, n
cr
Di  Dij n j   ea  3xia x ja n j   ij n j ra2    ea  3xia x ja n j  ni ra2 
a
D   ea  3ra  n, ra   nra2 
a
a

A  r, t  
1
1
1
d  2 D  m, n 
cr
6c r
cr
6. Излучение электромагнитных волн
Квадрупольное и магнито-дипольное излучение
A  r, t  
1
1
1
d  2 D  m, n 
cr
6c r
cr
1  A  1 
1

H   , n   2  d, n    D, n   m, n  , n  
c  t  c r 
6c

m, n  , n   n, n, m   n  n, m   m
 m, n  , n  , n    m, n   n, m 


E   H, n  
1 
1









d
,
n
,
n

D
,
n
,
n

n
,
m




  6c  
 
c2 r  

2
c 2 2
1 
1







dI 
H r d 
d
,
n

D
,
n

m
,
n
,
n


 d
3 





4
4 c 
6c

I
2 2
1
2 2
d

D
D

m
ij ij
3c3
180c5
3c3
6. Излучение электромагнитных волн
Виды излучения
I
2 2
1
2 2
d

D
D

m
ij ij
3
5
3
3c
180c
3c
2 2
d - дипольное излучение;
3
3c
1
Iq 
Dij Dij - квадрупольное излучение;
180c5
2
I  md   3 m 2 - магнито-дипольное излучение.
3c
Id  
Для замкнутой системы, состоящей из частиц, у которых отношения
зарядов к массам одинаковы, интенсивность магнито-дипольного
излучения равна нулю.
m
e
M
2mc
6. Излучение электромагнитных волн
Виды излучения
В зависимости от природы процессов, вызывающих ускорение частиц,
можно говорить о различных видах излучения.
Тормозное излучение возникает при столкновениях частиц,
торможении частиц в веществе и их рассеянии кулоновским полем.
Магнито-тормозным называется излучение заряда, движущегося по
окружности в постоянном однородном магнитном поле.
Магнито-тормозное излучение, испускаемое ультрарелятивистскими
частицами, называется синхротронным.
Ондуляторное
излучение
возникает
при
движении
ультрарелятивистской заряженной частицы с малыми поперечными
периодическими отклонениями, возникающими, например, при ее
пролёте через конденсатор с переменным во времени электрическим
полем, перпендикулярным к направлению средней скорости частицы.
6. Излучение электромагнитных волн
Виды излучения
Излучение при движении заряда в среде.
При пересечении равномерно движущимся зарядом области
пространства с неоднородными диэлектрическими свойствами,
например, при пересечении им границы раздела двух сред или при
движении в среде, содержащей неоднородности, возникает переходное
излучение.
Излучение Вавилова – Черенкова возникает при равномерном
движении заряда в среде со скоростью, превышающей фазовую
скорость света в этой среде.
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Основные понятия электродинамики сплошных сред
Уравнения Максвелла справедливы и на микроуровне, т. е. при наличии
вещества.
Результирующее электромагнитное поле внутри вещества создается как
сторонними зарядами и токами, не входящими в состав вещества, так и
заряженными частицами самого вещества. Поле сторонних зарядов
вызывает перераспределение зарядов и токов в веществе.
Из-за огромного числа частиц в системе невозможно учесть реальную
плотность
зарядов
и
токов
для
расчета
напряженностей
электромагнитного
поля.
Естественно
провести
усреднение
напряженностей полей по времени и по физически бесконечно малым
объемам.
Под физически бесконечно малым объемом понимается объем,
содержащий большое число частиц (элементарных зарядов).
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Точные уравнения Максвелла
для микроскопических напряженностей полей
1 h  r, t 
rot e  r, t   
;
c t
div h  r, t   0;
1 e  r, t  4
rot h  r, t  

jint  r, t   jext  r, t   ;

c t
c
div e  r, t   4  i nt  r, t   ext  r, t   .
ρext(r, t), jext(r, t) – плотность заряда и тока внешних (сторонних) зарядов.
ρint(r, t), jint(r, t) – плотность заряда и тока частиц вещества.
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Усреднение уравнений Максвелла
 f
f

t
t
T
1
1
f   d 3 x  dt  f  r  r, t  t  
VV
T0
Усредненное
значение
напряженности
электрического
поля
принято
называть
e E
макроскопического электрического поля:
микроскопического
напряженностью
Усредненное значение напряженности микроскопического магнитного
поля принято называть индукцией макроскопического магнитного
поля: h  B
1 B  r, t 
;
c
t
div B  r, t   0;
rot E  r, t   
rot B  r, t  
1 E  r, t  4

c t
c
div E  r, t   4

i nt
 r, t 


jint  r, t   jext  r, t  ;

 ext  r, t  .
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Вектор электрической поляризации
Вектор электрической поляризации определяется как электрический
дипольный момент, приходящийся на единицу объема:
P
1
 eara
V a
int   div P
Полный электрический дипольный момент тела объема V:
int  r    ea  r  ra 
PV   int  r  r dV
a
V
PV   P  r  dV
int
V
V
V
PV   eara
   r  r dV   P  r  dV

  a, r  

int
dV    a, P  dV
V
V
a
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Вектор электрической поляризации
  a, r  
int
dV    a, P  dV
V
V
 P,   a, r   Pii a j x j  a j Pii x j  a j Pi ij  ai Pi   a, P 
 a, P    P,   a, r     P  a, r     a, r  , P 
  a, r  
int
dV   div  P  a, r   dV    a, r  div P dV
V
V
  a, r  
int
V
dV   P  a, r  dS    a, r  div P dV
V
S
  a, r  
V
int
V
dV     a, r  div P dV
V
r 
V
int
dV    r div P dV
V
int   div P
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Вектор магнитной поляризации
Вектор магнитной поляризации, называемый также вектором
намагниченности, определяется как магнитный момент, приходящийся
на единицу объема:
J
1 1
 ea ra , v a 
V 2c a
jint  c rot J
Полный магнитный момент тела объема V:
MV
1
  r, jint  r   dV
2c V
M V   J  r  dV
V
jint  r    ea v a  r  ra 

MV 
a

1
r, jint  r   dV   J  r  dV
2c V 
V
1
 a,r, jint  dV    a, J  dV
2c V
V
1
 ea ra , v a 
2c a
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Вектор магнитной поляризации
1
 a,r, jint  dV    a, J  dV
2c V
V
rot a, r   2a
(a – постоянный вектор)
rot a, r   , a, r   ei eijk  j eklm al xm  ei eijk eklm al  j xm 
 ei  il jm   im jl  al jm  ei  3ai  ai   2a.
 a, J    rot a, r , J  
1
2


1
1
J , , a, r   J i eijk  j eklm al xm 
2
2


1
 j  J i eijk eklm al xm   eijk   j J i  eklm al xm 
2
1
  j  e jik J i eklm al xm   al elmk xmekji j J i 
2
1
  ,  J , a, r   a, r, , J  .
2




 

7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Вектор магнитной поляризации
1
 a,r, jint  dV    a, J  dV
2c V
V
 a, J  

 
1
 ,  J , a, r   a, r, , J 
2



1
1
a
,
r
,
j
dV

a, r,rot J   div  J , a, r  dV





int


2c V
2V
  a,r, j  dV  c   a,r,rot J  dV
int
V
V
jint  c rot J
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Вектор магнитной поляризации
Обобщение для нестационарных полей:
Закон сохранения для внутренних зарядов
int  r, t 
 div jint  r, t   0
t
int   div P
div rot a  0

P 

div  jint 
0

t



jint 
jint  c rot J 
P
t
P
 c rot J
t
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Преобразования уравнений Максвелла
1 B
;
c t
div B  0;
rot E  
1 B
;
c t
div B  0;
rot E  
1 E 4
rot B 

 jint  jext  ;
c t
c
div E  4  i nt  ext  .

1
4
 E  4 P   jext ;
c t
c
div  E  4 P   4ext .
rot  B  4 J  
Вектор электрической индукции
D  E  4 P
Вектор напряженности магнитного поля
H  B  4 J
1 B
;
c t
div B  0;
rot E  
1 D 4

j;
c t
c
div D  4 .
rot H 
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Линейные изотропные среды
Векторы D и B несут информацию о свойствах среды.
P  E
κ – диэлектрическая восприимчивость
J  H
χ – магнитная восприимчивость
D  E  4 P
  1  4
D  1  4  E   E
ε – диэлектрическая проницаемость среды
B  H  4 J  1  4  H   H
  1  4
J   B   H
  
μ – магнитная проницаемость среды
1 B
;
c t
div B  0;
rot E  
B 1 
4
rot   
 E   j;
c
   c t
div   E   4 .
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Анизотропные среды
 ij   ij  4 ij
ij   ij  4 ij
Di   ij E j
Bi  ij H j
Классификация сред
 Пассивные (внутри среды нет
свободных зарядов, в отсутствие
внешних полей P=0 и J=0)
– диэлектрики;
– парамагнетики;
– диамагнетики.
 Активные
 среды со свободными зарядами
– полупроводники;
– проводники;
– сверхпроводники;
 среды
со
спонтанной
поляризацией
– сегнетоэлектрики;
– пьезоэлектрики;
– ферромагнетики;
– антиферромагнетики..
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Закон сохранения энергии на микроуровне
1 h
rot e  
;
c t
div h  0;
1 e 4
rot h 

j;
c t
c
div e  4 .

j  jint  jext
h
rot e  


w
 div P    j, e 
t
  int  ext
w
e
1 e 4
rot h 

j
c t
c
1 2
e  h2 

8
P
c
e, h 
4
1 h
c t
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Закон сохранения энергии
как следствие усредненных уравнений
1 B
;
c t
div B  0;
rot E  
1 D 4

j;
c t
c
div D  4 .

rot H 
 E,rot H    H,rot E  

E
H
1 D 4

j
c t
c
1 B
rot E  
c t
rot H 

1   D   B   4
 j, E 
 E,
   H,
 
c   t  
t   c
1   D   B  
 c

E
,

H
,

div
E
,
H



 


    j, E 
4   t  
t  
 4

В общем случае в этом уравнении невозможно выделить полную
производную по времени !
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Закон сохранения энергии
как следствие усредненных уравнений
Случай линейных изотропных сред:
1   D   B  
 c

E
,

H
,

div
E
,
H



 


    j, E 

4   t  
t  
 4

D  E
B  H
1  
  

 c

E
,

E

H
,

H

div





 

  E, H      j, E 

4   t
  t

 4

1 
1
 c

 E 2   H 2   div   E, H    

8 t
8
 4

 d 2 d  2 
E 
H    j, E 

dt
 dt

w
1  d 2 d  2 
 div P   
E 
H    j, E 
t
8  dt
dt

7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Закон сохранения энергии
как следствие усредненных уравнений
w
1  d 2 d  2 
 div P   
E 
H    j, E 
t
8  dt
dt

w
Плотность энергии поля
Вектор Пойнтинга
P
1
1
 E 2   H 2     E, D    H, B  

8
8
c
E, H 
4
Работа электромагнитного поля над сторонними зарядами в единице
объема в единицу времени  j, E 
Работа, совершенная электромагнитным полем над зарядами внутри
вещества, при их перераспределении в проводнике или диэлектрике.
1
8
 d 2 d  2 
E 
H 

dt
dt


7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Закон сохранения энергии
как следствие усредненных уравнений
w
1  d 2 d  2 
 div P   
E 
H    j, E 
t
8  dt
dt


d
1  d 2 d  2 
w
dV

div
P
dV


E 
H  dV    j, E  dV

V
dt V
8 V  dt
dt

V

d
w dV 
dt V
 P dS    j, E  dV 
S
V
1  d 2 d  2 
E 
H  dV  0

8 V  dt
dt

7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Закон сохранения импульса на микроуровне
1 h
rot e  
;
c t
div h  0;
1 e 4
rot h 

j;
c t
c
div e  4 .
j  jint  jext
  int  ext



h 
e 
e
h
1 e 4

j
c t
c
1 h
rot e  
c t
div h  0
rot h 
div e  4


d
  i   i  dV     j ij dV  0
dt  V
 V
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Закон сохранения импульса на микроуровне

d
   i   i  dV     j ij dV  0
dt  V
 V
π – плотность импульса частиц,
Π − плотность импульса электромагнитного поля:
Π
1
4 c
e, h  
1
P
c2
σij − тензор плотности потока импульса (тензор напряжений):
 ij 

 i   i    j ij  0
t
1 1 2

2
e

h


e
e

h
h


ij
i j
i j 

4  2


d
  i   i  dV     ij dS j  0
dt  V
 S
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Закон сохранения импульса
как следствие усредненных уравнений
1 B
;
c t
div B  0;
rot E  
1 D 4

j;
c t
c
div D  4 .
rot H 




B  rot H 
1 D 4

j
c t
c
D  rot E  
1 B
c t
H div B  0
E div D  4

B,rot H    D,rot E  H div B  E div D 
1   D   B   4
  B,    D,   
B, j  4 E
c   t   t   c
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Закон сохранения импульса
как следствие усредненных уравнений
B,rot H    D,rot E  H div B  E div D 
1   D   B   4
  B,    D,   
B, j  4 E
c   t   t   c
1   B   D   1
D,

, B   j, B    E 
4 c   t   t   c

1
4
B,rot H   H div B   D,rot E  E div D   0
Сила Лоренца, действующая на движущуюся в среде частицу с зарядом e
F  eE 
e
 v, B 
c
1
dp a dp d
1





j
,
B


E
dV

e
E
r

e
v
,
B
r

F


  π dV









a
a a
a 
a

 a
V  c
c
dt
dt dt V

 a
a 
a
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Закон сохранения импульса
как следствие усредненных уравнений
1   B   D   1
D,

, B   j, B    E 
4 c   t   t   c
1

B,rot H   H div B   D,rot E  E div D   0
4
1   B   D     1

D
,

,
B

D
,
B




4 c   t   t   t  4 c

Случай линейных изотропных сред:
D  E
B  H
 1
 
 
Π
 D, B     E, H     2 P  

t  4 c
 t  4 c
 t  c  t
Плотность импульса электромагнитного поля в среде
Π
1
4 c
 D, B  

E, H 
4 c
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Закон сохранения импульса
как следствие усредненных уравнений
 D,rot E  E div D  ei  eijk D j eklml Em  Ei j D j  


 D  E  E  D   e  E  E
 ei  il jm   im jl  D j l Em  Ei j D j 
 ei  D j  i E j
j
j
i
i
j
j
i
j
i
j

  j  Ei D j  
 1

1

 1
 ei  i  E j E j    j  Ei D j    ei   j   E 2 ij  Ei D j   E 2i 
2

 2
 2


1

 1
 H 2 ij  H i B j   H 2i  
2
 2

B,rot H   H div B  ei   j 

 D,rot E  E div D  B,rot H   H div B 
 1

 1
 ei   j    E 2   H 2   ij  Ei D j  H i B j    E 2i  H 2i   
 2
 2

Тензор напряжений
 ij 

1 1

2
2
   E   H   ij  Ei D j  H i B j  
4  2

1 1

  Ek Dk  H k Bk   ij  Ei D j  H i B j 
4  2

7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Закон сохранения импульса
как следствие усредненных уравнений
1   B   D   1
D,

, B   j, B    E 
4 c   t   t   c
1

B,rot H   H div B   D,rot E  E div D   0
4


d
1



dV


 i
    j ij dV 
i
dt  V
8
 V
  E    H    dV  0
2
2
i
i
V

1
 i   i    j ij   E 2i  H 2i    0
t
8

d
1



dV


 i
    ij dS j 
i
dt  V
8
 S
  E    H    dV  0
2
2
i
V
i
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Принцип взаимности Лоренца
В среде расположены два источника электромагнитного
генерирующие волны одинаковой частоты ω.
E  E0 exp  i t  kr  



E2
i
B1
c
i
4
rot H1   D1 
j1
c
c
H1
rot E2 
H2
E1
rot E1 
i
B2
c
i
4
rot H 2   D2 
j2
c
c

 H 2 ,rot E1    E2 ,rot H1    H1,rot E2    E1,rot H 2  

i
4
 H 2 , B1    E2 , D1    H1 , B 2    E1, D2      E2 , j1    E1, j2  

c
c
поля,
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Принцип взаимности Лоренца
 H 2 ,rot E1    E2 ,rot H1    H1,rot E2    E1,rot H 2  

i
4
 H 2 , B1    E2 , D1    H1 , B 2    E1, D2      E2 , j1    E1, j2  

c
c
 H 2 ,rot E1    E1,rot H 2   div E1, H 2 
 E2 ,rot H1    H1,rot E2   div  H1, E2 
 E1, D2   E1i D 2i  E1i ij E 2 j   ji E1i E 2 j  D1 j E 2 j   D1 , E2 
Di   ij E j
Bi  ij H j
 H1, B 2    B1 , H 2 
4
  E2 , j1    E1, j2  
c
4
div  E1 , H 2    H1 , E2  
 div E , H    H , E  dV 
1
2
1
2
   E , j    E , j   dV
2
c
V
1
1
2
V
4
E
,
H

H
,
E
d
S





  E , j    E , j   dV



c 
1
2
1
2
2
S
1
V
  E , j  dV    E , j  dV
2
V
1
1
V
2
1
2
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Принцип взаимности Лоренца
  E , j  dV    E , j  dV
2
V
1
1
2
V
Предполагаем, что источниками являются тонкие провода.
E1 и E2 в можно рассматривать как поля излучения первого и второго
источников, создаваемые каждым из них в месте нахождения другого
источника.
Принцип взаимности устанавливает соотношение между источниками
и создаваемыми ими электрическими полями.
Если размеры источников малы по сравнению с расстоянием между
ними, а также по сравнению с длиной волны излучения,

 

E
1
,
j
dV

E
2
,
j
dV




 2
 1   1 V 2 
V

 j dV    v dV 
V
V
d
d PV

r
dV

dt V
dt
d PV
 i PV
dt
Принцип взаимности для дипольного излучения:
 E 1 , P    E  2  , P 
2
1
1
2
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Принцип взаимности Грина
В среде расположены два статических источника поля с плотностью
заряда ρ1 и ρ2.

E   grad 
2 div D1  41
1 div D2  4 2


div D   , D   i Di  i   ij E j   i   ij j 

  2i   ij  j1   1i  ij j 2  dV  4   1 2   21  dV
V
V


  2i   ij  j1   1i   ij  j 2  dV 
V


   i 2 ij  j1  1 ij  j 2    ij   i 2   j1   ij   i1   j 2 dV 
V
   i 2 ij  j1  1 ij j 2  dV     2 ij j1  1 ij j 2  dSi
V
S
   dV     dV
1 2
V
2 1
V
1  e1  r  r1 
 2  e2  r  r2 

e12  r1   e21  r2 
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Условия на границе раздела сред
1 B
rot E  
;
c t
div B  0;
 Edl  
L
1 D 4

j;
c t
c
div D  4 .
 BdS  0;

S
 Hdl 
rot H 
L
1d
4
D
d
S

jdS;
c dt S
c S
 DdS  4   dV .
S
1 , 1
 2 , 2
l2
l1
1d
BdS;
c dt S
 Edl  
L
lim
l2 0
V
1d
BdS
c dt S
 Edl   E   E   l
1
L
2
1
lim
l2 0
 BdS  0
S
E1  E2  непрерывность тангенциальных составляющих
напряженности электрического поля
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Условия на границе раздела сред
 DdS  4   dV
1 , 1
h
S
lim
h 0
 2 , 2
S1
V
 DdS   D
1n
 D2 n  S1
S
  r     r     r   f  r  
f  r   0 – уравнение поверхности раздела сред
lim
h 0
  dV   S 
1
D1n  D2 n  4
V
В отсутствие заряда на границе нормальная составляющая вектора
электрической индукции непрерывна, если же на границе сосредоточен
заряд, она претерпевает скачок.
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Условия на границе раздела сред
 B dS  0
1 , 1
 2 , 2

S1
1 , 1
l2
l1
j r   j  r   i  r   f  r  
h 0
S
h
 2 , 2
lim

 Hdl 
L
lim
l2 0
lim
l2 0
 BdS   B
1n
S
B1n  B2 n
непрерывность нормальных
составляющих
вектора
магнитной индукции
1d
4
D
d
S

jdS
c dt S
c S
 Hdl   H   H   l
1
L
 jdS  i l1
S
 B2 n  S1

2
1
lim
l2 0
H1  H 2 
 DdS  0
S
4
i
c
В отсутствие поверхностного тока тангенциальная составляющая
напряженности магнитного поля непрерывна, если в микроскопически
малом слое вблизи границы протекает ток, она претерпевает скачок.
7. Уравнения электродинамики сплошных сред
Условия на границе раздела сред
В вакууме
В электродинамике сплошных сред
E1  E2
E1  E2
B1n  B2 n
H1n  H 2 n
4
i
c
E1n  E2 n  4
4
i
c
D1n  D2 n  4
H1  H 2 
H1  H 2 
В отсутствие поверхностных зарядов и токов в случае линейных
изотропных сред
D  E
B  H
1E1n   2 E2 n
1H1n  2 H 2 n

E1n  2

E2 n 1
D1

D2

H1n 2

H 2 n 1
B1

B2
1
1
2
2


D1 1

D2  2
B1 1

B2 2
8. Обзор физических свойств сплошных сред
Проводимость. Закон Ома
Основные характеристики сплошной среды:
– диэлектрическая проницаемость;
– магнитная проницаемость;
– проводимость (электропроводность).
Закон Ома:
j E
σ – проводимость.
Непрерывность нормальной составляющей плотности тока на границе
раздела двух проводящих сред:
j1n  j2 n
Непрерывность
тангенциальной
составляющей
электрического поля
E1  E2
 1E1n   2 E2 n

E1n  2

E2 n  1
j1
1

j2
2

напряженности
j1  1

j2  2
8. Обзор физических свойств сплошных сред
Проводимость. Закон Ома
Закон Джоуля – Ленца: работа, произведенная в единице объема
проводника в единицу времени приводит к выделению количества тепла
Q   j, E    E 
2
Закон Ома в анизотропной среде:
σij – тензор проводимости.
j2

ji   ij E j
 ij   ji
Технические задачи:
– расчет разветвленных электрических цепей с помощью законов
Кирхгофа (законы Кирхгофа представляют собой прямые следствия
закона Ома и закона сохранения электрического заряда);
– расчет потерь энергии вследствие выделения тепла при передаче
электроэнергии на большие расстояния.
8. Обзор физических свойств сплошных сред
Электростатика проводников
Статическое распределение зарядов в проводниках возможно лишь в
случае, когда напряженность электрического поля внутри проводника
равна нулю, в противном случае по проводнику протекал бы
электрический ток.
Свободные заряды внутри проводника могут распределяться только на
его поверхности.
E0
Внутри проводника
 0
div E  4

Распределение зарядов и потенциалов проводников не может быть
задано произвольным образом. В силу линейности уравнений поля связь
между зарядами и потенциалами должна быть линейной:
qa   Cabb
b
Емкостные коэффициенты Cab зависят от формы и взаимного
расположения проводников.
8. Обзор физических свойств сплошных сред
Электростатика проводников
Емкостью уединенного проводника C называется отношение заряда
проводника к его потенциалу (потенциал выбирается таким образом, что
он обращается в нуль на бесконечности):
q  C
Емкость конденсатора определяется отношением заряда на одной из
его обкладок к разности потенциалов между обкладками:
q  C 1  2 
qa   Cabb
b

Sab – потенциальные коэффициенты
a   Sab qb
b
Sab  Cab1
Емкостные
коэффициенты
используются
электростатической энергии проводников.
для
расчета
8. Обзор физических свойств сплошных сред
Электростатика проводников
Расчет электростатической энергии проводников
W

1
1
2
E
dV


8 V
8
1
8
  E,grad   dV  
V
1
8
  E,   dV 
V
1
1

,
E




,
E
dV


div
E

dV

 div EdV













8
8
V
V

div E  0
W 
1
8
   E dS  
a Sa
1
8
Dn   En  4
W
1
8
W
V
  EdS
a
a
Sa
En  4
1
1
  E dS  2    dS  2  q 
a
a
n
Sa
a
a
a
Sa
a
1
1
1
qaa   Cabab   Sab qa qb

2 a
2 a ,b
2 a ,b
a
8. Обзор физических свойств сплошных сред
Электрострикция и электрокалорический эффект
На проводники и диэлектрики, находящиеся в электрическом поле, со
стороны поля действуют силы, которые могут приводить к деформации
проводника
или
диэлектрика.
Это
явление
называется
электрострикцией.
Электромагнитное поле обладает импульсом, плотность потока
импульса определяется тензором напряжений σij.
Закон сохранения импульса:

d
1
   i   i  dV     ij dS j 
dt  V
8
 S
E    H
2
i
i   dV  0
2
V
Сила, действующая на проводник со стороны электрического поля
Fi     ij dS j
S
Если полная сила, действующая на проводник, равна нулю, проводник
остается неподвижным, а действие сил на поверхность проводника
приводит к изменению его объема.
8. Обзор физических свойств сплошных сред
Электрострикция и электрокалорический эффект
Если проводник находится в вакууме (ε=1), на элемент его поверхности
будет действовать сила
1 1 2
E2

dFi   ij dS j   ij n j dS  
ni dS
 E  ij  Ei E j  n j dS 
4  2
8

Направление силы совпадает с внешней нормалью n к поверхности
проводника и приводит к его растяжению.
В отличие от электрострикции проводников, изменение объема
диэлектриков во внешнем электрическом поле может быть как
положительным, так и отрицательным (электрострикция диэлектриков
может приводить как к растяжению, так и к сжатию диэлектрика).
В диэлектриках наблюдается также электрокалорический эффект –
поглощение диэлектриком количества тепла Q при изотермическом
включении внешнего электрического поля при постоянном внешнем
давлении.
Если же диэлектрик теплоизолирован, наложение внешнего
электрического поля приводит к изменению его температуры.
8. Обзор физических свойств сплошных сред
Механизмы поляризации диэлектриков
– ионная поляризация: наблюдается в ионных кристаллах, является
результатом смещения ионов друг относительно друга;
– электронная поляризация: является результатом деформации
электронных оболочек;
– ориентационная поляризация: имеет место в полярных
диэлектриках, молекулы которых представляют собой электрические
диполи. В отсутствие электрического поля диполи ориентированы
хаотически, а при наложении поля приобретают преимущественную
ориентацию. Такой механизм поляризации характерен для жидкостей и
газов
Наиболее общий вид зависимости между электрической индукцией и
напряженностью электрического поля в анизотропной диэлектрической
среде:
Di  D0i   ij E j
D0 – постоянный вектор.
8. Обзор физических свойств сплошных сред
Диэлектрические свойства кристаллов
Di  D0i   ij E j
Если D00, это означает, что диэлектрик спонтанно поляризован даже в
отсутствие внешнего электрического поля. Вещества, обладающие этим
свойством, называют пироэлектриками. В большинстве кристаллов
D0=0.
Симметрия кристалла определяет, сколько различных главных значений
имеет тензор εij.
В кристаллах кубической системы все три главных значения тензора εij
одинаковы, а направления главных осей произвольны.
 ij   ij
В отношении диэлектрических свойств кристаллы кубической
симметрии не отличаются от изотропных тел.
Пироэлектрическими свойствами может обладать лишь такой кристалл,
в котором существует направление, остающееся неизменным при всех
преобразованиях симметрии. В этом направлении лежит постоянный
вектор D0.
8. Обзор физических свойств сплошных сред
Диэлектрические свойства кристаллов
Кристаллические вещества, в которых при сжатии или растяжении в
определенных направлениях возникает поляризация даже в отсутствие
электрического поля, называются пьезоэлектриками, а возникновение
поляризации в этом случае называется прямым пьезоэффектом.
Обратный пьезоэффект – появление механической деформации под
действием электрического поля.
В случае электрострикции возникающие в диэлектрики силы
квадратичны по полю, а в пьезоэлектриках вследствие определенной
кристаллической структуры пропорциональны первой степени
напряженности электрического поля.
Сегнетоэлектрики – кристаллические вещества, у которых спонтанная
поляризация наблюдается в определенном интервале температур.
Величина электрического дипольного момента сегнетоэлектриков
достаточно легко изменяется при изменении температуры, наложении
внешних электрических полей и упругих напряжений.
8. Обзор физических свойств сплошных сред
Диэлектрические свойства кристаллов
Как правило, сегнетоэлектрик обладает доменной структурой.
Различные домены имеют различное направление поляризации
(дипольного момента). В обычных условиях суммарный дипольный
момент может отсутствовать.
В состоянии равновесия доменная структура отвечает минимуму
свободной энергии кристалла. Она определяется симметрией кристалла,
расположением дефектов кристалла, а также тем, какие воздействия
кристалл испытывал в прошлом.
При наложении внешнего электрического поля происходит перестройка
доменной структуры, сопровождающаяся увеличение объемов доменов,
направление поляризации которых совпадает с направлением внешнего
поля.
Кристалл остается поляризованным и после выключения поля в течении
длительного времени. Для того, чтобы суммарный дипольный момент
снова стал равен нулю, необходимо подвергнуть кристалл действию
достаточно сильного поля противоположного направления.
Таким образом, в сегнетоэлектриках наблюдается явление гистерезиса
8. Обзор физических свойств сплошных сред
Диэлектрические свойства кристаллов
Поскольку поляризация сегнетоэлектриков сильно изменяется под
воздействием внешних полей, для них характерна большая величина
диэлектрической проницаемости.
Возникновение
спонтанной
поляризации
сегнетоэлектриков
наблюдается в полярной фазе. В этом состоянии сегнетоэлектрики
проявляют также пьезоэлектрические свойства.
При повышении температуры происходит фазовый переход из полярной
(упорядоченной) фазы в неполярную (неупорядоченную).
В точке фазового перехода спонтанная поляризация исчезает (в
некоторых веществах – скачком, что соответствует фазовому переходу
первого рода, в других веществах – непрерывно, при фазовом переходе
второго рода).
Явления, имеющие место при фазовом переходе второго рода,
описываются теорией фазовых переходов Ландау. К сегнетоэлектрикам
эту теорию применил В. Л. Гинсбург в 1945 году. В качестве параметра
порядка здесь выступает поляризация.
8. Обзор физических свойств сплошных сред
Магнитные свойства вещества
Парамагнетиками называются вещества, которые во внешнем
магнитном поле приобретают магнитный момент, направление которого
совпадает с направлением поля.
J   H  для парамагнетиков магнитная восприимчивость χ>0.
Парамагнетизм характерен для веществ, частицы которых обладают
собственным магнитным моментом.
В отсутствие внешнего поля магнитные моменты частиц ориентированы
хаотически, так что суммарный магнитный момент равен нулю. Во
внешнем
поле магнитные
моменты
частиц
ориентируются
преимущественно по направлению поля.
Существование у атомов магнитных моментов обусловлено
орбитальными и спиновыми моментами электронов, а также моментами
ядер. В металлах существенный вклад в формирование магнитного
момента вносят электроны проводимости. В тех веществах, в которых
нет электронов проводимости, а моменты электронных оболочек атомов
скомпенсированы, магнитными моментами обладают только ядра. В
этом случае парамагнетизм очень мал и может наблюдаться при
сверхнизких температурах.
8. Обзор физических свойств сплошных сред
Магнитные свойства вещества
Диамагнетиками называются вещества, которые во внешнем
магнитном поле приобретают магнитный момент, направление которого
противоположно направлению поля.
J  H
 для диамагнетиков магнитная восприимчивость χ<0.
В магнитном поле в электронной оболочке каждого атома возникают
индуцированные круговые токи. Токи создают в каждом атоме
индуцированный магнитный момент, направленный противоположно
внешнему полю, независимо от того, обладает ли атом собственным
магнитным моментом.
Диамагнетизм свойственен всем веществам. Однако намагниченность,
связанная с диамагнетизмом, значительно меньше, чем обусловленная
электронным парамагнетизмом.
8. Обзор физических свойств сплошных сред
Магнитные свойства вещества
Ферромагнетиками называются вещества, в которых магнитные
моменты атомов параллельны, так что ферромагнетик обладает
спонтанной намагниченностью в отсутствие внешнего магнитного поля.
Как и спонтанная поляризация сегнетоэлектриков, спонтанная
намагниченность ферромагнетиков наблюдается в определенном
интервале температур. Ферромагнетик может обладать доменной
структурой.
Намагниченность нелинейно растет с увеличением напряженности
внешнего поля, наблюдается явление гистерезиса.
При намагничивании изменяются размеры и форма ферромагнетика, т.е.
имеет место эффект, в определенной степени аналогичный
пьезоэффекту в сегнетоэлектриках. Это явление называется
магнитострикцией ферромагнетиков.
При адиабатическом намагничивании и размагничивании наблюдается
изменение температуры ферромагнетика (магнетокалорический
эффект).
8. Обзор физических свойств сплошных сред
Магнитные свойства вещества
Упорядочение магнитных моментов в ферромагнетике обусловлено
обменным взаимодействием и требует привлечения квантовой теории.
При этом необходимо учитывать взаимодействие спинов между собой, а
также с внешним магнитным полем.
При определенной температуре (температуре Кюри) происходит
фазовый переход второго рода. Выше температуры Кюри ферромагнетик
переходит в парамагнитное (неупорядоченное) состояние.
В некоторых случаях ферромагнетик в результате фазового перехода
оказывается в антиферромагнитном состоянии.
В антиферромагнетике магнитные моменты атомов упорядочены
таким образом, что полный магнитный момент равен нулю.
В антиферромагнетике можно выделить несколько кристаллических
подрешеток, причем магнитные моменты разных подрешеток имеют
различные направления. Как и в случае ферромагнетика, формирование
такой
упорядоченной
структуры
обусловлено
обменным
взаимодействием.
9. Электромагнитное поле в среде
с пространственной и временной дисперсией
Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в среде, были
получены при некоторых допущениях. Основным допущением являлась
возможность усреднения по физически бесконечно малым объемам, а
также временам, большим по сравнению с характерным временем
флуктуаций микроскопического поля.
Однако сделанные нами усреднения неправомерны в случае полей
высокой частоты и в пространственно-неоднородных средах.
Если мы рассматриваем поля высокой частоты ω с длиной волны λ,
должны выполняться условия
c
1


 a
a

a – характерный размер частиц вещества, τ – время релаксации,
характерное для данного вещества. При выполнении этих условий

D  E
P  E
Поляризация P в данной точке пространства в данный момент времени
определяется напряженностью электрического поля (средним значением
микроскопического поля),
9. Электромагнитное поле в среде
с пространственной и временной дисперсией
Если частота сравнима с обратным временем релаксации, изменения
поляризации будут отставать от изменений поля и зависеть от истории
процесса.
t
D  r, t  
   t , t E  r, t dt

Равноправность всех моментов времени
D  r, t  
   t , t    t  t
t
   t  t E  r, t dt

Учет пространственных неоднородностей: Если λ ~ l, где l – характерный
размер неоднородностей среды, необходимо учитывать значение поля в
соседних точках пространства:
D  r, t  
t
    r, r, t  t E  r, t dV dt

9. Электромагнитное поле в среде
с пространственной и временной дисперсией
Пусть ε(r, r’, t–t’) зависит только от модуля расстояния между точками с
радиус-векторами r и r‘,
D  r, t  
t
    r  r , t  t E  r, t dV dt

E  r, t  
1
 2 
1
 2 



E k,   e 
4  
i kr t 

3
d
k
d

e
4 
1
 2 
1
 2 
i kr t 
D  r, t  
1
 2 

D
k
,

e


4 
i kr t 
d 3k d 
Dk,   
t
d k d  dt  dV   r  r , t  t   E  k ,   e 
4 
i krt  
3


d k de
4 
3
1
 2 
d 3k d 
i  kr t 
 i k  r r   t t  
E  k ,    dt  dV   r  r , t  t   e 


i kr t 
4
t

3
d
k
d

e

E k,   k,  


9. Электромагнитное поле в среде
с пространственной и временной дисперсией
1
 2 



3
d
k
d

e
4 
1
 2 
1
 2 
i kr t 
d 3k d e
4 
Dk,   
i  kr t 
t
 i k  r r   t t  
E  k ,    dt  dV   r  r , t  t   e 





3
d
k
d

e
4 
i kr t 
E k,   k,  
 k,   
t
 i  k  r r   t t  




dt
dV

r

r
,
t

t
e


 



R  r  r
  t  t
Dk,     k,   E k,  

  k ,     d  d 3 R   R,   e ikR  
0
ε(k, ω) не является фурье-образом функции ε(R, τ), она связывает фурьеобразы векторов E и D. Диэлектрическая проницаемость ε в области
высоких частот оказывается зависящей от частоты и волнового вектора.
Это явление получило название пространственно-временной дисперсии.
9. Электромагнитное поле в среде
с пространственной и временной дисперсией
Если пространственными неоднородностями можно пренебречь,
диэлектрическую проницаемость ε можно считать функцией только от
t–t’.

     d   ei
D       E  
0
Один из методов решения уравнений Максвелла состоит в том, чтобы
искать решения в виде разложений в интегралы Фурье:
1
i  kr t  3
E  r, t  
E
k
,

e
d k d


4 
 2 
D  r, t  
H  r, t  
B  r, t  
1
 2 
1
 2 
1
 2 
D k,   e 
4 
d 3k d 

H
k
,

e


4 
d 3k d 
B k,   e 
4 
d 3k d 
i kr t 
i kr t 
i kr t 
9. Электромагнитное поле в среде
с пространственной и временной дисперсией
1 B
rot E  
;
c t
div B  0;
k


k , E  k ,     B  k ,   ;
c
 k , B  k ,    0;

4
j k ,  ;
k , H  k ,      D  k ,    i
c
c
 k , D  k ,    4 i  k , .
1 D 4

j;
c t
c
div D  4 .
rot H 

k , k , E  k ,      k , B  k ,   
c
  k ,   1  B  k ,   H  k , 
j k ,   0
k , k , E  k ,      k  k , E   k 2E

c

2
c
2
k , B   k , H   
c
D

k E  k k, E 
2
k 
2
2
2
ij
 ki k j  E j 
c
2
c2
D
Di
9. Электромагнитное поле в среде
с пространственной и временной дисперсией
k 
2
ij
 ki k j  E j 
Di  k ,     ij  k ,   E j  k ,  
Дисперсионное уравнение:

 ij  k ,    1  k ,     ij 

2
c2
Di
 2
2 
 k  ij  ki k j  2  ij  E j  0
c



k  ij  ki k j 
2
ki k j 
ki k j


k
,

 2
 2
k2 
k
2
c
2
 ij  0
 1 0 0 
 ij   0 1 0 
0 0  
2

При наличии пространственной дисперсии изотропная среда
характеризуется поперечной (перпендикулярной) диэлектрической
проницаемостью ε1(k, ω) и продольной ε2(k, ω).
2
c
2
1  k ,    k 2  0
 2 k,    0
9. Электромагнитное поле в среде
с пространственной и временной дисперсией
В рассматриваемой среде возможно существование двух независимых
процессов – поперечных и продольных волн, для которых справедливы
различные законы дисперсии.
Наличие продольных электромагнитных волн, также называемых волнами
поляризации, является специфическим эффектом, связанным с
пространственной дисперсией среды.
В среде с неоднородным распределением заряда, на которую действует
электромагнитное поле с длиной волны, сравнимой с размерами
неоднородностей, поле вызывает смещение зарядов (поляризацию), в
результате чего в среде возникают колебания зарядов, сходные с упругими
звуковыми волнами в изотропных средах.
Зная явное выражение для ε1(k, ω) и ε2(k, ω), можно установить закон
дисперсии ω1(k) и ω2(k) для поперечных и продольных волн.
В среде без пространственной дисперсии могут распространяться только
поперечные волны.
 ij        ij
2
c2
    k 2  0